CALCOLO NUMERICO Laurea di base in Ingegneria Elettronica, delle Comunicazioni

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1 CALCOLO NUMERICO Laurea di base in Ingegneria Elettronica, delle Comunicazioni Prof.ssa Laura Pezza (A.A ) V Lezione del laura.pezza 1

2 Metodo di Newton: convergenza x k = ϕ NR (x k 1 ) = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ), k = 1, 2,... ; x 0 dato Teorema di convergenza 1. Sia ξ l unica radice di f(x) = 0 in [a, b], di molteplicità µ = 1 i 1 f C 2 [a, b] i 2 f (x) 0, x [a, b], x ξ. t 1 un intorno di ξ, I(ξ) [a, b] tale che x 0 I(ξ) il metodo di Newton converge. t 2 Se µ = 1 allora p 2 t 3 Se µ > 1 allora p = 1, C = 1 1 µ 2

3 Dim. i 1, i 2 ϕ NR (x) = f(x)f (x) [f (x)] 2 C0 [a, b], x ξ Caso della radice semplice: f (ξ) 0 ϕ NR C0 [a, b], ϕ NR (ξ) = 0 I(ξ) in cui ϕ NR (x) γ < 1 Il metodo converge per il teorema del punto fisso. Dal teorema dell ordine di convergenza p 2. Inoltre, se f C 3 [a, b], si ha ϕ = (f f +ff )f 2 2ff f 2 f 4, che calcolata nella radice ξ diventa ϕ (ξ) = f (ξ)f (ξ) f 2 (ξ) Allora, p > 2, se f (ξ) = 0, mentre p = 2, se f (ξ) 0. 3

4 Definizione. Sia f C 2 [a, b] tale che f(a)f(b) < 0, f (x) 0, x [a, b]. Si dice estremo di Fourier di f quello dei due estremi a, b per il quale risulta f( )f ( ) > 0. a b b a 5

5 a b b a quattro casi possibili di estremo di Fourier I

6 Teorema di convergenza 2. Sia data l equazione f(x) = 0 avente una radice ξ [a, b] e siano verificate le seguenti ipotesi i 1 f C 2 [a, b] i 2 f(a)f(b) < 0 i 3 f (x) 0, x [a, b]. allora t 1 ξ è l unico zero (semplice) di f in [a, b] t 2 se x 0 coincide con l estremo di Fourier di f, {x k } generata dal metodo di Newton è monotona e convergente a ξ con ordine p = 2. 6

7 Esempio f(x) = 4x 3 5x = 0 (v. prima) Si ha f (x) = 24x > 0 x > 0 e f (0) = 0, quindi f non e a concavita fissa in nessun intorno di 0. Non si puo applicare il teorema di Fourier per la prima radice. Pero se si sceglie per esempio x 0 [ 0.35, 0.35], il m. di N. converge a ξ = 0 (Teor. di convergenza 1) Per la seconda radice si osservi che f(x) > 0 x > 2 ogni valore di x > 2 è estremo di Fourier per la radice maggiore Nel caso x 0 = 0.65 si ha x = l estremo di Fourier il m. di N. converge alla radice maggiore (Teor. di convergenza 2) NOTA: A priori è generalmenete impossibile sapere quanto x 0 deve essere vicino alla radice. 7

8 Esempio Si consideri l equazione f(x) = cos x xe x = 0 (v. Lezione precedente). Si vuole approssimare ξ [ π, π/2]. f (x) = cos x e x (x + 2) non è a segno costante in [ π, π/2]. Si applica il teor. di convergenza 1. x 0 = 3π/4 3 a iterata: 6 cifre decimali 4 a iterata: 14 cifre decimali (si conquistano tutte le cifre con cui si lavora): ξ = Verificate che per approssimare la radice positiva si può applicare il teor. di convergenza 2. 8

9 Il caso delle radici multiple Esempio p(x) = x 3 9.5x x = 0 Zero doppio ξ = 5. Imponendo un accuratezza pari a si ottiene n. iterate (N) x 0 x N p(x N ) p (x N ) Ordine di convergenza: p = 1, C = 1 2 (Teorema di convergenza 1) Ma non è possibile ottenere l accuratezza richiesta! (malcondizionamento) 9

10 Condizionamento del calcolo degli zeri di un polinomio p(x) = n j=0 a j x n j = 0, ξ t.c. p(ξ) = 0 Fissato i a i a i + i ξ ξ + δ(ξ) Condizionamento: determinare il fattore che lega e r (a i ) = i e e r (ξ) = δ(ξ) a i ξ Dalla formula di Taylor: 10

11 =0 {}}{ p (a 0,, a i + i,, a n, ξ + δ(ξ)) = p(a 0,, a n, ξ) }{{} =0 + p a i i + p a,ξ ξ }{{ a,ξ } p (ξ) δ(ξ) + R 2 p a i = a i n j=0 a j x n j = x n i 0 ξ n i i + p (ξ)δ(ξ) δ(ξ) ξ n i p (ξ) i Da questa relazione sugli errori assoluti si ricava quella sugli errori relativi δ(ξ) ξ a i ξ n i 1 p (ξ) i a i 11

12 Alcune osservazioni La determinazione di una radice multipla è un problema malcondizionato Se si applica Newton per approssimare una radice multipla di f, possono sorgere problemi di propagazione degli errori di arrotondamento nel calcolo di k ) f(x f (x k ) In presenza di radici di molteplicità µ si può ristabilire la convergenza quadratica del metodo di Newton assumendo come funzione di iterazione ϕ(x) = x µ f(x) f (x). Non si evitano però i problemi di calcolo. 12

13 Esercizio 1 L equazione f(x) = log x x ξ [2, 3]. + x = 0 ha una radice I. E possibile approssimare ξ con il metodo di Newton? II. In caso affermativo si precisi la scelta dell approssimazione iniziale e l ordine di convergenza del metodo. Soluzione Conviene vedere se è applicabile il Teorema 2 (funzioni a concavità fissa. Si ha f C [2, 3]. Occorre verificare se - f è a segno costante - la radice è semplice (f a segno costante) 13

14 Posto f(x) = g(x) + x 2 5.4, g(x) = x 1/2 log x si ha g (x) = x 3/2 1 2 x 3/2 log x f (x) = x 3/2 ( log x) + 2x g (x) = 3 2 x 5/2 ( log x) 1 2 x 5/2 f (x) = 1 4 x 5/2 (8 3 log x) + 2 ed infine g (x) = f (x) = 5 8 x 7/2 (8 3 log x) x 7/2 > 0 segue che f è monotona crescente (quindi assume i valori estremali agli estremi) f (2) 1.7, f (3) 1.9 f (x) > 0, x [2, 3] 14

15 f > 0 implica f crescente: f (2) 4.2, f (3) 6.1 f (x) > 0, x [2, 3] la radice è semplice. Approssimazione iniziale nell estremo di Fourier: f(2) 0.91, f(3) 4.2 x 0 = 3 Il metodo di Newton converge con ordine p = 2. n x n n x n

16 Esercizio 2 Si consideri l equazione x log(2x + 1) = 1 I. Quante radici ammette? II. A quale radice converge il metodo di Newton se si assume come approssimazione iniziale x 0 = 0.5? Soluzione f è definita in D = ( 1 2, + ) lim f(x) = +, f(0) = 1, lim x 1/2 + grafico sommario delle curve x f(x) = + e anche un f 1 (x) = log(2x + 1), f 2 (x) = 1 x per x > 1 2 conferma che l equazione ammette due radici una negativa ed una positiva, separate rispettivamente in [ 1/2 + ɛ, 0] e [0.5, 1], poiché f(1) = log(3) 1 > 0. 16

17 x 0 = 0.5 è estremo di Fourier? - f(0.5) 0.65 < 0 (la radice positiva verifica ξ > 0.5) - f C (D) - f (x) = log(2x + 1) + 2x 2x+1, sign f (x) = sign x, x D - f (x) = 4 x+1 (2x+1) 2 > 0, x > 1 2 x 0 = 0.5 non è un estremo di Fourier. Calcoliamo x 1 = 0.5 f(0.5) f (0.5) = (funzione a concavità fissa x) Ma f(x 1 ).18 > 0 x 1 è estremo di Fourier per la radice positiva. 17

18 Ordine di convergenza L ordine di convergenza di un metodo iterativo tiene conto della riduzione dell errore ad ogni passaggio (iterazione). Si dice che un metodo ha ordine di convergenza p R con costante asintotica C se asintoticamente si ha: e k+1 C e k p Esempio Metodo di bisezione: p = 1 Metodo di Newton con f 0: p = 2 18

19 Efficienza computazionale L efficienza di un metodo iterativo tiene conto sia dell ordine di convergenza p che del costo computazionale, cioè della quantità di calcoli richiesta ad ogni passo, valutato come numero di valutazioni funzionali richieste ad ogni passo, r Efficienza: E = p 1/r Esempio Metodo di bisezione: p = 1, r = 1 (valutazione nel punto medio), E = 1 In generale, per il metodo del punto unito a convergenza lineare: E = 1 19

20 Schema riassuntivo sul metodo di Newton f(x) = 0 ξ [a, b] radice f C 2 [a, b] 1. f (ξ) 0 (radice semplice): x 0 I(ξ), p 2, E 2 2. f (ξ) 0, f 0, x [a, b] (radice semplice, concavità fissa): x 0 = estremo di Fourier, p = 2, C = f (ξ) 2f (ξ), E = 2 3. f (k) (ξ) = 0, k = 0,, µ 1, f (µ) (ξ) 0 (radice di molteplicità µ): x 0 I(ξ), p = 1, C = 1 1 µ, E = 1, 20

21 Il metodo delle secanti Il metodo di Newton richiede 2 valutazioni funzionali. Si sostituisce alla derivata prima un rapporto incrementale occorrono due punti x k+1 = x k f(x k)(x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ), k 1, x 0, x 1 dati E una f. ricorsiva a 2 passi non è un metodo del punto unito del tipo visto. E un metodo di linearizzazione. 21

22 Interpretazione geometrica del m. delle secanti Step 1 s 0 retta per i punti (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )), x 2 = s 0 {y = 0} Step 2 s 1 retta per i punti (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )), x 3 = s 1 {y = 0} s x 2 x 1 x s

23 Teorema di convergenza Data f(x) = 0, sia ξ [a, b] una sua radice. Se i 1 f C 2 [a, b] i 2 f(a)f(b) < 0 i 3 f (ξ) 0 i 4 f (x) 0, x [a, b] allora t 1 la successione generata dal metodo delle secanti è convergente a ξ comunque si scelgano x 0, x 1 [a, b] tali che f( )f ( ) > 0 Ordine di convergenza Se converge a ξ, radice semplice di f(x) = 0, allora il m. delle secanti ha ordine di convergenza p = con C = f (ξ) 2f (ξ) 1/p Ad ogni passo (escluso il primo) si deve eseguire solo una nuova valutazione di funzione (r = 1) E = p

24 Esempio f(x) = e x = 3x. Nella tabella sono riportate le approssimazioni fornite dal m. di Newton (x 0 = 2) e dal m. delle secanti (x 0 = 2, x 1 = 1.9). k Newton Secanti Costo computazionale totale Newton: r tot = 12 Secanti: r tot = 9 24