2x + y 2 = 0 2x z 1 = 0 π : x 2y + 2z 1 = 0

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1 SCRIVERE IN MODO LEGGIBILE NOME E COGNOME! CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome: Nome: luglio 8 Matricola: Corso di Laurea:. (8 pt Si consideri la matrice A = ( (a Determinare il polinomio caratteristico di A (b Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche e geometriche. (c Determinare una base di ciascun autospaio di A. (d Discutere se esiste una matrice invertibile N tale che N AN è diagonale. In caso positivo esibire la matrice. In caso negativo determinare una matrice B che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A ma che non sia simile ad A. Autovalori: semplice doppio V = Span(( 3. (8pt V = Span((, (, (o anche ( 3 Si fissi un riferimento cartesiano R(O, î, ĵ, ˆk nello spaio euclideo. Si considerino ( ( ( 5 i punti P, P e P 3 di coordinate rispettivamente 4,,,. 3 (a Determinare le equaioni cartesiane della retta r passante per P e P : (b Determinare l equaione cartesiana del piano π passante per P 3 e ortogonale a r: (c Determinare il punto di interseione Q di r con π: (d Determinare la distana di P da π. r : { x + y = x = π : x y + = ( 7/9 Q = 4/9 d(p, π = 6. 5/9 9

2 x 3. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = è il vettore delle t incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale k: A = ( ( + k 4 k 4 k k 3k, B = k. k (a Determinare il rango di A al variare di k: (b Determinare per quali valori di k il sistema ammette soluioni: (c Determinare per quali valori di k lo spaio delle soluioni ha dimensione 3: (d Determinare una rappresentaione parametrica della varietà delle soluioni per k =. k rg A rg à S? dim S sì no altrim. 3 3 sì Risolubile per k 3, dim Sol = 3 per k =. Soluione per k = : x 3/ /4 = + t t 3/4, t R

3 SCRIVERE IN MODO LEGGIBILE NOME E COGNOME! CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: luglio 8 Matricola: Anno di corso:. (8 pt Si consideri la matrice A = ( (a Determinare il polinomio caratteristico di A (b Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche e geometriche. (c Determinare una base di ciascun autospaio di A. (d Discutere se esiste una matrice invertibile N tale che N AN è diagonale. In caso positivo esibire la matrice. In caso negativo determinare una matrice B che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A ma che non sia simile ad A. Autovalori: doppio semplice V = Span((, V = Span(( 3. (8 pt Si fissi un riferimento cartesiano R(O, î, ĵ, ˆk nello spaio euclideo. Si ( ( ( 3 7 considerino i punti P, P e P 3 di coordinate rispettivamente,,, 3. 3 (a Determinare le equaioni cartesiane della retta r passante per P e P : (b Determinare l equaione cartesiana del piano π passante per P 3 e ortogonale a r: (c Determinare il punto di interseione Q di r con π: (d Determinare l angolo fra QP e QP 3. r : { x = y 3 7 = π : 4x 3y + 37 = ( 5 Q = 5 angolo = π/.

4 x 3. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = è il vettore delle t incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale k: A = ( k k 5 4 k 4, B = k 3 3k 9 k 6 (a Determinare il rango di A al variare di k: ( k +. 3 (b Determinare per quali valori di k il sistema ammette soluioni: (c Determinare per quali valori di k lo spaio delle soluioni ha dimensione : (d Determinare una rappresentaione parametrica della varietà delle soluioni per k =. Risolubile per k 3, dim Sol = per k, 3. Soluione per k = : k rg A rg à S? dim S sì 3 no altrim. 3 3 sì x 3/ 3/ = + t, t R t

5 SCRIVERE IN MODO LEGGIBILE NOME E COGNOME! CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: luglio 8 Matricola: Anno di corso:. (8 pt Si consideri la matrice A = ( (a Determinare il polinomio caratteristico di A (b Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche e geometriche. (c Determinare una base di ciascun autospaio di A. (d Discutere se esiste una matrice invertibile N tale che N AN è diagonale. In caso positivo esibire la matrice. In caso negativo determinare una matrice B che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A ma che non sia simile ad A. Autovalori: semplice doppio V = Span(( V = Span(( 4, ( 5 3 (o anche Span(( 3, (.. (8 pt Si fissi un riferimento cartesiano R(O, î, ĵ, ˆk nello spaio euclideo. Si ( ( ( 3 considerino i punti P, P e P 3 di coordinate rispettivamente 4,,, 5. (a Determinare le equaioni cartesiane della retta r passante per P e P : (b Determinare l equaione cartesiana del piano π passante per P 3 e ortogonale a r: (c Determinare il punto di interseione Q di r con π: (d Determinare la distana di P da π. r : { y + = x + = π : x y + = ( 5/9 Q = 4/9 d(p, π = 7. 7/9 9

6 x 3. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = è il vettore delle t incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale k: A = ( ( k k 3k k k 3k 4 4, B = k. 3k (a Determinare il rango di A al variare di k: (b Determinare per quali valori di k il sistema ammette soluioni: (c Determinare per quali valori di k lo spaio delle soluioni ha dimensione : (d Determinare una rappresentaione parametrica della varietà delle soluioni per k =. Risolubile per k, dim Sol = per k =. Soluione per k = : k rg A rg à S? dim S no - sì altrim. 3 3 sì x /9 /9 = + t t 8/9, t R

7 SCRIVERE IN MODO LEGGIBILE NOME E COGNOME! CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: luglio 8 Matricola: Anno di corso:. (8 pt Si consideri la matrice A = ( (a Determinare il polinomio caratteristico di A (b Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche e geometriche. (c Determinare una base di ciascun autospaio di A. (d Discutere se esiste una matrice invertibile N tale che N AN è diagonale. In caso positivo esibire la matrice. In caso negativo determinare una matrice B che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A ma che non sia simile ad A. Autovalori: semplice doppio V = Span(( V = Span(( 4. (8 pt Si fissi un riferimento cartesiano R(O, î, ĵ, ˆk nello spaio euclideo. Si ( ( ( 3 7 considerino i punti P, P e P 3 di coordinate rispettivamente 3,,. 3 (a Determinare le equaioni cartesiane della retta r passante per P e P : (b Determinare l equaione cartesiana del piano π passante per P 3 e ortogonale a r: (c Determinare il punto di interseione Q di r con π: (d Determinare l angolo fra QP e QP 3. r : { x + y + 3 = 3y 7 = π : 4x y = ( 5 Q = 5 angolo = π/.

8 x 3. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = è il vettore delle t incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale k: A = ( 3k 8 ( 3k 4 3k 4, B = + k. 3k 6 k k k (a Determinare il rango di A al variare di k: (b Determinare per quali valori di k il sistema ammette soluioni: (c Determinare per quali valori di k lo spaio delle soluioni ha dimensione 3: (d Determinare una rappresentaione parametrica della varietà delle soluioni per k =. Risolubile per k, dim Sol = 3 per k =. Soluione per k = : k rg A rg à S? dim S 3 no sì 3 altrim. 3 3 sì x 7/9 /3 = + t, t R t /9