Grandezze scalari e vettoriali

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1 Grandezze scalari e vettoriali 01 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non sono misurabili non sono oggetto della fisica. Come ben sappiamo, dobbiamo a Galileo l'avere chiarito lo scopo ed il metodo della fisica, così che la scienza moderna ha inizio con lui. Le grandezze fisiche sono allora entità misurabili. Spostamenti, tempi, velocità, accelerazioni, forze, masse ecc. sono esempi di grandezze fisiche che abbiamo già incontrato più volte. Queste grandezze devono sempre essere riferite ad una unità di misura. Non è corretto, univoco, per esempio, dire : questa massa vale 10. Se non si specifica l'unità di misura, quella affermazione non ha senso. L'affermazione corretta è invece : questa massa vale 10 chilogrammi. Le unità di misura attualmente accettate dai fisici sono elencate nel cosiddetto sistema internazionale (S.I.). In passato si usavano vari sistemi di misura, praticamente ogni nazione aveva i propri. Oggi si è deciso a livello mondiale di utilizzare il S.I. anche se molte unità di misura "tradizionali" vengono ancora utilizzate. Per esempio i piedi, i galloni, le calorie, i cavalli-vapore ecc. In fisica esistono due tipi di grandezze : le grandezze scalari e le grandezze vettoriali. Ciò si deduce osservando direttamente la realtà. Vediamo ora di chiarire il perché di questa distinzione. - grandezze scalari. Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono completamente caratterizzate, definite, da un solo numero rispetto ad una unità di misura prescelta. Per esempio, l'area è uno scalare (si può dire così, più brevemente). Il numero in metri quadrati che rappresenta l'area di una superficie è sufficiente a caratterizzare quella grandezza. Non servono ulteriori specificazioni per cui se andassi a comprare delle mattonelle per il pavimento del mio studio, dopo avere scelto il tipo, basterebbe che dicessi al commerciante un solo numero (in metri quadrati) che lui capirebbe immediatamente di cosa ho bisogno. Altre grandezze fisiche, invece, per essere specificate, hanno bisogno di più informazioni.

2 - grandezze vettoriali. Se dicessi che mi sono spostato di un chilometro, ciò non sarebbe sufficiente per indicare dove esattamente sono andato. In questo caso dovrei aggiungere anche l'informazione della direzione su cui mi sono mosso e del verso che ho seguito. Le grandezze vettoriali, allora, sono definite da una direzione, un verso ed una intensità. La direzione è la retta su cui la grandezza si esplica, il verso è uno dei due possibili versi che una retta può avere, e l'intensità (si dice anche modulo o valore assoluto) è il valore numerico, rispetto ad una unità di misura, che esprime il valore di quella grandezza. Esempi di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la forza, la velocità ecc. Tutte queste grandezze non possono essere semplici grandezze scalari perché necessitano, per essere completamente determinate, anche di una specificazione di direzione e verso. Le grandezze vettoriali (più brevemente, i vettori) posso essere rappresentati geometricamente come segmenti dotati di freccia : Si noti che la lunghezza del segmento che indica il vettore è rapportato ad una unità di misura, per cui, nell'esempio grafico, il vettore ha intensità 5. Simbolicamente un vettore si indica con una lettera su cui si pone una piccola freccia, oppure da una lettera in grassetto : oppure V. I vettori possono essere sommati. Per esempio, se consideriamo due spostamenti successivi di un corpo, lo spostamento complessivo risultante sarà la somma dei due vettori che rappresentano i due spostamenti :

3 Il corpo si muove inizialmente da A a B e poi da B a C. Lo spostamento AB è rappresentato dal vettore e lo spostamento BC è rappresentato dal vettore. Lo spostamento complessivo risultante, da A a C, è rappresentato dal vettore esprimibile come la somma vettoriale. che è Si noti che la somma vettoriale così definita non coincide in generale con la normale somma di numeri!!! Infatti, lo spostamento ha una intensità 4 mentre lo spostamento ha una intensità di 3. Lo spostamento risultante, somma vettoriale dei due, ha intensità pari a : (si applica il teorema di Pitagora) mentre la somma delle intensità dei due vettori è : = 7. Solo nel caso di vettori allineati e dello stesso verso si ha che l'intensità del vettore risultante eguaglia la somma delle intensità dei vettori di partenza :

4 in questo caso l'intensità di è 7 ed eguaglia la somma delle intensità di e. Addirittura, se il corpo, dopo essere arrivato in B ritorna in A, si ha : dove lo spostamento risultante è nullo. Il corpo, in effetti, dal punto di vista dell'effettivo spostamento, ritornando al punto di partenza, non si è mosso. Si ha cioè che Nel caso generale di due spostamenti con angoli qualunque, si ha : vale zero. dove si vede molto bene che il vettore risultante è la diagonale principale del parallelogramma così come ottenuto in figura. La stessa cosa, ovviamente, vale anche per i casi precedenti Abbiamo così desunto una regola di fondamentale importanza : Esempi : i vettori si sommano secondo la regola del parallelogramma Somma di forze :

5 una Nel caso I le due forze di 2 N sono ad angolo retto per cui la risultante (somma) avrà intensità pari a N (per il teorema di Pitagora). opposto Nel caso II le de forze hanno la stessa direzione, stessa intensità ( 2 N ) ma verso per cui la risultante avrà intensità 0. Nel caso III le due forze sono uguali in direzione verso ed intensità. La risultante avrà intensità 4 N, stessa direzione e stesso verso. Si noti che le forze le abbiamo considerate applicate in uno stesso punto Somma di velocità (le intensità dei vettori sono su scala arbitraria) : direzione terra, una della Nel primo caso un treno viaggia a 30 km/h rispetto a terra ed un uomo cammina nella del moto del treno alla velocità di 5 km/h. La somma delle velocità avrà, vista da intensità di 35 km/h, la stessa direzione e lo stesso verso. Nel secondo caso, invece, la risultante avrà intensità 25 km/h, stessa direzione e verso velocità maggiore. Un ultimo esempio. Una barca che attraversa un fiume :

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