Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013

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1 Diario delle esercitazioni e lezioni per il corso di Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 (solo la parte per Fisici e Matematici, non ci sono le lezioni del Modulo B) Lidia Stoppino Lezione 1 9 ottobre 2012 ore Richiamo del concetto di dipendenza e indipendenza lineare di un insieme di vettori. Esercizio: dati k vettori {v 1,..., v k } in uno spazio vettoriale V, essi sono linearmente indipendenti se e solo se per ogni i {1,..., k} vale che v i span {v j 1 j k, j i}. Esercizio: (1) v 1 = (1, 1, 1) e v 2 = (0, 1, 1) in R 3 sono linearmente indipendenti. (2) v 1, v 2 e v 3 = (1, 0, 1) sono una base per R 3. (3) Trovare le coordinate di v = (0, 0, 1) rispetto alla base {v 1, v 2, v 3 } (soluz. (1/3, 1/3, 1/3)). Rette in R 2 e R 3 : equazioni parametriche e cartesiane. Esercizi. Equazioni parametriche di rette in R n. Definizione di varietà lineare di dimensione h in R n. Lezione 2 16 ottobre 2012 ore Spazio E 3 O dei vettori geometrici applicati nel punto O. Corrispondenza biunivoca con i punti del piano euclideo E. Definizione e operazioni su E 3 O : è uno spazio vettoriale reale di dimensione 3. Sottospazi vettoriali propri di E 3 O : i sottospazi di dimensione 1 sono tutti della forma span{v} con v E3 O, v 0; corrispondono a rette in E che passano dal punto O. I sottospazi di dimensione 2 sono della forma span{v, w}, con v, w E 3 O coppia di vettori indipendenti; corrispondono a piani in E che passano dal punto O. Sistemi di riferimento cartesiani ortonormali (SRCO) (O, i, j, k) su E. Corrispondenza biunivoca tra E con fissato un RCO (O, i, j, k) e R 3. Corrispondenza biunivoca tra E 3 O con fissata una base {i, j, k} e R3. Rappresentazione parametrica di rette nello spazio E. Equazioni parametriche di rette in E una volta fissato un SRCO O, i, j, k. Esercizio: equazioni parametriche retta passante per Q = (1, 1, 1) con direzione v = (1, 1, 2). Retta per due punti. Esercizio: equazioni parametriche della retta passante per A = (1, 1, 1) e B = (2, 0 1). Lezione 3 23 ottobre 2012 ore Rappresentazione parametrica di piani nello spazio. Equazioni parametriche una volta fissato un SRCO O, i, j, k. Osservazione che NON sono uniche. Esercizio: scrivere le equazioni parametriche del piano passante per A = (1, 1, 2) ed avente come vettori giacitura i j e 2i + k. Piano per tre punti non allineati: come trovare delle equazioni parametriche. Esercizio: siano A = (1, 01), B = (0, 1, 1) e C = (2, 2, 2). Verificare che non sono allineati e trovare equazioni parametriche per il piano che li contiene. Esercizio: trovare le equazioni parametriche del piano per P = (1, 1, 1/2) e passante per la retta r di equazioni parametriche (1, 1, 1) + t(1, 0, 0), t R. Proiezione ortogonale di un punto di E su una retta, e di un vettore in E 3 O su una retta passante per O: definizione e verifica delle seguenti proprietà: (1) per ogni α R, per ogni r retta passante per O e per ogni OP E 3 O la proiezione ortogonale di α OP sulla retta r è αop, dove OP è la proiezione di OP su r. (2) Dati OP, OQ E 3 O e una retta r passante per O, la proiezione ortogonale del vettore somma OP + OQ su R è la somma delle proiezioni ortogonali di OP e OQ su r. Definizione del prodotto scalare u, v tra due vettori u, v E 3 O. 1

2 Osservazione importante: per ogni coppia di vettori non nulli u, v E 3 O la proiezione di v su u è il vettore u,v u u. 2 Lezione 4 25 ottobre 2012 ore Verifica delle proprietà del prodotto scalare (in particolare la bilinearità). Verifica che fissata una base ortonormale il prodotto scalare tra due vettori in E 3 O coincide con il prodotto scalare standard tra le coordinate in R 3 (definito a lezione con il prof. Benenti). Esercizio: dati i vettori u = (1, 0, 1) e v = ( 2, 1, 1), verificare che non sono ortogonali, calcolare il coseno dell angolo compreso e trovare i vettori in span{u, v} perpendicolari ad u. Esercizio: (1) dati u, v E 3 O due vettori indipendenti, dimostrare che se w E3 O è perpendicolare sia ad u sia a v allora w è perpendicolare a tutti i vettori di span{u, v}; (2) Dato y E 3 O vettore non nullo, l insieme dei vettori ortogonali a y è un piano passante per O. Distanza tra due punti A e B in E: fissato un SRCO siano (x A, y A, z A ) e (x B, y B, z B ) le coordinate di A e B rispettivamente. La distanza tra A e B è allora d(a, B) = OB OA = (xb x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2. Equazione cartesiana di piani in E: verifica che una equazione lineare della forma ax + by + cz + d = 0 rappresenta un piano in E (con fissato un SRCO) con direzione normale (a, b, c). Questo piano passa per O se e solo se d = 0. Esercizi: Scrivere l equazione cartesiana del piano: (1) con direzione normale 2i 3k passante per P = (1, 0, 0). (2) passante per A = (1, 0, 1), B = ( 2, 1/2, 0) e C = (3, 0, 2). (3) con giacitura v = (1, 2, 1) e u = (0, 0, 1) e passante per P = (1, 0, 1). Osservazione: l equazione cartesiana di un piano è unica a meno di moltiplicazione per uno scalare non nullo. Passaggio dalle equazioni parametriche alle cartesiane e viceversa. Esercizio: scrivere l equazione cartesiana del piano avente equazione parametrica x = 1 + 2s y = 1 s + 2t z = 1 + 3s + t s, t R. Definizione di angolo tra due piani: è l angolo formato dalle direzioni normali. Equazioni cartesiane di una retta in E fissato un SRCO: una retta è rappresentata da un sistema di due equazioni lineari della forma { ax + by + cz + d = 0 dove (a, b, c) e (a, b, c ) sono indipendenti. a x + b y + c z + d = 0 Lezione 5 30 ottobre 2012 ore Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa per la retta. Esercizi: (1) scrivere delle equazioni cartesiane per la retta con direzione (1, 1, 2) passante per P = (1/2, 2, 3). (2) Scrivere delle equazioni parametriche per la retta di equazioni cartesiane y + 2z 1 = x + y + z + 2 = 0. (3) Consideriamo la coppia di equazioni lineari dipendenti da un parametro reale α: (α 1)x+y +z +1 = 2y +(α+1)z +α = 0. Stabilire per quali valori di α rappresentano una retta. Posizioni reciproche di rette e piani. Due piani π, π in E possono essere: paralleli (sse hanno la stessa direzione normale). In questo caso possono essere: coincidenti π = π ; 2

3 disgiunti π π =. incidenti (sse hanno diverse direzioni normali). π π = r, r retta. Se fissiamo un SRCO e prendiamo le equazioni cartesiane π : ax+by +cz +d = 0 e π : a x+b y +c z +d = 0, π e π sono paralleli se e solo se (a, b, c) = k(a, b, c ) per qualche k R. In questo caso, sono coincidenti se e solo se vale anche che d = kd. Esercizio: stabilire la posizione reciproca dei piani pi : x + y + z + 1 = 0 e π di equazioni parametriche x = t + 2s + 3 y = t + s z = s + 4 Posizione reciproca di due rette r, r in E: possono essere s, t R. Complanari: π piano tale che r, r π. In questo caso possono essere: parallele (coincidenti r = r oppure disgiunte r r = ) incidenti r r = P, P punto in E. non complanari: sghembe. Vale che r r = Esempio di rette sghembe: dati due piani paralleli disgiunti π e π, se prendiamo due rette r π e r π con direzioni diverse, queste rette sono sghembe. Esercizio: siano v, w, u E 3 O tre vettori linearmente indipendenti. Dimostrare che le rette r = span{u} e s = v + span{w} sono sghembe. Esercizio: stabilire la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette, e -se esiste- una equazione cartesiana del piano che le contiene { x y + z = 1 2x + z = 2 { x 2y + 2z + 1 = 0 3x + 2z = 0 { x 2z + 2 = 0 s : x + y + z 3 = 0 x = 2k + 1 s : y = k + 1 k R. z = 3k + 1 Lezione 6 6 novembre 2012 ore Posizione reciproca retta-piano: un piano π con vettori giacitura u, w e una retta r con vettore direzione v in E possono essere incidenti: se v span{u, w}. paralleli: se v span{u, w}. Esercizio: stabilire la posizione reciproca del piano di equazione cartesiana x + y + z = 0 con la retta di equazioni { x y + 1 = 0 z + 2y + 2 = 0 Fasci di piani: data una retta r il fascio di piani con supposto r è l insieme dei piani di E contenenti r. Fissato un SRCO se r ha equazioni cartesiane { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 3

4 Dimostrazione che il fascio di piani di supposto r si rappresenta con l equazione λ(ax + by + cz + d) + µ(a x + b y + c z + d ) = 0, al variare di (λ, µ) R 2 \ {(0, 0)}. Fascio improprio di piani: piani paralleli ad un piano dato (o ortogonali ad una direzione data). Fissato un SRCO, dato un vettore non nullo (α, β, γ), il fascio improprio di piani paralleli al piano αx + βy + γz = 0, ovvero ortogonali al vettore (α, β, γ), si rappresenta con l equazione Esercizi sui fasci di piani. αx + βy + γz + d = 0, al variare di d R. Lezione 7 13 novembre 2012 ore Distanze tra oggetti nello spazio. Dati due oggetti geometrici S, T E, la distanza tra loro si definisce come d(s, T ) := inf{d(p, Q), P S, Q T } SE questo estremo inferiore esiste. Distanza tra un punto P e un piano π: sia P la proiezione ortogonale di P su π. Verifica che d(p, π) = d(p, P ). Fissato un SRCO, sia ax + by + cz + d = 0 una equazione cartesiana per π e siano (x P, y P, z P ) le coordinate di P. Verifica che vale la formula: d(p, π) = ax P + by P + cz P + d a2 + b 2 + c 2. Distanza di un punto P da una retta r: verifica che coincide con la distanza di P dalla sua proiezione ortogonale su r. Distanza tra due rette r ed s: se sono complanari e coincidenti è zero, se sono parallele è la distanza di un qualunque punto di r da s. Se sono sghembe: Esercizio: date due rette sghembe r, s esiste un unica retta t ortogonale ad entrambe e ad entrambe incidente: allora verifichiamo che d(r, s) = d(p, Q) dove P = r t e Q = s t. Osservazione importante: sia π l unico piano passante per r e parallelo ad s. Allora d(r, s) = d(s, π), dove S è un qualunque punto di s. Esercizio: calcolare la distanza delle coppie di rette sghembe viste nella lezione 5. Lezione 8 20 novembre 2012 ore Verifica della formula per la distanza di rette sghembe. Risoluzione dei seguenti esercizi: 1) Nello spazio E con fissato un SRCO, si considerino i punti P 1 = (1, 3, 1), P 2 = (0, 6, 6) e P 3 = (2, 1,?2). (a) Determinare il piano euclideo π passante per i punti P 1, P 2 e P 3. Qual è la giacitura del piano π? (b) Determinare la retta r perpendicolare al piano π passante per il punto A = ( 1, 0, 5). (c) Studiare, al variare del parametro reale k, la posizione reciproca della retta r e della retta s k { x + (1 k)z = 0 s k : y + (2 k 2 )z = 0 (d) Calcolare la distanza fra le rette r e s 0. 2) Nello spazio E con fissato un SRCO, siano dati il piano π α e la retta r β, dipendenti dai parametri reali α, β R, di equazioni π α : αx + αy + z 2 = 0 r β : x = 1 + t y = 2t z = 2 βt 4

5 Stabilire per quali valori dei parametri reali α e β (a) il piano π α e la retta r β sono incidenti; (b) la retta r β è contenuta nel piano π α ; (c) la retta r β è parallela al piano π α ; (d) la retta r β è perpendicolare al piano π α. Si ponga poi α = 1 e β = 3. Calcolare la distanza fra la retta r 3 e il piano π 1. Lezione 9 27 novembre 2012 ore Risoluzione degli esercizi lasciati in classe dal Prof. Benenti nelle lezioni 1 9 (si veda il diario delle lezioni alla pagina CONTINUA... 5