INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

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1 1 / 31 INTRODUZIONE ALLA STATISTICA A.A.2017/2018

2 Perchè studiare la statistica 2 / 31 Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete.

3 Perchè studiare la statistica Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete. Ci si pone spesso delle domande a cui non è facile dare un immediata risposta. 2 / 31

4 Perchè studiare la statistica Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete. Ci si pone spesso delle domande a cui non è facile dare un immediata risposta. 1) Come possiamo verificare le evidenze riguardanti il riscaldamento globale? 2 / 31

5 Perchè studiare la statistica Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete. Ci si pone spesso delle domande a cui non è facile dare un immediata risposta. 1) Come possiamo verificare le evidenze riguardanti il riscaldamento globale? 2) In quanto tempo si arriverà all estinzione di alcune specie animali? 2 / 31

6 Perchè studiare la statistica Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete. Ci si pone spesso delle domande a cui non è facile dare un immediata risposta. 1) Come possiamo verificare le evidenze riguardanti il riscaldamento globale? 2) In quanto tempo si arriverà all estinzione di alcune specie animali? 3) I telefoni cellulari sono dannosi per la salute? 2 / 31

7 Perchè studiare la statistica Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete. Ci si pone spesso delle domande a cui non è facile dare un immediata risposta. 1) Come possiamo verificare le evidenze riguardanti il riscaldamento globale? 2) In quanto tempo si arriverà all estinzione di alcune specie animali? 3) I telefoni cellulari sono dannosi per la salute? 4) Quanto é probabile che un farmaco abbia degli effetti benefici su dei pazienti? 2 / 31

8 Perchè studiare la statistica Le decisioni quotidiane sono spesso basate su informazioni incomplete. Ci si pone spesso delle domande a cui non è facile dare un immediata risposta. 1) Come possiamo verificare le evidenze riguardanti il riscaldamento globale? 2) In quanto tempo si arriverà all estinzione di alcune specie animali? 3) I telefoni cellulari sono dannosi per la salute? 4) Quanto é probabile che un farmaco abbia degli effetti benefici su dei pazienti? La statistica si pone l obbiettivo di rispondere a quesiti di questo tipo. 2 / 31

9 Perchè studiare la statistica 3 / 31 Nel mondo della ricerca scientifica e sperimentale, dalla medicina fino alle scienze naturali, l utilizzo e la conoscenza dei metodi statistici è indispensabile sia per una migliore gestione delle risorse che per avere uno strumento di indagine efficace.

10 Perchè studiare la statistica 3 / 31 Nel mondo della ricerca scientifica e sperimentale, dalla medicina fino alle scienze naturali, l utilizzo e la conoscenza dei metodi statistici è indispensabile sia per una migliore gestione delle risorse che per avere uno strumento di indagine efficace. Ad esempio per la pubblicazione dei risultati di una ricerca su una rivista scientifica è fondamentale la presentazione dei dati e la loro elaborazione in base a criteri statistici universalmente validi.

11 Perchè studiare la statistica 3 / 31 Nel mondo della ricerca scientifica e sperimentale, dalla medicina fino alle scienze naturali, l utilizzo e la conoscenza dei metodi statistici è indispensabile sia per una migliore gestione delle risorse che per avere uno strumento di indagine efficace. Ad esempio per la pubblicazione dei risultati di una ricerca su una rivista scientifica è fondamentale la presentazione dei dati e la loro elaborazione in base a criteri statistici universalmente validi. Per quanto riguarda le scienze mediche la statistica è utilizzata per studiare l incidenza di malattie nella popolazione (si parla di epidemiologia), gli effetti di una nuova terapia su un gruppo di pazienti, l associazione tra fattori particolari e diversi problemi di tipo sanitario.

12 Statistica 4 / 31 La statistica è l arte e la scienza del disegno e di studi e dell analisi dei dati che tali studi producono.

13 Statistica 4 / 31 La statistica è l arte e la scienza del disegno e di studi e dell analisi dei dati che tali studi producono. Il suo obiettivo finale è la traduzione dei dati per descrivere e capire il mondo che ci circonda.

14 Statistica 4 / 31 La statistica è l arte e la scienza del disegno e di studi e dell analisi dei dati che tali studi producono. Il suo obiettivo finale è la traduzione dei dati per descrivere e capire il mondo che ci circonda. Dati : Informazioni raccolte attraverso esperimenti e indagini.

15 I passi della statistica 5 / 31 Disegno: pianificazione della raccolta dei dati per rispondere adeguatamente alle domande oggetto di interesse.

16 I passi della statistica 5 / 31 Disegno: pianificazione della raccolta dei dati per rispondere adeguatamente alle domande oggetto di interesse. Statistica descrittiva: identificazione e sintesi dei dati per una completa visione delle informazioni a disposizione.

17 I passi della statistica 5 / 31 Disegno: pianificazione della raccolta dei dati per rispondere adeguatamente alle domande oggetto di interesse. Statistica descrittiva: identificazione e sintesi dei dati per una completa visione delle informazioni a disposizione. Inferenza: prendere decisioni e fare previsioni generali sulla base dei dati osservati.

18 Campione vs. popolazione 6 / 31 Unità statistiche o soggetti: sono le entità che misuriamo in uno studio.

19 Campione vs. popolazione 6 / 31 Unità statistiche o soggetti: sono le entità che misuriamo in uno studio. Popolazione: è l insieme di tutte le unità statistiche a cui siamo interessati. - indicheremo con N la sua numerosità.

20 Campione vs. popolazione 6 / 31 Unità statistiche o soggetti: sono le entità che misuriamo in uno studio. Popolazione: è l insieme di tutte le unità statistiche a cui siamo interessati. - indicheremo con N la sua numerosità. Campione: è un sottoinsieme della popolazione di cui abbiamo (o pianifichiamo di avere) dati a disposizione, spesso selezionato casualmente. - indicheremo con n la sua numerosità.

21 Campione vs. popolazione 7 / 31

22 Campione vs. popolazione 8 / 31 Popolazione Parametro Sintesi numerica della popolazione µ = media della popolazione

23 Campione vs. popolazione 8 / 31 Popolazione Parametro Campione Statistica Sintesi numerica della popolazione µ = media della popolazione Sintesi numerica del campione x = media del campione

24 Campionamento casuale Il campionamento casuale consente di rendere i campioni rappresentativi della popolazione. In un campione casuale: Ciascun soggetto della popolazione è scelto rigorosamente a caso 9 / 31

25 Campionamento casuale Il campionamento casuale consente di rendere i campioni rappresentativi della popolazione. In un campione casuale: Ciascun soggetto della popolazione è scelto rigorosamente a caso Ciascun soggetto della popolazione ha la stessa probabilità di essere scelto 9 / 31

26 Campionamento casuale Il campionamento casuale consente di rendere i campioni rappresentativi della popolazione. In un campione casuale: Ciascun soggetto della popolazione è scelto rigorosamente a caso Ciascun soggetto della popolazione ha la stessa probabilità di essere scelto Ogni possibile campione di dimensione assegnata n ha la stessa probabilità di essere selezionato. 9 / 31

27 Statistica descrittiva 10 / 31 Collezionare dati

28 Statistica descrittiva 10 / 31 Collezionare dati - Esempio: registrare i parametri vitali dei pazienti degli ospedali italiani in un certo mese

29 Statistica descrittiva 10 / 31 Collezionare dati - Esempio: registrare i parametri vitali dei pazienti degli ospedali italiani in un certo mese Presentare i dati

30 Statistica descrittiva 10 / 31 Collezionare dati - Esempio: registrare i parametri vitali dei pazienti degli ospedali italiani in un certo mese Presentare i dati - Esempio: tabelle e grafici

31 Statistica descrittiva 10 / 31 Collezionare dati - Esempio: registrare i parametri vitali dei pazienti degli ospedali italiani in un certo mese Presentare i dati - Esempio: tabelle e grafici Sintetizzare i dati

32 Statistica descrittiva 10 / 31 Collezionare dati - Esempio: registrare i parametri vitali dei pazienti degli ospedali italiani in un certo mese Presentare i dati - Esempio: tabelle e grafici Sintetizzare i dati - Esempio: calcolo della media campionaria

33 11 / 31 Statistica inferenziale Si cerca di individuare informazioni sui parametri (incogniti) della popolazione.

34 11 / 31 Statistica inferenziale Si cerca di individuare informazioni sui parametri (incogniti) della popolazione.

35 Metodi della statistica inferenziale 12 / 31 Stima Ad esempio stimare il tempo medio di vita di un gruppo di cavie sottoposte a un nuovo farmaco.

36 Metodi della statistica inferenziale 12 / 31 Stima Ad esempio stimare il tempo medio di vita di un gruppo di cavie sottoposte a un nuovo farmaco. Verifica delle ipotesi Ad esempio verificare l affermazione che il tempo medio di vita di un gruppo di cavie sottoposte a una terapia medica risulta maggiore, uguale o inferiore al tempo medio di vita di una popolazione sottoposta a un farmaco placebo.

37 Variabili 13 / 31 Una variabile è una caratteristica oggetto di osservazione in uno studio.

38 Variabili 13 / 31 Una variabile è una caratteristica oggetto di osservazione in uno studio. Il termine variabile indica che i valori assunti dai dati sono soggetti a variazione.

39 Variabili 13 / 31 Una variabile è una caratteristica oggetto di osservazione in uno studio. Il termine variabile indica che i valori assunti dai dati sono soggetti a variazione. I valori assunti da una variabile prendono il nome di modalità o di osservazioni.

40 14 / 31 Tipologie di dati Una variabile è qualitativa (o categorica) se ciascuna osservazione appartiene ad un insieme di possibili categorie. Una variabile qualitativa può a sua volta essere

41 Tipologie di dati 14 / 31 Una variabile è qualitativa (o categorica) se ciascuna osservazione appartiene ad un insieme di possibili categorie. Una variabile qualitativa può a sua volta essere 1) Nominale: le modalità identificano delle categorie, cioè delle caratteristiche o qualità del soggetto.

42 Tipologie di dati 14 / 31 Una variabile è qualitativa (o categorica) se ciascuna osservazione appartiene ad un insieme di possibili categorie. Una variabile qualitativa può a sua volta essere 1) Nominale: le modalità identificano delle categorie, cioè delle caratteristiche o qualità del soggetto. Esempio: Genere (maschio o femmina), Malato (si, no), colore degli occhi (blu, verdi, castani..).

43 Tipologie di dati 14 / 31 Una variabile è qualitativa (o categorica) se ciascuna osservazione appartiene ad un insieme di possibili categorie. Una variabile qualitativa può a sua volta essere 1) Nominale: le modalità identificano delle categorie, cioè delle caratteristiche o qualità del soggetto. Esempio: Genere (maschio o femmina), Malato (si, no), colore degli occhi (blu, verdi, castani..). 2) Ordinale: le modalità identificano delle categorie che possono essere messe in una qualche relazione d ordine o gerarchica; esiste cioè un ordine intrinseco fra esse.

44 Tipologie di dati 14 / 31 Una variabile è qualitativa (o categorica) se ciascuna osservazione appartiene ad un insieme di possibili categorie. Una variabile qualitativa può a sua volta essere 1) Nominale: le modalità identificano delle categorie, cioè delle caratteristiche o qualità del soggetto. Esempio: Genere (maschio o femmina), Malato (si, no), colore degli occhi (blu, verdi, castani..). 2) Ordinale: le modalità identificano delle categorie che possono essere messe in una qualche relazione d ordine o gerarchica; esiste cioè un ordine intrinseco fra esse. Esempio: fasi d età (neonato, bambino,adulto), titolo di studio (elementare, superiore, specializzato)

45 15 / 31 Tipologie di dati Una variabile è quantitativa se le osservazioni assumono valori numerici cui corrispondono diversi ordini di grandezza della variabile stessa.

46 15 / 31 Tipologie di dati Una variabile è quantitativa se le osservazioni assumono valori numerici cui corrispondono diversi ordini di grandezza della variabile stessa. Sulla base della natura dei nati si possono distinguere variabili:

47 15 / 31 Tipologie di dati Una variabile è quantitativa se le osservazioni assumono valori numerici cui corrispondono diversi ordini di grandezza della variabile stessa. Sulla base della natura dei nati si possono distinguere variabili: 1) Discrete: le modalità che possono essere assunte costituiscono un insieme di numeri distinti, come 0,1,2,3....

48 15 / 31 Tipologie di dati Una variabile è quantitativa se le osservazioni assumono valori numerici cui corrispondono diversi ordini di grandezza della variabile stessa. Sulla base della natura dei nati si possono distinguere variabili: 1) Discrete: le modalità che possono essere assunte costituiscono un insieme di numeri distinti, come 0,1,2,3.... Esempio: Numero di pazienti trattati nei diversi mesi dell anno, numerodi trattamenti medici.

49 15 / 31 Tipologie di dati Una variabile è quantitativa se le osservazioni assumono valori numerici cui corrispondono diversi ordini di grandezza della variabile stessa. Sulla base della natura dei nati si possono distinguere variabili: 1) Discrete: le modalità che possono essere assunte costituiscono un insieme di numeri distinti, come 0,1,2,3.... Esempio: Numero di pazienti trattati nei diversi mesi dell anno, numerodi trattamenti medici. 2) Continue: le modalità che possono essere assunte costituiscono un intervallo.

50 15 / 31 Tipologie di dati Una variabile è quantitativa se le osservazioni assumono valori numerici cui corrispondono diversi ordini di grandezza della variabile stessa. Sulla base della natura dei nati si possono distinguere variabili: 1) Discrete: le modalità che possono essere assunte costituiscono un insieme di numeri distinti, come 0,1,2,3.... Esempio: Numero di pazienti trattati nei diversi mesi dell anno, numerodi trattamenti medici. 2) Continue: le modalità che possono essere assunte costituiscono un intervallo. Esempio: pressione sanguigna, età, dose di farmaco assunta.

51 Dati 16 / 31 I dati sono usualmente organizzati in delle tabelle. Ciascuna delle righe del dataset rappresenta le caratteristiche di ogni singola unità statistica mentre, ogni colonna contiene i valori (modalità) di ciascuna delle variabili:

52 Dati 16 / 31 I dati sono usualmente organizzati in delle tabelle. Ciascuna delle righe del dataset rappresenta le caratteristiche di ogni singola unità statistica mentre, ogni colonna contiene i valori (modalità) di ciascuna delle variabili: Unità Altezza (cm) Peso (kg) Colore capelli C R C Table: Dataset 3 donne. Le modalità del colore dei capelli sono: C (castano), R (rosso).

53 Dati 17 / 31 Guardando i dati grezzi spesso non ci si rende conto delle informazioni in essi contenuti.

54 Dati 17 / 31 Guardando i dati grezzi spesso non ci si rende conto delle informazioni in essi contenuti. Sono necessari degli strumenti di sintesi: Tabelle

55 Dati 17 / 31 Guardando i dati grezzi spesso non ci si rende conto delle informazioni in essi contenuti. Sono necessari degli strumenti di sintesi: Tabelle Grafici

56 Dati 17 / 31 Guardando i dati grezzi spesso non ci si rende conto delle informazioni in essi contenuti. Sono necessari degli strumenti di sintesi: Tabelle Grafici Per ogni tipologia di dato esistono adeguate rappresentazioni grafiche.

57 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative

58 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza

59 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre

60 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre Diagramma a torta

61 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre Diagramma a torta

62 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Variabili quantitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre Diagramma a torta

63 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza Variabili quantitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre Diagramma a torta

64 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre Variabili quantitative Distribuzione di frequenza Istogramma Diagramma a torta

65 Grafici 18 / 31 Variabili qualitative Distribuzione di frequenza Diagramma a barre Diagramma a torta Variabili quantitative Distribuzione di frequenza Istogramma Boxplot

66 Tabella di frequenza 19 / 31 Una tabella di frequenza è l elenco di tutti i possibili valori assunti da una categoria della variabile, corredato dal numero di volte in cui ciascuna categoria è stata osservata.

67 Tabella di frequenza 19 / 31 Una tabella di frequenza è l elenco di tutti i possibili valori assunti da una categoria della variabile, corredato dal numero di volte in cui ciascuna categoria è stata osservata. In una tabella di frequenze i dati sono raggruppati in classi o categorie.

68 Tabella di frequenza 19 / 31 Una tabella di frequenza è l elenco di tutti i possibili valori assunti da una categoria della variabile, corredato dal numero di volte in cui ciascuna categoria è stata osservata. In una tabella di frequenze i dati sono raggruppati in classi o categorie. Si possono distinguere 3 diversi modi per contare quante volte è stata osservata ogni singola classe:

69 Tabella di frequenza 19 / 31 Una tabella di frequenza è l elenco di tutti i possibili valori assunti da una categoria della variabile, corredato dal numero di volte in cui ciascuna categoria è stata osservata. In una tabella di frequenze i dati sono raggruppati in classi o categorie. Si possono distinguere 3 diversi modi per contare quante volte è stata osservata ogni singola classe: 1) Frequenza assoluta: conta il numero effettivo di volte in cui si manifesta una categoria (n i )

70 Tabella di frequenza 19 / 31 Una tabella di frequenza è l elenco di tutti i possibili valori assunti da una categoria della variabile, corredato dal numero di volte in cui ciascuna categoria è stata osservata. In una tabella di frequenze i dati sono raggruppati in classi o categorie. Si possono distinguere 3 diversi modi per contare quante volte è stata osservata ogni singola classe: 1) Frequenza assoluta: conta il numero effettivo di volte in cui si manifesta una categoria (n i ) 2) Frequenza relativa o proporzione: è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di osservazioni in una categoria e il numero totale di osservazioni f i = n i n, i = 1,...,k, 0 f i 1, k i=1 f i = 1

71 Tabella di frequenza Una tabella di frequenza è l elenco di tutti i possibili valori assunti da una categoria della variabile, corredato dal numero di volte in cui ciascuna categoria è stata osservata. In una tabella di frequenze i dati sono raggruppati in classi o categorie. Si possono distinguere 3 diversi modi per contare quante volte è stata osservata ogni singola classe: 1) Frequenza assoluta: conta il numero effettivo di volte in cui si manifesta una categoria (n i ) 2) Frequenza relativa o proporzione: è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di osservazioni in una categoria e il numero totale di osservazioni f i = n i n, i = 1,...,k, 0 f i 1, k i=1 f i = 1 3) Frequenza percentuale: frequenza relativa moltiplicata per cento p i = f i 100, i = 1,...,k, 0 p i 100, k i=1 p i = / 31

72 Tabella di frequenza: variabili quantitative 20 / 31 Nel caso di variabili numeriche continue, per costruire la tabella abbiamo bisogno di individuare delle classi, ossia degli intervalli di valori. Per variabili quantitative si parla anche di distribuzione di frequenza, o distribuzione in classi.

73 Tabella di frequenza: variabili quantitative 20 / 31 Nel caso di variabili numeriche continue, per costruire la tabella abbiamo bisogno di individuare delle classi, ossia degli intervalli di valori. Per variabili quantitative si parla anche di distribuzione di frequenza, o distribuzione in classi. Per costruire una tabella di frequenza per variabili quantitative dunque:

74 Tabella di frequenza: variabili quantitative 20 / 31 Nel caso di variabili numeriche continue, per costruire la tabella abbiamo bisogno di individuare delle classi, ossia degli intervalli di valori. Per variabili quantitative si parla anche di distribuzione di frequenza, o distribuzione in classi. Per costruire una tabella di frequenza per variabili quantitative dunque: Suddividiamo l intervallo di variazione della variabile in sottointervalli (classi)

75 Tabella di frequenza: variabili quantitative 20 / 31 Nel caso di variabili numeriche continue, per costruire la tabella abbiamo bisogno di individuare delle classi, ossia degli intervalli di valori. Per variabili quantitative si parla anche di distribuzione di frequenza, o distribuzione in classi. Per costruire una tabella di frequenza per variabili quantitative dunque: Suddividiamo l intervallo di variazione della variabile in sottointervalli (classi) Contiamo il numero di osservazioni che cadono all interno di ogni intervallo

76 Frequenze assolute, relative, percentuali Frequenza Frequenza Frequenza X assoluta relativa percentuale n i f i p i x 1 n 1 f 1 p 1 x 2 n 2 f 2 p 3 x i n i f i p i x k n k f k p k Totale n / 31

77 22 / 31 Distribuzione di frequenze cumulate Nella distribuzione di frequenza cumulata di una variabile ciascuna classe è costruita sommando le frequenze della modalità precedente.

78 22 / 31 Distribuzione di frequenze cumulate Nella distribuzione di frequenza cumulata di una variabile ciascuna classe è costruita sommando le frequenze della modalità precedente. Possiamo avere frequenze cumulate: 1) assolute N k = k i=1 n i

79 22 / 31 Distribuzione di frequenze cumulate Nella distribuzione di frequenza cumulata di una variabile ciascuna classe è costruita sommando le frequenze della modalità precedente. Possiamo avere frequenze cumulate: 1) assolute N k = k i=1 n i 2) relative F k = k f i i=1

80 22 / 31 Distribuzione di frequenze cumulate Nella distribuzione di frequenza cumulata di una variabile ciascuna classe è costruita sommando le frequenze della modalità precedente. Possiamo avere frequenze cumulate: 1) assolute N k = k i=1 n i 2) relative 3) percentuali F k = P k = k f i i=1 k p i i=1

81 Frequenze assolute, relative, percentuali 23 / 31 X n i N i f i F i x 1 n 1 N 1 = n 1 f 1 F 1 = f 1 x 2 n 2 N 2 = n 1 + n 2 f 2 F 2 = f 1 + f 2 x i n i N i = n n i f i F i = f f i x k n k N k = n n i n k = n f k F k = f f i f k = 1 Totale n 1 X p i P i x 1 p 1 P 1 = p 1 x 2 p 2 P 2 = p 1 + p 2 x i p i P i = p p i x k p k P k = p p i p k = 100 Totale 100

82 Distribuzione frequenze:esempio 24 / 31 Giudizio n i N i f i F i p i P i Insuff % 12.5% Scarso % 29.2% Suff % 54.2% Discreto % 58.3% Buono % 87.5% Ottimo % 100%

83 Grafico frequenze cumulate 25 / 31

84 Distribuzione in classi 26 / 31 Si consideri il seguente dataset che riporta il contenuto di sodio e zucchero in 20 cereali da colazione. Si riporta anche una suddivisione in cereali popolari tra adulti (Tipo A) e tra bambini (Tipo B).

85 Distribuzione in classi Si consideri la distribuzione in classi per il contenuto di sodio in mg per 20 cereali da colazione. Il contenuto di sodio va da un minimo di 0 fino a un massimo di 359 mg. Se si considerano 9 classi di ampiezza 40 mg allora si ottiene la seguente tabella di frequenza o distribuzione in classi. Contenuto sodio n i f i p i [0, 39] % [40, 79] % [80, 119] % [120, 159] % [160, 199] % [200, 239] % [240, 279] % [280, 319] % [320, 359] % Totale / 31

86 Grafici: variabili qualitative 28 / 31 Diagramma a torta: è un cerchio in cui a ciascuna modalità corrisponde uno spicchio di torta. L ampiezza di ogni fetta corrisponde solitamente alla percentuale che compete a ciascuna modalità.

87 Grafici: variabili qualitative 28 / 31 Diagramma a torta: è un cerchio in cui a ciascuna modalità corrisponde uno spicchio di torta. L ampiezza di ogni fetta corrisponde solitamente alla percentuale che compete a ciascuna modalità. Grafico a barre: mostra delle barre verticali di uguale base per ogni categoria. L altezza di ciascun rettangolo è la percentuale di ogni modalità. I rettangoli sono di solito uniformemente distanziati.

88 Diagramma a torta 29 / 31

89 Diagramma a barre 30 / 31

90 Grafici per variabili qualitative: esercizio 31 / 31 Data la seguente tabella di frequenze per una variabile qualitativa: Giudizio n i N i f i F i p i P i Insuff % 12.5% Scarso % 29.2% Suff % 54.2% Discreto % 58.3% Buono % 87.5% Ottimo % 100% costruire il diagramma a torta e a barre.

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