15 Aprile 2016 Svolgimento della prova scritta (OA + BC)OB 2. 2(4 + k ) 2

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1 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico Corso di Laurea in Informatica (L-1) Prova in itinere di Matematica Discreta (1 CFU) 15 Aprile 016 B1 Compito A Tempo a disposizione 10 minuti Punteggio Detto p 1 il punteggio totalizzato nel Problema 1 e detto p il punteggio totalizzato nel Problema, la prova si intende superata se e solo se sono verificate tutte le condizioni seguenti: p 1 + p 15, p 1 5, p 5 1 Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico O x y Siano dati i punti A(4, 0) e B(0, ) (a) [5 punti] Sulla retta di equazione y = si determini un punto C tale che il quadrilatero OACB sia un trapezio rettangolo di area 6 (b) [5 punti] Verificato che C è il punto di coordinate (, ), si determinino le coordinate dei vertici del trapezio rettangolo che si ottiene sottoponendo OACB ad una rotazione di centro O e angolo 45 (c) [5 punti] In riferimento al triangolo OBC, si determinino le equazioni delle sue mediane e delle sue altezze e si trovino le coordinate del baricentro G e dell ortocentro H Nello spazio si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico O x y z Siano dati il punto A(, 1, 0), il punto B(0, 1, ), il piano di equazione α : x y + z = 0 e la retta r di equazioni x + y = 0 r : y z = 0 (a) [ punti] Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della retta s passante per A e B (b) [ punti] Si determinino le equazioni della retta passante per A e ortogonale ad α (c) [ punti] Si determini l equazione del piano β contenente r e passante per B (d) [ punti] Si calcoli la distanza di A da r (e) [ punti] Si determini la proiezione ortogonale di r su α

2 15 Aprile 016 Svolgimento della prova scritta 1 (a) Posto C(k, ), si osservi che affinché il quadrilatero OACB sia un trapezio rettangolo, deve essere k > 0 Si ha: OA = 4, BC = k, OB = Si ha: A (OACB) = (OA + BC)OB = (4 + k ) = 4 + k Imponendo la condizione A (OACB) = 6, si ha 4 + k = 6, da cui k = ± e quindi k = Ne viene che C(, ) (b) Scriviamo le equazioni della rotazione ρ O,45 : x = x cos 45 y sin 45 = ρ O,45 : x y y = x sin 45 + y cos 45 = x + y Chiaramente O è punto fisso per la rotazione in oggetto, dunque O = ρ O,45 (O) O Troviamo A = ρ O,45 (A): A x = : 4 0 y = A (, ) Troviamo B = ρ O,45 (B): B x = 0 : y = 0 + B (, ) Troviamo C = ρ O,45 (C): C x = : = 0 y = + = C (0, ) (c) Mediane e baricentro Il punto medio M 1 del lato OB è M 1 (0, 1), il punto medio M del lato BC è M (1, ), il punto medio M del lato OC è M (1, 1) L equazione della mediana relativa al lato OB è quella della retta passante per C e per M 1 : x 0 = y 1 y = x + 1 L equazione della mediana relativa al lato BC è quella della retta passante per O e per M Una generica retta passante per l origine è del tipo y = mx (ad eccezione di x = 0) Imponendo il passaggio per M si trova m = e dunque y = x L equazione della mediana relativa al lato OC è quella della retta passante per B e per M : x = y 1 y = x + Il baricentro è il punto di incontro delle tre mediane Troviamo l intersezione tra due qualsiasi delle mediane precedentemente trovate: y = x x = y = x + y = 4

3 quindi ( G, 4 ) Altezze e ortocentro L altezza relativa al lato BC è OB e ha equazione x = 0 ; l altezza relativa al lato OB è BC e ha equazione y = Determiniamo, adesso, l altezza relativa al lato OC La retta passante per O e per C ha equazione y = x e l equazione della retta passante per B e perpendicolare a y = x è: y = 1(x 0) y = x + L ortocentro è ovviamente H B(0, ) Osservazione Poichè il triangolo OBC è isoscele su base OC, l altezza relativa ad OC è anche mediana relativa allo stesso lato OC (a) Si vede subito che la retta s ha equazioni parametriche x = t s : y = 1, t R z = t Dalla terza equazione si ricava t = z e, sostituendo tale espressione di t nelle prime due, si ottengono le equazioni cartesiane: x + z = 6 s : y = 1 (b) Un vettore ortogonale ad α è v = (1, 1, ) La retta richiesta ha vettore di direzione v e dunque è x = + t y = 1 t, t R z = t (c) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti r: Imponendo il passaggio per B si ricava: λ(x + y) + µ(y z) = 0, λ, µ R λ(0 + 1) + µ(1 ) = 0 λ µ = 0 Scegliendo, ad esempio, λ = e µ = 1 si trova che l equazione del piano β è: (x+y)+(y z) = 0, cioè β : x + y z = 0 (d) Determiniamo il piano γ passante per A e ortogonale ad r Allo scopo, scriviamo r in forma parametrica in modo da dedurne agevolmente un vettore di direzione w: x = t y = t w = ( 1, 1, 1) z = t Un vettore ortogonale al piano γ è w, quindi γ ha equazione: cioè 1(x ) + 1(y 1) + 1(z 0) = 0, γ : x y z 1 = 0

4 Determiniamo l intersezione H di γ con r: x y z 1 = 0 x = 1 x + y = 0 y = 1 y z = 0 z = 1 Allora (1 ) ( d(a, r) = AH = + 1 ) 1 + (e) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti r: λ(x + y) + µ(y z) = 0, λ, µ R, H ( ) 1, 1, 1 ( 1 ) = 4 da cui λx + (λ + µ)y µz = 0 Imponiamo la condizione di ortogonalità tra v e il generico vettore ortogonale ad un piano del suddetto fascio: v (λ, λ + µ, µ) = 0, da cui µ = 0 Pertanto, scelto ad esempio λ = 1, l equazione del piano δ contenente r e ortogonale ad α è: δ : x + y = 0 La proiezione richiesta è la retta in cui si intersecano α e δ: x y + z = 0 x + y = 0

5 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico Corso di Laurea in Informatica (L-1) Prova in itinere di Matematica Discreta (1 CFU) 15 Aprile 016 B1 Compito B Tempo a disposizione 10 minuti Punteggio Detto p 1 il punteggio totalizzato nel Problema 1 e detto p il punteggio totalizzato nel Problema, la prova si intende superata se e solo se sono verificate tutte le condizioni seguenti: p 1 + p 15, p 1 5, p 5 1 Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico O x y Siano dati i punti A( 4, 0) e B(0, ) (a) [5 punti] Sulla retta di equazione y = si determini un punto C tale che l area del trapezio rettangolo OACB valga 6 (b) [5 punti] Verificato che C è il punto di coordinate (, ), si determinino le coordinate dei vertici del trapezio rettangolo che si ottiene sottoponendo OACB ad una rotazione di centro O e angolo 45 (c) [5 punti] In riferimento al triangolo OBC, si determinino le equazioni delle sue mediane e delle sue altezze e si trovino le coordinate del baricentro G e dell ortocentro H Nello spazio si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico O x y z Siano dati il punto A(1,, 0), il punto B(0,, 1), il piano di equazione α : x y + z = 0 e la retta r di equazioni x + y = 0 r : y + z = 0 (a) [ punti] Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della retta s passante per A e B (b) [ punti] Si determinino le equazioni della retta passante per A e ortogonale ad α (c) [ punti] Si determini l equazione del piano β contenente r e passante per B (d) [ punti] Si calcoli la distanza di A da r (e) [ punti] Si determini la proiezione ortogonale di r su α

6 15 Aprile 016 Svolgimento della prova scritta 1 (a) Posto C(k, ), si osservi che affinché il quadrilatero OACB sia un trapezio rettangolo, deve essere k < 0 Si ha: OA = 4, BC = k = k, OB = Si ha: A (OACB) = (OA + BC)OB = (4 k) = 4 k Imponendo la condizione A (OACB) = 6, si ha 4 k = 6, da cui k = Ne viene che C(, ) (b) Scriviamo le equazioni della rotazione ρ O, 45 : x = x cos( 45 ) y sin( 45 ) = ρ O, 45 : x + y = x sin( 45 ) + y cos( 45 ) = x + y y Chiaramente O è punto fisso per la rotazione in oggetto, dunque O = ρ O, 45 (O) O Troviamo A = ρ O, 45 (A): A x = : 4 0 y = ( 4) + 0 A (, ) Troviamo B = ρ O, 45 (B): B x = 0 + : y = 0 + B (, ) Troviamo C = ρ O, 45 (C): C x = : + = 0 y = + = C (0, ) (c) Mediane e baricentro Il punto medio M 1 del lato OB è M 1 (0, 1), il punto medio M del lato BC è M ( 1, ), il punto medio M del lato OC è M ( 1, 1) L equazione della mediana relativa al lato OB è quella della retta passante per C e per M 1 : x = y 1 y = x + 1 L equazione della mediana relativa al lato BC è quella della retta passante per O e per M Una generica retta passante per l origine è del tipo y = mx (ad eccezione di x = 0) Imponendo il passaggio per M si trova m = e dunque y = x L equazione della mediana relativa al lato OC è quella della retta passante per B e per M : x = y 1 y = x + Il baricentro è il punto di incontro delle tre mediane Troviamo l intersezione tra due qualsiasi delle mediane precedentemente trovate: y = x y = x + x = y = 4

7 quindi ( G, 4 ) Altezze e ortocentro L altezza relativa al lato BC è OB e ha equazione x = 0 ; l altezza relativa al lato OB è BC e ha equazione y = Determiniamo, adesso, l altezza relativa al lato OC La retta passante per O e per C ha equazione y = x e l equazione della retta passante per B e perpendicolare a y = x è: y = 1(x 0) y = x + L ortocentro è ovviamente H B(0, ) Osservazione Poichè il triangolo OBC è isoscele su base OC, l altezza relativa ad OC è anche mediana relativa allo stesso lato OC (a) Si vede subito che la retta s ha equazioni parametriche x = 1 t s : y = + t, t R z = t Dalla terza equazione si ha t = z e, sostituendo tale espressione di t nelle prime due, si ottengono le equazioni cartesiane: x + z = 1 s : y z = (b) Un vettore ortogonale ad α è v = (1,, 1) La retta richiesta ha vettore di direzione v e dunque è x = 1 + t y = t, t R z = t (c) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti r: Imponendo il passaggio per B si ricava: λ(x + y) + µ(y + z) = 0, λ, µ R λ(0 + ) + µ( + 1) = 0 λ + 4µ = 0 Scegliendo, ad esempio, λ = 4 e µ = si trova che l equazione del piano β è: 4(x + y) (y z) = 0, cioè β : 4x + y z = 0 (d) Determiniamo il piano γ passante per A e ortogonale ad r Allo scopo, scriviamo r in forma parametrica in modo da dedurne agevolmente un vettore di direzione w: x = t y = t w = (1, 1, 1) z = t Un vettore ortogonale al piano γ è w, quindi γ ha equazione: cioè 1(x 1) 1(y ) + 1(z 0) = 0, γ : x y + z + 1 = 0

8 Determiniamo l intersezione H di γ con r: x y + z + 1 = 0 x = 1 x + y = 0 y = 1 y + z = 0 z = 1 Allora d(a, r) = AH = H ( 1, 1 ), 1 ( 1 ) ( ) ( ) 1 = (e) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti r: λ(x + y) + µ(y + z) = 0, λ, µ R, 4 da cui λx + (λ + µ)y + µz = 0 Imponiamo la condizione di ortogonalità tra v e il generico vettore ortogonale ad un piano del suddetto fascio: v (λ, λ + µ, µ) = 0, da cui λ + µ = 0 Pertanto, scelto ad esempio λ = 1 e µ = 1, l equazione del piano δ contenente r e ortogonale ad α è: δ : x z = 0 La proiezione richiesta è la retta in cui si intersecano α e δ: x y + z = 0 x z = 0