Autovalori ed autovettori di un endomorfismo

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1 Autovalori ed autovettori di un endomorfismo Endomorfismo = applicazione (funzione) lineare da un spazio vettoriale V in sé stesso 1. Data una funzione lineare, scriverne la matrice associata dei coefficienti: f : R 2 R 2 f x, y = x y, y A= Sottrarre alla matrice associata, λi: A = 1 1 I 0 1 = Sviluppare il determinante di A λ che dà il polinomio caratteristico: det A = Trovare le radici del polinomio caratteristico per trovare gli autovalori. { 1 =0 =1 1 Autovalori di f 1 =0 2 = 1 5. Sostituire nella matrice A λ i valori di λ trovati per ricavare gli autovettori: A = con 1 =1 A 1 = { y=0 2y=0 x libera, y=0 Autovettore di λ 1 = (1,0) A = con 2= 1 A 2 = {2x y=0 xlibera, y= 2x Autovettore di λ 2 = (1, 2) Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 1

2 f : R 3 R 3 f x, y, z = z,0,3 z 1. Scrivo la matrice dei coefficienti A= Esempio di endomorfismo 3x3 2. Sottraggo λ sulla diagonale A = det A = 3 { =0 1 2 =3 3. Sostituisco λ 1 nella matrice A λ : A 1 = z= { z=0 x e y libere, z=0 Quando ho variabili libere, metto una di loro a 1 e le altre libere a 0 e ripeto l'operazione per tutte le variabili libere: Autovettori di 1 = 1,0,0 0,1,0 Autospazio di dimensione 2 4. Sostituisco λ 2 nella matrice A λ : A 1 = { 3x z=0 3y=0 z=3x, y=0,x libera Autovettore di 2 = 1,0,3 Autospazio di dimensione 1 Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 2

3 Matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto ad una base f 1,3 = 1,0 f 1,0 = 3,5 1. Rappresentare le relazioni rispetto alle basi canoniche in un sistema: { x 3y= 1,0 x= 3,5 x= 3, 5 sostituisconella prima 3, 5 3y= 1,0 3y= 1,0 3, 5 y= 4 3, x ed y trovati rappresentano le due colonne della matrice associata all'endomorfismo T = Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 3

4 Cambio di base per una funzione lineare Data la funzione (espressa secondo le basi canoniche): f : R 2 R 3 Rappresentata dalla matrice: A= Voglio cambiare la base del dominio e del codominio: Nuova base per dominio: (1, 1) e ( 1, 2) Nuova base per codominio: (0, 0, 2) e (1, 0, 1) e (1, 1, 0) 1. Scrivo le matrici associate alle nuove basi (prendo come colonne i vettori): B dom = 1 1 B 1 2 = cod Calcolo la matrice inversa del codominio: det B cod =2 = = B trasposta cod B complementi algebrici = B inversa Matrice A' che esprime la funzione con le nuove basi: A '=B inversa A B dom NOTA BENE! La formula di cambiamento di base vale anche se si vuole cambiare solo la base del dominio o del codominio: Cambiamento della base del solo dominio: A '= A B dom Cambiamento della base del solo codominio: A '=B inversa A Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 4

5 Dato il sistema: Risoluzione di sistemi di equazioni con matrice associata {x 2y=5 x 2y 3z= 2 2y 3z 4t= 11 3z 4t=15 1. Scrivere la matrice completa associata al sistema, separando con una linea verticale i coefficienti dai termini noti: A B = N.B = La matrice A(dei coefficienti) si ottiene dalla matrice completa considerando solo i valori alla sinistra della linea verticale La matrice B(dei termini noti) si ottiene dalla matrice completa considerando solo i valori a destra della linea verticale. 2. Ridurre la matrice per righe (meglio in forma triangolare) per ottenere (A B)': A B '= Il sistema ammette soluzione se e solo se rango(a) = rango(a B) Numero delle incognite libere = n ρ(a) in cui: n numero di colonne della matrice ρ(a) rango della matrice A Se il sistema ha incognite libere si scrive che ha n ρ(a) soluzioni. 4. Scrivere le equazioni dalla matrice A', partendo dal fondo e risalendo, ricordandosi che i numeri alla destra della linea verticale sono i termini noti (operare col metodo per sostituzione): 4t=12 t =3 3z=3 z= 1 2y 3z 4t= 11 2y 3 12= 11 x 2y=5 x=1 y= 2 Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 5

6 Risoluzione di sistemi di equazioni con parametro con matrice associata Data la funzione: f : R 3 R 4 f x, y, z = 2k x y, y k z, x y z, x y Stabilire per quali valori del parametro k, il vettore v=(3,3,1,0) appartiene all'immagine di f. 1. Scrivere la matrice associata completa (ridurla se possibile): A v = 2 k k Affinché il sistema sia risolvibile bisogna avere ρ(a) = ρ(a v) Il rango della matrice A é 3, quindi per fare in modo che lo sia anche quello di (A v), bisogna imporre il determinante di (A v) = Calcolo del determinante della matrice completa (si trova il polinomio caratteristico): det A v = k 3 1 2k k = = 1 [ k k ] 1 [2k k 3 3k] = = 1 [ k 3 3 3k] 1 [2 k 2 6k 3 k] = = 2k 2 k 6 3. Trovando le radici del polinomio caratteristico si trovano i valori di k che rendono il rango della matrice (A v) uguale al rango della matrice (A). k 1,2 = 1± = 1±7 4 { k 1=2 k 2 = 3 2 Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 6

7 Tabella di riconoscimento delle coniche Data una conica: Si rappresenta mediante le matrici: a x 2 2b xy c y 2 2d x 2 e y f =0 I 3 = det a b d b c e d e f Invariante cubico I 2 = det a b b c = ac b2 Invariante quadratico I 1 = Tr a b b c = a c Invariante lineare I 3 = 0 (conica degenere) I 2 < 0 (iperbole degenere) due rette reali distinte e incidenti. (Se I 1 = 0 le due rette sono ortogonali) I 2 = 0 (parabola degenere) Rango(I 3 ) = 2 coppie di rette reali distinte o complesse coniugate senza punti comuni Rango(I 3 ) = 1 coppia di rette reali coincidenti I 2 > 0 (ellisse degenere) due rette immaginarie coniugate non parallele un punto reale I 3 0 (conica non degenere) I 2 < 0 I 1 = 0 iperbole equilatera I 1 0 iperbole non equilatera I 2 = 0 parabola I 2 > 0 I 1 I 3 < 0 ellisse reale I 1 I 3 > 0 ellisse immaginaria Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 7

8 Coniche: riduzione a forma canonica Utilizzare i valori trovati con la tabella di riconoscimento delle coniche. Gli autovalori λ 1 e λ 2 bisogna trovarli nella matrice I 2. Se è ellisse o iperbole: B= t det B = 1 2 t Imporre det(b) = det(i 3 ) per trovare t. Equazione: 1 x 2 2 y 2 t=0 Dividere tutto per t per ottenere l'equazione finale. Se è parabola B= t 0 t 0 det B = t 2 Imporre det(b) = det(i 3 ) per trovare t. Equazione: x 2 2t y=0 Dividere tutto per t per ottenere l'equazione finale. Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 8

9 Tabella di riconoscimento delle quadriche Data una quadrica: a 11 x 2 2a 12 xy 2a 13 xz a 22 y 2 2 a 23 yz a 33 z 2 2 a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 =0 Si rappresenta mediante le due matrici associate: N.B. Se il determinante di A è ZERO, la quadrica si dice degenere o riducibile Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 9

10 Quadriche: riduzione a forma canonica Utilizzare i valori trovati con la tabella di riconoscimento delle quadriche. Se è ellissoide o iperboloide C= t det C = t Imporre det(c) = det(a) per trovare t. Equazione: 1 x 2 2 y 2 3 z 2 t =0 Dividere tutto per t per ottenere l'equazione finale. Se è paraboloide C= t 0 0 t det C = 1 2 t 2 Imporre det(c) = det(a) per trovare t (negativo). Equazione: x 2 2 y 2 2t z=0 Dividere tutto per t per ottenere l'equazione finale. Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 10

11 Diagonalizzabilità di una matrice A= Trovare gli autovalori e il polinomio caratteristico = A det A = det A = Gli autovalori sono: ` { 1=3 molteplicità=1 2 =1 molteplicità=1 3 =2 molteplicità=1 Se il polinomio caratteristico ha n radici distinte (ciascuna con molteplicità = 1) é diagonalizzabile (vai al punto 2). Se la somma delle molteplicità algebriche delle radici del polinomio caratteristico é minore di n, allora la matrice non é diagonalizzabile 2. Trovo gli autovettori di A λ, sostituendo a λ nella matrice ogni autovalore A 1 = = { 2x 2y=0 2y z=0 z= 2y, x= y, y libera A 2 = A 3 = x 4y z= { 2y= { x 2y=0 y= x 4y=0 Autovettore di λ 1 : (1, 1, 2) Autovettore di λ 2 : (1, 0, 2) Autovettore di λ 3 : (0, 0, 1) 2x z=0 z= 2x, y=0, x libera x= y=0, z libera Le incognite libere si pongono sempre a 1. Se sono di piu', quando se ne pone una ad 1, porre le altre a 0 e ripetere il procedimento fino all'ultima incognita Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 11

12 3. Matrice di cambiamento di base fatta con gli autovettori presi come colonne: P= det P = 1 diverso da0 I 3 vettori sonoindipendenti 4. Calcolo della matrice inversa di P: = = P T P T CA P 1 = in cui: P T =Trasposta di P P T CA = Matrice dei complementi algebrici della trasposta P 1 =Matrice inversa di P 5. Diagonalizzazione con la formula P -1 AP: P 1 A P= = La matrice finale deve essere diagonale e contenere tutti gli autovalori, ciascuno con la sua molteplicità. Triangolarizzazione Input = matrice di m righe ed n colonne Output = matrice di m righe ed n colonne triangolare superiore 1. Annullare il 1 elemento di tutte le righe a partire dalla 2^ (2,3,4...) sommando o sottraendo ad esse opportuni multipli della 1^ riga 2. Annullare il 2 elemento di tutte le righe a partire dalla 3^ (3,4,5,...) sommando o sottraendo ad esse opportuni multipli della 2^ riga 3. Annullare il 3 elemento di tutte le righe a partire dalla 4^ (4,5,6...) sommando o sottraendo ad esse opportuni multipli della 3^ riga 4. e così via... Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 12

13 Date due circonferenze: { 1 : x 2 y 2 a 1 x b 1 y c 1 =0 2 : x 2 y 2 a 2 x b 2 y c 2 =0 Punti di intersezione tra 2 circonferenze Retta di intersezione tra le circonferenze 1. Trovo i due centri C 1 = a 1 2 ; b 1 2 C 2 = a 2 2 ; b Trovo il vettore di differenza C1 C2 delle due circonferenze C 1 C 2 = a a 1 2 ; b b Scrivo il nuovo sistema, lasciando identica la prima equazione e scrivendo la seconda equazione come differenza delle due circonferenze: { x2 y 2 a 1 x b 1 y c 1 =0 a 1 a 2 x b 1 b 2 y c 1 c 2 =0 Asse radicale Retta di differenza C1 C2 N.B. I coefficienti di x ed y dell'asse radicale rappresentano il vettore ortogonale ad esso 4. Per risolvere il sistema, dalla seconda equazione ricavare y e sostituirlo nella prima equazione. Effettuare i conti e trovare i due punti x 1 ed x Per trovare le coordinate y 1 e y 2, basta sostituire i valori di x trovati dalla prima equazione, nella seconda equazione. Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 13

14 Data una circonferenza: : x 2 y 2 2 x 3 y=0 ed un punto: P 1 = i, j Tangenti ad una circonferenza da un punto 1. Trovare le coordinate del centro della circonferenza Centro= 2 2 ; ; Trovare il raggio (si ottiene elevando entrambe le coordinate del centro alla seconda e sommandole. Il tutto va messo sotto radice quadrata) Raggio = a2 4 b2 4 c = Trovare la distanza del punto dal centro della circonferenza: distanza= 1 i j Si hanno i seguenti 3 casi possibili: Distanza < Raggio non esiste nessuna tangente (Punto interno alla circonferenza) Distanza = Raggio esiste una sola tangente (Punto della circonferenza) Distanza > Raggio esistono due tangenti (Punto esterno alla circonferenza) Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 14

15 Distanza >= Raggio Circonferenza: x 2 y 2 = 1 Centro: 0;0 Raggio:1 P 0 : 0 ;2 distanza: 4=2 ci sono 2 tangenti 1. Si fa il fascio di rette per P 0 (x 0 ; y 0 ) x x 0 y y 0 =0 x y 2 =0 2. Si imposta la distanza del fascio dal centro C(x 0,y 0 ) uguale al raggio: a x 0 b y 0 c =R a 2 b =1 3 2 = 2 3. Si sceglie μ a piacere (diverso da zero) e si calcola λ di conseguenza o viceversa scelgo μ=1 sostituisco e ottengo: 2 =3 =± 3 4. Nell'equazione del fascio si sostituiscono i valori trovati: =1 = 3 tangente 1: 3 x y 2=0 =1 = 3 tangente 2: 3 x y 2=0 Fascio di circonferenze 1 : x 2 y 2 a 1 x b 1 y c 1 =0 2 : x 2 y 2 a 2 x b 2 y c 2 =0 1. Fascio come combinazione lineare delle due circonferenze: x 2 y 2 a 1 a 2 x b 1 b 2 y c 1 c 2 =0 Aleksandar Gotev Regole pratiche per Geometria ed Algebra Lineare 15