ELEMENTI DI PROBABILITA (parte 2) 1 / 27
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1 ELEMENTI DI PROBABILITA (parte 2) 1 / 27
2 Combinazioni 2 / 27 Supponiamo di non essere interessati all ordine in cui sono disposti gli oggetti, per cui la parola abc sia indistinguibile dalla parola bca.
3 Combinazioni 2 / 27 Supponiamo di non essere interessati all ordine in cui sono disposti gli oggetti, per cui la parola abc sia indistinguibile dalla parola bca. Si parla in quel caso di combinazioni.
4 Combinazioni 2 / 27 Supponiamo di non essere interessati all ordine in cui sono disposti gli oggetti, per cui la parola abc sia indistinguibile dalla parola bca. Si parla in quel caso di combinazioni. Le combinazioni sono tutti i gruppi di k oggetti, che si possono formare da un insieme di n oggetti distinti, in modo che i gruppi differiscano per almeno un oggetto.
5 Combinazioni 2 / 27 Supponiamo di non essere interessati all ordine in cui sono disposti gli oggetti, per cui la parola abc sia indistinguibile dalla parola bca. Si parla in quel caso di combinazioni. Le combinazioni sono tutti i gruppi di k oggetti, che si possono formare da un insieme di n oggetti distinti, in modo che i gruppi differiscano per almeno un oggetto. Il numero delle combinazioni di n oggetti a gruppi di k è dato da ( n k ) = C n,k = D n,k k! dove ( n k) è detto coefficiente binomiale. = n! k! (n k)!
6 Esempio 3 / 27 Si vuole seminare un vasetto in giardino estraendo 4 semi di fiori da un sacchetto che ne contiene 10 diversi. Quante possibili combinazioni di diverse fioriture si osserveranno in primavera?
7 Esempio 3 / 27 Si vuole seminare un vasetto in giardino estraendo 4 semi di fiori da un sacchetto che ne contiene 10 diversi. Quante possibili combinazioni di diverse fioriture si osserveranno in primavera? Dobbiamo considerare le combinazioni di 4 semi estratti da 10. Non ci interessa l ordine in cui i fiori si dispongono masolo i diversi insiemi di fioritura. ( ) 10 = C 10,4 = D 10,4 10! = 4 4! 4! (10 4)! = 10! 4! (6)! = = 210
8 Esempio 4 / 27 Quante parole (anche senza significato) di 3 diverse consonanti e 2 diverse vocali si possono formare con l alfabeto di 21 lettere?
9 Esempio 4 / 27 Quante parole (anche senza significato) di 3 diverse consonanti e 2 diverse vocali si possono formare con l alfabeto di 21 lettere? I modi di scegliere le 3 consonanti fra le 16 disponibili sono ( 16 3 ).
10 Esempio 4 / 27 Quante parole (anche senza significato) di 3 diverse consonanti e 2 diverse vocali si possono formare con l alfabeto di 21 lettere? I modi di scegliere le 3 consonanti fra le 16 disponibili sono ( 16 3 ). I modi di scegliere le 2 vocali fra le 5 disponibili sono ( 5 2).
11 Esempio 4 / 27 Quante parole (anche senza significato) di 3 diverse consonanti e 2 diverse vocali si possono formare con l alfabeto di 21 lettere? I modi di scegliere le 3 consonanti fra le 16 disponibili sono ( ) I modi di scegliere le 2 vocali fra le 5 disponibili sono ( 5 2). Le 5 lettere risultanti possono essere permutate in 5! modi diversi; allora il numero delle parole possibili è N = ( )( ) ! = ! =
12 Combinatoria: ricapitolazione 5 / 27 Disposizioni Sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero dei posti e conta l ordine con cui si dispongono. Le disposizioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione.
13 Combinatoria: ricapitolazione 5 / 27 Disposizioni Sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero dei posti e conta l ordine con cui si dispongono. Le disposizioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione. Permutazioni Sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale al numero dei posti e conta l ordine con cui si dispongono. Le permutazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione.
14 Combinatoria: ricapitolazione 5 / 27 Disposizioni Sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero dei posti e conta l ordine con cui si dispongono. Le disposizioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione. Permutazioni Sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale al numero dei posti e conta l ordine con cui si dispongono. Le permutazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione. Combinazioni Sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero dei posti e non conta l ordine con cui si dispongono. Le combinazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione.
15 Definizioni di probabilità 6 / 27 Esistono tre possibili definizioni di probabilità.
16 Definizioni di probabilità 6 / 27 Esistono tre possibili definizioni di probabilità. Classica E definita come il rapporto fra casi favorevoli (N F ) su casi possibili (N P ): N F N P.
17 Definizioni di probabilità 6 / 27 Esistono tre possibili definizioni di probabilità. Classica E definita come il rapporto fra casi favorevoli (N F ) su casi possibili (N P ): N F N P. Questa definizione assume che tutti i risultati possibili di un esperimento siano ugualmente probabili e che lo spazio dei campioni sia finito.
18 Definizioni di probabilità 6 / 27 Esistono tre possibili definizioni di probabilità. Classica E definita come il rapporto fra casi favorevoli (N F ) su casi possibili (N P ): N F N P. Questa definizione assume che tutti i risultati possibili di un esperimento siano ugualmente probabili e che lo spazio dei campioni sia finito.
19 Esempio 7 / 27 Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta.
20 Esempio 7 / 27 Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta. Lo spazio campione è l insieme S = {TT,CC,TC,CT}.
21 Esempio 7 / 27 Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta. Lo spazio campione è l insieme S = {TT,CC,TC,CT}. Qual è la probabilità di ottenere due croci?
22 Esempio 7 / 27 Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta. Lo spazio campione è l insieme S = {TT,CC,TC,CT}. Qual è la probabilità di ottenere due croci? dove E 1 = {CC}. P = #E 1 #S = 1 4 = 0.25
23 Esempio Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta. Lo spazio campione è l insieme S = {TT,CC,TC,CT}. Qual è la probabilità di ottenere due croci? P = #E 1 #S = 1 4 = 0.25 dove E 1 = {CC}. Qual è la probabilità di ottenere almeno una testa? 7 / 27
24 Esempio Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta. Lo spazio campione è l insieme S = {TT,CC,TC,CT}. Qual è la probabilità di ottenere due croci? P = #E 1 #S = 1 4 = 0.25 dove E 1 = {CC}. Qual è la probabilità di ottenere almeno una testa? P = #E 2 #S = 3 4 = 0.75 dove E 2 = {TT,TC,CT}. 7 / 27
25 Esempio 8 / 27 In questi casi la definizione classica non può essere applicata: Calcolare la probabilità per una persona di 60 anni di raggiungere l età di 80 anni;
26 Esempio 8 / 27 In questi casi la definizione classica non può essere applicata: Calcolare la probabilità per una persona di 60 anni di raggiungere l età di 80 anni; calcolare la probabilità di subire un furto;
27 Esempio 8 / 27 In questi casi la definizione classica non può essere applicata: Calcolare la probabilità per una persona di 60 anni di raggiungere l età di 80 anni; calcolare la probabilità di subire un furto; calcolare la probabilità che un nuovo medicinale dia esiti positivi nella cura di una pianta.
28 Definizione di probabilità Frequentista E definita in seguito all osservazione degli esiti di un esperimento ripetuto n volte, con n sufficientemente grande, come la frequenza relativa dell evento d interesse. Se tale evento si è ripetuto h volte allora: P = h n Questa definizione vale nei casi in cui i vari risultati possibili di un esperimento non sono tutti ugualmente probabili. 9 / 27
29 Definizione di probabilità Frequentista E definita in seguito all osservazione degli esiti di un esperimento ripetuto n volte, con n sufficientemente grande, come la frequenza relativa dell evento d interesse. Se tale evento si è ripetuto h volte allora: P = h n Questa definizione vale nei casi in cui i vari risultati possibili di un esperimento non sono tutti ugualmente probabili. L approcio frequentista può essere applicato quando: 9 / 27
30 Definizione di probabilità Frequentista E definita in seguito all osservazione degli esiti di un esperimento ripetuto n volte, con n sufficientemente grande, come la frequenza relativa dell evento d interesse. Se tale evento si è ripetuto h volte allora: P = h n Questa definizione vale nei casi in cui i vari risultati possibili di un esperimento non sono tutti ugualmente probabili. L approcio frequentista può essere applicato quando: - si possono eseguire quante prove si vogliono sull evento; 9 / 27
31 Definizione di probabilità Frequentista E definita in seguito all osservazione degli esiti di un esperimento ripetuto n volte, con n sufficientemente grande, come la frequenza relativa dell evento d interesse. Se tale evento si è ripetuto h volte allora: P = h n Questa definizione vale nei casi in cui i vari risultati possibili di un esperimento non sono tutti ugualmente probabili. L approcio frequentista può essere applicato quando: - si possono eseguire quante prove si vogliono sull evento; - sono disponibili tavole con i risultati di rilevazioni statistiche relative a un certo fenomeno (ad esempio le tavole di mortalità e sopravvivenza). 9 / 27
32 Definizione di probabilità 10 / 27 Soggettiva Si calcola la probabilità in base allo stato d informazione. Secondo la definizione soggettivista la probabilità di un evento A è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all avverarsi di A.
33 Definizione di probabilità 10 / 27 Soggettiva Si calcola la probabilità in base allo stato d informazione. Secondo la definizione soggettivista la probabilità di un evento A è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all avverarsi di A. Operativamente la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo razionale ritiene equo pagare per ricevere 1 se l evento si verifica (0 altrimenti). L attribuzione della probabilità deve essere coerente, nel sensoche si deve essere disposti ad accettare la scommessa inversa, ossia a ricevere p e pagare 1 al verificarsi dell evento.
34 Regole di probabilità 11 / 27 1) La probabilità è la possibilità che un evento incerto si manifesti, è definita come una quantità sempre compresa tra 0 e 1.
35 Regole di probabilità 11 / 27 1) La probabilità è la possibilità che un evento incerto si manifesti, è definita come una quantità sempre compresa tra 0 e 1. Per qualsiasi evento A si ha: 0 P(A) 1
36 Regole di probabilità 12 / 27 2) Sia A un evento di S, e indichiamo con O i gli eventi elementari. Allora P(A) = P(O i ) A (la notazione indica che la sommatoria si estende a tutti gli eventi elementari di A).
37 Regole di probabilità 12 / 27 2) Sia A un evento di S, e indichiamo con O i gli eventi elementari. Allora P(A) = P(O i ) A (la notazione indica che la sommatoria si estende a tutti gli eventi elementari di A). 3) P(S) = 1
38 Regole di probabilità 13 / 27 2) La regola dell evento complementare: P(A c ) = 1 P(A) dato che P(A) + P(A c ) = 1
39 Regole di probabilità 13 / 27 2) La regola dell evento complementare: P(A c ) = 1 P(A) dato che P(A) + P(A c ) = 1 3) La regola additiva determina la probabilità dell unione di due eventi P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
40 Regole di probabilità 13 / 27 2) La regola dell evento complementare: P(A c ) = 1 P(A) dato che P(A) + P(A c ) = 1 3) La regola additiva determina la probabilità dell unione di due eventi P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Notate che se A e B sono incompatibili (P(A B) = P(/0) = 0) allora P(A B) = P(A) + P(B)
41 Esempio 1 14 / 27 Un corso di probabilità è frequentato da 10 studenti: 6 maschi e 4 femmine. Viene effettuato un esame, e i punteggi degli studenti sono tutti diversi. a) Quante diverse classifiche sono possibili?
42 Esempio 1 14 / 27 Un corso di probabilità è frequentato da 10 studenti: 6 maschi e 4 femmine. Viene effettuato un esame, e i punteggi degli studenti sono tutti diversi. a) Quante diverse classifiche sono possibili? Ogni classifica è associata ad una precisa permutazione dei dieci studenti: N P = 10! =
43 Esempio 1 15 / 27 Un corso di probabilità è frequentato da 10 studenti: 6 maschi e 4 femmine. Viene effettuato un esame, e i punteggi degli studenti sono tutti diversi. b) Se tutte le classifiche si pensano equiprobabili, qual è la probabilità che le quattro studentesse ottengano i punteggi migliori?
44 Esempio 1 15 / 27 Un corso di probabilità è frequentato da 10 studenti: 6 maschi e 4 femmine. Viene effettuato un esame, e i punteggi degli studenti sono tutti diversi. b) Se tutte le classifiche si pensano equiprobabili, qual è la probabilità che le quattro studentesse ottengano i punteggi migliori? Poichè ci sono 4! possibili classifiche delle sole studentesse e 6! dei soli maschi. Ogni volta che le prime quattro posizioni sono occupate da donne, allora le altre 6 devono essere occupate da uomini, per cui le possibili classifiche cercate, i casi favorevoli, sono in numero di: N F = 4! 6! = = 17280
45 Esempio 1 Un corso di probabilità è frequentato da 10 studenti: 6 maschi e 4 femmine. Viene effettuato un esame, e i punteggi degli studenti sono tutti diversi. b) Se tutte le classifiche si pensano equiprobabili, qual è la probabilità che le quattro studentesse ottengano i punteggi migliori? Poichè ci sono 4! possibili classifiche delle sole studentesse e 6! dei soli maschi. Ogni volta che le prime quattro posizioni sono occupate da donne, allora le altre 6 devono essere occupate da uomini, per cui le possibili classifiche cercate, i casi favorevoli, sono in numero di: N F = 4! 6! = = se indichiamo con A l evento le quattro studentesse ottengono i punteggi migliori si ha la probabilità P(A) = 4! 6! 10! = = = = / 27
46 Esempio 2 16 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. a. Qual è la probabilità che un abitante scelto a caso sia Norvegese?
47 Esempio 2 16 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. a. Qual è la probabilità che un abitante scelto a caso sia Norvegese? Se indichiamo con N:numero di abitanti e n:numero di Norvegesi allora N = n =
48 Esempio 2 16 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. a. Qual è la probabilità che un abitante scelto a caso sia Norvegese? Se indichiamo con N:numero di abitanti e n:numero di Norvegesi allora N = n = Indichiamo l evento A: abitante scelto a caso norvegese, allora P(A) = n N = = 1 6 = dove abbiamo usato la definizione classica di probabilitá, ponendo al numeratore il numero di casi favorevoli (n) e al denominatore il numero di casi possibili (N).
49 Esempio 2 17 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. b. Qual è la probabilità che un campione di 2 abitanti sia costituito da 2 Norvegesi?
50 Esempio 2 17 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. b. Qual è la probabilità che un campione di 2 abitanti sia costituito da 2 Norvegesi? Usiamo nuovamente la definizione classica, ma ora il numero di casi favorevoli è dato da tutti i modi in cui posso selezionare 2 norvegesi tra n=20000, ossia le combinazioni di 2 oggetti tra ( ) C 2000,2 = 2
51 Esempio 2 17 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. b. Qual è la probabilità che un campione di 2 abitanti sia costituito da 2 Norvegesi? Usiamo nuovamente la definizione classica, ma ora il numero di casi favorevoli è dato da tutti i modi in cui posso selezionare 2 norvegesi tra n=20000, ossia le combinazioni di 2 oggetti tra ( ) C 2000,2 = 2 mentre il numero di casi possibili è dato da tutti i modi in cui possono essere selezionati due abitanti tra il totale di N = , ossia le combinazioni di 2 oggetti tra ( ) C 12000,2 =. 2
52 Esempio 2 17 / 27 In una città di abitanti ci sono Norvegesi. b. Qual è la probabilità che un campione di 2 abitanti sia costituito da 2 Norvegesi? Usiamo nuovamente la definizione classica, ma ora il numero di casi favorevoli è dato da tutti i modi in cui posso selezionare 2 norvegesi tra n=20000, ossia le combinazioni di 2 oggetti tra ( ) C 2000,2 = 2 mentre il numero di casi possibili è dato da tutti i modi in cui possono essere selezionati due abitanti tra il totale di N = , ossia le combinazioni di 2 oggetti tra ( ) C 12000,2 =. 2 In conclusione si avrà P(A) = ( ) 2 ( ) = ! 2!19998! = ! 2!119998!
53 Esempio 3 18 / 27 Determinare la probabilità che, in 4 lanci successivi di un dado, i risultati compaiano in ordine strettamente crescente.
54 Esempio 3 18 / 27 Determinare la probabilità che, in 4 lanci successivi di un dado, i risultati compaiano in ordine strettamente crescente. Si tratta di eventi equiprobabili. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 6 oggetti a gruppi di 4 N P = D (r) 6,4 = 64 = 1296
55 Esempio 3 18 / 27 Determinare la probabilità che, in 4 lanci successivi di un dado, i risultati compaiano in ordine strettamente crescente. Si tratta di eventi equiprobabili. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 6 oggetti a gruppi di 4 N P = D (r) 6,4 = 64 = 1296 I casi favorevoli si hanno quando i risultati dei 4 lanci sono distinti e in ordine crescente. Il numero di tali casi è dato dal numero delle combinazioni di 6 oggetti a gruppi di 4, perchè come gruppo rappresentativo si può scegliere quello in cui i 4 numeri sono disposti in ordine crescente ( ) 6 C 6,4) = = 6! 4 4! 2! = = 15
56 Esempio 3 Determinare la probabilità che, in 4 lanci successivi di un dado, i risultati compaiano in ordine strettamente crescente. Si tratta di eventi equiprobabili. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 6 oggetti a gruppi di 4 N P = D (r) 6,4 = 64 = 1296 I casi favorevoli si hanno quando i risultati dei 4 lanci sono distinti e in ordine crescente. Il numero di tali casi è dato dal numero delle combinazioni di 6 oggetti a gruppi di 4, perchè come gruppo rappresentativo si può scegliere quello in cui i 4 numeri sono disposti in ordine crescente ( ) 6 C 6,4) = = 6! 4 4! 2! = = 15 Se chiamiamo con A l evento d interesse, allora P(A) = = / 27
57 Esempio 4 19 / 27 Si è verificato che su 100 lanci successivi di una moneta, T (testa) si è presentata 56 volte; qual é la probabilità che nel prossimo lancio si presenti C (croce)?
58 Esempio 4 19 / 27 Si è verificato che su 100 lanci successivi di una moneta, T (testa) si è presentata 56 volte; qual é la probabilità che nel prossimo lancio si presenti C (croce)? Stiamo considerando la ripetizione di un esperimento, per cui siamo nell ottica frequentista.
59 Esempio 4 19 / 27 Si è verificato che su 100 lanci successivi di una moneta, T (testa) si è presentata 56 volte; qual é la probabilità che nel prossimo lancio si presenti C (croce)? Stiamo considerando la ripetizione di un esperimento, per cui siamo nell ottica frequentista. Se T si è presentata 56 volte su 100, allora C si è presentata 44 volte su 100 e la probabilità cercata è uguale alla frequenza relativa osservata P = = 0.44
60 Esempio 5 20 / 27 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è 0.29.
61 Esempio 5 20 / 27 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è Calcolare la probabilità che un pezzo li presenti entrambi, e la probabilità che non abbia alcun difetto.
62 Esempio 5 20 / 27 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è Calcolare la probabilità che un pezzo li presenti entrambi, e la probabilità che non abbia alcun difetto. Evento A = è presente il primo difetto ; Evento B = è presente il secondo difetto.
63 Esempio 5 20 / 27 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è Calcolare la probabilità che un pezzo li presenti entrambi, e la probabilità che non abbia alcun difetto. Evento A = è presente il primo difetto ; Evento B = è presente il secondo difetto. Sappiamo che P(A) = 0.1, P(B c ) = 0.8 dobbiamo calcolare P(A c B c ). Per la regola del complementare sappiamo che P(A c ) = 0.9, P(B) = 0.2 Consideriamo la regola additiva: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
64 Esempio 5 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è Calcolare la probabilità che un pezzo li presenti entrambi, e la probabilità che non abbia alcun difetto. Evento A = è presente il primo difetto ; Evento B = è presente il secondo difetto. Sappiamo che P(A) = 0.1, P(B c ) = 0.8 dobbiamo calcolare P(A c B c ). Per la regola del complementare sappiamo che P(A c ) = 0.9, P(B) = 0.2 Consideriamo la regola additiva: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) = = = / 27
65 Esempio 5 21 / 27 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è 0.29.
66 Esempio 5 21 / 27 Supponiamo che i pezzi prodotti da una certa macchina possano avere due tipi di difetti. E noto che la probabilità che un pezzo presenti il primo difetto è 0.1, la probabilità che non presenti il secondo difetto è 0.8, la probabilità che presenti uno o l altro difetto è Calcolare la probabilità che un pezzo li presenti entrambi, e la probabilità che non abbia alcun difetto. Evento A = è presente il primo difetto ; Evento B = è presente il secondo difetto. Sappiamo che P(A) = 0.1, P(B c ) = 0.8 dobbiamo calcolare P(A c B c ). Per la regola del complementare sappiamo che P(A c ) = 0.9, P(B) = 0.2 Per il secondo punto si avrà P(A c B c ) = 1 P(A B) = = 0.71
67 Esercizio 22 / 27 Si estrae una carta a caso da un mazzo di 52 carte. probabilità che sia: a) un asso; b) un fante di cuori; c) un 3 di picche o un 6 di fiori; d) un cuori; e) un seme diverso da cuori; f) un 10 o un quadri. Calcolare la
68 Esercizio 23 / 27 Un urna contiene 8 palline bianche, 9 azzurre e 10 rosse. Estraendo a caso 3 palline senza rimetterle nell urna, determinare la probabilità che, al termine dell esperimento casuale, le palline siano a) 1 bianca e 2 azzurre b) almeno una azzurra c) una di ciascun colore. Calcolare, infine, la probabilità che siano nell ordine 1 bianca, 1 azzurra e 1 rossa.
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![P (A) = P (B) = P (A ^ B) = P (A _ B) = P (A _ A c B)= P ([A _ B] ^ [A c _ B c ]) =](/thumbs/60/44901085.jpg "P (A) = P (B) = P (A ^ B) = P (A _ B) = P (A _ A c B)= P ([A _ B] ^ [A c _ B c ]) =")
Esercizio 7 2 Un esperimento consiste nel lanciare una moneta e nell estrarre una pallina da un urna contenente 4 palline numerate da 1 a 4. Consideriamo gli eventi: A = Esce Testa, B = Si estrae la pallina
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