Energia di vuoto ed Effetto Casimir

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL SALENTO Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica Tesi di laurea triennale Energia di vuoto ed Effetto Casimir Relatore: Prof. Claudio Corianò Candidato: Federica Cataldini Anno accademico

2 ii Ai miei nonni

3 Muss es sein? Es muss sein! Ludwig van Beethoven iii

4 Prefazione Lo sviluppo della meccanica quantistica ha fornito una descrizione della realtà che spesso esula da ogni logica e previsione classica. Uno dei risultati più importanti, legato tutt oggi a problematiche non risolte, è l esistenza di un energia di vuoto. In elettrodinamica classica non vi è motivo per cui nel vuoto debba esserci radiazione elettromagnetica, ma già nel 191 Planck, concentrato sullo studio dello spettro del corpo nero, trovò un energia di punto zero, partendo dalla sola ipotesi che la radiazione fosse costituita da quanti discreti e indistinguibili di energia. Da quel momento, in un susseguirsi di eventi, la teoria quantistica prese forma e fu dalla quantizzazione del campo elettromagnetico che riemerse l energia di vuoto. La presente tesi si propone di esporre gli aspetti salienti dei fenomeni ad essa legati, con particolare attenzione per l effetto Casimir, i cui risvolti abbracciano vasti ambiti della fisica. Il primo capitolo richiama le proprietà fondamentali dell elettromagnetismo classico, presupposto essenziale per l analisi quantistica. Verranno introdotte e illustrate le trasformazioni di gauge e si adopererà in particolare la gauge di Coulomb per dimostrare che, nel vuoto, il potenziale vettore e i campi elettromagnetici soddisfano l equazione di D Alembert e dunque si rappresentano in termini di sovrapposizione di onde piane polarizzate. Risolvendo poi l equazione delle onde per il potenziale vettore entro un volume cubico, si dimostrerà che l hamiltoniana del campo coincide con quella di un sistema di infiniti oscillatori armonici disaccoppiati. Ogni frequenza di oscillazione del campo elettromagnetico sarà rappresentata da un oscillatore armonico, a cui si attribuisce il nome di modo normale. A questo punto, sfruttando il principio di corrispondenza, si procederà con la quantizzazione del campo elettromagnetico. Come nel caso dell oscillatore, verranno definiti gli operatori di creazione e annichilazione, i quali consentiranno di rappresentare 1

5 l energia in termini di quantità discrete, i fotoni; si giungerà ad un espressione dei campi analoga a quella classica, dove le ampiezze saranno sostituite dai due operatori citati. Dalla trattazione emergerà uno spettro discreto per l energia del campo, corrispondente alla quello di infiniti oscillatori armonici, e fluttuazioni non nulle nello stato fondamentale, lo stato di vuoto. L origine del punto zero dell energia risiede nella non commutabilità degli operatori di creazione e annichilazione, e in virtù del principio di indeterminazione, le fluttuazioni di vuoto si potranno associare a fotoni virtuali che si annichilano a vicenda. La comparsa in elettrodinamica quantistica dell energia di vuoto rappresentò un punto di svolta nella fisica teorica, giacchè essa è responsabile della divergenza dell hamiltoniana di un qualunque sistema a infiniti gradi di libertà. La presenza di queste quantità infinite è cruciale, infatti se, da un punto di vista formale, l energia di vuoto può essere eliminata tramite un riordinamento normale, non si può ignorare la sua presenza in fenomeni puramente quantistici quali il Lamb shift e l effetto Casimir. Il cuore della descrizione teorica dei due fenomeni consisteva proprio nel rendere finita una quantità che, a causa dell energia di punto zero, non poteva convergere. La risoluzione del dilemma aprì le porte alla teoria quantistica dei campi. Il terzo capitolo è dedito all approfondimento di tali aspetti e alla descrizione dei due fenomeni citati. Il Lamb shift fornisce una correzione alla struttura fine dell atomo di idrogeno, dovuta all interazione fra l elettrone amico e le fluttuazioni di vuoto del campo elettromagnetico interno. L effetto Casimir è un fenomeno di natura quantistica ma che si manifesta nella realtà macroscopica: esso appare nel momento in cui si impongono condizioni al contorno al campo elettromagnetico quantizzato. Più precisamente si tratta di una forza, attrattiva nella maggior parte dei casi, che si esercita fra due lastre piane infinite e perfettamente conduttrici. Quest interazione è la manifestazione macroscopica delle fluttuazioni di vuoto vincolate dai confini materiali del sistema fisico in esame. L effetto Casimir si manifesta anche su scala atomica, provocando l attrazione fra due atomi o molecole neutre vicine; si parla in questo di forza di Casimir-Polder, è una forza a lungo raggio, strettamente legata ad un altra interazione quantistica, la forza di Van der Waals, che invece si manifesta fino a distanze di pochi nanometri. La verifica sperimentale di questi due fenomeni arrivò diversi anni dopo la loro formulazione teorica e, mentre il Lamb shift è stato determinato con l ausilio della spettroscopia, lo studio dell effetto Casimir è ancora oggi sul palcoscenico della comunità scientifica. Dal quarto capitolo in poi, si cercherà dunque di porre le basi per la comprensione dell attività sperimentale legata alla forza di Casimir. Per la misura di tale forza si utilizzano dei

6 condensati di Bose-Einstein, oggetti macroscopici con caratteristiche quantistiche (stati coerenti), che obbediscono alla statistica di Bose-Einstein. Lo sviluppo teorico di questi due elementi sarà infine seguito dalla descrizione dei più significativi esperimenti che hanno confermato l esistenza dell effetto Casimir. Le difficoltà pratiche legate alla configurazione di parallelismo di due lastre conduttrici, hanno fatto sì che nel corso degli anni, la misura della forza di Casimr fosse stata effettuata prima sfruttando geometrie diverse. Si è scelto di illustrare esperienze che si differenziassero per tecniche di indagine, geometria del sistema e portata storica. In particolare verranno descritti due esperimenti in cui si verificò l esistenza di un attrazione fra un conduttore sferico e una lastra metallica piana; in un caso l obiettivo fu raggiunto misurando la forza di richiamo di un pendolo a torsione su cui era posizionata la sfera, nella seconda esperienza invece si utilizzò un microscopio a forza atomica. Si esporrà poi il recente lavoro, in cui fu dimostrata l azione della forza di Casimir fra due lastre parallele: attraverso un interferometro a fibra ottica, si ricavò la forza misurando la variazione di frequenza indotta in una microleva all avvicinarsi di un altra superficie conduttrice. Infine, si descriverà la misura della forza di Casimir-Polder che si manifesta attraverso la variazione delle oscillazioni del centro di massa di un condensato di Bose-Einstein, posto in prossimità di una superficie piana metallica. 3

7 Indice 1 La teoria elettromagnetica Le equazioni di Maxwell I potenziali elettromagnetici e le trasformazioni di gauge Il campo elettromagnetico Quantizzazione del campo elettromagnetico 19.1 I modi normali Il campo elettromagnetico quantizzato Effetti delle fluttuazioni di vuoto Lamb shift Effetto Casimir Stati coerenti Definizione e proprietà Rappresentazione nello spazio delle fasi Condensazione di Bose-Einstein Matrice densità Le distribuzioni statistiche Condensazione di Bose-Einstein Condensato di Bose-Einstein Verifiche sperimentali dell effetto Casimir 75 Bibliografia 84 4

8 Capitolo 1 La teoria elettromagnetica L esposizione della teoria elettromagnetica classica è doverosa, oltre che propedeutica, per ben comprendere ed apprezzare quelli che saranno i risultati della formulazione quantistica. L analisi che segue verte ad analizzare alcuni dei punti salienti di tale teoria, partendo dal pilastro dell elettrodinamica, le equazioni di Maxwell. Introducendo i potenziali elettromagnetici si dimostrerà che l intero studio di un sistema è condensato nell equazione delle onde e che la dinamica dipende da due soli gradi di libertà, coincidenti con le componenti trasversali del campo elettrico e del campo magnetico. La descrizione delle trasformazioni di gauge consentirà poi di esporre, in una formulazione elegante, degli interessanti casi di simmetria per la teoria elettromagnetica. Infine sfruttando la teoria della trasformata di Fourier, si giungerà ad uno dei punti cardinali della fisica, la dimostrazione che la radiazione è esprimibile come una sovrapposizione di onde piane, soluzione dell equazione di D Alembert. 5

9 1 La teoria elettromagnetica 1.1 Le equazioni di Maxwell L elettrodinamica classica è interamente descritta dalle equazioni di Maxwell, che espresse nel sistema c.g.s assumono la forma E( x,t) = 4πρ( x,t) (1.1) B( x,t) = 0 (1.) E( x,t) + 1 B( x,t) = 0 c t (1.3) B( x,t) 1 E( x,t) = 4π c t c j( x,t), (1.4) dove ρ( x,t) è la densità di carica e j( x,t) è la densità di corrente, legate dall equazione di continuità j + ρ t = 0, (1.5) che esprime la legge di conservazione della carica elettrica. Fra le equazioni di Maxwell, le ultime due, note rispettivamente come Legge di Faraday-Neumann e Legge di Ampère, rappresentano le equazioni del moto del campo elettrico E( x,t) e del campo magnetico B( x,t), mentre le prime due costituiscono delle condizioni al contorno che devo essere soddisfatte dai campi stessi e che quindi consentono di ridurre il numero di gradi di libertà del sistema. Scomponendo ciascun vettore in una parte trasversale, a rotore nullo, e in una lungitudinale, a divergenza nulla, E = E L + E T B = BL + B T (1.6) dove E L = 0, E T = 0, (1.7) B L = 0, B T = 0, (1.8) si dimostra che la dinamica del sistema dipende soltanto dalle componenti trasversali dei campi. Infatti, dalla Legge di Gauss (1.1), per la proprietà di additività della divergenza, si ricava E = E L = 4πρ, (1.9) mentre dalla (1.) si nota che anche la componente longitudinale del campo magnetico è solenoidale B L = 0, (1.10) 6

10 1 La teoria elettromagnetica e dunque, essendo anche irrotazionale, si conclude che B L = 0 (1.11) e che il campo magnetico è puramente trasverso B B T. (1.1) Inoltre separando anche la densità di corrente nelle sue due componenti, l equazione di continuità si esprime esclusivamente in termini di j L J L + ρ t Derivando rispetto al tempo la legge di Gauss (1.9) si ricava = 0. (1.13) da cui E L t = 4π ρ t = 4π j L, (1.14) ( ) EL + 4π j L = 0. (1.15) t Quest ultima relazione evidenzia che il campo vettoriale E L t +4π j L è solenoidale, ma esso è anche irrotazionale, perchè coinvolge solo le componenti longitudinali di E e j, dunque soddisfa l equazione di Laplace ( ) [ ( EL EL + 4π j L = t t )] [ ( )] EL + 4π j L + 4π j L = 0. (1.16) t Ora, un campo vettoriale a laplaciano nullo che vada all infinito in maniera sufficientemente rapida è nullo ovunque: ossia E L t E L t + 4π j L = 0 = 4π j L. (1.17) Dalle proprietà appena esposte è immediato dedurre che sia la legge di Ampère (1.4) che la legge di Faraday-Neumann (1.3), si esprimono in termini delle sole componenti trasversali: e B T 1 c E T + 1 c E T t B T t = 4π c j T, (1.18) = 0. (1.19) 7

11 1 La teoria elettromagnetica Riassumendo, le equazioni di Maxwell (1.1)-(1.4), si scindono in due gruppi: le equazioni per i campi trasversali, (1.18) e (1.19), che descrivono la dinamica del campo elettromagnetico e le equazioni (1.9) e (1.10), che fissano istante per istante le componenti longitudinali dei campi E L e B T. I gradi di libertà dinamici si riducono ai due campi trasversi E T e B T. 1. I potenziali elettromagnetici e le trasformazioni di gauge Come si è visto nell equazione (1.), il campo magnetico è solenoidale, dunque in uno spazio semplicemente connesso, esso si può esprimere come il rotore di un campo vettoriale A( x,t) B = A. (1.0) L equazione di Faraday-Neumann (1.3) pertanto si scrive come E + 1 c t A = 0 (1.1) o equivalentemente ( E + 1 ) A c t = 0, (1.) per cui la quantità E + 1 c t A è irrotazionale e in una regione semplicemente connessa esiste una funzione scalare φ( r,t) tale che E + 1 c t A = φ. (1.3) Gli oggetti matematici introdotti A( x,t) e φ( x,t) sono chiamati potenziali elettromagnetici, in particolare A( x,t) è detto potenziale vettore, o potenziale magnetico, mentre la funzione scalare φ( x,t) è denominata potenziale scalare, o potenziale elettrico. Le definizioni dei campi E( x,t) e B( x,t) in termini dei potenziali elettromagnetici A( x,t) e φ( x,t) B = A e E = 1 c t A φ. (1.4) sono tali da soddisfare le due equazioni di Maxwell omogenee (1.) e (1.3). I potenziali A e φ si ottengono dalle restanti due equazioni non omogenee (1.1) e (1.4), 8

12 1 La teoria elettromagnetica che, sfruttando le (1.0), (1.4), divengono per la legge di Gauss, e φ + 1 c A t = 4πρ (1.5) ( A ) + 1 c per l equazione di Ampère; servendosi dell identità si ottiene in definitiva t φ + 1 c A t = 4π c j (1.6) ( A) = ( A) A, (1.7) A 1 ( A c t A + 1 c ) φ = 4π t c j. (1.8) L introduzione dei potenziali elettromagnetici ha consentito dunque di ridurre il sistema delle equazioni di Maxwell da quattro a due, tuttavia le (1.5) e (1.8) sono ancora equazioni accoppiate. Per disaccoppiarle si ricorre all arbitrarietà insita nelle definizioni dei potenziali: nella relazione (1.0) il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una qualche funzione scalare χ, cosicchè, dati i campi E e B, ad essi corrispondono infiniti potenziali elettromagnetici. Tale indeterminazione consente di definire delle trasformazioni per i potenziali elettromagnetici, dette trasformazioni di gauge, che lasciano invariati i campi e le equazioni di Maxwell, determinando così una simmetria per l elettromagnetismo. In particolare, se si considera la trasformazione del potenziale vettore A( x,t) A ( x,t) = A( x,t) + χ( x,t) (1.9) dove χ( x,t) è una generica funzione scalare, il campo magnetico non varia: B B = A = A + χ = A = B (1.30) essendo χ = 0. Il campo elettrico (1.4) invece si trasforma come E E = φ 1 c A t = φ 1 A c t 1 c t χ = E 1 c χ. (1.31) t Pertanto affinchè neppure il campo elettrico cambi è necessario che la trasformazione (1.9) sia contemporanea alla trasformazione del potenziale scalare φ( x,t) φ ( x,t) = φ( x,t) 1 c 9 χ, (1.3) t

13 1 La teoria elettromagnetica in questo caso infatti si ha E E = φ 1 A c t = φ + 1 c χ t 1 A c t 1 c t χ = φ 1 A c t = E (1.33) Le relazioni (1.9) e (1.3) sono le trasformazioni di gauge sopra citate e l invarianza dei campi che da esse discende è detta invarianza di gauge. Si può ora dimostrare che oltre ai campi E e B è gauge invariante anche la componente trasversale del potenziale vettore, infatti è noto che dunque le componenti di A si trasformano come A = A L + A T, (1.34) A T = A T (1.35) A L = A L + χ, (1.36) essendo χ puramente lungitudinale. Questo evidenzia che il potenziale vettore trasverso A T è un invariante di gauge, le sue componenti sono gradi di libertà dinamici e quindi ineliminabili. Invece il potenziale vettore longitudinale A L e il potenziale scalare φ, dipendono da χ e dunque dalla scelta di gauge. A seconda delle condizioni che si impongono su A e su φ si ottengono diverse situazioni. La gauge temporale richiede pertanto le equazioni dei potenziali divengono semplicemente φ = 0, (1.37) t A = 4πρ, (1.38) A 1 c A t ( A) = 4π c j. (1.39) Una gauge usata molto frequentemente, perchè invariante per sistemi di riferimento inerziali, è la gauge di Lorentz la quale impone la condizione A + 1 c 10 φ t = 0. (1.40)

14 1 La teoria elettromagnetica Sotto questa ipotesi, le equazioni (1.8) e (1.5) si disaccoppiano e si riconducono alle equazioni di D Alembert non omogenee per la prima, e per l ultima. l equazione delle onde. A 1 A c t = 4π c j, (1.41) φ 1 c φ t = 4πρ (1.4) Ovviamente, in assenza di sorgenti le suddette equazioni coincidono con L equazione (1.40) dunque consente di esprimere una delle quattro variabili φ, A x, A y, A z in funzione delle restanti, ma è possibile ridurre ulteriormente i gradi di libertà, mediante una trasformazione di gauge generata da una funzione scalare χ che soddisfa l equazione delle onde χ 1 c χ = 0. (1.43) t I nuovi potenziali così ottenuti, A e φ soddisfano ancora la condizione di Lorentz (1.40). È particolarmente importante ricordare anche la gauge di Coulomb, che a differenza di quella di Lorentz ha il vantaggio, sotto opportune ipotesi, di essere unica. Inoltre dipende dal sistema inerziale in cui si opera e, come la gauge precedente, conduce all equazione di D Alembert non omogenea per il potenziale vettore. La condizione di gauge di Coulomb è A = 0, (1.44) Essa impone la trasversalità del potenziale vettore, infatti, come visto per il campo magnetico, l essere soleinoidale della componente longitudinale di un vettore, comporta il suo annullarsi se anche la sua divergenza è nulla. Si conclude che A L = 0 dunque A = AT. (1.45) In questo frangente l equazione (1.5) si semplifica come φ + 1 c t A = 4πρ (1.46) φ = 4πρ, (1.47) 11

15 1 La teoria elettromagnetica essendo A T irrotazionale per definizione. Si nota quindi che in questa gauge, il potenziale vettore è solenoidale e il potenziale scalare soddisfa l equazione di Poisson (1.47), la quale, in assenza di superfici di contorno al finito, ammette come soluzione ρ( x,t) φ( x,t) = x x d3 x ; (1.48) quest ultimo risultato consente di identificare φ con il potenziale di Coulomb istantaneo dovuto alla densità di carica ρ( x,t). Derivando rispetto al tempo la (1.47) e sfruttando l equazione di continuità j L = t ρ, si ottiene t φ = 4π ρ t = 4π j (1.49) da cui, invertendo l ordine fra la derivata temporale e il laplaciano al primo membro, ( φ ) t 4π j = 0. (1.50) Ricordando che j L = 0 e che il rotore di un gradiente è nullo, la quantità in parentesi nell ultima relazione è sia solenoidale che irrotazionale, di conseguenza anche il suo laplaciano è nullo e, nell ipotesi che φ e j L si annullino all infinito in modo sufficientemente rapido, si può concludere che φ t 4π j = 0 (1.51) Ora, imponendo la condizione di Coulomb (1.44), l equazione (1.8) diviene o analogamente A 1 A c 1 c φ t = 4π c j (1.5) A 1 A c = 4π c j + 1 c φ t, (1.53) che in virtù della (1.50) e della scomposizione j = j L + j T si semplifica in A 1 c A = 4π c j T. (1.54) Come anticipiato, anche il gauge di Coulomb consente di descrivere la dinamica del potenziale vettore attraverso l equazione di D Alembert. gauge Inoltre una trasformazione di A A = A + χ (1.55) 1

16 1 La teoria elettromagnetica generata da una funzione χ a laplaciano nullo soddisfa ancora la condizione (1.44) χ = 0 (1.56) A = A + χ = A + χ = A; (1.57) se si richiede che la trasformazione di gauge sia ovunque regolare, l unica classe di soluzioni della (1.56) è χ = costante, di conseguenza si avrà A = A. La gauge di Coulomb in questo caso è unica. In assenza di sorgenti, ρ = 0 l equazione (1.54) per il potenziale vettore non è che l equazione delle onde A 1 c A = 0. (1.58) In tale situazione si può richiedere di soddisfare contemporaneamente due condizioni è questa la gauge di radiazione. A = 0, φ = 0, (1.59) Si dimostra ora che le richieste (1.59) sono consistenti con l ipotesi ρ = 0. Dati dei generici potenziali elettromagnetici A e φ, si consideri una trasformazione di gauge generata dalla funzione A = A + χ (1.60) φ = φ 1 χ c t, (1.61) t χ( x,t) = c φ( x,t ) dt. t 0 (1.6) Derivando la funzione χ, la (1.61) coincide con la condizione della gauge temporale φ = φ t t Si effettui ora un ulteriore trasformazione di gauge t 0 φ( x,t ) dt = 0. (1.63) con l ulteriore richiesta su A A = A + χ (1.64) φ = φ 1 χ c t, (1.65) A = A + χ = 0. (1.66) 13

17 per χ χ = A, (1.67) 1 La teoria elettromagnetica La soluzione di quest ultima equazione, altrimenti formulata come l equazione di Poisson è, ricordando la (1.38) e che / x, χ ( x,t) = 1 4π A ( x,t) x x d 3 x. (1.68) Ancora, la gauge temporale φ = 0 ottenuta, fornisce l omogenea dell equazione (1.38) per il potenziale vettore t A = 0, (1.69) che sostituita nella soluzione (1.68) comporta Quindi, in definitiva si ricava φ = φ 1 c χ t = 0 (1.70) χ t = φ = 0, (1.71) confermando che in assenza di sorgenti, possono essere scelti dei potenziali elettromagnetici che soddisfino la gauge di radiazione (1.59). 1.3 Il campo elettromagnetico Da quanto appena illustrato risulta che la gauge di radiazione si rivela efficace per la descrizione del campo elettromagnetico nello spazio vuoto, privo di sorgenti e consente di sintetizzare le quattro equazioni di Maxwell (1.1)-(1.4), in un unica equazione per il potenziale vettore A l equazione delle onde. A 1 c A = 0, (1.7) In generale ogni funzione f( x,t) a quadrato integrabile rispetto ad x, cioè appartenente allo spazio L (R 3 ) per ogni t, se soddisfa l equazione f( x,t) 1 c f( x,t) t = 0, (1.73) può essere rappresentata mediante un integrale di Fourier 1 f( x,t) = (π) 3/ d 3 k F( k,t) e i k x, (1.74) 14

18 1 La teoria elettromagnetica dove F( k,t) = 1 (π) 3/ d 3 x e i k x f( x,t) L (R 3 ) (1.75) è la sua trasformata inversa; sostituendo la (1.74) nella (1.73) si ottiene che è vera se e solo se 1 (π) 3/ = 1 (π) 3/ dove si è posto ω = c k = ck. [ d 3 k F( k,t) e i k x 1 c ei k x F( k,t) t [ d 3 k k F( k,t) 1 F( k,t) c t F( k,t) t La soluzione generale di quest ultima equazione è della forma ] ] e i k x = 0, (1.76) ω F( k,t) = 0, (1.77) F( k,t) = c 1 ( k)e iωt + c ( k)e iωt, (1.78) per cui l equazione delle onde (1.73) ammette soluzioni del tipo 1 f( x,t) = (π) 3/ d 3 [ k c1 ( k)e i( k x ωt) + c ( k)e i( k x+ωt) ] (1.79) o equivalentemente, sostituendo nel secondo membro k con k, 1 f( x,t) = (π) 3/ d 3 [ k c1 ( k)e i( k x ωt) + c ( k)e i( k x ωt) ]. (1.80) Dunque, il potenziale vettore, soluzione della (1.7) è 1 A( x,t) = (π) 3/ d 3 [ k a( k) e i( k x ωt) + ã( k) e i( k x ωt) ] ; (1.81) imponendo che A sia reale si ha ottendendo in definitiva A( x,t) = 1 (π) 3/ ã( k) = a ( k), (1.8) d 3 k [ a( k) e i( k x ωt) + a ( k) e i( k x ωt) ]. (1.83) Per convenienza formale si usa rinormalizzare l ultima relazione come segue A( x,t) = 1 (π) 3/ d 3 πc [ k a( k) e i( k x ωt) + a ( ω k) e i( k x ωt) ]. (1.84) 15

19 1 La teoria elettromagnetica L espressione di A così ricavata è di fatto la sovrapposizione di onde piane a( k) e ±i( k x ωt) (1.85) di ampiezza a( k), pulsazione ω e numero d onda k, quest ultime legate dalla relazione ω = c k. Si tratta in particolare di onde trasversali, infatti, la condizione A = 0 implica che le ampiezze delle onde siano perpendicolari alla direzione di propagazione: k a( k) = 0. (1.86) La trasversalità delle onde si esplicita ulteriormente introducendo i versori di polarizzazione ˆɛ 1 ( k) e ˆɛ ( k), definiti come segue ˆɛ 1 ( k) ˆɛ ( k) = ˆɛ 1 ( k) k = ˆɛ ( k) k = 0 (1.87) ˆɛ 1 ( k) ˆɛ ( k) = k k. (1.88) Le ampiezze a( k) allora si esprimono in termini dei versori di polarizzazione a( k) = a 1 ( k)ˆɛ 1 ( k) + a ( k)ˆɛ ( k), (1.89) dunque anche l espressione (1.84) del potenziale vettore si modifica in A( x,t) = 1 (π) 3/ λ=1 d 3 k πc ω ˆɛ λ( k) [ a λ ( k) e i( k x ωt) + a λ ( k) e i( k x ωt) ] ; (1.90) come anticipato, la trasversalità delle onde piante è ancora più evidente in questa espressione, dal momento che, secondo la definizione (1.87) i versori ˆɛ i, i = 1,, sono ortogonali al vettore di propagazione k. Si dimostra ora che, non solo il potenziale vettore, ma anche il campo elettrico e il campo magnetico, soddisfano l equazione di D Alembert. Si considerino a tal fine le equazioni di Maxwell nel vuoto E( x,t) = 0 (1.91) B( x,t) = 0 E( x,t) + 1 B( x,t) c t B( x,t) 1 E( x,t) c t = 0 = 0; (1.9) 16

20 1 La teoria elettromagnetica applicando alla legge di Faraday-Neumann l operatore rotore e sfruttando l identità si ottiene ( E) = ( E) E, (1.93) ( E) E + 1 c t B = 0, (1.94) ed infine dalle leggi di Gauss (1.91) e di Ampère (1.9) nel vuoto si conclude E 1 E c = 0. (1.95) t Al medesimo risultato si giunge applicando l operatore rotore alla divergenza di B: B 1 B c = 0. (1.96) t è immediato dedurre che, analogamente a quanto visto per il potenziale vettore A, anche i campi E e B si possono esprimere come una sovrapposizione di onde piane del tipo E( x,t) = B( x,t) = 1 (π) 3/ 1 (π) 3/ d 3 πc [ k E ( k) e i( k x ωt) + E ω ( ] k) e i( k x ωt), (1.97) d 3 πc [ k B( k) e i( k x ωt) + B ω ( ] k) e i( k x ωt) ; (1.98) anche in questo caso, le espressioni appena illustrate devono essere coerenti con le equazioni di Maxwell le quali impongono l ortogonalità fra i campi e il vettore d onda k k E ( k) = 0 k B( k) = 0, (1.99) e, tramite la Legge di Faraday (1.3), la perpendicolarità fra i campi stessi B( k) = k k E ( k). (1.100) Si conclude dunque che i vettori k, E e B costituiscono una terna di vettori perpendicolari. Inoltre ricordando le relazioni che legano campo elettrico e campo magnetico al potenziale vettore nella gauge di radiazione E = 1 A c t B = A 17

21 1 La teoria elettromagnetica si ricavano analoghe formule per le ampiezze dei tre vettori E ( k) = i ω c a( k) (1.101) B( k) = i k a( k). (1.10) Le espressioni definitive per i campi E e B nel vuoto, scaturiscono da poche ultime considerazioni: le ampiezze dei campi sono uguali E = B, dunque sostituendo le (1.101), (1.10) negli integrali di Fourier (1.97) e (1.98) e tenendo conto della relazione (1.89), si ottiene E( x,t) = B( x,t) = 1 (π) 3/ 1 (π) 3/ λ=1 λ=1 d 3 k πc ω iω c ˆɛ λ( k) [ a λ ( k) e i( k x ωt) a λ ( k) e i( k x ωt) ], (1.103) d 3 k πc ω i[ k ˆɛ λ ( k)] [ a λ ( k) e i( k x ωt) a λ ( k) e i( k x ωt) ]. (1.104) Ecco dimostrato quanto auspicato: la radiazione elettromagnetica è data da una sovrapposizione di infinite onde piane. Anticipando sinteticamente quanto verrà di seguito illustrato, si può affermare che anche nella teoria quantistica il campo elettromagnetico è ottenibile in termini di onde viaggianti, la sua energia coinciderà con quella di infiniti oscillatori armonici, e soprattutto sarà quantizzata. 18

22 Capitolo Quantizzazione del campo elettromagnetico Sul finire del diciannovesimo secolo, Max Planck, percorreva una strada che avrebbe condotto all avvento della meccanica quantistica. Egli infatti era dedito allo studio della termodinamica ed in particolare i suoi sforzi erano concentrati sulla determinazione dello spettro energetico del corpo nero. Il corpo nero, un oggetto ideale capace di assorbire completamente la radiazione incidente, aveva attratto per mezzo secolo l attenzione dei più insigni fisici dell epoca, Boltzmann, Stefan, Wien, finchè Rayleigh e Jeans non si spinsero fino ai limiti della fisica classica. La teoria del calore e della radiazione fino a quel momento poggiava sull opera di Maxwell e Boltzmann: era noto che ogni corpo materiale riscaldato emette onde elettromagnetiche con vibrazioni di tutte le frequenze e lunghezze d onda, che per ogni data temperatura esiste una particolare distribuzione di energia fra le diverse frequenze e che vi è una frequenza di vibrazione predominante a cui l intensità è massima, frequenza che cresce all aumentare della temperatura. La meccanica statistica inoltre aveva come principio fondamentale il Teorema di Equipartizione dell energia, il quale afferma che l energia totale di un sistema costituito da un gran numero di particelle, che scambiano energia tra loro per mezzo di urti reciproci, si ripartisce ugualmente (in media) fra tutte le particelle. Lord Rayleigh e Sir Jeans cercarono di estendere il metodo statistico ai problemi della radiazione termica, ipotizzando che l energia raggiante totale disponibile sia ugualmente distribuita fra tutte le possibili frequenze di vibrazione. In tale assunzione risiede il limite della fisica classica: il numero di molecole di un gas in uno spazio chiuso, seppur grandissimo, è sempre finito, mentre il numero di vibrazioni possibili 19

23 Quantizzazione del campo elettromagnetico nello stesso spazio è infinito, dunque per il Teorema di Equipartizione si concluderà che ad ogni singola vibrazione spetterà una quantità di energia infinitamente piccola. Inoltre Raylaigh e Jeans determinarono l omonima distribuzione per la densità di energia della radiazione termica ρ(ν) = ( 8πν ) kt, (.1) c 3 dunque la densità di energia totale u = 0 ρ(ν)dν (.) diverge all aumentare della frequenza ν, da cui il nome catastrofe ultravioletta. Nel dicembre 1900, ad una riunione della Società Tedesca di Fisica, Planck sostenne che il pericolo della catastrofe ultravioletta poteva essere evitato se si postulava che l energia delle onde elettromagnetiche può esistere solo sotto forma di pacchetti discreti di energia indistinguibili fra loro. Ciascun pacchetto, o quanto, possiede una quantità di energia ben definita ed in particolare proporzionale alla sua frequenza ν secondo la relazione ɛ = hν. (.3) Planck aprì così le porte alla meccanica quantistica. L idea che la luce, ed in genere la radiazione elettromagnetica, si possa considerare come un continuo treno d onde, lasciò il passo ad una concezione del campo elettromagnetico quantizzato. La costante h è una costante universale chiamata costante di Planck; nel sistema internazionale il valore della costante di Planck è 6, Js, dunque un valore così piccolo suggerisce che la teoria classica conserva intatta la sua validità su grande scala, cedendo alla teoria quantistica il compito di descrivere la realtà su scala atomica. Circa trent anni dopo la rivoluzionaria intuizione di Planck, la teoria della meccanica quantistica era pressocchè completa, e la quantizzazione del campo elettromagnetico si ottenne formalmente dallo studio quantistico di un oscillatore armonico, che è di fatto, matematicamente equivalente ad un campo elettromagnetico monocromatico con stessa frequenza di vibrazione..1 I modi normali L Hamiltoniana quantistica di un oscillatore armonico ha la stessa forma di quella classica, a patto di sostituire le variabili canoniche con i corrispondenti operatori hermitiani definiti 0

24 Quantizzazione del campo elettromagnetico nello spazio di Hilbert. sistema è Pertanto, se m è la massa della particella, l Hamiltoniana del H = 1 m (p + m ω q ), (.4) dove q e p corrispondono rispettivamente alle coordinate q e ad i momenti coniugati p, per i quali vale la relazione [q,p] = i. (.5) Si usa introdurre gli operatori non-hermitiani (dunque non corrispondenti ad alcun osservabile) di annichilazione a e creazione a a = 1 ω (ωq + ip) a = 1 ω (ωq ip), (.6) i quali sono l uno il complesso coniugato dell altro e soddisfano la relazione di commutazione [a,a ] = 1; (.7) p e q in funzione di tali operatori son dati dalle relazioni m ω q = mω (a + a ) p = i (a a). (.8) Definendo inoltre l operatore hermitiano N = a a l Hamiltoniana è esprimibile come H = ω(n + 1 ). (.9) Pertanto la determinazione di autovalori e autostati per l Hamiltoniana si traduce nella ricerca degli autovalori e autostati di N che soddisfano l equazione N n = n n, (.10) accompagnati condizione di normalizzazione n n = 1. Si trova che gli autovalori dell energia sono E n = ω(n + 1 ) con n = 0,1,,... (.11) mentre autostati e autofunzioni sono determinati a partire dallo stato fondamentale 0, in corrispondenza del quale l oscillatore armonico possiede la minima energia: n = 1 n! (a ) n 0 ψ n = 1 n! (a ) n ψ 0 (.1) 1

25 Quantizzazione del campo elettromagnetico con 0 = ψ 0. Tali autostati formano un insieme ortonormale completo che fornisce una base per lo spazio di Hilbert. Si considerino ora le equazioni di Maxwell per un campo elettromagnetico nel vuoto, cioè si escluda la presenza di dielettrici o sorgenti esterne. Nel sistema c.g.s. esse sono: E = 0 (.13) B = 0 (.14) E = 1 B c t (.15) B = 1 E c t. (.16) (.17) Riprendendo le argomentazioni sviluppate nel capitolo precedente, si esprimono il campo elettrico E e il campo magnetico B in funzione dei potenziali elettromagnetici A e φ B = A E + 1 A c t = φ; Inoltre, la scelta della gauge di Coulomb, in assenza di sorgenti esterne, A = 0 e φ = 0, conduce alle espressioni dei campi tramite il potenziale vettore che soddisfa, sotto queste ipotesi, l equazione delle onde nel vuoto (1.73) A 1 A c = 0. (.18) t Come dimostrato nel capitolo precedente, il potenziale vettore, soluzione della (.18), è rappresentato da un insieme continuo di sovrapposizione di onde piane polarizzate linearmente. Tuttavia, il processo di quantizzazione del campo elettromagnetico risulta più agevole se si esprime il campo in funzione di un numero infinito ma discreto di variabili, in modo da poter stabilire una corrispondenza fra di esse e gli operatori dello spazio di Hilbert. A tal fine è necessario risolvere l equazione delle onde (.18) con appropriate condizioni al contorno, in altre parole è necessario immaginare il campo contenuto in una regione finita dello spazio. Si supponga dunque che il campo elettromagnetico sia contenuto in un cubo di lato L, privo tuttavia di confini materiali; ciò si traduce nella condizione di periodicità A( r,t) = A( r + L,t), (.19)

26 Quantizzazione del campo elettromagnetico dove r = (x,y,z) e L si ipotizza molto grande rispetto alle dimensioni di interesse fisico. L equazione delle onde si risolve per separazioni delle variabili, assumendo come soluzione una funzione della forma A( r,t) = A 0 ( r)ψ(t), (.0) che sostituita nella (.18) conduce all equazione ψ(t) A0 ( r) 1 c A 0 ( r) ψ(t) t = 0, (.1) dividendo per A 0 ( r)ψ(t) si ottiene 1 A 0 ( r) A0 ( r) 1 1 ψ(t) c ψ(t) = 0. (.) t Il membro a destra dell ultima equazione dipende esclusivamente dalle variabili spaziali, quello a sinistra dalla variabile temporale, poichè i due gruppi di variabili sono indipendenti, i due membri devono essere identicamente uguali ad una costante. Pertanto, indicata per convenienza tale costante con k, la (.) si scinde in due equazioni ψ(t) = k c ψ(t) (.3) e che espressa nella forma A0 ( r) = k A0 ( r), (.4) A0 ( r) + k A0 ( r) = 0 (.5) prende il nome di Equazione di Helmholtz. L equazione differenziale temporale (.3) ammette come soluzione la funzione ψ(t) = α k (0)e ickt = α k (0)e iωkt, (.6) mentre l integrale generale dell equazione di Helmholtz è A 0 ( r) = βe ±i k r = a cos k r ± i b sin k r, (.7) k = k e ω k = ck e a e b costanti reali, k è evidentemente il vettore d onda. Combinando ora la condizione al contorno (.19) per r = 0, con la richiesta A = 0 imposta dalla gauge di Coulomb, si ricava per la componente x di A 0 da 0x (0) dx = da 0 x (L x ) dx 3 = 0, (.8)

27 Quantizzazione del campo elettromagnetico che si esplicita come b = 0 e sin k x L x = 0, (.9) ossia k x = n x π L x con n x = ±1, ±, ± 3,... Tale procedimento si estende alle restanti componenti. Inoltre, per soddisfare la condizione di transversalità A = 0 e quella di normalizzazione d 3 r A0 ( r) = 1, (.30) V con V = L 3, si sceglie come soluzione particolare dell equazione di Helmholtz (.5), per ogni fissato k A kλ ( r) = V 1 êkλ e i k r, (.31) dove ê kλ è un vettore unitario, assunto reale, che garantisce la transversalità del potenziale vettore; per ogni k è possibile scegliere solo due versori perpendicolari fra loro e perpendicolari a k k êkλ = 0, ê kλ ê kλ = δ λλ, (.3) con λ = 1,. Così definito, ê kλ specifica una delle due possibili polarizzazioni del campo ed è pertanto noto come vettore di polarizzazione. In definitiva, in virtù della linearità delle equazioni di Maxwell, il potenziale vettore, soluzione dell equazione (.18) è ] [ψ k (t) A kλ ( r) + ψ k (t) A kλ ( r) A( r,t) = kλ [ ] = V 1 α k (0) e i(ω kt k r) + αk (0) ei(ω kt k r) kλ [ ] = V 1 α k (t) e i k r + αk (t) e i k r, ê kλ (.33) kλ dove il vettore d onda può assumere solo valori discreti ( nx π k =, n yπ, n ) zπ con n x,y,z = 0, ± 1, ±, ± 3,... (.34) L x L y L z ê kλ Il campo elettrico e magnetico assumono di conseguenza la forma E( r,t) = i [ ] α k (t) e i k r αk (t) e i k r ê kλ (.35) B( r,t) = V 1 i V 1 kλ kλ ω k [ ] α k (t) e i k r αk (t) e i k r k êkλ (.36) 4

28 Quantizzazione del campo elettromagnetico mentre per l energia elettromagnetica del campo si ottiene l espressione H = 1 d 3 r ( E + B 8π ) = [ k α k (t) ], (.37) π kλ V dove l integrale è esteso all intero volume del cubo contenente il campo. Definendo le quantità reali q kλ (t) = 1 c [ αk (t) + αk 4π (.38) p kλ (t) = ik [ α k (t) α k (t) ] 4π (.39) si ricava, fissato k, quanto annunciato, ossia un espressione per l Hamiltoniana del campo elettrico formalmente equivalente a quella di un oscillatore armonico di ugual frequenza ω k H kλ = 1 ( p kλ + ωk ) q kλ. (.40) Inoltre ricordando che α k (t) = α k (0)e iωt e che ω k = kc, si verifica e 1 q = c [ iωk α k + iω k αk] 4π = iω k c [ ] α k α k 4π = i c k c [ ] α k α k = p (.41) 4π ṗ = ik 4π [ iωk α k + iω kα k ] = k ω k c [ ] α k + α k 4π = ωk q, (.4) cioè q kλ (t) e p kλ (t) soddisfano le equazioni di Hamilton classiche rispetto all Hamiltoniana (.40), ossia equivalgono a tutti gli effetti alle variabili canoniche coniugate, coordinate e impulsi rispettivamente. Pertanto, l Hamiltoniana totale del sistema H = kλ 1( p kλ + ωk kλ) q (.43) corrisponde a quella di un insieme discreto di infiniti oscillatori armonici disaccoppiati, ciascuno oscillante con frequenza ω k. Ogni oscillazione prende il nome di modo normale. 5

29 Quantizzazione del campo elettromagnetico. Il campo elettromagnetico quantizzato Partendo dall ultimo risultato ottenuto e sfruttando le proprietà quantistiche dell oscillatore armonico precedentemente esposte, si può procedere con la quantizzazione del campo elettromagnetico. In primo luogo, da un confronto fra le relazioni (.8) e le (.38)-(.39), si può notare che nel processo di quantizzazione, le ampiezze del campo, α e α sono state sostituite, a meno di un fattore di proporzionalità, dagli operatori di creazione e distruzione a e a e che l operatore N = a a, rappresentante il numero di fotoni del sistema, ha preso il posto della quantità α. Sostituendo alle variabili canoniche e al vettore d onda i corrispondenti operatori nello spazio di Hilbert q, p e k, vi è consistenza fra le (.8) e le (.38)-(.39) se si pone α k π c ω k a kλ e α k π c ω k a kλ, (.44) per cui, per ogni k, si introducono gli operatori coordinata e impulso π c q kλ = (a kλ + a kλ) (.45) ω k π c p kλ = (a kλ a kλ ). (.46) ω k La definizione degli operatori di creazione e annichilazione, seppur con diverso significato fisico, resta invariata a kλ = 1 ωk (ω k q kλ + ip kλ ), a kλ = così come è immutata la regola di commutazione a cui si aggiungono le relazioni 1 ωk (ω k q kλ ip kλ ), (.47) [a kλ (t),a k λ (t)] = δ3 kk δ λλ, (.48) [a kλ (t),a k λ (t)] = [a kλ(t),a k λ (t)] = 0 (.49) che scaturiscono dall indipendenza dei diversi modi del campo elettromagnetico. In virtù della sostituzione (.44) si ricavano anche il campo elettrico e il campo magnetico E(r,t) = i ( ) 1 π ωk [ akλ (t) e ik r a kλ(t) e ik r] e kλ (.50) V kλ B(r,t) = i ( ) 1 π c [ akλ (t) e ik r a kλ(t)e ik r] k e kλ, (.51) ω k V kλ 6

30 Quantizzazione del campo elettromagnetico dove ogni osservabile è stata sostituita dal rispettivo operatore; essi si ottengono dal potenziale vettore A(r,t) = kλ ( π c ω k V ) 1 [ akλ (t) e ik r a kλ(t)e ik r] e kλ (.5) che soddisfa la condizione di normalizzazione d 3 r A kλ (r) A k λ (r) = δ 3 kk δ λλ. (.53) V A questo punto è evidente che l Hamiltoniana del campo elettromagnetico nel vuoto è H = ( ω k a kλa kλ + 1 ) ; (.54) kλ essa corrisponde all Hamiltoniana di un sistema costituito da infiniti oscillatori armonici quantizzati indipendenti fra loro, dunque è ottenuta dalla somma infinita delle hamiltoniane di singolo oscillatore, ciascuno corrispondente ad un modo normale k. Ogni modo del campo ha uno spettro discreto di energia, costituito da livelli energetici equidistanti ( E nkλ = ω k n kλ + 1 ) con n kλ = 0,1,,... (.55) dove n kλ è l autovalore dell operatore N kλ = a kλa kλ, cui appartiene l autostato n kλ : N kλ n kλ = n kλ n kλ. (.56) L autovalore n kλ rappresenta il numero di quanti di energia, i fotoni, presenti per un particolare modo k; il numero totale di fotoni del campo è dato di conseguenza dalla somma del numero di fotoni di ogni modo n kλ. (.57) kλ Gli autovalori di H si ottengono, in virtù dell indipendenza dei modi vibrazionali, come la somma degli autovalori E nkλ E n = kλ ω kλ ( nkλ + 1 ), (.58) gli autostati invece son dati dal prodotto tensoriale degli autostati dell Hamiltoniana di singolo oscillatore n = kλ n kλ = n k1 λ n k λ n k3 λ.... (.59) 7

31 Quantizzazione del campo elettromagnetico Per ogni modo k, gli autostati n kλ costituiscono un insieme completo ortonormale per lo spazio di Hilbert H kλ cui essi appartengono; l intero sistema è dunque definito in uno spazio di Hilbert H ottenuto a sua volta dal prodotto tensoriale dei sottospazi H kλ H = H kλ. (.60) kλ è opportuno ricordare a questo punto che la teoria quantistica si fonda sul principio di corrispondenza, che sancisce un legame formale con la teoria classica, eppure le conclusioni a cui le due teorie conducono sono tutt altro che scontate. Nell espressione dell energia del campo elettromagnetico (.58) sono sintetizzati alcuni dei risultati più sorprendenti della meccanica quantistica. In primo luogo è evidente la nota quantizzazione dell energia, precedentemente ricavata per l oscillatore armonico e qui generalizzata al caso di un sistema a infiniti gradi di libertà: l energia del campo elettromagnetico è strettamente legata al numero di fotoni che lo compongono, ciascuno dei quali ha energia ω. Ad ogni frequenza di vibrazione del campo ω k è associato uno spettro energetico, la cui energia è data dalla somma dell energia dei quanti caratterizzati dalla medesima ω k ; poichè i modi del campo sono indipendenti l un l altro, l energia totale è data dalla somma dell energia di ciascuno spettro. Nel caso di un campo elettromagnetico confinato in un certo volume, lo spettro energetico è discreto e l energia complessiva è espressa dalla (.58); se il campo si trovasse nel vuoto, in assenza di alcun confine, i suoi livelli energetici formerebbero uno spettro continuo. In ogni caso, comunque, non tutti i valori dell energia sono consentiti, come invece è vero in elettrodinamica classica. Il secondo punto di rottura con la teoria classica si manifesta ponendo nella (.55) n kλ = 0, ossia assumendo che in un certo stato n kλ, con k fissato, non ci siano fotoni; tale stato è chiamato vacuum state, stato di vuoto, ed indicato con 0. Seppur in assenza di fotoni, il campo elettromagnetico ha energia ω kλ /, definita zero-point energy, energia di punto zero. Quanto appena affermato è indubbiamente sbalorditivo, considerando che secondo la centenaria visione classica della realtà, nello stato di vuoto, anche detto stato di minima energia, il campo si annulla in ogni punto; ma cè di più. Nel particolare caso in esame, cioè quando si ha a che fare con un sistema a infiniti gradi di libertà, l esistenza del energia di punto zero comporta la divergenza dell Hamiltoniana del sistema (.54): la somma kλ 1 ω k evidentemente non converge. L infinito emerso è la somma dei punti zero dell energia degli infiniti modi normali che costituiscono il campo elettromagnetico. Estendendo ora l attenzione agli altri autostati dell energia n si evidenziano ulteriori proprietà degne di nota. Si può ad esempio dimostrare che i valori medi dei campi sugli 8

32 Quantizzazione del campo elettromagnetico stati stati stazionari n sono nulli. L azione degli operatori di creazione e annichilazione sul generico stato n kλ, con k fissato, è definita dalle formule di ricorrenza a kλ n kλ = n kλ + 1 n kλ + 1 (.61) a kλ n kλ = n kλ n kλ 1 (.6) con a kλ 0 = 0, (.63) ed inoltre un generico autostato n kλ si ottiene applicando più volte allo stato di vuoto l operatore di creazione a kλ n kλ = (a kλ) n kλ nkλ! 0. (.64) Ora, dalla (.50) si ricava il modo del campo elettrico di frequenza ω k E kλ (r,t) = iε kλ [a kλ (t)a kλ (r) a kλ(t)a kλ (r)], (.65) dove ε kλ = (π ω k ) 1 e A kλ (r) = V 1 e ik r e kλ, dunque per ogni k, si ha n kλ E kλ (r,t) n kλ = n kλ iε kλ (a kλ A kλ a kλa kλ ) n kλ = [ iε kλ Akλ n kλ a kλ n kλ A kλ n kλ a kλ n kλ ] = [ iε kλ Akλ nkλ n kλ n kλ 1 A kλ nkλ + 1 n kλ n kλ + 1 ] = 0; (.66) Dall ortogonalità degli autostati del campo e dalle relazioni (.50) e (.59) si evince che il valore medio del campo elettrico sugli autostati dell energia è nullo n E(r,t) n = 0, (.67) con analogo procedimento, considerando la (.51), si dimostra un medesimo risultato anche per il campo magnetico Diverso è tuttavia il risultato per il valor medio di E (r,t): n B(r,t) n = 0. (.68) n kλ E (r,t) n kλ = ε kλ [A kλ a kλ + a kλa kλ A kλ (a kλ a kλ + a kλa kλ )] = ε kλ[ A kλ n kλ a kλ n kλ + A kλ n kλ a kλ n kλ + A kλ n kλ 1 + a a n kλ ] = ε kλ A kλ (n kλ + 1) [ = ε kλ A kλ n kλ + ] 1, (.69) 9

33 Quantizzazione del campo elettromagnetico per ogni k, quindi n E (r,t) n = kλ [ ε kλ A kλ n kλ + ] 1. (.70) Pertanto non nullo è anche lo scarto quadratico medio che fornisce una stima delle fluttuazioni del campo E = kλ = kλ E kλ E kλ = kλ ε kλ A kλ n kλ + 1 E kλ = kλ ε kλ A kλ n kλ + E kλ 0, (.71) dove E kλ 0 = ε kλ A kλ 1 è la dispersione del campo elettrico rispetto allo stato di vuoto 0. Il risultato appena ottenuto è una conseguenza della non commutabilità di N kλ e E kλ su cui si fonda un altro pilastro della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione, in virtù del quale è impossibile conoscere contemporaneamente e con precisione il campo elettrico e il numero di fotoni che lo compongono. Tale proprietà essendo valida per tutti gli stati del campo lo è anche per lo stato di vuoto, a dimostrazione che anche in assenza di fotoni il campo elettromagnetico presenta delle fluttuazioni. L energia di vuoto del campo elettromagnetico si associa a particelle virtuali che compaiono e scompaiono nello stato fondamentale 0. Da un punto di vista formale, le fluttuazioni di vuoto contribuiscono con costanti aggiuntive alle misure dei valori medi, costanti che non alterano il significato fisico delle misure; si possono dunque inglobare le fluttuazioni di vuoto nella definizione dell Hamiltoniana, senza perdere alcuna informazione fisica H F = H 0 H 0 = [ ] 1 ω ( k akλ a 1 kλ) ω k kλ = [ 1 ω ( k a kλ a kλ + 1 ) 1 ] ω k kλ = kλ ω k a kλa kλ. (.7) La ridefinizione dell Hamiltoniana, (.7), è chiamata normal order e consente di eliminare formalmente l energia di punto zero perchè implicita nella definizione stessa. Ciò nonstante, come verrà dimostrato a breve, l energia di vuoto ha una realtà fisica che non può essere ignorata e che anzi è alla base di numerosi fenomeni quantistici. Per concludere, è opportuno aprire una parentesi sulla fase del campo elettromagnetico. Fin qui si è 30

34 Quantizzazione del campo elettromagnetico assunto senza indugio, che, come per le altre osservabili, anche alla fase fosse associato un operatore hermitiano; in realtà la sua stessa esistenza è tutt ora argomento di discussione. Vari sono stati i tentativi di dare forma a tale operatore: Dirac, per primo, ipotizzò una decomposizione in forma polare degli operatori di annichilazione e creazione a = e iφ N a = Ne iφ (.73) di modo che l operatore dell esponenziale della fase e iφ fosse unitario (condizione necessaria per essere hermitiano). Susskind e Glogower dimostrarono che tale decomposizione non è attuabile e ne proposero una alternativa, introducendo gli operatori E ed E, detti operatori SG E = (N + 1) 1 a = (aa ) 1 a (.74) E = a (N + 1) 1 = a (aa ) 1, (.75) che di fatto corrispondono proprio all operatore esponenziale e ±iφ. Una volta determinati gli autostati φ di E che soddisfano l equazione E φ = e iφ φ, (.76) quindi, autostati della fase, li utilizzarono per costruire una sorta di distribuzione della fase P (φ) per un arbitrario stato ψ del campo P (φ) = 1 π φ ψ. (.77) Ad un risultato simile giunsero anche Pegg e Barnett, i quali però definirono prima un operatore di fase approssimativo in uno spazio ristretto, finito-dimensionale, dello spazio di Hilbert, per poi ottenere proprio, come limite, la distribuzione (.77). 31

35 Capitolo 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto La teoria quantistica della radiazione, attraverso la quantizzazione del campo elettromagnetico, ha evidenziato l esistenza di un energia di punto zero, ossia l esistenza di uno stato con numero di fotoni nullo e fluttuazioni del campo finite. I risvolti di tale risultato furono notevoli: diversi fenomeni infatti, fra cui il Lamb shift e l effetto Casimir, non possono essere spiegati secondo la fisica classica perchè ascrivibili a interazioni puramente quantistiche. In particolare, dall analisi sperimentale dell atomo di idrogeno, apparvero distinti, dei livelli energetici che la teoria prevedeva essere degeneri. La separazione è, per l appunto, dovuta all interazione dell elettrone con le fluttuazioni di vuoto del campo elettromagnetico interno all atomo. L effetto Casimir invece si manifesta come un interazione fra due conduttori, legata alle condizioni al contorno imposte dal sistema al campo magnetico quantizzato. Casimir, predisse teoricamente il fenomeno studiando due lastre infinte perfettamente conduttrici; egli determinò l esistenza di una forza attrattiva fra i due oggetti, indipendente dal materiale, che attribuì alla pressione dell energia di punto zero delle onde elettromagnetiche. Su scala atomica, fra un atomo e una superficie conduttrice, le fluttuazioni di vuoto generano una forza attrattiva nota come forza di Casimir-Polder. 3.1 Lamb shift L atomo di idrogeno, nella sua rappresentazione più semplice e stilizzata, è costituito da un protone e un elettrone soggetti a un potenziale centrale. Dal momento che la 3

36 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto massa del protone è molto più grande di quella dell elettrone, è possibile descrivere il sistema assumendo che l elettrone ruoti attorno al protone immaginato fisso nel centro del sistema di riferimento in cui si opera. Questa approssimazione consente di ridurre l analisi dell atomo allo studio della funzione d onda del solo elettrone. Sotto queste ipotesi dunque, l Hamiltoniana del sistema è H 0 = p m e r, (3.1) dove naturalmente p, m, e sono rispettivamente impulso, massa non relativistica e carica dell elettrone, e r è la distanza dal protone. Per un sistema a potenziale centrale di questo tipo, le funzioni d onda si esprimono come il prodotto di un autofunzione radiale e di una angolare ψ(r,ϑ,ϕ) = R n (r) Y m l (ϑ,ϕ) (3.) essendo n, l, m i numeri quantici legati agli autovalori degli operatori H 0, L, L z H 0 ψ = E n ψ con n = 0,1,,... (3.3) L ψ = l(l + 1) ψ con l = 0,...,n 1 (3.4) L z ψ = m ψ con m = l,..., + l, (3.5) dove ψ è l autostato associato all autofunzione ψ. L equazione di Schrödinger indipendente dal tempo H 0 ψ = E ψ (3.6) fornisce gli autovalori dell energia, che in questa rappresentazione dell atomo di idrogeno, dipendono esclusivamente dal numero quantico principale n: E n = α mc ( 1 ) n = 13,6 1 ev, (3.7) n dove n può assumere solo valori interi non negativi, come prima indicato, e α = e c è la costante di struttura fine. Inoltre, tenendo presente l intervallo di variazione dei tre numeri quantici, si osserva che per n fissato, ogni livello energetico ha degenerazione n : n 1 (l + 1) = n, (3.8) l=0 il che significa che per ogni n, esistono n autostati aventi la medesima energia E n. Le discrepanze fra i risultati sperimentali e le predizioni teoriche sono tuttavia notevoli, in 33

37 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto particolare lo spettro energetico dell atomo presenta più livelli energetici di quanti il modello ne predica. Una descrizione più accurata si ottiene ricordando che l energia cinetica classica è il limite, per basse velocità, dell energia relativistica, e che l elettrone possiede un momento angolare intrinseco, lo spin. Ciò si traduce nell aggiungere all Hamiltoniana H 0 opportuni termini correttivi: la correzione relativistica è rappresentata dal termine ( ) 1 H rel = 8m 3 c p 4, (3.9) il contributo di spin invece è espresso come H so = e m c r 3 ( S L ), (3.10) con S e L, rispettivamente spin e momento angolare orbitale dell elettrone. Il termine (3.9), come detto, scaturisce dalla definizione dell energia nella relatività ristretta che all ordine più basso è approssimato da T = p c + m c 4 mc (3.11) T = p m p4 8m 3 c (3.1) Esso consente di ricavare la deviazione, negativa, rispetto all energia E 0, autovalore dell Hamiltoniana imperturbata H 0 : [ ] E rel = α 4 mc 1 n 4n l (3.13) Poichè E rel è proporzionale alla quarta potenza di α, fornisce una correzione di un circa un fattore Il termine (3.10) è legato all interazione spin-orbita fra il momento di dipolo µ S associato allo spin dell elettrone e il campo magnetico B che il protone genera ruotando attorno all elettrone. La scelta del sistema di riferimento è infatti totalmente arbitraria, quindi immaginando una descrizione dell atomo in cui l elettrone è a riposo 1 e il protone gli orbita attorno, il campo magnetico B è legato al momento angolare L dell elettrone dalla relazione B = e L. (3.14) mcr3 1 Si tratta di un sistema non inerziale, dunque per ottenere il termine di interazione W nel sistema di riferimento inerziale originario, sarà necessario dividere per due. [5] 34

38 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto Inoltre, il momento di dipolo magnetico µ S si definisce come µ S = e S, (3.15) mc dunque l energia di interazione W = µ S B (3.16) si esprime in funzione del prodotto scalare S L, e nel sistema di riferimento originario è da cui la (3.10). W = e m c r 3 ( S L ), (3.17) La deviazione dall energia E 0 dovuta all interazione spin-orbita è data da [ ] j(j + 1) l(l + 1) 3/4 E so = α mc 4n 3. (3.18) l(l + 1)(l + 17) La hamiltoniana totale del sistema a seguito di tali correzioni diviene H = H 0 + H rel + H so, (3.19) combinando infine le (3.13) e (3.18) si ricava la correzione all energia E 0 da cui ha luogo la struttura fine dell atomo di idrogeno [ ] E fs = α 4 mc 1 n 4n j (3.0) dove j = l 1,..., l + 1 e il numero quantico associato al momento angolare totale J = L + S che in presenza dell interazione spin-orbita si conserva (invece non si conservano più L e S). Dalla relazione (3.0) è evidente che le correzioni apportate hanno abbassato i livelli energetici associati all hamiltoniana imperturbata H 0 e hanno rimosso parzialmente la degenerazione degli stati con ugual numero quantico n e diverso j; infatti confrontando l intervallo di variabilità di i e l si deduce che j ha numero di degenerazione n, potendo assumere i valori j = 1,... n 1. (3.1) Dunque ogni livello E n si scinde in n sottolivelli distinti la cui energia dipende dal momento angolare totale j. Ancora una volta però l esperienza è in disaccordo con la teoria. La relazione (3.0) sostiene che i livelli energetici s 1/ e p 1/ siano degeneri, ma nel 1947 Lamb e Retherford 35

39 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto misurarono una piccola separazione fra di essi: il livello s 1/ si trovava circa 1000 MHz più in alto del livello p 1/. L effetto prese il nome di Lamb shift. L inadeguatezza della struttura fine dell atomo di idrogeno è dovuta al trattamento classico che si è riservato al il campo magnetico H. Nell espressione del potenziale centrale V (r) = e si riconosce infatti la legge di Coulomb, e lo stesso campo magnetico lo si è r ottenuto dalla legge di Biot-Savart B = ev cr, (3.) dove e, v sono rispettivamente carica e velocità orbitale del protone e r la distanza radiale rispetto all elettrone posto al centro del sistema di riferimento non inerziale. Esprimendo la velocità v in funzione del momento angolare dell elettrone L = rmv si è giunti alla (3.14). La chiave di volta del Lamb Shift è dunque la quantizzazione del campo magnetico visto dall elettrone nel suo sistema di riferimento non inerziale. A questo punto sembrerebbe ridondante ripetere che una descrizione quanto più possibile veritiera della realtà è imprescindibile da un approccio quantistico, ma probabilmente ai tempi di Lamb non era ancora così ovvio, dal momento che Dirac, nel 1989, ricordò la scoperta di Lamb e Retherford e l interpretazione del fenomeno, come una svolta nella storia della fisica teorica. Lo stesso Dirac ritenne che l elemento mancante della trattazione precedente fosse l accoppiamento fra l elettrone e il campo elettromagnetico di vuoto. In questa prospettiva, l elettrone dell atomo, interagente con il campo elettromagnetico quantizzato, ha energia ( ) 1, cinetica espressa dal termine di accoppiamento minimo, m p e c A ed è soggetto a potenziale eφ, dove p è il momento della particella, A e φ potenziale vettore e potenziale scalare rispettivamente. L energia del campo è 1 8π l hamiltoniana del sistema si ha H = 1 m = p m ( p e ) c A 1 + eφ + 8π e (A p) e mc (p A) + e mc d 3 r (E + B ) d 3 r (E + B ). mc A + eφ + 1 8π = p m + eφ e (A p) e (p A) + e mc mc mc A + 1 8π = H A + H F e (A p) e mc (p A) + e mc Dunque per d 3 r (E + B ) d 3 r (E + B ) mc A, (3.3) dove H A è l hamiltoniana dell elettrone atomico e H F l hamiltoniana del campo. Inoltre ipotizzando che la lunghezza d onda del campo λ sia molto maggiore del raggio di Bohr Per una trattazione più dettagliata si rimanda a [3] 36

40 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto a 0, λ a 0 si pù operare sfruttando l approssimazione di dipolo elettrico, il quale consente di trascurare la dipendenza spaziale del potenziale vettore A. Sotto queste ipotesi, l hamiltoniana è in definitiva H = H A + H F e mc (A p) + e mc A. (3.4) La teoria delle perturbazioni stazionarie consente di valutare gli effetti dell interazione fra elettrone e campo elettromagnetico, racchiusa negli ultimi due termini dell hamiltoniana (3.3). In realtà l unico termine che modifica i livelli energetici dell atomo di idrogeno è quello proporzionare a A p, in quanto l altro, e mc A, non dipende dagli operatori atomici. Ricordando l espressione (3.40) ricavata per il potenziale vettore nel processo di quantizzazione del campo elettromagnetico A(r,t) = kλ ( π c ω k V ) 1 [ akλ (t) e ik r a kλ(t)e ik r] e kλ, si può ottenere al secondo ordine perturbativo, lo spostamento dell n-esimo livello energetico dell atomo di idrogeno, dovuto alla presenza dal termine di interazione e mc (A p) dove E n = m h kλ = e mc kλ m, 1 kλ h kλ n, vac ( π c ω k V E n E m ω k, (3.5) ) 1 a kλ(e kλ p). (3.6) Lo stato n, vac corrisponde alla situazione in cui l atomo si trova nel suo autostato stazionario n e il campo nello stato di vuoto. Lo stato m, 1 kλ rappresenta invece l atomo nello stato m e un solo fotone nel modo (kλ). La presenza di m, 1 kλ è giustificata dall azione degli operatori di creazione e di distruzione a kλ e a kλ, che compaiono nell espressione di A, e che agiscono sullo stato di vuoto del campo secondo le definizioni: Dal momento che a kλ vac = 0 a kλ vac = 1 kλ. (3.7) m, 1 kλ h kλ n, vac = e mc 37 ( π c ω k V ) 1 p mn e kλ, (3.8)

41 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto lo spostamento dello stato n vac è dato dalla relazione E n = e π c m c ω k V = πe 1 m V dove si è posto ω nm = E n E m. termine m m kλ p mn e kλ m, 1 kλ h kλ n, vac = m, 1 kλ a kλ(p e kλ ) n, vac E n E m ω k kλ 1 p mn e kλ, (3.9) ω nm ω k ω k Inoltre, a parte il fattore numerico, esplicitando il = n, vac a kλ (p e kλ ) m, 1 kλ m, 1 kλ a kλ(p e kλ ) n, vac, (3.30) si osserva che la causa dello spostamento E n può essere ricondotta al processo di emissione n m + γ, seguito da un processo di riassorbimento m + γ n di un fotone virtuale γ da parte dello stato di vuoto del campo. Figura 3.1. Rappresentazione della relazione (3.30). Interpretazione del Lamb shift in termini dell emissione e assorbimento di un fotone virtuale Tale procedimento conduce, però, ad un risultato che costituì un vero e proprio dilemma per i fisici dell epoca. Maneggiando la relazione (3.9) e assumendo i modi del campo continui e infiniti, si ottiene E n = e 3πm c 3 p mn ωdω ω nm ω = α 3π ( 1 mc m ) p mn m 0 0 EdE E n E m E. (3.31) L integrale diverge, dunque lo spostamento del livello n-esimo, che probabilmente corrispondeva al Lamb shift, risultava essere infinito, mentre sperimentalmente era stato 38

42 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto misurato un valore piccolo, ma finito. La soluzione alla questione fu trovata da Bethe attorno al 1947, il quale sfruttò un procedimento noto come mass renormalization, ispirandosi ai lavori di Kramers e Weisskopf. L idea di base fu quella di sottrarre allo spostamento E n (3.31), la variazione dell energia del livello n-esimo dovuta all accoppiamento fra l elettrone libero e il campo elettromagnetico. Inoltre egli assunse che l interazione fra l elettrone e lo stato di vuoto responsabile del Lamb shift, avvenisse per frequenze del campo sufficientemente basse da giustificare un approccio non relativistico; in quest ottica Bethe limitò superiormente l intervallo di integrazione della (3.31), assumendo come limite superiore non più infinito, ma mc. L intuito ebbe un esito brillante: Bethe ottenne per il livello energetico s dell atomo di idrogeno uno spostamento di circa 1040M Hz, in eccellente accordo con la misura effettuata da Lamb e Retherford. Circa un anno dopo, nel 1948, Welton giunse alla stessa conclusione di Bethe, individuando la causa del Lamb shift nelle fluttuazioni della posizione dell elettrone, dovute all energia di vuoto del campo. Egli inoltre riuscì a svincolarsi dal procedimento rinormalizzazione della massa, fondamentale nell operato di Bethe, imponendo come estremo superiore dell intervallo di integrazione il valore mc e come estremo inferiore l energia media di eccitazione dell elettrone. Un ulteriore interpretazione del Lamb shift, firmata Richard Feynman, riprende in qualche modo il principio ispiratore di Bethe. Feynman considerò un gas diluito in una grande scatola costituito a N atomi. Il Lamb shift fu ricavato sottraendo allo spostamento energetico E n degli atomi del gas, quello ottenuto considerando gli elettroni atomici come particelle libere E free n ; la differenza E n E free, condusse ad un risultato che nel caso limite di gas costituito da un solo atomo, riproduceva l espressione finale di Bethe ottenuta a seguito della rinormalizzazione della massa. Successivi studi hanno dimostrato che le correzioni allo spettro dell atomo di idrogeno dovute al Lamb shift, dipendono dal numero quantico l. In particolare, se l = 0, la deviazione è n E Lamb = α 5 mc 1 {k(n,0)}, (3.3) 4n3 dove {k(n,0)} è un fattore numerico che varia gradualmente al variare del numero quantico n assumendo i valori 1,7 (per n = 0) e 13, (quando n ) ; se invece l 0 si ha { } E Lamb = α 5 mc 1 1 4n 3 k(n,l) ± π(j + 1 )(l + 1 ), (3.33) 39

43 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto dove k(n,l) ha valore minore di 0,05 e varia lentamente con n e l. La dipendenza del termine di Lamb shift dal numero quantico l rimuove la degenerazione per gli stati caratterizzati dalla stessa coppia di n e l. Infine, è necessario menzionare il fatto che il solo Lamb shift non completa la descrizione dello spettro dell atomo di idrogeno. Come l elettrone, anche il nucleo, infatti, è dotato di spin. Ciò comporta un accoppiamento fra gli spin dell elettrone e del nucleo e un interazione dovuta all azione del campo elettromagnetico, prodotto dal moto orbitale dell elettrone, sul momento intrinseco del protone (la si può immaginare come un interazione spin-orbita nucleare). Inoltre la differenza di massa fra elettrone e protone, si ripercuote in una differenza di ordini di grandezza fra i rispettivi momenti di dipolo, pertanto le interazioni dovute alla presenza di µ p sono meno intense rispetto a quelle responsabili della struttura fine. Il risultato complessivo è la rimozione della degenerazione anche rispetto al numero quantico di momento angolare totale j: ogni livello energetico con n, l e j, è scisso in due sottolivelli. Tale rappresentazione dello spettro energetico dell atomo di idrogeno prende il nome di struttura iperfine. 3. Effetto Casimir Bohr mumbled something about zero-point energy. H. Casimir [6] Le radici dell effetto Casimir risiedono nell attrazione di Van der Waals che si manifesta fra due atomi o molecole vicine, anche se si tratta di molecole apolari. Questo tipo di interazione si estende anche a corpi neutri macroscopici e ha origine nel moto delle cariche elettriche che li compongono, le quali generano campi elettromagnetici fluttuanti nella regione di spazio fra i due oggetti. Tali campi inducono dei momenti di dipolo transienti nelle molecole, provocandone l interazione. Nella formulazione quantistica dell interazione di Van der Waals, sviluppata da Fritz London, si verifica ciò che è stato visto precedentemente per il campo elettromagnetico: il valore medio degli operatori associati ai momenti di dipolo degli atomi o molecole apolari è nullo, ma i momenti di dipolo istantanei indotti fanno sì che lo scarto quadratico medio sia diverso da zero. In altri termini, la forza di Van der Waals è da intendersi come una conseguenza delle fluttuazioni di vuoto del campo elettromagnetico, dal momento che il campo intermolecolare si può interpretare come una serie di oscillazioni dell energia di punto zero. Ne consegue pertanto che l interazione di 40

44 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto Van der Waals è puramente quantistica; il lavoro di London conferma questa asserzione e la completa, dimostrando che si tratta di un effetto non relativistico, dal momento che i risultati da lui ottenuti dipendono dalla costante di Planck h, ma non dalla velocità della luce nel vuoto c. Quanto detto è vero nel limite in cui due atomi, molecole o corpi macroscopici si possano definire vicini. Una forza di Van der Waals quantistica e non relativistica si manifesta infatti se i due oggetti si trovano a distanza di pochi nanometri, distanza che consente ad un fotone virtuale emesso da un atomo, di raggiungere l altro in un arco di tempo minore o uguale al suo tempo di vita. In queste condizioni le oscillazioni prodotte dall emissione, o assorbimento, del fotone, inducono momenti di dipolo istantanei in entrambi gli atomi; si parla di nonretarded Van der Waals force. Se invece gli atomi sono situati a distanza tale da non consentire al fotone virtuale di essere trasferito dall uno all altro, l attrazione dovuta alla forza non ritardata di Van der Waals non sussiste. Tuttavia, anche in questo caso la dispersione del campo elettromagnetico risulta essere non nulla. Ciò comporta il sorgere di momenti di dipolo e di una forza attrattiva fra i due atomi. Tale interazione può essere interpretata come una manifestazione su larghe distanze della forza non ritardata di Van der Waals, che prende il nome di forza di Casimir-Polder. Essa è un interazione ovviamente quantistica, ma, al contrario della precedente, è relativistica e dipende dalla polarizzabilità degli atomi. Su scala macroscopica, Casimir predisse l esistenza di una forza attrattiva fra due lastre neutre parallele e perfettamente conduttrici, poste nel vuoto. Quest interazione, l effetto Casimir, è dunque un estensione della forza di Casimir-Polder entro confini materiali. La dimostrazione, per ora teorica, dell esistenza della forza di Casimir si ricava considerando un campo elettromagnetico all interno di un parallelepipedo di lati L x L y = L e L z, costituito da due piastre perfettamente conduttrici di area L ciascuna e poste a distanza d L z. Le equazioni di Maxwell nel vuoto impongono la trasversalità del campo elettrico e del campo magnetico, la scelta della guauge di Coulomb la impone anche per il potenziale vettore A(r,t). Inoltre, la condizione di perfetta conducibilità è soddisfatta se le componenti tangenziali del campo elettrico si annullano sulle pareti del parallelepipedo; analoga limitazione sussiste dunque anche per il potenziale vettore, le cui componenti spaziali, 41

45 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto soluzioni dell equazione di Helmholtz, sono del tipo A x (r) = (8/V ) 1 ax cos (k x x) sin (k y y) sin (k z z) (3.34) A y (r) = (8/V ) 1 ay sin (k x x) cos (k y y) sin (k z z) (3.35) A z (r) = (8/V ) 1 az sin (k x x) sin (k y y) cos (k z z), (3.36) dove a x + a y + a z = 1, V = L L z e il vettore d onda k soddisfa le condizioni al contorno (.34) k = ( nx π L,n yπ L,n zπ L z ) Immancabile è ovviamente la condizione di normalizzazione 1 = d 3 r A(r) = V L 0 dx L 0 dy Lz 0 con n x,y,z = 0,1,,... (3.37) dz[a x(r) + A y(r) + A z(r)]. (3.38) La trasversalità richiesta dalla gauge di Coulomb A = 0 si traduce nella relazione k x A x + k y A y + k z A z = π L (n xa x + n y A y ) + π L z (n z A z ) = 0, (3.39) dunque se n xyz 0 ci sono due possibili polarizzazioni indipendenti, se uno dei tre valori invece si annulla c è un unica direzione di polarizzazione. Ora, dalla (3.37) si evince che all interno del parallelepipedo solo alcune frequenze sono ammesse: [ ] n ω kn = c k n = πc x L + n 1 y L + n z. (3.40) L z Pertanto l energia di punto zero all interno del volume è data dalla somma dei punti zero dei modi del campo caratterizzati da frequenze ω kn () 1 ω k n = n [ n π c x n xn yn z L + n y L + n z L z ] 1, (3.41) in cui il fattore prende in considerazione le due possibili polarizzazioni nel caso in cui n xyz 0, mentre l apostrofo implica il fattore 1 nel caso in cui uno degli interi n xyz si annulli, in qual caso si ha un unica polarizzazione. Immaginando di far tendere all infinito le dimensioni delle superfici laterali, ossia immaginando che le lastre conduttrici diventino infinitamente grandi, pur mantenendo fissa la distanza d fra esse, i modi possibili nelle direzioni x e y diventano infiniti, dunque nella 4

46 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto (3.41), la somma rispetto a n x e n y è sostituita da un integrale, mentre i valori di n z continuano ad essere discreti: n xyz ( ) L π n z dk x dk y. (3.4) L energia di punto zero (3.41) in questa configurazione risulta E(d) = L π ( c) n z 0 dk x 0 dk y ( k x + k y + n zπ d ) 1 (3.43) quindi una quantità infinita in un volume finito. Se ora, rendendo infinite le dimensioni delle due piastre, anche la distanza d diventa infinita, n z potrà assumere valori continui; di conseguenza nell intero spazio vuoto, tutte le frequenze di vibrazione sono consentite. Anche la somma su n z diviene un integrale e l energia di punto zero nell intero spazio si ottiene dall integrale triplo E( ) = L π ( c) d π che anche in questo caso fornisce una quantità infinita. 0 dk x dk y dk z (k x + k y + k z) 1, (3.44) 0 Stando a quanto finora dimostrato, l energia potenziale del sistema nella configurazione iniziale, cioè con le due piastre poste a distanza d è una differenza fra due infiniti (figura (3.)). Essa infatti è l energia necessaria per portare le due piastre dall infinito a distanza d, dunque [ U(d) = L c π n z d π 0 0 dk x 0 0 dk y ( k x + k y + n zπ d ) 1 ] dk x dk y dk z (k x + k y + k z) 1. (3.45) 0 La forza di Casimir si ottiene rendendo finita questa quantità. Ciò è possibile attraverso un appropriata funzione di cut-off, che prende in considerazione il limite di conducibilità delle lastre, ossia il fatto che tale proprietà non è più vera a grandi frequenze, o in altri termini, a lunghezze d onda dell ordine delle dimensioni atomiche. L energia potenziale (3.45) in coordinate polari u, ϑ nel piano k x,k y > 0 assume la forma [ U(d) = L c π π du u (u + n zπ ) 1 n z 0 d ( ) d ] dk z du u(u + k π z) 1, (3.46)

47 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto dove dk x dk y = u dudϑ, con 0 < ϑ < π/. La funzione di cutoff è definita come f(k) = f([u + kz] 1 ), (3.47) di modo che, posto k m 1/a 0, dove a 0 è il raggio di Bohr, risulti f(k) = 1 per k << k m (3.48) e f(k) = 0 per k >> k m. (3.49) In queste approssimazioni l effetto Casimir risulta essere essenzialmente proprio delle basse frequenze, caratterizzato da energia potenziale [ U(d) = L c π π du u (u + n zπ ) 1 f([u n z 0 d + kz] 1 ) ( ) d dk z du u(u + k π z) 1 f([u + kz] 1 ) ], (3.50) 0 che effettuando il cambio di variabili x = u d /π e k = k z d/π diviene [ U(d) = L c π π dx (x + n (π z) 1 f d [x + ) n z] 1 0 dk 0 n z 0 Applicando ora la formula Eulero-Maclaurin alla funzione F (n) n=1 0 F (k) 0 dx (x + k ( ) 1 π f ( d [x + ) ] k ] 1. (3.51) dk F (k) = 1 F (0) 1 1 F (0) F (0)... (3.5) 0 dx (x + k ( ) 1 π f ( d [x + ) k ] 1, (3.53) con F (k) 0 per k, l espressione di U si semplifica ulteriormente in ( π ) [ c U(d) = 4d L 1 F (0) + ] F (n) dk F (k). (3.54) Inoltre la funzione F (k) si può riscrivere come F (k) = k n=1 0 du u f ( π ) u, (3.55) d 44

48 3 Effetti delle fluttuazioni di vuoto la cui derivata di primo ordine è F (k) = k f( π k), (3.56) d pertanto risulta F (0) = 0 F (0) = 4 (3.57) mentre tutte le derivate di ordine superiore sono nulle se si suppone che tutte le derivate della funzione di cutoff si annullino per k = 0. In conclusione si ha F (n) n=1 0 dk F (k) = 1 F (0) 4 70 (3.58) e conseguentemente U(d) = ( π c ) ( 4d 3 L 4 ) ( π c ) = d 3 L. (3.59) Si è quindi estrapolato un valore finito dell energia potenziale e indipendente dalla funzione di cutoff; ne risulta una forza attrattiva fra le due lastre F (d) = π c 40 d 4 (3.60) per unità di area. È proprio questa forza di Casimir, a dimostrazione che le fluttuazioni di vuoto del campo elettromagnetico possono essere finite e osservabili. Figura 3.. Due lastre parallele conduttrici nel vuoto. All interno è consentito un numero discreto di oscillazioni, all esterno un numero infinito. 45