Il calcolo letterale

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Battistina Amato
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1 Il calcolo letterale Si dice ESPRESSIONE ALGEBRICA LETTERALE (o semplicemente espressione algebrica) un espressione in cui compaiono lettere che rappresentano numeri. Esempio: 5ab 4a b 3 + b 5a 1 ab 3 a b b OSS: QUANDO non c è nessuna operazione tra due lettere, è sottointesa la moltiplicazione! Es. 5ab = 5 a b Calcolare il valore di un espressione letterale per determinati valori attribuiti alle lettere significa sostituire a ciascuna lettera il corrispondente numero e calcolare il valore dell espressione numerica così ottenuta. Calcolare il valore di 4a b 3 + b 5a con a = +3 e b = 4a b 3 + b 5a = 4 (+3) ( ) 3 + ( ) 5 (+3) = 4 9 ( 8) = = 341 Calcolare il valore di 4a b 3 + b 5a con a = 4 e b = +1 4a b 3 + b 5a = 4 ( 4) (+1) 3 + ( 4) 5 (+1) = = = 51 1

2 Proprietà: In un espressione letterale non si possono attribuire alle lettere valori che rendono uguali a zero i denominatori, perché non ha senso dividere per zero. In un espressione letterale non si possono attribuire alle lettere valori che rendono negative le espressioni sotto il segno di radice quadrata, perché non esiste la radice quadrata di un numero negativo. Esempi: 3a + 1 a 1 questa espressione ha senso per tutti i valori di a diversi da +1 (a +1), perché se fosse a = +1 il denominatore diventerebbe 0! 3a + 1 a 1 = 3 (+1) + 1 = impossibile! 5a + a 9 questa espressione ha senso per tutti i valori di a diversi da 9 (a 9), perché se fosse a = 9 il denominatore diventerebbe 0! 5a + a 9 = 5 ( 9) + ( 9) 9 = = impossibile! x 1 Questa espressione ha senso per tutti i valori di x che rendono l argomento della radice positivo: x 1 0. Tale espressione non può quindi essere calcolata per x = 0, infatti x 1 = 0 1 = 0 1 = 1 impossibile x = + 1, infatti (+ 1 ) 1 = = = 3 4 x = 1, infatti ( 1 ) 1 = = = 3 4 impossibile impossibile

3 I Monomi Si dice MONOMIO ogni espressione algebrica, numerica o letterale, che non contiene le operazioni di addizione o sottrazione. Esempio: Sono monomi: ab ; + 4ac ; 5 3b 3 ac ; 4a ; x NON sono monomi: a b ; 3x + y queste espressioni si dicono POLINOMI. un monomio si dice RIDOTTO A FORMA NORMALE se contiene un solo fattore numerico, scritto al primo posto, e potenze letterali con basi tutte diverse fra loro. Esempi: 3xy è ridotto a forma normale xyx NON è ridotto a forma normale (compare due volte il fattore x) OSSERVAZIONE: se il monomio non è ridotto a forma normale occorre: moltiplicare fra loro tutti i COEFFICIENTI numerici, scrivere le lettere una sola volta, in ordine alfabetico, utilizzando le PROPRIETÀ DELLE POTENZE. 3a c ( 4)b 3 c 4 = ( 3) ( 4)a b 3 c 5 = +1a b 3 c x y ( 6 10 ) xy3 = x3 y 4 = 5 x3 y 4 3

4 In un monomio ridotto a forma normale, il fattore numerico viene detto COEFFICIENTE, i fattori letterali vengono detti PARTE LETTERALE. 3ab 3 coefficiente ab parte letterale OSSERVAZIONE: se il coefficiente non c è, significa che vale +1 oppure -1 Esempio: +x y +1 coefficiente a b -1 coefficiente a b x y parte letterale parte letterale Si dice GRADO di un monomio (ridotto a forma normale) rispetto ad UNA LETTERA, l esponente con cui la lettera compare nel monomio. Si dice GRADO COMPLESSIVO di un monomio (ridotto a forma normale), la somma degli esponenti di TUTTE le sue lettere. 3ab grado rispetto alla lettera a: 1 grado rispetto alla lettera b: grado complessivo: 1+=3 Un monomio si dice: INTERO se non contiene la parte letterale al denominatore FRAZIONARIO o FRATTO se al denominatore è presente anche solo una lettera. 1 ab4 c intero 4c frazionario a 3bc 4 b frazionario intero 4

5 due monomi si dicono SIMILI se hanno la stessa parte letterale. 4ac 3 è simile a 5ac 3 1b 4 c è simile a 3 8 b4 c Def Due monomi si dicono OPPOSTI se sono simili e se hanno coefficienti numerici opposti. +4ac 3 è opposto a 4ac 3 1b 4 c è opposto a 1b 4 c due monomi si dicono UGUALI se sono simili e se hanno coefficienti numerici uguali. 4ac 3 è uguale a 4ac 3 8cd è uguale a 8cd ADDIZIONE e SOTTRAZIONE La somma o la sottrazione di due o più MONOMI SIMILI è il monomio SIMILE a quelli dati, avente per COEFFICIENTE LA SOMMA ALGEBRICA dei coefficienti. +3ab 5ab + 8ab = ( )ab = +6ab 5

6 1 xy xy 5 xy + xy == ( ) xy = ( ) xy = xy Osservazione: la somma di due monomi OPPOSTI è uguale a zero. 4a ( 4 4) a 0a c ( 4a c 0 c c) OSSERVAZIONE: la somma o la differenza di MONOMI NON SIMILI tra loro NON PREVEDE ALCUN CALCOLO. 5b 3a 5 3a b 7c a 7 a c L espressione così ottenuta, sommando tra loro monomi non simili, dà origine a un POLINOMIO. Esempi: 3a + 5b + 7a 19b = = ( 3 + 7)a + (+5 19)b = = +4a + ( 14b) = +4a 14b 6

7 MOLTIPLICAZIONE Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha: per COEFFICIENTE il prodotto dei coefficienti per PARTE LETTERALE tutte le lettere che figurano nei vari monomi, ridotte a forma normale. (+4a 3 bc ) ( 3ab 4 c 4 d) = 1a 3+1 b 1+4 c +4 d = 1a 4 b 5 c 6 d ( 3x ) ( 3 xy ) (+ 5 yz) = x+1 y +1 z = +5x 3 y 3 z a 3 b 3 9 b 5 a 4 = 9 ab 3 5 b 3 a 4 = Considero le lettere al denominatore con l esponente negativo: 6 5 a1 4 b 3 = 6 5 a 3 b 1 = a 3 b = 6 5a 3 b Oppure si semplifica: 6 ab 5 b 3 a 43 = 6 5a 3 b DIVISIONE Il quoziente fra due monomi è il monomio che ha: per coefficiente il quoziente dei coefficienti, per parte letterale le lettere del dividendo e del divisore, con esponente la differenza tra l esponente del dividendo e l esponente del divisore. 7

8 (+6a 5 b 3 c 0 ): ( 3a 3 b 1 c ) = Quando una lettera NON compare in un termine, si può considerare che ci sia, ma con ESPONENTE 0. a 5 3 b 3 1 c 0 = a b c Osservazione: Se le lettere del divisore hanno un esponente maggiore delle lettere del dividendo si utilizzano le potenze negative, che si possono scrivere al DENOMINATORE, con l esponente cambiato di segno. a b c = a b c monomio frazionario Esempio: (+4a 3 b 1 c ): ( 3ab 4 c 4 d) = 4 3 a3 1 b 1 4 c 4 d 0 1 = 4 3 a b 3 c d 1 = 4a 3b 3 c d 1 Osservazione: La divisione tra due monomi può essere interpretata anche come SEMPLIFICAZIONE tra numeratore e denominatore di un monomio fratto. 8

9 -----1/

10 ELEVAMENTO A POTENZA La potenza n-esima di un monomio è il prodotto di n fattori uguali a quel monomio. ( 3a 3 bc ) 3 = ( 3a 3 bc ) ( 3a 3 bc ) ( 3a 3 bc ) = 7a 9 b 3 c 6 Applicando le proprietà delle potenze: un numero negativo elevato ad una potenza DISPARI rimane NEGATIVO POTENZA DI POTENZA: si moltiplicano gli esponenti ( 3) 3 a 3 3 b 1 3 c 3 = 7a 9 b 3 c 6 Regola: segno: sarà NEGATIVO solo se il coefficiente è negativo e l esponente DISPARI coefficiente: si calcola la POTENZA del coefficiente numerico parte letterale: si MOLTIPLICANO gli esponenti delle lettere per l esponente della potenza. Esempio: ( 3 5 ab3 c ) 3 = 7 15 a3 b 9 c 6 10

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