0.1 Cometa Viene avvistata una nuova cometa. Con attente osservazioni si arrivaaconoscerelasuadistanzadalsole,ilmodulodellasuavelocità

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1 0. Cometa Viene avvistata una nuova cometa. Con attente osservazioni si arrivaaconoscerelasuadistanzadalsole,ilmodulodellasuavelocità rispetto al sole e l angolo tra la velocità e il vettore posizione. Quale sarà il perielio della cometa? e dopo quanto tempo riapparirà nella sua posizione attuale? Dati Cometa r 0.3 0ˆ9km () v 0 4.km/sec () ϕ 0 = 0.8rad (3) - Considerando trascurabili gli effetti gravitazionali degli altri corpi celesti del sistema solare(anche se qualche volta non lo sono...), sulla cometa agisce solo laforzadigravitàdovutaalsole,cioè F = G Mm r (4) r3 ove G è la costante di gravitazione universale, M è la massa del sole, m è la massa della cometa(che sarà considerata puntiforme), e r è il vettore posizione

2 della cometa rispetto ad un riferimento con origine nel centro del sole (tale riferimento è con ottima approssimazione inerziale). Come è ben noto il campo gravitazionale è conservativo e l energia potenziale èdatada V (r)= G Mm (5) r Inoltre essendo un campo di forze centrale (la forza è diretta sempre verso il centro del sole), si conserva il momento angolare calcolato rispetto a questo centro: cioè il vettore P = r m v (6) noncambianeltempoequindi P = r m v= P 0 = r 0 m v 0 (7) Ilfattocheladirezionedi P rimanecostanteindicacheilmotosaràsulpiano individuatodaivettori r 0, v 0 (vediesercizio"accelerazioneradialeetrasversa"). D altra parte dovremmo sapere che le traiettorie possibili in un campo di forze radiale attrattivo di intensità inversamente proporzionale a r sono solo le coniche cioè o un ellisse o una parabola o un iperbole. La conservazione del modulodi P fornisce P =mrvsin(ϕ)=p 0 =mr 0 v 0 sin(ϕ 0 ) (8) dove ϕ è l angolo tra r e v. Dato che conosciamo r 0, v 0,ϕ 0 conosciamo il valoredelmomentoperunitàdimassa P = P m ;abbiamoallora rvsin(ϕ)= P (9) relazione valida in ogni punto dell orbita. Ma noi stiamo cercando il perielio cioè ladistanzaminimadalsoleesappiamocheneipuntidiminimaedimassima distanza il raggio posizione e la velocità sono ortogonali ( vedi formula (??) dell esercizio"l astronave Eos" e le considerazioni seguenti). Perciò al perielio (come eventualmente all afelio) l angolo tra il raggio posizione e la velocità è di 90 gradi e quindi al perielio(come eventualmente all afelio) si ha r v= P (0) dove P è noto dai dati iniziali e r, v indicano rispettivamente la distanza dal sole e il modulo della velocità della cometa al perielio(o all afelio). Abbiamo una relazione per due incognite: insufficiente. Ma la conservazione dell energia ci fornisce una seconda relazione: E= mv G Mm r =E 0 = mv 0 G Mm r 0 () Quindi i dati iniziali ci forniscono l energia per unità di massa Ẽ= E m = v 0 G M r 0 ()

3 Perciò al perielio(come eventualmente all afelio) abbiamo: Ricavando vda(0)einserendoin(3),siha v G =Ẽ (3) M r P che riscriviamo(controllate le dimensioni!) =Ẽ (4) r GM r r GM P r Ẽ =0 (5) P Dunque dobbiamo risolvere una banale equazione di secondo grado in r. Le soluzioni sono: (GM = GM P ) r ± + Ẽ ± P P = GM P ) P ± + Ẽ( (6) GM Ma non sempre le soluzioni matematiche sono accettabili fisicamente... in questo caso le soluzioni devono essere ovviamente reali e positive, epperciò il discriminante = +Ẽ( P GM) deve essere non negativo. In effetti si ha 0: lostudentepuòtentaredidimostrarlo (Nota ). Quindilesoluzionisono reali,masonopositive(comerichiestodatoche r èunmodulo)? notiamoche ilsegnodi dipendesolodalsegnodell energiachepuòesserepositivaonegativa a seconda che l energia cinetica(sempre positiva) prevalga o no sul energia Ẽ( P GM) potenziale gravitazionale(sempre negativa): vedi(). Abbiamo 3 casi. )Energianegativa: laradiceèminorediunoequinditutteleduesoluzioni sonopositiveedunqueaccettabili. Notareche r + < r,quindi(adispettodella notazione...) r + sarà il perielio e r l afelio. Dato che l orbita è una conica, la presenza di una minima e di una massima distanza implica che l orbita sia ellittica. )Energianulla: casomarginale,abbiamo r =0,quindil afelioèall infinito. L orbita è parabolica(la parabola può essere infatti considerata come una ellisse che si chiude all infinito). Il punto materiale sfugge al campo gravitazionale e arriva all infinito con velocità nulla. 3

4 3)Energia positiva: solo r + >0, quindi abbiamo solo il perielio. L orbita è una iperbole. Il punto materiale sfugge al campo gravitazionale e arriva all infinito con velocità non nulla. Quindi per sapere in che tipo di orbita siamo basta guardare al segno del energia (notare anche che tutto quanto detto è indipendente dalla massa m della cometa). Notiamo inoltre che se il discriminante è nullo l afelio coincide con il perielio e quindi l orbita è necessariamente circolare(il cerchio è ovviamente un caso particolare dell ellisse). Diamo uno sguardo alle velocità. Iniziamo proprio dal caso dell orbita circolare. Abbiamo detto = 0 cioè ( ) P +Ẽ =0 (7) GM e r ± =R,Ressendoilraggiodelcerchio)chedalla(6)è R= P GM (8) Quindiperlavelocità v c sull orbitacircolare(velocitàcostante,perchè...), abbiamo ( ) R + v c GM R GM =0 cioè v c = GM R (9) ottenibile anche direttamente dalla(8) con la(0). Se siamo nel caso(), energia nulla, orbita parabolica, abbiamo dalla() GM v f = R = v c (0) dove abbiamo indicatoconv f la velocità di fuga dall astroquandosiamo adunadistanzardalcentrodell astro: fuga perchèineffettisiamoconlapiù piccola velocità che ci permette di sfuggire al campo gravitazionale e giungere all infinito. Da notare anche che la direzione e verso della velocità non contano (a meno di impatti con l astro...): se abbiamo tale velocità in modulo o una superiore fuggiremo comunque (con una traiettoria parabolica o iperbolica). Se invece la velocità è inferiore a quella di fuga siamo intrappolati nel campo gravitazionale in un orbita ellittica. Forse è istruttivo vedere graficamente come vanno le cose: 4

5 Orbite Siamo in P con una navetta spaziale nell orbita ellittica() intorno all astro (pianeta,stella...) dimassam;p èl afastroep ilperiastro. Datochel orbita non è circolare e siamo all afastro, allora la velocità in P deve essere minore della velocità v c per quella distanza. Accendiamo i motori e portiamoci, in brevissimo tempo, a velocità v = v c : entreremo nell orbita circolare (). Se invece avessimo raggiunto con l accensione la velocità v > v c,v < v f allora saremmo entrati nell orbita(3) che è pur sempre ellittica: ma notate che adesso P è il periastro e P 3 è l afastro. Se avessimo ottenuto dall accensione v = v f allora saremmo nell orbita parabolica di fuga(4) con periastro P. Se avessimo ottenuto dall accensione v > v f allora saremmo nell orbita iperbolica (5) con periastro P. 5

6 Torniamo alla nostra cometa e vediamo che tipo di orbita percorre. Ẽ= v 0 GM r 0 0? () Conosciamor 0 e v 0,mancanoGelamassaM delsole. Pocomale,direte: troviamoivaloriinqualsiasilibroditestoosuinternet... Masevoifostesuun isola deserta senza libri e senza collegamento: che fareste? (Nota ) Mmm... civieneinmentelaterzaleggedikeplero ρ 3 T = GM 4π () dove ρ è il semiasse maggiore dell orbita ellittica, T è il periodo e M è la massa che genera il campo gravitazionale (nel nostro caso il sole). Tale legge si applica a tutti i corpi in un campo gravitazionale generato da una massam : lelunedigiove,isatellitiartificialidellaterra,ipianetidelsistema solare...(mutatis mutandis, cioè il valore di M). Ma per un peculiare pianeta, la terra!, dovremmo conoscere i dati (Nota 3) : dovremmo sapere che il periodo è un anno terrestre e il raggio è per definizione una UA(Unità Astronomica) pari a circa 50 milioni di chilometri(considerando con buona approssimazione l orbita terrestre come circolare anche se in realtà è ellittica ma con piccola eccentricità). Possiamo quindi fare una stima di GM: GM =4π ( Km ) 3 ( sec) =.34 0Km3 sec (3) Ora possiamo calcolare l energia(per unità di massa) Ẽ= v 0 G M r 0 = Km sec (4) e siccome vediamo che è negativa allora l orbita della cometa è ellittica e quindi la cometa ritornerà dopo un periodo T. Notiamo che la posizione dell avvistamento è tra l orbita di Giove e quella di Saturno (controllate (Nota 4) ). Calcoliamo il perigeo, come richiesto: r + = Km (5) Esprimiamolo in U A r + =0.8UA (6) Sapendo (Nota 4) chemercurioèacirca0.4ua,vediamochelacometapasserà entrolasuaorbitaequindiarriveràmoltovicinoalsole. Per calcolare il periodo utilizzeremo di nuovo la terza legge di Keplero. Abbiamo però bisogno dell afelio per trovare il semiasse maggiore dell orbita. Calcoliamo: r =.49 0 Km (7) oinua r = UA (8) 6

7 Molto al di là della cosiddetta Fascia di Kuiper, ma molto al di qua della FasciadiOort cheèacirca50000ua. Per il periodo otteniamo T =3966 anni: noi non ci saremo per vedere il prossimo passaggio! (forse). Notare comunque che la velocità iniziale è molto vicina alla velocità di fuga e quindi basterebbe un piccolo errore nei dati iniziali per avere grandi variazioni dei risultati ottenuti(afelio, periodo... sperimentate!). Nota Se Ẽ 0saràovviamente >0.Se Ẽ<0allora e quindi possiamo porre Ma allora GM r GM r ( = + v GM r > v (9) = v + λ (30) ) = + ( λ ) v 4 ( v +λ ) (GM) (rv) = ( v λ ) ( v +λ ) 0 (3) CVD. Nota ChinonricordassechelacostantenellaterzaleggediKepleroè GM 4π,potrebbe tuttavia facilmente ricavarla considerando un orbita circolare... esercizio per lo studente. Curiosità storica. Keplero ricavò ingegnosamente e in relativamente poco tempo le sue due prime leggi dai dati astronomici di Ticho Brahe; passò poi molti e molti anni in cerca della terza legge... Sappiamo ora che l esistenza della terza legge è in qualche modo miracolosa (dipende infatti dalla eccezionale super-integrabilità del moto in un campo gravitazionale e sono veramente pochi i sistemi dinamici super-integrabili). Ma Keplero continuò imperterrito i suoi sforzi senza dubbi e senza esitazioni, ferreamente convinto che una terza legge dovesse esistere: perchè? ma perchè è un numero imperfetto: Dio doveva avere consegnato la chiave dell armonia delle sfere solo a 3, il numero perfetto! Nota3 La mente umana non può ricordare tutto e per di più ora con la grande facilità di accesso all informazione sovraccaricare la memoria sarebbe inutile. Eppurecisono nozioni edatiecosecheunuomomediamentecoltodovrebbe 7

8 avere in memoria. Tra queste, a mio giudizio,(oltre all inno a Venere di Lucrezio e almeno il primo canto della Divina), dovrebbe esserci il valore approssimato di pi-greco, la velocità del suono e della luce, il valore di g, il raggio di un atomo, il raggio della Terra, la distanza Terra_Luna e Terra_Sole, il nome e l ordine dei pianeti, la distanza della stella più vicina, il diametro stimato della Galassia... Non per mero nozionismo ma come framework della propria visione mentale dell Universo. Nota4 Per una approssimata stima della distanza dei pianeti dal sole si può ricorrere alla misteriosa legge empirica trovata nel 700 da Titius e Bode. La legge di Titius-Bode dice che la distanza d(n) dell ennesimo pianeta dal sole(in Unità Astronomiche, UA, pari circa a 50 milioni di chilometri) è data da: d(n)=d()+0.3 (n ) (3) Sapendo che per la Terra (terzo pianeta, n=3) la distanza dal sole è, per definizione di unità astronomica, pari a uno, si ricava per Mercurio (primo pianeta, n=) d()=d(3) 0.3 (3 ) = 0.3 =0.4UA (33) (inbuonaccordoconladistanzaveracheèdi0.387ua). Per Venere(secondo pianeta, n=) abbiamo d()=d()+0.3 ( ) = =0.7UA (34) (distanza vera = 0.73). Per Marte(quarto pianeta, n=4) abbiamo d(4)=d()+0.3 (4 ) = =.6UA (35) dinuovoinbuonaccordoconladistanzaveracheèparia.54ua. Applicando però la formula al quinto pianeta(giove, distanza=5.03 UA), si trova d(5)=d()+0.3 (5 ) = =.8UA (36) mentre la giusta distanza si ottiene, sorprendentemente, per n=6 d(6)=d()+0.3 (6 ) = =5.UA (37) SembraquindicheGiovesiainrealtàilsestopianetaenonilquinto(*);epperò, ai tempi di Bode, nessun pianeta era stato osservato tra Marte e Giove... Tuttavia, nel 80, l astronomo italiano Piazzi individuò a.767 UA un pianetinochechiamòcerereeprestosiscoprìchecerereerasoloilpiùgrandedi uno sciame di asteroidi in orbita tra Marte e Giove proprio alla distanza prevista 8

9 dalla legge di Titius-Bode! quindi il fantasmatico quinto pianeta era stato effettivamente trovato (anche se piuttosto...malridotto). D altronde, considerando Giove come sesto pianeta, Saturno avrebbe n=7 e quindi d(7)=d()+0.3 (7 ) = =0UA (38) ancorainaccordoconladistanzaveracheèdi9,555ua. Anche per Urano (n=8), scoperto solo nel 78 da W. Herschel, la legge tiene, predicendo una distanza di 9,6 UA a confronto della distanza misurata (media) di 9.9 UA. Agli inizi del 800 Urano era l ultimo pianeta(conosciuto) del sistema solare, non aveva dunque senso applicare la legge a n>8; ma, proprio agli inizi del 800,J.C.AdamseJ.J.LeVerrier,analizzandoilmotodiUrano,scoprirono che non seguiva esattamente le leggi di Newton (e Keplero) e, con considerevole sforzo fisico-matematico, riuscirono a predire l esistenza e l orbita di uno sconosciuto pianeta più lontano di Urano stesso. Tale pianeta fu poi effettivamente osservato per la prima volta nel 846 dall astronomo tedesco J.G. Galle e in seguito fu battezzato col nome di Nettuno. Successivamente, analizzando le piccole perturbazioni dell orbita dello stesso Nettuno, si dedusse che doveva esserci ancora un(piccolo) pianeta sconosciuto: tale pianeta- Plutone- fu effettivamente avvistato solo nel 930 da C. W. Tombaugh. La previsione teorica e la effettiva scoperta di tali pianeti resta una delle più belle perfomance della Meccanica Classica! Ma come si comporta la legge di Titius-Bode rispetto questi nuovi e imprevisti inquilini del nostro sistema (il nono e il decimo, secondo la nostra numerazione)? In apparenza non bene: infatti la formula prevede d(9) = 38.8UA (39) d(0) = 77.UA (40) mentreinrealtànettunoèpiùvicino(a30,06ua)eplutonemoltopiù vicino a sole (si fa per dire...) a 39,53 UA. Tuttavia molti astronomi, notando le anomalie dell orbita di Plutone che è molto più eccentrica e inclinata rispetto all eclittica delle orbite degli altri pianeti, hanno ipotizzato che in realtà Plutone fosse un tempo una delle lune di Nettuno, scagliata via lontano per qualche sconosciuta catastrofe cosmica (o addirittura si ipotizza che fosse un pianetino vagabondo catturato dal nostro Sole). Quindi, tutto sommato, la Legge di Titius-Bode potrebbe ancora valere... Allora cosa c è a 77, UA? Non lo sappiamo: d altronde non si può certo estrapolare questa legge per un numero infinito di pianeti, anche considerando che l attrazione gravitazionale del sole decresce con (il quadrato del)la distanza e ad un certo punto è equilibrata da quella delle stelle vicine. Gli oggetti più lontani ipotizzati del nostro sistema sono le cosiddette fasce cometarie: nuvole di comete da cui ogni tanto qualcunasidistaccaperfarcivisita... Lapiùlontanaditalifascedovrebbeesserela NubediOort(acirca50000UA),lapiùvicinalaFasciadiKuiper,forseproprio alla distanza prevista dalla legge di Titius-Bode e per di più recentemente entro tale fascia sembra che sia stato avvistato un oggetto abbastanza grande 9

10 da meritare il nome di pianeta. Inoltre, sempre recentemente, è stata provata l esistenza di pianeti orbitanti intorno ad altre stelle. Ovviamente, quando(e se) riusciremo a conoscere in dettaglio questi altri sistemi planetari scopriremo se questa legge empirica è solo una curiosità legata al sistema solare o se nasconde qualcosa di ben più profondo. Infatti, se essa dovesse essere confermata anche in sistemi extra-solari, dovremmo dedurre che c è qualche ragione teorica per la sua validità, ragione che non riusciamo a vedere alla luce della Meccanica attuale. Come le leggi empiriche spettrografiche portarono alla rivoluzione della Meccanica Quantistica, così una eventuale conferma della Legge di Titius-Bode potrebbe portare a una nuova Meccanica Celeste. (*) Nota bene che, nella maggioranza dei testi, Cerere (e la fascia degli asteroidi) non viene considerata un pianeta e quindi la numerazione dei pianeti risulta diversa (Giove rimane il quinto pianeta e usualmente si dice che i pianeti sono nove e non dieci). 0