Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE HERMITIANO

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1 Enrio Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE HERMITIANO

2 Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo la Quantizzazione del ampo salare hermitiano si inontrano rihiami ai seguenti studi: a Introduzione alla quantizzazione dei ampi b Il teorema di Nöther he fanno parte di fisiarivisitata e he devono essere ben noti a hi si interessa alla quantizzazione dei ampi seguendo la presentazione he di questo argomento viene data in questo studio.

3 Per quantizzare il ampo salare reale seguiremo la proedura delineata nello studio a salvo il fatto he le espressioni degli operatori assoiati alle variabili dinamihe verranno determinate non ome indiato al punto 7. di quello studio, ma faendo riorso al Teorema di Nöther v. pag. dello studio a. A questo sopo assumiamo ome densità lagrangiana del ampo reale ψ l espressione dello studio a he risriviamo osì L ψ, ψ = ψ ψ x α i hgβµ i h m 0 xβ x µ m 0ψ ; [L] = MLT [ψ ] Da questa, essendo L = ψ m 0 i hgαµ i h ψ x µ m 0 i hgβα i h ψ x β = ψ i hi h m 0 x α x α si riava il tensore densità di energia-momento v. eq. dello studio b T α β = ψ ψ i hi h m 0 x α x β δα βl ; α,β = 0,,,3 da ui si ottiene il quadrivettore energia-momento espresso dall eq. 5 dello studio b he qui risriviamo: P β = L energia vale: T 0 βdr = h ψ ψ m 0 t x β dr δ0 β LdR ; P P0 E/ 3 ±P ±P P 0 = h ψ dr h ψ ψ dr m 0 t m 0 x µ x µ m 0 ψ dr = h ψ dr h ψ ψ ψ} dr m 0 t m 0 t m 0 ψ dr = h ψ } ψ m 0 t t ψ ψ m 0 h ψ dr } = h ψ ψ ψ m 0 dr 4 m 0 t h ψ La parte spaziale del quadrivettore energia-momento è espressa da P = T 0 dr = h ψ ψ dr ; =,,3 5 m 0 t x Del momento angolare e dello spin del ampo he è nullo perhé il ampo è salare si parla a pag. 8 dello studio b. 3

4 Dalla 66 dello studio b riaviamo l espressione della orrente del ampo j γ = L L iψ ψ ψ iψ x γ x γ he risulta essere nulla perhé il ampo he stiamo onsiderando è reale e quindi ψ = ψ. Assumiamo ome variabile lagrangiana l eq. dello studio a, he è stata ottenuta normalizzando in una satola di volume l eq. 7 dello stesso studio a: ψr = ae i R a e i R} ω Per motivi he appariranno hiari più avanti, introduiamo alune ostanti effettuando la sostituzione da a m0 6 h e si ha osì, in definitiva: ψr = m 0 hω ae i R a e i R} 7 Per determinare l energia P 0 oorre espliitare i termini he ompaiono nell integrando a membro destro della 4. Si ottiene: m 0 ψ = iae i R ia e i R} hω m 0 = i ae i R a e i R} hω e quindi, essendo R = ω t R e R = ω t R, si ha ψ ψ = m 0 h aa e i R aa e i R ω ω, e si ottiene anhe ψ t = a a e i R a a e i R 8 m 0 hω iω ae i R iω } a e i R m 0 = iω ae i R a e i R} hω 4

5 e quindi si ha ψ = t, m 0 h ω ω ω ω aa e i R aa e i R e infine ψ =, m 0 h ω ω a a e i R a a e i R 9 aa e i R aa e i R a a e i R a a e i R 0 Sostituendo nella 4 le espressioni 9, 8 e 0 e tenendo onto del fatto he h m 0 m 0 h ψ dr = m 0 ψ dr = m 0 m 0 h...dr ω ω, = h m 0 h... dr ω ω si ottiene P 0 = h, ω ω ω ω, aa e i R aa e i R a a e i R a a e i R m 0 h ω ω aa e i R aa e i R a a e i R a a e i R } dr Raogliendo opportunamente segue P 0 = h ω ω ω ω, m 0 h ω ω Ora osserviamo he ω ω m 0 h m 0 h ω ω m 0 h e i R dr = e iω ω t 5 aa e i R aa e i R a a e i R } a a e i R dr e i R dr

6 e anhe e i R dr = e iω ω t e i R dr Riordando una delle possibili definizioni della funzione δ di Dira v. l eq. N8 della Appendie N dello studio Reinterpretare l Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meania quantistia he qui risriviamo π 3 e ±ir ξ d = δr ξ, adattando le variabili al aso presente e tenendo onto del fatto he ora è una quantità disreta v. pag. 8 dello studio a si ha e ±i R dr = δ 3 periò la diviene e i R dr = e iω ω t δ e la osihé P 0 = h P 0 = h ω ω e i R dr = e iω ω t δ 4 ω ω m 0 h aa e iω ω t δ ω ω m 0 h ω ω m 0 h ω ω m 0 h da ui, per la proprietà fondamentale della funzione δ di Dira ω ω ω ω ω m 0 h m 0 h ω aa m 0 h ω ω m 0 h aa e iω ω t δ a a e iω ω t δ Ora oorre tener presente la 9 dello studio a he qui risriviamo ω = m 0 h 6 } a a e iω ω t δ aa e iω ω t a a a a e iω ω t }

7 e dalla quale risulta he ω = ω osihé P 0 = h ω m 0 h ω ω m 0 h aa aa e iω ω t ω m 0 h ω m 0 h a a a a e iω ω t } e quindi da ui P 0 = h P 0 = ω ω aa a a } 5 hω aa a a } 6 * * * È bene sottolineare he finora non abbiamo introdotto nessun proedimento di quantizzazione del ampo salare hermitiano, he è stato desritto da una oordinata lagrangiana di ampo ψ ottenuta risolvendo una equazione d onda lassia e normalizzando in una satola anhe se i prodotti di a e a sono stati trattati avendo in mente he diventeranno prodotti di operatori e per questo motivo aa è stato tenuto distinto da a a. Assumiamo ora, in aordo on il punto 5. dello studio a, he ψ sia un operatore espresso in funzione dell operatore di distruzione a e dell operatore di reazione a osihé la 6 diviene un equazione operatoriale he desrive l operatore energia P 0 in termini degli operatori a e a. Tenendo presente la 45 dello studio a he qui risriviamo: [a,a ] = e riordando l espressione dell operatore numero di oupazione N = a a v. eq. 47 dello studio a si ha aa = a a = N 7 La 6 diviene P 0 = hω N N } = hω N } e infine P 0 = hω N } 8 Questo è l operatore energia del sistema di partielle identihe non interagenti desritto dall operatore ψ e avente stato Ψ. Il valor medio di P 0 è espresso da P 0 = E = Ψ hω N } Ψ = hω Ψ N Ψ Ψ Ψ } 7

8 ovvero, tenendo onto della 5 dello studio a: E = hω n 9 Con sviluppo analogo si ottiene per l operatore momento l espressione P = h N } 0 Il valor medio dell operatore momento P è espresso da P = h n Si noti he nella la P, he è una variabile dinamia, è uguale alla P he ompare nella 0 ome operatore. Si tratta, ovviamente, di due quantità diverse he sembrano essere state definite in un medesimo modo solo perhé, per sempliità, nella P he ompare nella 0 la natura di operatore non è stata espliitata da un qualhe segno tipografio. h si annulla perhé la somma riguarda Si noti anhe he nella il termine addendi he hanno tutte le direzioni, osihé per ogni vi è anhe un he, sommato on, dà zero. * * * Come si vede dalla 9, l energia del ampo salare hermitiano appare essere espressa ome somma di termini iasuno assoiabile all energia quantistia di n partielle he risultano essere non dotate di spin, in aordo ol fatto he questo non è definibile in un ampo salare, e non dotate di aria, in aordo ol fatto he questa non è definibile in un ampo reale. Conviene notare he l energia di ogni partiella ha l espressione quantistiamente orretta E = hω in virtù della selta, nella 7, delle ostanti e delle posizioni dello studio a. Analogo disorso può essere fatto per il momento P = h. Riferendosi alle 9 e si usa dire he una partiella è un quanto del ampo. Ciò equivale a dire he erto tipo di partiella e quanto di un erto tipo di ampo ad essa assoiato vengono onsiderati onetti equivalenti. Nel aso he stiamo onsiderando si ha: partiella priva di aria e di spin quanto di un ampo salare reale * * * Osserviamo he se n = 0 per ogni, ioè se non vi sono partielle, l energia non si annulla ma diviene E 0 = hω Questa espressione è nota ol nome di energia di punto zero. Il valore di E 0, una volta effettuata la somma su tutti i, tende all infinito. Questo fatto, he riguarda anhe P, è aratteristio della proedura di quantizzazione di tutti i ampi, non solo di quello salare reale he stiamo onsiderando. Esso ostituise un 8

9 problema he, allo stato attuale dello sviluppo della Fisia, viene sempliemente ignorato faendo riorso a proedure di eliminazione degli infiniti he verranno presentate nella digressione he segue. * * * Per far somparire i termini divergenti quelli assoiati al vuoto nelle espressioni degli operatori assoiati alle variabili dinamihe, si può proedere anhe in un altro modo postulando per le forme ovarianti bilineari la presrizione di ordinamento normale, a seguito della quale vengono generati prodotti normali di operatori, ioè prodotti in ui v. l eq. 5 dello studio a gli operatori di distruzione parte a frequenza positiva ψ R = ω ae i R d = ω ae iω t R d sono tutti a destra degli operatori di reazione parte a frequenza negativa. ψ R = ω a e i R d = ω a e i ω t R d ediamo in dettaglio di he osa si tratta. Gli operatori di ampo sono espressi, ome sappiamo, dalla somma di una parte a frequenza positiva e di una a frequenza negativa. Segue da iò he il prodotto ordinario degli operatori ψr = ψ R ψ R e ϕ = ϕ R ϕ R è espresso da ψrϕr = ψ R ψ R ϕ R ϕ R = ψ Rϕ R ψ Rϕ R ψ Rϕ R ψ Rϕ R 3 Ciò posto, il orrispondente prodotto normale per ψ e ϕ, per i quali assumiamo he valga la regola di ommutazione [a,a ] =, si ottiene dalla 3 lasiando invariati i termini in ui l operatore di distruzione è a destra di quello di reazione e risrivendo on fattori invertiti, e senza tener onto delle regole di ommutazione, i termini in ui l operatore di distruzione è a sinistra di quello di reazione Il simbolo di prodotto normale è il prodotto ordinario preeduto e seguito da un doppio punto: : ψrϕr := ψ Rϕ R ψ Rϕ R ϕ Rψ R Esempio. ψ Rϕ R 4 L ordinamento normale appliato alla 6 dopo averla trasformata in relazione operatoriale fornise: : P 0 := hω : aa a a } : 9

10 ovvero Il termine : P 0 := hω hω è somparso. a a a a = hω N 5 * * * L ordinamento normale è un artifiio he, appliato agli operatori assoiati alle variabili dinamihe definite dal Teorema di Nöther per un ampo desrittore di un sistema di partielle, elimina i termini divergenti he la quantizzazione fa omparire nelle espressioni di tali operatori. Quale è il suo signifiato fisio? Per rispondere a questa domanda onsideriamo, per fissare le idee, l operatore v. l eq. 8: P 0 = hω N } e risrivamolo osì P 0 hω = hω N Notiamo he il membro sinistro è la differenza fra P 0, operatore assoiato alla somma dell energia delle partielle-quanti del ampo salare hermitiano e dell energia del vuoto, e l operatore assoiato all energia del vuoto, mentre il membro destro oinide ol membro destro della 5. Dunque la proedura di ordinamento normale permette di dare formulazione semplie e immediata a quanto Dira aveva proposto ome interpretazione fisia della sua equazione per l elettrone, interpretazione he riportiamo dalla pag. 59 dello studio L equazione di Dira presente in fisiarivisitata sostituendo l elettrone on i quanti del ampo salare hermitiano: l energia del sistema di quanti è la differenza fra l energia totale del sistema quanti vuoto e l energia del vuoto. Ovviamente l operazione di sottrazione fra quantità he tendono all infinito è matematiamente non ben definita, tuttavia è in grado di fornire, in pratia, risultati soddisfaenti e sarà ripresa, in un ontesto più ompliato, quando verrà trattata la quantizzazione di ampi in interazione. 0