ESERCIZI DI STATISTICA SOCIALE

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1 ESERCIZI DI STATISTICA SOCIALE

2 FREQUENZA ASSOLUTA Data una distribuzione semplice di dati, ovvero una serie di microdati, si chiama frequenza assoluta di ogni modalità del carattere studiato il numero di volte in cui tale modalità compare. La frequenza assoluta è dunque il risultato di un conteggio. Una Tabella di frequenze è una tabella in cui nella colonna di sinistra sono riportate le modalità del carattere e in quella di destra le corrispondenti frequenze assolute. Neri Grigi Marroni Verdi Marroni Marroni Marroni Verdi Blu Neri Marroni Neri Neri Marroni Marroni Grigi Blu Marroni Neri Verdi Se ad esempio su un collettivo di 20 persone viene registrato il colore degli occhi (elenco a sinistra), la corrispondente tabella delle frequenze assolute è la seguente: Modalità Freq. Assolute Neri 5 Marroni 8 Grigi 2 Verdi 3 Blu 2 Totale 20 Le frequenze assolute hanno la proprietà che la loro somma è pari alla numerosità della popolazione o collettivo sul quale sono state conteggiate.

3 FREQUENZA RELATIVA Si dice frequenza relativa di una modalità la frazione o proporzione di unità statistiche che presentano tale modalità. In sostanza la frequenza relativa di una modalità è pari alla sua frequenza assoluta divisa per la numerosità della popolazione o collettivo. Modalità Freq. Assolute Freq. Relative Neri 5 0,25 Marroni 8 0,4 Grigi 2 0,1 Verdi 3 0,15 Blu 2 0,1 Totale 20 1 La Freq. Relativa della modalità Neri è pari alla sua frequenza assoluta, cioè 5, divisa per la numerosità del collettivo; essa è dunque pari a 5/20=0,25. Analogo discorso per le altre. Le frequenze relative hanno le seguenti proprietà: 1) Ogni frequenza relativa è compresa tra 0 e 1; 2) La somma di tutte le frequenze relative è sempre pari a 1

4 MODA Si dice moda di distribuzione di dati la modalità cui corrisponde la più grande frequenza assoluta (e quindi anche la più grande frequenza relativa). In altre parole la moda è la modalità prevalente, quella che compare più volte nell insieme dei dati. Modalità Freq. Assolute Freq. Relative Neri 5 0,25 Marroni 8 0,4 Grigi 2 0,1 Verdi 3 0,15 Blu 2 0,1 Totale 20 1 Nel nostro esempio la moda è la modalità occhi marroni perché a tale modalità corrisponde la frequenza assoluta maggiore (e dunque anche la La Freq. Relativa). Va rimarcato il fatto che la moda è la modalità e non la frequenza: la moda non è 8, bensì occhi marroni. Una distribuzione di dati può essere anche bimodale, trimodale etc se più modalità condividono la stessa frequenza maggiore. Il contenuto informativo della moda come misura di tendenza centrale è piuttosto limitato: essa segnala il valore maggiore, ma nulla ci dice su come è distribuita la variabile oggetto di studio.

5 FREQUENZA RELATIVA CUMULATA Se un carattere è ordinabile, e quindi è qualitativo ordinale o quantitativo, è allora possibile costruire un ulteriore tipo di frequenze relative dette cumulate. Per ogni modalità, la frequenza relativa cumulata è pari alla somma della sua frequenza relativa e delle frequenze relative di tutte le modalità che la precedono nell ordine: Modalità Freq. assolute Freq. relative Freq. relative cumulate Licenza elementare 2 0,05 0,05 Licenza media 6 0,15 0,2 Diploma 14 0,35 0,55 Laurea 12 0,3 0,85 Titoli post lauream 6 0,15 1 Totale 40 1 La Freq. relativa cumulata della modalità Licenza elementare è pari alla sua frequenza relativa, perché non è preceduta da nessun altra modalità. La Freq. relativa cumulata della modalità Licenza media è pari a 0,2=0,15+0,05, ovvero alla somma della sua frequenza relativa più quella della modalità precedente (perché solo una modalità la precede) e così via. Per costruzione la frequenza relativa cumulata dell ultima modalità nell ordinamento è sempre pari a 1. La somma delle frequenze relative cumulate non si fa perché non ha senso.

6 MEDIANA Data una distribuzione ordinata in senso crescente la MEDIANA è il valore che bipartisce la distribuzione lasciando uguali numero di termini a destra e a sinistra. Si può applicare alle variabili ordinabili (non ai caratteri qualitativi sconnessi) Se la numerosità del collettivo che si studia è limitata, la mediana può essere calcolata facilmente, utilizzando le due formule seguenti: Se n è dispari la mediana è il valore o la modalità che occupa la posizione (n+1)/2: Me = x (n +1)/2 Se n è pari la mediana è il valore o la modalità che occupa la posizione (n/2)+1 Me = (x (n /2) + x (n/2+1) )/2

7 ESEMPIO 1 Si supponga di aver rilevato, su un campione di 9 individui, il numero di scarpe: 38,40,41,36,38,45,43,44,42 individuare la mediana. Prima di tutto occorre ordinare la distribuzione: 36,38,38,40,41,42,43,44,45 Essendo dispari la numerosità campionaria, la mediana è il valore che si trova nella posizione (n+1)/2 ovvero (9+1)/2=5 La mediana è dunque pari a 41

8 ESEMPIO 2 Si supponga di aver rilevato, su un campione di 10 individui, il numero di scarpe: 38,40,41,36,38,45,43,44,42,43 individuare la mediana. Prima di tutto occorre ordinare la distribuzione: 36,38,38,40,41,42,43,43,44,45 Essendo pari la numerosità campionaria, la mediana sarà data dalla semisomma (x (n /2) + x (n/2+1) )/2. Essendo x (n /2)= 41 e x (n/2+1) =42 La mediana è dunque pari a ( )/2=41,5

9 Nel caso di distribuzioni di frequenza con una elevata numerosità campionaria la mediana si individua mediante il ricorso alle frequenze cumulate. La mediana sarà la modalità al cui interno cade il 50% della distribuzione ordinata dei dati. Modalità Freq. assolute Freq. relative Freq. relative cumulate Licenza elementare 2 0,05 0,05 Licenza media 6 0,15 0,2 Diploma 14 0,35 0,55 Laurea 12 0,3 0,85 Titoli post lauream 6 0,15 1 Totale 40 1 Nell esempio la mediana è evidentemente pari alla modalità Diploma, dato che in corrispondenza di tale modalità ricade il 50% della distribuzione ordinata ( il «pezzo» di distribuzione ordinata compreso tra il 20% e il 55% è occupato dalla modalità Diploma: il 50% è all interno di tale pezzo è dunque la mediana è proprio la modalità Diploma).

10 GLI ISTOGRAMMI Un istogramma è una rappresentazione grafica che si utilizza nel caso di dati quantitativi suddivisi in classi. Se nel caso dei più semplici diagrammi a barre, la base dei rettangoli non ha nessun significato e l altezza è pari alla frequenza assoluta o relativa di ciascuna modalità, nel caso degli istogrammi è l area di ciascun rettangolo ad essere pari alla frequenza relativa della classe rappresentata. Se la base è pari all ampiezza della classe, occorre invece introdurre il concetto di densità di frequenza per calcolare l altezza: si dice densità di frequenza di una classe la sua frequenza relativa divisa per l ampiezza della classe. La densità è una caratteristica che misura quanto le unità statistiche si addensano nelle varie classi. In questo modo l area del triangolo, pari al prodotto tra la sua base e la sua altezza, è proprio pari alla frequenza relativa della classe. Diversamente dai rettangoli che si usano nei diagrammi a barre, che sono separati tra loro, nel caso degli istogrammi i rettangoli sono contigui.

11 ESEMPIO La casa produttrice di un noto prodotto alimentare svolge un'indagine sulla distribuzione per età dei consumatori. Intervista 200 persone e trova la seguente distribuzione di età, carattere quantitativo suddiviso in classi: Classe d'età numero di consumatori Totale 200 Per rappresentare correttamente l istogramma è necessario procedere ai calcoli riportati in tabella. La prima colonna rappresenta l ampiezza della classe (differenza tra estremo superiore ed estremo inferiore della classe). La seconda e la terza colonna sono rispettivamente la frequenza assoluta e quella relativa della classe e l ultima colonna è la densità di frequenza della classe, rapporto tra la frequenza relativa e l ampiezza della classe stessa.

12 Ad esempio 0,28 (densità di frequenza della prima classe, è pari al rapporto tra 0,14 (frequenza relativa della classe) e 5 (ampiezza della classe). Analogo discorso per tutte le altre classi. Il risultato è il grafico seguente:

13 LA MEDIA ARITMETICA La media aritmetica è la misura di tendenza centrale più impiegata nel caso di caratteri quantitativi. Se i dati sono sotto forma di distribuzione semplice, la media aritmetica si ottiene sommando tutti i valori dell adistribuzione di dati e dividendo il totale per la numerosità del collettivo. Es. Misurando le altezze di un collettivo di 10 persone sono stati ottenuti i seguenti valori, espressi in cm: 171, 178, 183, 184, 176, 178, 180, 188, 191, 177 La media aritmetica è pari a: M=( )/10 = 180,6 cm

14 Se i dati sono sotto forma di tabelle di frequenze assolute o relative, la media aritmetica si calcola rispettivamente: -sommando i prodotti di ciascuna modalità per la sua frequenza assoluta e dividendo il totale per la numerosità del collettivo; -sommando i prodotti di ciascuna modalità per la sua frequenza relativa. Es. Data la seguente tabella di frequenze assolute, relative al numero di automobili possedute da un collettivo di 20 famiglie Modalità Freq. Assolute Totale 20 La media aritmetica è pari a: M=[ (0*2) + (1*9) + (2*6) + (3*3) ] / 20 = 1,5

15 Es. Data la seguente tabella di frequenze relative, relative al numero di automobili possedute da un collettivo di 20 famiglie Modalità Freq. relative 0 0,1 1 0,45 2 0,3 3 0,15 Totale 1 La media aritmetica è pari a: M=[ (0*0,1) + (1*0,45) + (2*0,3) + (3*0,15) ] = 1,5

16 Se i dati sono forniti di un sistema di pesi, come ad esempio i voti degli esami universitari, ai quali è associato un diverso numero di CFU, la media aritmetica si dice ponderata e si calcola sommando i prodotti tra ciascun valore e il suo peso e dividendo il totale per la somma dei pesi. Es. Data le votazioni riportate ai seguenti esami ciascuno caratterizzato da un certo numero di CFU- da uno studente universitario Esame Voto CFU Storia 27/30 6 Geografia 30/30 3 Archeologia 28/30 6 Musica 27/30 12 Statistica 25/30 6 La media aritmetica ponderata è pari a: M=[ (27*6) + (30*3) + (28*6) + (27*12) + (25*6) ] / 33 = 27,1 Dove 33 è la somma dei pesi associati alle unità statistiche, in questo caso i CFU associati a ciascun esame. (Notare che la media aritmetica semplice avrebbe fornito come risultato il valore 27,4).

17 LA VARIANZA La varianza σ² è una delle principali misure di variabilità e ci dice quanto i dati sono vicini tra loro, e dunque quanto bene possano essere sintetizzati da una singola misura di tendenza centrale, nello specifico la media aritmetica. La deviazione standard σ è la radice quadrata della varianza, e si usa perché, diversamente dalla varianza, è espressa nella stessa unità di misura dei dati originali. Se i dati sono sotto forma di distribuzione semplice, la varianza si ottiene sommando i quadrati degli scarti di ciascun dato dalla media aritmetica) e dividendo il totale per la numerosità del collettivo. Es. Utilizzando il collettivo delle altezze già impiegato nel caso della media (171, 178, 183, 184, 176, 178, 180, 188, 191, 177) La varianza è pari a: σ²=[( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²+( ,6)²]/10 = 32,04cm² σ=5,66 cm

18 Se i dati sono sotto forma di tabelle di frequenze assolute o relative, la varianza si calcola rispettivamente: -sommando i quadrati degli scarti tra ciascuna modalità e la media aritmetica, ciascuno moltiplicato per la frequenza assoluta della modalità e dividendo il totale per la numerosità del collettivo; -sommando i quadrati degli scarti tra ciascuna modalità e la media aritmetica, ciascuno moltiplicato per la frequenza assoluta della modalità e dividendo il totale per la numerosità del collettivo; Es. Utilizzando la tabella di frequenze assolute delle automobili già impiegata nel caso della media: Modalità Freq. Assolute Totale 20 La varianza e la deviazione standard sono pari a: σ²=[(0-1,5)²*2 + (1-1,5)²*9 + (2-1,5)²*6 + (3-1,5)²*3]/20 = 0,75 σ=0,87

19 Se la tabella riporta le frequenze relative Modalità Freq. relative 0 0,1 1 0,45 2 0,3 3 0,15 Totale 1 La varianza e la deviazione standard sono date da: σ²=[(0-1,5)²*0,1 + (1-1,5)²*0,45 + (2-1,5)²*0,3 + (3-1,5)²*0,15] = 0,75 σ=0,87

20 LA DIFFERENZA INTERQUARTILE Un altro indice di variabilità è la differenza interquartile, data dalla differenza tra il terzo e d il primo quartile. Sebbene i quartili siano calcolabili per dati che siano ordinabili, in particolare la differenza interquartile ha senso solo nel caso di dati numerici. Come nel caso della mediana, i quartili si individuano mediante il ricorso alle frequenze cumulate. La tabella riporta il numero di figli per donna registrato su un collettivo di 40 donne. Il primo quartile Q1 è la modalità che si lascia a sinistra il 25% della distribuzione ordinata dei dati, e il 75% a destra. I valori saranno speculari nel caso del terzo quartile Q3. Modalità Freq. assolute Freq. relative Freq. relative cumulate 0 7 0,18 0, ,30 0, ,35 0, ,13 0, ,05 1 Totale 40 1 Nell esempio Q1 è pari alla modalità 1, dato che in corrispondenza di tale modalità ricade la quota di distribuzione ordinata compresa tra 18% e 48% ( e dunque vi ricade il 25%). Q3 sarà invece dato dalla modalità 2, dato che a tale modalità corrisponde la quota di distribuzione ordinata compresa tra 48% e 83% ( e dunque vi ricade il 75%). La differenza interquartile è dunque pari a Q3-Q1=2-1=1