Capitolo VI SISTEMI LINEARI

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1 Capitolo VI SISTEMI LINEARI 1 Concetti fondamentali 11 Definizione Un equazione in n incognite x 1,, x n a coefficienti in R si dice lineare se è della forma: a 1 x a n x n = b con a i R e b R Una sua soluzione è un elemento (α 1,, α n ) di R n tale che: a 1 α a n α n = b 111 Esempio Si verifica facilmente che l equazione a coefficienti reali 3x 1 x + 7x 3 = 1 ha come soluzione (, 6, 1) R 3 Si osservi che tale soluzione non è unica 1 Definizione Un insieme di m equazioni lineari nelle n incognite x 1,, x n a coefficienti in R si dice sistema lineare di m equazioni in n incognite Si userà la seguente notazione: Σ : a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Una soluzione di un dato sistema lineare è una n-upla (α 1,, α n ) di R n che è soluzione di ogni equazione del sistema L insieme delle soluzioni del sistema Σ è un sottoinsieme di R n, detto spazio delle soluzioni di Σ e denotato con S Σ Un sistema si dirà compatibile o risolubile se ammette soluzioni (cioè se S Σ ); se invece S Σ =, si dirà incompatibile 13 Esempi Il sistema { x + y = x y = ha come soluzione (1, 1) Per contro, non ammette soluzioni il sistema { x + y = x + y = 1 Lo scopo di questo capitolo è stabilire se un sistema lineare è compatibile e, in tal caso, determinare tutte le sue soluzioni A tale fine useremo la teoria delle matrici sviluppata nel Cap V Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

2 14 Definizione Al sistema lineare Σ si possono associare in modo naturale le seguenti matrici: 1 A = (a ij ) R m,n, detta matrice del sistema o matrice dei coefficienti di Σ; B = t (b 1,, b m ) R m,1 detta matrice dei termini noti Si userà anche la notazione (A, B) = (a ij b i ) = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn per la matrice completa di Σ Utilizzando queste matrici, si può rappresentare il sistema Σ nel modo seguente: o, più brevemente, Σ : a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn Σ : AX = B x 1 x x n = dove X = t (x 1,, x n ) è la matrice formale delle incognite (il termine formale significa che X non è un elemento di R n,1, ma un simbolo che denota una n-upla di incognite) 15 Definizione Due sistemi lineari Σ e Σ si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, cioè, in simboli: Σ Σ se S Σ = S Σ 16 Osservazione Siano AX = B e A X = B due sistemi lineari nelle stesse variabili; essi sono banalmente equivalenti in uno dei seguenti casi: i) se la matrice (A, B ) si ottiene aggiungendo ad (A, B) delle righe nulle; ii) se la matrice (A, B ) si ottiene permutando le righe di (A, B) Ad esempio i seguenti sistemi sono chiaramente equivalenti: b b 1 b m b 1 b b m { x + y = x y =, { x y = x + y = 17 Osservazione Si noti che permutando le colonne della matrice A il sistema cambia radicalmente e quindi cambiano le sue soluzioni Ad esempio, se AX = B è il primo sistema in 13 e si scambiano le colonne di A: (A, B) = ( ) C 1 C ( si ottiene il sistema A X = B del quale (1, 1) non è più soluzione ) = (A, B), 7 Capitolo VI - Sistemi lineari

3 Risoluzione dei sistemi ridotti 1 Definizione Un sistema lineare AX = B si dice ridotto se la sua matrice dei coefficienti A è ridotta per righe La risoluzione di un sistema ridotto è particolarmente semplice, come mostrano i seguenti esempi: 11 Esempio Il sistema Σ : AX = B dato da: Σ : x + y + z = 4 y z = 3 z = con (A, B) = è ridotto ed ammette una sola soluzione (x, y, z) = ( 1, 1, ), come si verifica facilmente sostituendo il valore di z = nella seconda equazione, determinando y = 1; infine si sostituiscono tali valori di y e z nella prima equazione, ottenendo x = 1 1 Esempio Il sistema a coefficienti reali Σ : x + y + z + t = 1 x + 3y z = 3 x + z = con (A, B) = si risolve sostanzialmente come in 11, partendo dall ultima equazione z = x Ponendo x = τ, si determinano le soluzioni, che sono: (x, y, z, t) = (τ, τ + 1, τ, τ) con τ R In tal caso ci sono infinite soluzioni che, più precisamente, corrispondono biiettivamente ad elementi di R 13 Esempio Il sistema Σ : AX = B associato alla matrice (A, B) = 3 1 è chiaramente incompatibile poiché l ultima equazione risulta essere = 1 Osservazione Negli esempi 11 e 1 si sono eliminate le incognite corrispondenti agli elementi speciali selezionati nella matrice A, qui riportati in grassetto, partendo dal basso verso l alto: (A, B) = = si elimina z, poi y e poi x 1 Nell altro esempio (A, B) = = si elimina z, poi y e poi t Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

4 Gli esempi precedenti suggeriscono, in modo naturale, il seguente 3 Metodo delle eliminazioni successive Sia Σ : AX = B un sistema ridotto 1 Per l osservazione 16(i), si può supporre che (A, B) non abbia righe nulle Se A ha righe nulle, poiché (A, B) non ha righe nulle, Σ avrà equazioni del tipo = b i, con b i, quindi il sistema è incompatibile, cioè S Σ = 3 Se A non ha righe nulle allora m n Quindi, essendo ridotta, ha m elementi speciali (dunque è di rango m) Si eliminano quindi le incognite corrispondenti a tali elementi speciali, partendo dall ultima equazione e risalendo fino alla prima Per semplicità, vediamo il procedimento esplicito nel caso in cui A è TSC: (A, B) = a 11 a 1 a 13 a 1m a 1n a a 3 a m a n a 33 a 3m a 3n a mm a mn Osserviamo che l ultima equazione del sistema AX = B è della forma: a mm x m + a mm+1 x m a mn x n = b m, con a mm Dividendo ambo i membri per a mm, si ricava: x m = a 1 mm(b m a mm+1 x m+1 + a mn x n ); si osservi come x m risulti espressa in funzione di x m+1,, x n Analogamente, dalla penultima equazione, si ricava: b 1 b b 3 b m x m 1 = a 1 m 1m 1 (b m 1 a m 1m x m a m 1m+1 x m+1 + a m 1n x n ) Sostituendo l espressione di x m calcolata sopra, si ottiene x m 1 in funzione di x m+1,, x n Iterando tale procedimento, si ricavano le incognite x m, x m 3,, x 1 in successione, in funzione delle rimanenti x m+1,, x n 4 Osservazione Definizione Nel metodo precedente abbiamo visto che le m incognite x 1,, x m sono espresse in funzione delle restanti ( in numero n m): x m+1,, x n ; queste ultime si dicono incognite libere Infatti, ogni qualvolta fissiamo x m+1 = λ 1,, x n = λ n m con λ i R, otteniamo una particolare soluzione del sistema Questo accade in generale perchè A è ridotta In tal modo si definisce una corrispondenza biunivoca R n m 1 1 S Σ dove n è il numero delle incognite di Σ e m = rk(a), il rango di A Si dirà anche che il sistema ha n m soluzioni 7 Capitolo VI - Sistemi lineari

5 3 Risoluzione dei sistemi lineari generali Dato un qualunque sistema lineare AX = B, uno dei possibili metodi di risoluzione usa il procedimento di riduzione per righe delle matrici Ricordando la nozione di matrice trasformata per righe data nella Def 41 Cap V, si ha il seguente 31 Teorema Sia Σ : AX = B un sistema lineare e sia (A, B ) una matrice trasformata per righe di (A, B) Allora i sistemi Σ e Σ : A X = B sono equivalenti Dimostrazione Come al solito, siano A = (a ij ) e B = t (b 1,, b m ) Se (A, B ) è ottenuta da (A, B) con una trasformazione di tipo s, la tesi è ovvia come visto in 16 Se (A, B ) è ottenuta da (A, B) con una trasformazione di tipo λ sulla riga R i, la tesi segue dal fatto che, per ogni λ, l equazione lineare è equivalente all equazione a i1 x a in x n = b i λa i1 x λa in x n = λb i Sia ora (A, B ) ottenuta da (A, B) con una trasformazione di tipo D: R i R i + λr j con j i Per semplicità, possiamo supporre i = e j = 1 Dunque R 1 R (A, B ) = + λr 1 R m Sia ora α = (α 1,, α n ) una soluzione di Σ, cioè valgono le identità: a i1 α a in α n = b i ( i ) per ogni i = 1,, m E chiaro che α è soluzione di tutte le equazioni di Σ, eccetto al più la seconda Basta quindi provare che α verifica (a 1 + λa 11 )x (a n + λa 1n )x n = b + λb 1 A tale scopo si sommino, membro a membro, l eguaglianza ( ) e λ volte ( 1 ), ottenendo: (a 1 + λa 11 )α (a n + λa 1n )α n = b + λb 1 Pertanto (α 1,, α n ) è soluzione di Σ, quindi S Σ S Σ In modo analogo si prova S Σ S Σ Usando il teorema precedente si arriva al metodo di eliminazione di Gauss, o anche algoritmo di Gauss, per la risoluzione di un sistema lineare generale 3 Metodo di risoluzione dei sistemi lineari Dato il sistema lineare Σ : AX = B, per determinare S Σ si procede come segue: 1 Si riduce per righe la matrice (A, B), ottenendo la matrice (A, B ), con A ridotta per righe Si determina lo spazio delle soluzioni S Σ di Σ : A X = B (usando il metodo di risoluzione dei sistemi ridotti) 3 Per 31, Σ Σ, cioè S Σ = S Σ Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

6 31 Esempio Risolviamo il sistema lineare x + y + z = 1 Σ : x y z = x + y + z = 1 Riducendo per righe la matrice completa (A, B) = si ha: R R +R 1 (A, B) R 3 R 3 R R 3 R 3 +R = (A, B ) Poiché A è ridotta, il sistema Σ : A X = B è ridotto e quindi risolubile col metodo delle eliminazioni successive: { { Σ x + y + z = 1 y + z = 1/3 : 3x = 1 = x = 1/3 E chiaro che tale sistema ha una sola incognita libera e dunque il sistema ha 1 soluzioni; si può scegliere, ad esempio, z e in tal caso, ponendo z = λ, lo spazio delle soluzioni di Σ ha la forma: S Σ = {(x, y, z) R 3 (x, y, z) = (1/3, 1/3 λ, λ), λ R} Se, invece, si sceglie y come incognita libera, posto y = α, lo spazio delle soluzioni di Σ ha la forma: S Σ = {(x, y, z) R 3 (x, y, z) = (1/3, α, 1/3 α), α R} Ovviamente le due espressioni precedenti rappresentano, in modi diversi, lo stesso sottoinsieme S Σ di R 3 Si noti che il numero delle incognite libere coincide con la differenza tra il numero delle incognite ed il rango di A 3 Esempio Risolviamo il sistema lineare x + y z = Σ : x y = 1 y + z = Riducendo per righe la matrice completa (A, B) = si ha: (A, B) R R R R 3 R 3 R = (A, B ) 1 74 Capitolo VI - Sistemi lineari

7 Poiché A è ridotta, il sistema Σ : A X = B è ridotto; inoltre il numero delle incognite libere è zero, dunque Σ, e quindi Σ, ha = 1 soluzione Come al solito possiamo determinarla col metodo delle eliminazioni successive: Σ : x y + z = 3y + z = 1 4y = 1 = x z = 1/4 z = 7/4 y = 1/4 da cui (x, y, z) = (5/8, 1/4, 7/8) Ancora una volta si noti che il numero delle incognite libere è dato da 3 rk(a) =, dove 3 è il numero delle incognite L esempio seguente riguarda la discussione di un sistema con parametro: i coefficienti non sono numeri reali, come nei casi visti in precedenza, ma possono contenere un simbolo (parametro) che varia in R La discussione di tali sistemi consiste nel determinare tutti i valori del parametro per i quali il sistema è risolubile e nel trovare tutte le soluzioni del sistema in corrispondenza di tali valori 33 Esempio Discutere il seguente sistema lineare nel parametro λ R: Σ λ : x + y + z + t = 1 x + y z + t = 1 x + λy + λt = λy z + λt = Se si vuole risolvere il sistema con il solito metodo della riduzione per righe, bisogna fare attenzione quando vengono usate espressioni che coinvolgono il parametro λ: R R R 1 (A, B) = λ λ R λ λ 3 R 3 R R 3 R 3 R 1 1 λ 3 λ 3 R 4 R 4 R λ + 1 λ λ 4 λ λ λ 1 = (A, B ) 1 A questo punto è utile eliminare da una delle ultime due righe il parametro λ Ad esempio, operando la trasformazione R 3 R 3 + R 4 e, successivamente (dopo aver ulteriormente diviso la terza riga per ), R 4 R 4 + (1 λ)r 3, la matrice (A, B ) diventa: λ λ + 1 λ λ a 44 dove a 44 = (1 λ)(λ 3) Si osservi che l ultima trasformazione effettuata è corretta per ogni λ R; infatti l unico caso dubbio si ha per λ = 1, per il quale la trasformazione diventa R 4 R 4, che è ancora accettabile Si noti ora che a 44 = se e solo se λ = 1 oppure λ = 3 Si conclude dunque che Σ λ è sempre risolubile per ; inoltre: Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

8 - λ = 1, 3 a 44 = rk(a) = 3 Σ λ ha 1 soluzioni; - λ 1, 3 a 44 rk(a) = 4 Σ λ ha una sola soluzione Risolviamo dunque i 3 sistemi lineari: I) λ 1 e λ 3 x + y + z + t = 1 y z + t = Σ λ : y + (λ )t = (λ 3)(λ 1)t = Come già osservato, tale sistema ammette un unica soluzione per ogni λ in R Possiamo determinarla col metodo delle eliminazioni successive: poiché (λ 3)(λ 1), possiamo dividere l ultima equazione per (λ 3)(λ 1) e dunque ottenere t = ; risalendo le equazioni si ottiene: x = z = 1 y = t = In questo esempio specifico l unica soluzione di ogni sistema Σ λ, che in generale varia con il parametro, non dipende da λ II) λ = 1 In questo caso l ultima equazione si riduce all identità = e quindi viene eliminata Si ha quindi il sistema particolare: x + y + z + t = 1 Σ 1 : y z + t = y + t = Ancora col metodo delle eliminazioni successive si ottiene: x = z = t 1 y = t quindi le soluzioni del sistema hanno la forma (x, y, z, t) = (, α, α 1, α) III) λ = 3 Anche in questo caso l ultima equazione si riduce all identità = e quindi viene eliminata Si ha quindi il sistema particolare: da cui Σ 3 : x + y + z + t = 1 y z + t = y + t = x = 3t z = 1 y = t pertanto le soluzioni di Σ 3 : sono (x, y, z, t) = ( 3α, α, 1, α) Riassumiamo quanto detto precedentemente nel seguente teorema, che fornisce un criterio generale di risolubilità dei sistemi lineari 76 Capitolo VI - Sistemi lineari

9 33 Teorema (Rouché Capelli) Dato il sistema lineare Σ : AX = B, si ha: a) Σ ha soluzioni se e solo se rk(a) = rk(a, B) Nel caso in cui il sistema abbia soluzioni, posti ρ := rk(a) = rk(a, B) e n il numero delle incognite di Σ, si hanno i seguenti fatti: b) le incognite libere sono n ρ; c) le n ρ incognite libere vanno scelte in maniera tale che le restanti corrispondano a ρ colonne di A linearmente indipendenti Dimostrazione a) Osserviamo dapprima che il sistema Σ si può scrivere come x 1 C x n C n = B dove C 1,, C n sono le colonne di A Pertanto il sistema è risolubile se e solo se B è combinazione lineare di C 1,, C n se e solo se lo spazio delle colonne di A coincide con quello di (A, B) Quindi Σ è risolubile se e solo se rk(a) = rk(a, B) b) Sia Σ : A X = B il sistema ridotto ottenuto riducendo (A, B) per righe Per 4 Σ ha n rk(a ) incognite libere Essendo Σ e Σ equivalenti e rk(a) = rk(a ), ne segue la tesi c) Cambiando eventualmente l ordine delle incognite, ci si può ricondurre a provare che, posta A = (C 1,, C n ), allora x ρ+1,, x n sono libere C 1,, C ρ sono linearmente indipendenti Supponiamo dapprima che C 1,, C ρ siano linearmente indipendenti Posto A = (C 1,, C ρ ), riducendo opportunamente (A, B) per righe (scegliendo gli elementi speciali in A), permutando eventualmente le equazioni e le prime ρ incognite, tenuto conto del fatto che la matrice del sistema ottenuto è della forma: rk(a) = rk(a, B) = ρ, a 11 a 1 a 13 a 1ρ b 1 a a 3 a ρ b a 33 a 3ρ b 3 a ρρ b ρ Con il metodo dell eliminazione successiva si ha la tesi Viceversa, siano x ρ+1,, x n incognite libere e supponiamo per assurdo che C 1,, C ρ siano linearmente dipendenti Dunque la matrice A ha rango minore di ρ; pertanto riducendo opportunamente (A, B) per righe (scegliendo gli elementi speciali in A), permutando eventualmente le equazioni, la Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

10 matrice del sistema ottenuto è della forma: a 11 a 1ρ (A, B ) = a ρ 1 1 a ρ 1 ρ Poiché rk(a, B ) = rk(a, B) = ρ, esiste una riga non nulla R i di (A, B ), con i ρ L equazione corrispondente, non comprendendo le prime ρ incognite, fornisce una relazione tra x ρ+1,, x n, che pertanto non sono libere 34 Osservazione Se il sistema lineare di m equazioni in n incognite AX = B è risolubile di rango ρ, allora: i) esso è equivalente ad un sistema costituito da ρ equazioni comunque scelte fra le m equazioni iniziali, purché linearmente indipendenti; ii) l insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con R n ρ 341 Esempio Discutere il seguente sistema lineare nel parametro λ R: λx + z = 1 Σ : x + (λ 1)y + z = 1 x + (λ 1)y + 3z = Riducendo per righe la matrice completa: (A, B) = λ λ 1 1 R R R 1 1 λ 1 3 R 3 R 3 R R 3 R 3 3R 1 1 λ λ 1 3 λ 1 1 λ 1 λ λ 1 3 λ λ λ 1 3 = (A, B ) Se λ = 1, la matrice A non è ridotta, dunque bisogna completare la riduzione Se λ 1, la matrice A è ridotta e si hanno i due casi: I) λ : rk(a) = 3 = rk(a, B) una sola soluzione II) λ = : rk(a) = = rk(a, B) 1 soluzioni Le soluzioni sono dunque: I) λ 1, λ : λx + z = 1 Σ : (1 λ)x + (λ 1)y = 3 λx = dunque (per ogni λ R) il sistema ha un unica soluzione: (x, y, z) = (, 3/(λ 1), 1) z = 1 y = 3/(λ 1) x = 78 Capitolo VI - Sistemi lineari

11 II) λ = : { z = 1 x y = 3 = Quindi le soluzioni sono (x, y, z) = (α + 3, α, 1), con α R III) λ = 1 Dobbiamo completare la riduzione: (A, B ) = R 3 R 3 R { z = 1 x = y Chiaramente l ultima equazione è = 3, dunque il sistema è incompatibile 34 Esempio Verificare che i seguenti vettori di R 3 sono linearmente indipendenti: v 1 = (1, 1, ), v = (, 1, 1), v 3 = (1,, 1) e inoltre esprimere v = (1, 1, 1) come combinazione lineare di v 1, v, v 3 Osserviamo che v 1, v, v 3 sono linearmente indipendenti se e solo se il rango della matrice avente tali vettori come colonne è 3 Calcoliamo dunque tale rango: (v 1 v v 3 ) = Tale matrice è ridotta per righe ed ha 3 righe non nulle, dunque il suo rango è 3 In particolare v 1, v, v 3 sono 3 vettori indipendenti in R 3, quindi sono una base Pertanto esiste un unica terna di coefficienti x, y, z tali che xv 1 + yv + zv 3 = v per ogni v R 3 Tale terna corrisponde all unica soluzione del sistema lineare avente come matrice completa (A, B) = (v 1 v v 3 v) In questo caso particolare (A, B) = Riducendo come per righe usando la riduzione di A fatta precedentemente si ha: (A, B) da cui x + z = 1 y z = z = 1 e quindi infatti 1/(1, 1, ) + 1/(, 1, 1) + 1/(1,, 1) = (1, 1, 1) x = 1/ z = 1/ y = 1/ Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

12 343 Esempio Sia data la matrice M λ = ( ) λ 1, con λ R 1 λ Calcolare, quando esiste, M 1 λ, usando i sistemi lineari In questo caso, poiché la matrice data è, si può risolvere direttamente il sistema: ( ) ( ) ( ) λ 1 x y 1 = 1 λ z t 1 cioè λx + z = 1 x + λz = Σ : λy + t = y + λt = 1 Da cui, riducendo la matrice del sistema: λ 1 1 λ λ (A, B) = R R λr 1 1 λ λ λ 1 λ 1 1 λ 1 1 λ 1 λ 1 1 R 4 R 4 λr 3 = (A, B ) 1 λ λ λ 1 1 λ 1 Si noti che le trasformazioni di tipo D) effettuate sopra sono ammissibili per ogni λ R; infatti, se λ =, lasciano le matrici inalterate Infine è chiaro che, se 1 λ, allora la matrice (A, B ) è ridotta ed inoltre il sistema è risolubile in quanto rk(a) = rk(a, B) = 4 In tal caso esiste una sola soluzione (infatti l inversa di una matrice è unica) Poniamo dunque λ 1 e λ 1 Il sistema ridotto è: λx + z = 1 Σ (1 λ : )x = λ λy + t = (1 λ )y = 1 quindi z = 1/(1 λ ) x = λ/(1 λ ) t = λ/(1 λ ) y = 1/(1 λ ) Pertanto ( ) M 1 λ/(1 λ λ = ) 1/(1 λ ) 1/(1 λ ) λ/(1 λ ) Sia ora 1 λ =, cioè λ = ±1; la matrice (A, B ) diventa ±1 1 1 (A, B 1 ) = ±1 1 1 Dall ultima equazione segue che il sistema è incompatibile esiste (e l abbiamo ricavata) se e solo se λ ±1 Abbiamo quindi provato che M 1 λ 8 Capitolo VI - Sistemi lineari

13 4 Sistemi lineari omogenei Una classe interessante di sistemi lineari è costituita dai sistemi lineari omogenei 41 Definizione Un sistema lineare AX = B si dice omogeneo se le equazioni che lo costituiscono sono omogenee, cioè se B = 4 Osservazione Un sistema lineare omogeneo AX =, con A in R m,n, è sempre risolubile; infatti la n-upla nulla è soluzione di tutte le equazioni A tale fatto si perviene anche applicando il teorema di Rouché Capelli; infatti rk(a) = rk(a, ) Inoltre, sempre per tale teorema, la n-upla nulla è l unica soluzione se e solo se n = ρ, ove ρ denota rk(a), il rango di A 43 Teorema Sia Σ : AX = un sistema lineare omogeneo, con A R m,n Allora S Σ è un sottospazio vettoriale di R n di dimensione n rk(a) Dimostrazione Per il criterio di sottospazio vettoriale, basta provare che, se X 1, X S Σ e se λ 1, λ R, allora la combinazione lineare λ 1 X 1 + λ X appartiene a S Σ Per ipotesi AX 1 = e AX =, dunque λ 1 (AX 1 ) + λ (AX ) = Per le proprietà del prodotto e somma di matrici λ 1 (AX 1 ) + λ (AX ) = A(λ 1 X 1 + λ X ), quindi λ 1 X 1 + λ X è soluzione di AX = Pertanto S Σ è sottospazio vettoriale di R n Per il teorema di Rouché Capelli, posto come al solito ρ := rk(a), il sistema Σ ha n ρ incognite libere; proviamo che tale numero coincide con la la dimensione dello spazio S Σ, determinandone esplicitamente una base di n ρ elementi Per semplicità, supponiamo che le incognite libere siano le ultime, cioè x ρ+1,, x n ; dunque ogni soluzione ha la forma (,,, x ρ+1,, x n ) dove i ρ asterischi sono i valori di x 1,, x ρ calcolati per ogni scelta di x ρ+1,, x n Si scelga ora la (n ρ) upla x ρ+1,, x n in tutti i modi possibili nella base canonica di R n ρ e si considerino i corrispondenti elementi di S Σ : v 1 := (,,, 1,,, ) v := (,,,, 1,, ) v n ρ := (,,,,,, 1) Chiaramente la matrice che ha per righe tali vettori ha rango n ρ (in quanto le ultime n ρ colonne sono linearmente indipendenti), dunque le sue righe, cioè v 1,, v n ρ, sono linearmente indipendenti Si vede facilmente che tali vettori sono anche un sistema di generatori di S Σ e quindi sono una sua base Ciò prova che dim(s Σ ) = n ρ Per risolvere un sistema lineare omogeneo si procede, come nel caso generale, mediante la riduzione della matrice associata dei coefficienti A differenza del caso generale, poiché lo spazio delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di R n, è anche interessante determinarne una base Dalla dimostrazione di 43, si deduce un modo semplice per determinare tale base: si attribuiscono, successivamente, alle n ρ incognite libere i valori corrispondenti alla base canonica di R n ρ Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

14 431 Esempio Risolvere il seguente sistema lineare omogeneo, determinando una base del suo spazio delle soluzioni: Σ : x 1 x 3 + x 5 + x 6 = x 1 x x 3 + x 4 x 5 + x 6 = x 1 x + x 4 x 5 + x 6 = Riducendo la matrice associata A = si ottiene: A = A Si osservi che rk(a) = rk(a ) = 3 Inoltre, poiché le prime 3 colonne di A (e quindi di A) sono linearmente indipendenti, per il teorema di Rouché Capelli si possono scegliere x 4, x 5, x 6 come incognite libere Chiaramente Σ è equivalente a Σ : A X = e quindi basta risolvere Σ : x 1 x 3 + x 5 + x 6 = x x 3 x 4 + x 5 = x 3 + x 4 x 5 + x 6 = Ponendo x 4 = a, x 5 = b, x 6 = c si ottiene lo spazio delle soluzioni S Σ = {(x 1,, x 6 ) = ( a + b 3c, b c, a + b c, a, b, c) a, b, c R} Per determinare una base di S Σ basta far variare (a, b, c) tra i vettori (1,, ), (, 1, ), (,, 1) della base canonica di R 3 (in quanto qui n ρ = 6 3 = 3) ottenendo la base di S Σ : v 1 := (,, 1, 1,, ) v := ( 1, 1, 1,, 1, ) v 3 := ( 3, 1, 1,,, 1) 8 Capitolo VI - Sistemi lineari