Politecnico di Milano. Dipartimento di Fisica. G. Valentini. Meccanica

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1 Politecnico di Milano Dipatimento di Fisica G. Valentini Meccanica I

2 INDICE LA FISICA ED IL METODO SPERIMENTALE. INTRODUZIONE. IL METODO SPERIMENTALE GRANDEZZE FISICHE ED INDICI DI STATO 4. DEFINIZIONE DI GRANDEZZE FISICHE 4.. LIMITI DELLA DEFINIZIONE DI GRANDEZZA FISICA 5.. ERRORI DI MISURA 6. DEFINIZIONE DI INDICE DI STATO FISICO 6.3 PROCEDIMENTI DIRETTI E INDIRETTI DI MISURA 6.3. DEFINIZIONI DELLE UNITÀ FONDAMENTALI DEL SISTEMA INTERNAZIONALE 9.4 PRINCIPIO DI OMOGENEITÀ 9.4. REGOLA DI OMOGENEITÀ 3 CINEMATICA DEL PUNTO 3. MOTO DI UN PUNTO MATERIALE LUNGO UNA LINEA GEOMETRICA VELOCITÀ SCALARE MEDIA VELOCITÀ SCALARE ISTANTANEA ACCELERAZIONE SCALARE 7 3. DESCRIZIONE GENERALE DEL MOTO DI UN PUNTO MATERIALE VETTORE POSIZIONE VELOCITÀ VETTORIALE 3..3 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLA VELOCITÀ VETTORIALE 3..4 RICERCA DELLA LEGGE ORARIA 3.3 ACCELERAZIONE INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELL ACCELERAZIONE VETTORIALE RICERCA DELLE LEGGE ORARIA NOTA L ACCELERAZIONE MOTI SEMPLICI MOTO RETTILINEO MOTO CIRCOLARE MOTO ARMONICO SEMPLICE MOTO PIANO IN COORDINATE POLARI LEGAME TRA MOTO ARMONICO E MOTO CIRCOLARE 34 4 DINAMICA DEL PUNTO DEFINIZIONE DI SISTEMA INERZIALE DEFINIZIONE DI MASSA DEFINIZIONE DI QUANTITÀ DI MOTO DEFINIZIONE DI FORZA E II LEGGE DELLA DINAMICA III LEGGE DELLA DINAMICA STATICA DEL PUNTO MATERIALE REAZIONI VINCOLARI CLASSIFICAZIONE DELLE FORZE FORZA GRAVITAZIONALE FORZA ELETTROSTATICA 47 II

3 4.8.3 FORZA MAGNETICA (FORZA DI LORENTZ) FORZA NUCLEARE FORZE DI ATTRITO FORZE ELASTICHE FORZE DI ATTRITO ATTRITO RADENTE ATTRITO DEL MEZZO (ATTRITO VISCOSO) DENSITÀ E PESO SPECIFICO 5 4. IMPULSO DI UNA FORZA 5 4. PROBLEMA GENERALE DELLA DINAMICA MOTO SOTTO L EFFETTO DI UNA FORZA COSTANTE MOTO LUNGO UN PIANO INCLINATO MOTO DI UN PUNTO VINCOLATO AD UNA MOLLA ELASTICA MOTO DI UN PENDOLO SEMPLICE MOTO DI UN PUNTO MATERIALE IN UN FLUIDO VISCOSO 58 5 CINEMATICA DEI MOTI RELATIVI 6 5. COMPOSIZIONE DEGLI SPOSTAMENTI 6 5. LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ MOTO TRASLATORIO MOTO ROTATORIO LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE ACCELERAZIONI 65 6 DINAMICA DEI MOTI RELATIVI MOTO DI UN CORPO NON SOGGETTO AD INTERAZIONI SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO TRASLATORIO SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO ROTATORIO MOTO DI CADUTA DEI GRAVI 7 7 MOTO IN UN CAMPO DI FORZE CENTRALI MOMENTO DI UN VETTORE MOMENTO DI UNA FORZA MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO II EQUAZIONE CARDINALE CAMBIAMENTO DI POLO CAMPO DI FORZE CENTRALI FORZE ASSIALI 8 8 LAVORO ED ENERGIA LAVORO ELEMENTARE DI UNA FORZA LAVORO LUNGO UN TRATTO FINITO POTENZA DI UNA FORZA ENERGIA CINETICA E TEOREMA DELLE FORZE VIVE LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE ENERGIA POTENZIALE CAMPI DI FORZE CONSERVATIVI ESEMPI DI CALCOLO DELL ENERGIA POTENZIALE 9 III

4 8.8. ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA PESO ENERGIA POTENZIALE DELLE FORZE ELASTICHE ENERGIA POTENZIALE DELLE FORZE CENTRALI ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA CENTRIFUGA SUPERFICI EQUIPOTENZIALI E LINEE DI FORZA GRADIENTE DELL ENERGIA POTENZIALE INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL GRADIENTE CONDIZIONE AFFINCHÉ UN CAMPO DI FORZE SIA CONSERVATIVO EQUILIBRIO DI UN CORPO IN UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA 98 9 DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI I EQUAZIONE CARDINALE 9. CENTRO DI MASSA 9.3 SISTEMA DI DUE PUNTI MATERIALI 9.4 MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI II EQUAZIONE CARDINALE ENERGIA CINETICA DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI TEOREMA DI KÖNIG TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA CONSERVAZIONE DELL ENERGIA IN UN SISTEMA DI PUNTI SISTEMI CONTINUI (CENNI) 9 LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE. INTRODUZIONE STORICA.. SISTEMA TOLEMAICO.. SISTEMA COPERNICANO..3 LEGGI DI KEPLERO..4 LEGGI DI KEPLERO E LEGGE DI GRAVITAZIONE. LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE 3.3 CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALI 4.4 POTENZIALE DEL CAMPO GRAVITAZIONALE 4.4. POTENZIALE DI N MASSE PUNTIFORMI 5.4. POTENZIALE DI UN CORPO ESTESO 5.5 ESEMPI DI CAMPI GRAVITAZIONALI 6.5. CAMPO GRAVITAZIONALE DI N MASSE PUNTIFORMI 6.5. CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA ESTESA FLUSSO DI UN VETTORE E TEOREMA DI GAUSS 7.6 MOTO DI UN PUNTO MATERIALE IN UN CAMPO GRAVITAZIONALE.7 ENERGIA POTENZIALE EFFICACE IN UN CAMPO DI FORZE CENTRALI.8 MASSA INERZIALE E MASSA GRAVITAZIONALE 3 MECCANICA DELL URTO 5. URTI NEL SISTEMA DEL CENTRO DI MASSA 7.. URTO ELASTICO IN UNA DIMENSIONE 7.. URTO PERFETTAMENTE ANELASTICO IN UNA DIMENSIONE 8..3 URTO ANELASTICO IN UNA DIMENSIONE 8..4 RIEPILOGO URTI NEL SISTEMA DEL CENTRO DI MASSA 8 IV

5 . URTI NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL LABORATORIO 8.. URTI CENTRALI 8 V

6 La Fisica ed il metodo speimentale. Intoduzione La paola Fisica deiva dal geco φυσισ che significa Natua. Nel mondo occidentale i pimi studi sistematici delle scienze natuali sono da attibuie alla scuola ionica che ebbe in Talete di Mileto ( a.c.) il suo pimo appesentante. Studiando il moto del sole e della luna, egli iuscì a pedie le eclissi e gli equinozi. In geometia, olte al teoema che pota il suo nome, fece impotanti scopete che gli pemiseo di calcolae l altezza delle piamidi misuandone l omba. Nel campo della cosmogenesi, Talete iconosceva nell acqua il pincipio pimo, dando inizio a quella iceca di elementi di unificazione nella molteplicità dei fenomeni che ha pevaso il pensieo occidentale fino ai gioni nosti. Lo sviluppo della Fisica geca continuò gazie a filosofi e natualisti quali Pitagoa e Achimede fino a Democito, della scuola degli atomisti che vide ta i suoi assetoi anche il filosofo Epicuo. Il culmine delle conoscenze scientifiche nel mondo antico si ebbe con Aistotele che iunì le conoscenze in un gande compendio allo scopo di oganizzale secondo un modello pefissato (sistema) su cui costuie una teoia geneale. L impotanza attibuita da Aistotele al metodo deduttivo a scapito del metodo induttivo, che è iconosciuto alla base della scienza modena, dette oigine ad una fomulazione dogmatica delle scienze che allentò il pogesso delle conoscenze dall antichità fino alla fine del medio evo. Si deve a Galileo il iconoscimento della gande impotanza del metodo speimentale e l inizio della inascita della scienza. Il apido pogesso delle scienze natuali negli ultimi secoli è cominciato da quando si è sepaato il momento della iceca scientifica da quello della iceca filosofica, cioè da quando gli scienziati lasciaono pe lo più ad alti il compito di ispondee alla domanda a che scopo?, e si limitaono a chiedesi in che modo?. Dunque occupasi di scienza significa studiae i fenomeni natuali, individuando i appoti di causa ed effetto che li egolano, senza petendee di compendee le agioni pime pe cui tali fenomeni accadono. Fino alla fine del 7 la Fisica compendeva tutte le scienze natuali (in inglese physician significa ancoa oggi medico). In seguito lo studio della natua venne diviso in due pati pincipali, costituenti le scienze fisiche e le scienze biologiche. A sua volta le due più impotanti scienze fisiche sono la Fisica popiamente detta e la Chimica. La Fisica secondo la definizione modena è una scienza speimentale che studia i costituenti della mateia e le loo inteazioni. Scopo della Fisica è di costuie delle teoie basate su leggi fondamentali, espesse in foma matematica, in gado di pedie i isultati degli espeimenti. In un ceto senso la Fisica, iappopiandosi del significato oiginale di studio della nascita delle cose (cosmogonia), va alla iceca delle poche leggi fondamentali che egolano l univeso 3, lasciando alle alte scienze, in paticolae alle scienze biologiche, lo studio dei fenomeni complessi che non potebbeo essee intepetati in modo quantitativo. La Fisica viene tadizionalmente divisa in Fisica classica, e Fisica modena. La Fisica classica può essee a sua volta divisa nelle seguenti discipline, di cui sono indicati i più illusti scienziati che hanno contibuito a sviluppale: La paola φυσισ ha la stessa adice del vebo φυω (sanscito bhu = essee) che significa nascee. Analogamente la paola latina natua deiva da vebo nasco. Dunque studiae la fisica, cioè la natua, significa indagae sull'oigine delle cose. Teoia significa visione divina 3 Da molti anni un gande sfozo viene dedicato alla costuzione di una teoia unificata delle inteazioni fondamentali.

7 i) Meccanica - Galileo (564-64) cinematica del moto - Kepleo (57-63) leggi empiiche del moto dei pianeti - Newton (64-77) dinamica del moto e legge di gavitazione univesale ii) Temodinamica - Joule (88-889) teoia dinamica del caloe - Kelvin (84-97) secondo pincipio della temodinamica - Canot (796-83) teoia delle macchine temiche iii) Acustica ed Ottica - Femat (6-665) pincipio di stazionaietà del cammino ottico - Huygens (69-695) teoia ondulatoia della luce - Newton (64-77) teoia copuscolae della luce ed ottica geometica - Helmholtz (8-894) ottica fisiologica e acustica iv) Elettomagnetismo - Coulomb (736-86) elettostatica e magnetostatica - Ampèe ( ) elettodinamica - Faaday (79-867) induzione elettostatica ed elettomagnetica - Maxwell (83-879) teoia unificata dei fenomeni elettici e magnetici La Fisica modena iguada gli sviluppi più ecenti e compende: i) Teoia della elatività - Einstein ( ) teoia delle elatività speciale e geneale ii) Fisica quantistica - Planck ( ) ipotesi dei quanti - Boh (885-96) modello dell atomo - Schödinge (887 96) meccanica ondulatoia - Heisenbeg (9-976) pincipio di indeteminazione iii) Fisica atomica, Fisica nucleae e Fisica delle paticelle. Il Metodo speimentale Il metodo speimentale consiste nell ossevazione dei fenomeni natuali, nella ealizzazione di oppotuni modelli semplificati in cui sia possibile ipodue tali fenomeni in condizioni contollate e nella costuzione di una teoia in gado di spiegae gli accadimenti. Una teoia fisica deve avee un valoe pedittivo, deve cioè consentie di pevedee il isultato di espeimenti divesi da quello che è stato utilizzato pe la sua fomulazione. Il valoe di una teoia fisica isiede popio nella sua genealità. Ad esempio, una teoia che peveda il moto di caduta di un paticolae oggetto da una paticolae posizione iniziale è di scasa utilità anche se è in gado di fonie pevisioni molto accuate, mente la legge di gavitazione univesale che govena la caduta di tutti i gavi sulla tea e, più in geneale, l attazione ecipoca ta due masse ha un valoe ben supeioe, anche se non tiene conto di effetti petubativi, quali l attito con l aia, che influenzano il fenomeno. Una teoia fisica non è mai consideata definitiva, ma ha validità finché consente di intepetae i isultati delle ossevazioni. Esistono vai esempi in cui una teoia fisica ben consolidata ha dovuto lasciae il posto ad una teoia più geneale, che compende la pecedente come caso paticolae. Ad esempio, la Meccanica Newtoniana è stata supeata dalla Teoia della

8 Relatività Ristetta pe lo studio dei fenomeni in cui la velocità dei copi non è tascuabile ispetto alla velocità della luce e dalla Meccanica Quantistica pe lo studio dei fenomeni atomici e nucleai. La Fisica si avvale della matematica pe espimee in modo quantitativo le elazioni ta le gandezze che costituiscono gli ossevabili. Definizione: Una legge fisica è una elazione quantitativa ta gandezze, tadotta in una equazione ta le misue delle gandezze consideate. La fomulazione di una teoia fisica mediante equazioni matematiche ci consente di applicae i metodi del calcolo pe pevedee il isultato degli espeimenti. Nonostante il gande contibuto che la matematica fonisce alla fisica, non bisogna dimenticae che la pima è una scienza astatta, mente la seconda è una scienza speimentale. Così, le misue della fisica sono sempe affette da eoi, e molti opeatoi della matematica costituiscono una idealizzazione di alcuni pocedimenti fisicamente ealizzabili. Ad esempio, in fisica non esistono né quantità infinite ne infinitesime, ma solo quantità molto gandi o molto piccole. Gli opeatoi di deivazione o di integazione coispondono all esecuzione di appoti o di somme di quantità elementai, ma finite e comunque misuabili. 3

9 Gandezze fisiche ed indici di stato Lo studio di un qualunque fenomeno fisico si taduce nella deteminazione delle modificazioni a cui è andato inconto lo stato fisico del sistema in ossevazione. Queste modificazioni possono essee espesse mediante elazioni quantitative ta le gandezze fisiche che concoono a deteminae lo stato del sistema. Esempio: Consideiamo un punto mateiale dotato di velocità v che in un intevallo di tempo t si sposta dalla posizione A alla posizione B, pecoendo un tatto di lunghezza l. Lo studio del moto del punto compota la deteminazione degli stati iniziale (posizione A) e finale (posizione B) e delle gandezze fisiche che descivono il movimento: distanza l, intevallo di tempo t e velocità v. Si noti la diffeenza ta gandezza fisica e stato fisico. Il concetto di gandezza fisica è associato al concetto di estensione: come vedemo meglio in seguito, ta due gandezze della stessa classe è sempe possibile eseguie opeazioni di confonto che conducono a elazioni di < = >. Il concetto di stato fisico coisponde alla localizzazione ento un deteminato odinamento. Gli stati fisici vengono individuati mediante un insieme di paameti, detti indici di stato fisico, Due stati fisici possono essee confontati solo in elazione alla loo identità o non identità. Ad esempio, non si può die che una posizione sia maggioe o minoe di un alta. Esempi di gandezze fisiche: Lunghezza Massa Foza Lavoo Esempi di indici di stato fisici: Posizione Istante di tempo Enegia Tempeatua. Definizione di gandezze fisiche Ha senso palae di gandezze fisiche quando è possibile stabilie canoni di confonto ta enti omogenei. Definizione: Un insieme di enti costituisce una classe di gandezze fisiche quando ta gli enti è possibile stabilie elazioni di confonto (uguale, maggioe e minoe) ed effettuae le opeazioni di somma e diffeenza (e quindi di podotto pe un numeo e di appoto). La definizione di una gandezza fisica è intinsecamente legata al concetto di misua. Si considei una classe di gandezze, pe esempio quella delle lunghezze. Si fissi una gandezza abitaia e la si definisca unità di misua U. Data una geneica gandezza G della stessa classe, si può dimostae che il appoto x = G, che si dice misua della gandezza G ispetto all unità U U, è un numeo eale positivo. Il numeo x appesenta quante volte U è contenuta in G e viene talvolta fatto seguie dall indicazione simbolica dell unità scelta. Ad esempio, die che un asta è lunga. m, significa che l asta in questione contiene l unità campione (il meto) una volta più due decimi. Il appoto ta due gandezze della stessa classe è sempe un numeo eale positivo. Pe l abitaietà dell unità di misua, è possibile stabilie in una semplice infinità di maniee divese 4

10 una coispondenza biunivoca ta le gandezze di una classe e l insieme dei numei eali positivi. In una tale coispondenza a numei uguali (minoi, maggioi) devono coispondee gandezze uguali (minoi, maggioi) ed alla somma (diffeenza, quoziente) di numei deve coispondee la somma (diffeenza, appoto) delle gandezze. Le coispondenze che godono di queste popietà si dicono metiche e si ottengono facendo coispondee ad ogni gandezza il numeo che ne espime il appoto (detto misua) ispetto ad una gandezza di ifeimento, appatenente alla medesima classe (detta unità di misua), e vicevesa. Le coispondenze consideate costituisco un isomofismo. Le coispondenze metiche endono le gandezze isomofe ai numei eali positivi (le loo misue) e vicevesa. Si scelga abitaiamente una seconda unità di misua U. La misua x della gandezza G ispetto a questa nuova unità saà divesa dalla misua x, tuttavia esiste una legame ta esse: G G U G U U x = = = = x (.) U U U U U U La elazione pecedente consente di passae dalla misua di una gandezza secondo una unità (U) alla misua della stessa gandezza ispetto ad un alta unità (U ). Dette x ed x tali misue si ha dunque: U x = x (.) U ed analogamente: x x U = U (.3) I appoti U/U e U /U si dicono fattoi di agguaglio. Ad esempio, se come unità di misua delle lunghezze si scelgono il centimeto (U) ed il pollice (U ), i fattoi di agguaglio sono ispettivamente: U/U =(cm/in)=.3937 U /U=(in/cm)=.54 (.4).. Limiti della definizione di gandezza fisica La definizione di gandezza fisica espessa nel paagafo pecedente tae la sua giustificazione dal concetto di estensione che tova nella geometia la sua natuale collocazione. Così, quando si pala di confontae o misuae la lunghezza di un asta con quella di un alta asta, si pesuppone che, almeno idealmente, le due lunghezze siano definibili come vei enti geometici. Ta le ipotesi imposte da questa visione geometica delle gandezze fisiche si ha che: ogni classe di gandezze deve fomae un insieme continuo ed illimitato di enti lo spazio fisico ed i copi mateiali devono immaginasi come continui costituiti di punti euclidei. la medesima ipotesi di continuità deve essee attibuita a tutte le popietà dei copi mateiali: massa, caica elettica etc. Queste ipotesi contastano con l espeienza in due impotanti aspetti. i) Alcune gandezze fisiche sono quantizzate, cioè si pesentano solo come multipli di quantità piccole, ma finite. Questo vale ad esempio pe la caica elettica. ii) Anche imuovendo la quantizzazione esistono agioni patiche (eoi) che impediscono la conduzione di una misua con un gado illimitato di pecisione. Petanto la misua di una gandezza fisica isulta sempe espessa da un numeo azionale con un numeo finito di cife significative. 5

11 Nella taduzione del concetto di gandezza dalla geometia alla fisica è talvolta necessaio aggiungee degli attibuti estanei a quello di estensione che è l unico ilevante pe le gandezze scalai. Ad esempio, i concetti di diezione e veso danno luogo alle gandezze vettoiali ed il concetto di odinamento pota ad assegnae alle misue un segno positivo o negativo. In alti casi il segno meno che accompagna la misua di una gandezza fisica scalae è futto di convenzioni. Ad esempio, le caiche elettiche sono indicate con i simboli (+) e (-) pe appesentae la loo divesa natua, ma l uso dei segni matematici +/- è futto solo di una convenzione giustificata dalla comodità di applicae le egole del calcolo algebico pe deteminae la caica totale e gli effetti che si espimono ta caiche di segno uguale ed opposto... Eoi di misua La misua di una gandezza fisica isulta sempe affetta da eoi che possono essee classificati come eoi sistematici ed eoi accidentali. Gli eoi sistematici modificano il isultato di una misua in modo deteministico e possono essee dovuti ad alteazioni pemanenti dell appaato speimentale o ad una conduzione eata del pocesso di misua. Ad esempio l uso di un meto toppo lungo o toppo coto pota ad un eoe sistematico nella misuazione delle lunghezze. Analogamente, la misuazione di una massa con una bilancia (a bacci uguali) in pesenza di aia causa un eoe sistematico, seppu piccolo, pe la pesenza della spinta di Achimede sulla massa da misuae. Se una misua affetta da eoi sistematici viene ipetuta più volte si ottengono valoi sbagliati, ma coeenti, L eliminazione degli eoi sistematici può essee ottenuta con una attenta taatua degli stumenti e con un analisi del pocesso di misua al fine di individuae ed eliminae gli effetti petubativi. Una misua nella quale gli eoi sistematici siano stati idotti al minimo si dice accuata. Gli eoi accidentali sono dovuti a fluttuazioni statistiche insite negli stumenti di misua e nelle pocedue adottate dall opeatoe e potano alla dispesione dei valoi ottenuti in misue ipetute nell intono di un valoe centale che assume il significato di valoe più pobabile della gandezza da misuae. Tale valoe può essee calcolato come media aitmetica dei valoi ottenuti in un numeo elevato di misue condotte con la medesima cua. Una misua poco affetta da eoi accidentali si dice pecisa.. Definizione di indice di stato fisico Definizione: pe individuae univocamente uno stato fisico possiamo avvaleci della misua di oppotune gandezze che ne definiscono la distanza da uno stato di ifeimento. Le misue di tali gandezze costituiscono gli indici di stato fisici. Ad esempio, pe individuae la posizione di un punto mateiale possiamo fae uso delle sue coodinate (indici di stato) che ne costituiscono le distanze geometiche da un oppotuno sistema di ifeimento, alla cui oigine attibuiamo pe definizione coodinate nulle. Da quanto detto si capisce immediatamente che, contaiamente a quanto avviene pe una gandezza fisica, un indice di stato fisico dipende dallo stato di ifeimento. Dalla definizione di indice di stato discende che il valoe assoluto della diffeenza di due indici di stato omogenei costituisce sempe la misua di una gandezza fisica. Ad esempio, il valoe assoluto della diffeenza ta le coodinate posizionali lungo un asse costituisce la misua di una lunghezza..3 Pocedimenti dietti e indietti di misua Le classi di gandezze fisiche sono dettate dall espeienza. Olte alle gandezze geometiche come lunghezze, aee, volumi, angoli (piani, diedi e solidi), si hanno gandezze meccaniche (velocità, masse, foze, etc.), temodinamiche, elettiche, etc. Le misue di queste gandezze vengono effettuate usando metodi divesi che appatengono a due categoie: i pocedimenti dietti ed indietti di misua. La misua descitta nel paagafo. viene effettuata pe confonto dietto delle gandezze della classe consideata con la gandezza unitaia. Un pocedimento dietto di misua ichiede la scelta di una unità di misua indipendente ed abitaia: ad esempio il meto pe la misua delle 6

12 lunghezze. Una classe di gandezze definita mediante un pocedimento dietto di misua e l unità coispondente si dicono fondamentali. In fisica la maggio pate delle misue si effettuano mediante pocedimenti più complessi che vengono detti indietti. In questo caso la misua della gandezza dipende dalla misua di alte gandezze ausiliaie di classi divese, legate alla gandezza da misuae di una ben deteminata legge fisica 4, che spesso costituisce la definizione stessa della gandezza. Ad esempio, nella patica comune, la misua di una velocità (media) non si effettua pe confonto con una velocità campione (benché questo sia teoicamente possibile), ma si basa sulla ben nota elazione che lega la velocità media allo spazio pecoso in un ceto tempo. v = distanza pecosa = media tempo s t (.5) Supponendo s = m e t = 5 s la velocità vale: S v = m media m s t = 5 s = 4 (.6) In questo modo la misua della velocità media è stata icondotta alla misua di uno spazio pecoso e di un intevallo di tempo. Il pocedimento descitto (indietto) definisce una classe di gandezze deivate: la classe delle velocità scalai 5. L unità di misua coispondente dipende 4 Si icoda che una legge fisica è una elazione quantitativa ta gandezze, tadotta in una equazione ta le misue delle gandezze consideate (.). 5 Più igoosamente, si considei la classe delle lunghezze L e quella degli intevalli di tempo T pe definie la classe delle velocità medie scalai V. Poiché, assegnato un cammino pecoso da un punto mateiale ed il tempo impiegato a pecoelo, la velocità media è univocamente deteminata, si può istituie la seguente coispondenza F: pesi comunque un intevallo di tempo ed una lunghezza, si assuma come velocità media coispondente quella posseduta da un copo puntifome che pecoa un cammino avente la lunghezza consideata nel tempo consideato. Dall'espeienza si deduce che la coispondenza F è una popozionalità di agione semplice e dietta ispetto alle lunghezze e di agione semplice ed invesa ispetto agli intevalli di tempo. Siano L, L e T, T una coppia di lunghezze ed una coppia di intevalli di tempo scelti abitaiamente, e V, V le velocità deteminate secondo F, ispettivamente da L, T e da L, T. Si ha: V V L T = L T. (i) Se scegliamo L = U L (unità di misua delle lunghezze) e T = U T (unità di misua degli intevalli di tempo), si ha alloa: V V L T = U U U L T, (ii) dove V U è la velocità posseduta da un punto mobile che pecoa l'unità di spazio nell'unità di tempo. Se si assume V U come unità di misua delle velocità, questa isulta univocamente deteminata. e la elazione pecedente costituisce la definizione opeativa di misua delle velocità. In geneale è possibile definie abitaiamente l'unità di misua della gandezza deivata pu icoendo ad un pocedimento indietto di misua. Ad esempio, definendo l'unità di misua delle velocità come U V, dalla (ii) si ottiene: V V U UV L T = U U U V L T (iii) 7

13 da due unità di misua fondamentali, quella usata pe la misua delle lunghezze (meto) e quella usata pe la misua degli intevalli di tempo (secondo). La velocità unitaia è petanto il meto al secondo che si scive m/s o ms -. Come si è già accennato in pecedenza, un pocedimento dietto di misua pesuppone l esistenza di una unità fondamentale. Le unità di misua pe avee validità patica devono possedee alcune caatteistiche essenziali: ) Univesalità ) Inalteabilità 3) Facilità ad essee ipodotte Poiché non è facile costuie unità che soddisfino le condizioni pecedenti, è conveniente definie un numeo minimo di gandezze fondamentali e icoee a definizioni di gandezze deivate 6 pe tutte le alte. In questo modo ogni misua di una gandezza è espessa mediante elazioni ta le misue di poche gandezze fondamentali ed è indicata con ifeimento alle ispettive unità campione. Ad esempio, la misua di un acceleazione è espessa in meti al secondo quadato, che si scive m/s o ms -, la misua di una foza è espessa in meti pe kilogammo al secondo quadato, che si indica comunemente con il simbolo N (newton). Un Sistema di Unità di Misua 7 consiste in una paticolae scelta di un insieme di gandezze fondamentali e delle loo unità campione. Tale scelta è lagamente abitaia 8, tuttavia hanno impotanza patica solo pochi sistemi di unità, consideati bevemente nel seguito:.3.. Sistema Intenazionale o MKS Gandezze fondamentali: Unità di misua Simbolo Lunghezza Meto m Massa Chilogammo kg Tempo Secondo s.3.. Sistema CGS Gandezze fondamentali: Unità di misua Simbolo Lunghezza Centimeto cm Massa Gammo g Tempo Secondo s V U V UV L T = V U U U L T. (iv) Passando alla elazione ta le misue delle gandezze si ottiene: VU v = t. (v) U V Il fattoe V U /U V si dice equivalente di convesione e scompae se si sceglie l'unità di misua della gandezza deivata pai a U V = U L /U T = V U. 6 La definizione di una classe di gandezze mediante un pocedimento indietto non impedisce che pe essa si definisca una unità di misua abitaia, e petanto fondamentale. Vd. nota 5 e Polvani, Elementi di Metologia Teoetica, pag. 3 punto. 7 A igoe la scelta delle gandezze fondamentali coisponde alla definizione di un'oganizzazione Metica, nella quale possono coesistee divesi Sistemi di Unità di Misua, che coispondono a scelte diffeenti delle unità fondamentali. 8 Ad esempio, è possibile definie un'oganizzazione Metica nella quale l'unica classe di gandezze fondamentali è costituita dagli angoli piani. Vd. Polvani, Elementi di Metologia Teoetica, pag

14 .3..3 Sistema Patico (o Tecnico) Gandezze fondamentali: Unità di misua Simbolo Lunghezza Meto m Foza Chilogammo peso kg p Tempo Secondo s Le unità campione necessaie in un sistema metico possono essee costuite atificialmente, oppue icecate in natua. La seconda altenativa è da pefeisi in quanto le unità così definite non sono soggette a depeimento e possono essee ipodotte in ogni pate del mondo..3. Definizioni delle unità fondamentali del Sistema Intenazionale Meto Fino al 96 il meto ea definito come la distanza alla tempeatua di C ta due sottili incisioni paticate su una baa di platino-iidio consevata nel Museo di Pesi e Misue di Sèves. Tale distanza è appossimativamente uguale alla 4,, ma pate del meidiano teeste, secondo quanto concodato in un tattato intenazionale del 875. Dall ottobe 983 il meto è definito come la distanza pecosa dalla luce nel vuoto in un tempo pai a /99,79,458 secondi. Si è petanto stabilito che la velocità della luce nel vuoto è 99,79,458 m/s. Chilogammo Secondo Massa di un cilindo di platino-iidio consevato a Sèves. Essa coisponde appossimativamente alla massa di un dm 3 di acqua alla massima densità (3.98 C). A tutt oggi non esiste un campione natuale di massa definito come multiplo di qualche massa atomica, in quanto la pecisione che si può ottenee nella ealizzazione delle copie della massa campione è supeioe a quella della misua delle masse atomiche. Stoicamente il secondo è stato definito come la 86,4 ma pate del giono solae medio dell anno 9. Il giono solae medio è /365.4 dell anno solae medio. L anno solae è il tempo che intecoe ta due passaggi successivi della tea attaveso l equinozio di pimavea. A causa del moto delle maee il peiodo di otazione della tea decesce pogessivamente, petanto è stato necessaio pecisae un paticolae anno (9) pe la definizione di secondo. Attualmente il secondo è definito come il multiplo di odine 9,9,67,77 del peiodo della adiazione emessa nella tansizione ta due paticolai livelli ipefini di un isotopo del cesio Cs..4 Pincipio di omogeneità Le leggi fisiche, pe comodità, vengono espesse da elazioni matematiche che iguadano le misue delle gandezze che sono legate dalle leggi stesse, tuttavia l uso delle misue al posto delle coispondenti gandezze è puamente stumentale. È ovvio che la legge in sé iguada le gandezze e non dipende da come sono scelte le unità pe misuale. Pe conciliae l assolutezza delle leggi natuali con l abitaietà della definizione delle unità di misua, la fomulazione di una legge fisica deve ispettae il pincipio di omogeneità: Le equazioni che taducono leggi fisiche quantitative devono essee scitte in modo da isultae indipendenti dalle unità di misua. La veifica della ispondenza di una equazione che espime una legge fisica al pincipio di omogeneità può essee effettuata icoendo ad una egola patica che pende il nome di egola di omogeneità. 9

15 .4. Regola di omogeneità Pima di enunciae la egola di omogeneità è necessaio pemettee alcune definizioni. Definizione: Il simbolo dimensionale di una gandezza è il simbolo della gandezza ta paentesi [ ]. Definizione: Pe una classe di gandezze deivate G, gli esponenti a cui isultano elevate le misue delle gandezze fondamentali nella legge fisica che detemina il pocedimento indietto di misua si dicono dimensioni della classe di gandezze G ispetto alle classi delle gandezze fondamentali 9. Ad esempio, la classe delle velocità ha dimensioni nella classe delle lunghezze e - nella classe degli intevalli di tempo. Definizione: Un equazione dimensionale è una elazione ta simboli dimensionali. Si scive petanto: V = L T (.7) Possiamo oa espimee la egola di omogeneità: Condizione necessaia e sufficiente peché, stabilita l oganizzazione metica alla quale si ifeiscono le misue delle gandezze, l equazione: f(g, g, g...) = (.8) che espime una legge fisica, soddisfi al pincipio di omogeneità, è che, moltiplicate fomalmente tutte le g pe le espessioni dimensionali in fattoi pimi delle ispettive gandezze di cui sono misue, e tattati i simboli dimensionali come fosseo quantità algebiche, la (.8) sia identicamente soddisfatta. In alte paole, la egola di omogeneità si espime dicendo che le equazioni che appesentano le leggi fisiche devono essee dimensionalmente omogenee. Come esempio di applicazione della egola di omogeneità veifichiamo la coettezza dimensionale dell equazione: v s =, (.9) µ g che espime il minimo spazio di aesto di un auto in funzione del coefficiente di attito statico delle gomme µ (gandezza adimensionale), della velocità dell auto v e dell acceleazione di gavità g. In temini dimesionali l equazione (.9) diviene: e quindi : [ ] [ V] L [ A] = (.) [ ] [ ] [ ] L = L T [ L] [ T ] [ ] [ L] L =. (.) 9 Le dimensioni sono, evidentemente, gli esponenti che compaiono nel secondo membo dell'equazione (i) nella nota 5. L espessione (.8) costituisce la foma più geneale con cui si possa espimee un legame matematico the le misue delle gandezze g. Si noti l assenza del coefficiente adimensionale µ nell equazione pecedente.

16 L espessione (.9) è dimensionalmente coetta poiché l equazione (.) è identicamente soddisfatta. La egola di omogeneità, olte a consentie la veifica della validità fomale di una elazione ta gandezze, pemette talvolta di icavae la foma di una legge fisica quando si conoscano tutte le gandezze che influenzano un ceto fenomeno. Ad esempio, con il metodo dimensionale è possibile deteminae come il tempo t di caduta di un gave dipende dalla sua massa m, dalla acceleazione di gavità g e dall altezza di caduta d. Sciviamo l equazione che espime tale dipendenza attibuendo esponenti incogniti, e alle misue delle gandezze m, g e d ispettivamente. t α β = k m g d γ, (.) dove k è una costante abitaia. Le dimensioni delle gandezze coinvolte nella fomula pecedente sono: t = L M T m = L M T g = L M T d = L M T. L equazione dimensionale coispondente è: α β+ γ T = M L T β, (.3) che pe la egola di omogeneità si taduce nel sistema di equazioni: = β = α = β + γ β = α =. (.4) γ = Assegnando ad, e I valoi calcolati si ottiene che il tempo di caduta di un gave è espesso dalla elazione t = k d. (.5) g Il fattoe k si icava speimentalmente ed è k =. (.6) Si osseva che, contaiamente a quanto ipotizzato inizialmente, il tempo di caduta di un gave non dipende dalla sua massa. Tale dipendenza, spesso adicata nel senso comune, può manifestasi solo a causa di effetti petubativi, quali quelli podotti dalla esistenza dell aia.

17 3 Cinematica del Punto La Cinematica descive il moto di un copo, nel caso più semplice di un punto mateiale, senza pestae attenzione alle cause che lo deteminano. Pe individuae la posizione di un copo à necessaio consideane la distanza da alti copi che costituiscono un ifeimento. Inolte, pe descivee il moto è necessaio dispoe di un oologio. In geneale, si assume come sistema di ifeimento una tena di assi catesiani, cioè te ette immaginaie nello spazio che si intesecano in un punto O e fomano angoli di 9. Un tale sistema di ifeimento è appesentato nella Figua ; la disposizione degli assi e la loo oientazione coisponde alla scelta di una tena desta, con ifeimento all allineamento di pollice, indice e medio della mano desta lungo gli assi, secondo un odine pestabilito. L invesione di uno qualunque dei te assi tasfoma la tena desta in una tena sinista, del tutto equivalente alla pecedente, ma usata meno fequentemente in fisica. Pe concetezza, suppoemo di mateializzae un simile sistema di ifeimento e di vincolalo ad uno o più oggetti fisici. Ad esempio, pe studiae il moto di un copo in un laboatoio saà conveniente assumee come ifeimento le paeti della stanza, facendo coincidee gli assi con te spigoli di queste. Benché il sistema di ifeimento sia a pioi abitaio, è conveniente sceglielo in modo oppotuno: pe studiae il moto di caduta di un gave è comodo assume come sistema di ifeimento una tena di assi vincolata alla tea, pe studiae il moto dei pianeti isulteà più conveniente un sistema solidale con il sole. Lo stato di moto o di quiete di un copo dipende dal sistema di ifeimento. Ad esempio, un passeggeo seduto su un teno è femo ispetto a questo ma è in moto ispetto alla tea. Un punto mateiale è un oggetto fisico avente dimensioni piccole ispetto alle lunghezze consideate nell espeimento e pivo di una stuttua intena 3. Ad esempio possono essee consideate buone appossimazioni di punto mateiale sia una pallina che si muova in una stanza che un pianeta in otazione intono al sole. Scelta una tena di assi di ifeimento O, la descizione quantitativa del moto di un punto P si ottiene studiando come le sue coodinate x,y,z vaiano nel tempo. L insieme delle elazioni: x=x(t) y=y(t) z=z(t) (3.) costituisce la legge oaia del moto del punto P. La taiettoia pecosa dal punto P è la linea costituita dall insieme dei punti occupati successivamente da P nel suo moto. Una pima classificazione del moto può essee fatta in base alla taiettoia: Moto Moto ettilineo Moto cicolae Moto ellittico Moto cuvilineo Taiettoia Linea etta Ciconfeenza Ellisse Linea geneica In alcuni casi è possibile ottenee l equazione della taiettoia eliminando t nelle equazioni paametiche della legge oaia (3.). Ad esempio, nel piano xy, la taiettoia può essee espessa come funzione y=y(x) o f(x,y)=. In geco κινεµα significa movimento. 3 La stuttua intena potebbe anche essee pesente ma non deve essee coinvolta nel fenomeno ossevato.

18 z y x Figua 3. Moto di un punto mateiale lungo una linea geometica Se la taiettoia è nota 4, la posizione di P può essee deteminata univocamente definendo un sistema di ascisse cuvilinee s. La funzione: s=s(t) (3.) che descive in funzione del tempo la distanza della posizione di P dall oigine delle ascisse cuvilinee costituisce la legge oaia del moto. La completa conoscenza del moto è petanto Figua subodinata alla conoscenza della taiettoia e della legge oaia 5. L ascissa cuvilinea s è positiva se la posizione di P ispetto all oigine è nel veso convenzionale individuato dalla feccia, negativa in caso contaio. La coodinata s o appesenta la posizione di P nell istante t o di inizio dell ossevazione. La funzione s=s(t) può essee appesentata in un diagamma catesiano. Con ifeimento alla Figua 3, il punto P, all istante t= si tova ad una distanza s o dall oigine; successivamente se ne allontana nel veso delle s positive fino a aggiungee la massima distanza s (t = t ), dopodiché invete il veso del moto, oltepassa l oigine O e si aesta nella posizione s (t = t ). Il diagamma appesentato in Figua 3 fonisce una conoscenza completa del moto di P. Poiché in esso non è possibile individuae una qualche egolaità, il moto si dice vaio. 4 Ad esempio lo è nel moto di un teno lungo un binaio 5 L ascissa cuvilinea s può essee utilizzata anche pe scivee le equazioni paametiche della taiettoia: x = x(s) y = y(s) z = z(s) 3

19 3.. Velocità scalae media Un concetto intuitivo legato al moto è la apidità con cui esso avviene. Pe dae un significato quantitativo a questo concetto consideiamo due istanti di tempo t e t, con t < t, e le ascisse s ed s occupate da P in tali istanti. Figua 3 Pe definizione, si dice velocità scalae media del punto P nell intevallo di tempo t t la quantità: v ( m t, t ) = s t s t s = t, (3.3) cioè il appoto ta lo spostamento s subito dal punto nell intevallo di tempo consideato e l intevallo di tempo t stesso. L unità di misua della velocità nel Sistema Intenazionale è il ms -. La velocità scalae media appesenta la pendenza della etta che congiunge i due punti (t,s ) e (t,s ) nel gafico della legge oaia (Figua 4). tgα = s t s t = s t. (3.4) α Figua 4 Se il valoe della velocità scalae media non vaia comunque si scelgano gli istanti t e t, il moto si dice unifome e la velocità scalae v è semplicemente: 4

20 v = s t s t = s t (3.5) Se scegliamo come istante di inizio dell ossevazione l istante t = e come istante finale il geneico istante t abbiamo: v = s( t) s t s( t) = s + vt (3.6) Nel caso di moto unifome la legge oaia s=s(t) assume una foma paticolamente semplice ed il diagamma spazio-tempo è appesentato da una etta. 3.. Velocità scalae istantanea Se il moto non è unifome nello stesso intevallo di tempo il punto P pecoeà spazi divesi a seconda della posizione lungo la taiettoia. Questo significa che la velocità, che appesenta intuitivamente la apidità del movimento, muta nel tempo. Pe definie in modo igooso questa gandezza consideiamo un moto vaio del tipo di quello appesentato in Figua 5. La velocità scalae media, appesentata dalla pendenza della etta in figua, dipende dalla paticolae scelta dell intevallo di tempo. Supponiamo oa di tenee fisso il pimo istante di tempo t e di scegliee una sequenza di istanti t sempe più vicini a t. La etta che congiunge i punti (s,t) e (s,t ) tende alla tangente alla cuva nel punto consideato, fino a coincidee paticamente con essa quando l intevallo di tempo t t tende a zeo. In queste condizioni la tangente dell angolo α definisce una gandezza che chiamiamo velocità istantanea (o semplicemente velocità) del punto P all istante t. Dal punto di vista matematico il pocedimento consideato coisponde al calcolo del limite di un appoto incementale: s s s v( t) = lim lim t t t t = t t (3.7) α Figua 5 Tale limite si dice deivata di s ispetto a t, petanto la velocità istantanea è data dalla deivata dell ascissa cuvilinea s ispetto al tempo: ds v( t) =. (3.8) 5

21 Deve tuttavia essee chiao che la appesentazione della velocità come deivata è una astazione matematica. Dal punto di vista fisico non esistono gandezze infinitesime, petanto calcolae la velocità istantanea coisponde a calcolae il appoto (3.7) pe istanti di tempo t sempe più vicini a t, fino a che tale appoto assume un valoe stabile ento gli eoi di misua. A questo punto una ulteioe iduzione dell intevallo t è piva di significato. Se la legge oaia del moto è nota in modo analitico, come avviene ad esempio nel caso del moto di caduta di un gave tascuando l attito con l aia, la velocità può essee calcolata mediante il calcolo diffeenziale. s( t) = gt (3.9) ds v( t) = = gt. (3.) In tale moto la velocità cesce unifomemente nel tempo. Se in un paticolae moto è nota la velocità scalae del punto P in funzione del tempo, è possibile calcolae lo spazio pecoso da P in un geneico intevallo di tempo t t. A questo scopo si appesenti la velocità in un diagamma (v,t). Consideato un intevallo di tempo t t, lo si divida in n intevallini. Lo spazio pecoso da P in un geneico intevallino t i vale appossimativamente: s i v i t i, (3.) dove v i è la velocità nell intevallino t i, ivi consideata costante. (a) (b) Figua 6 Lo spazio s -s pecoso in tutto l intevallo t t saà la somma estesa a tutti gli intevallini (Figua 6a): n i= v t i i s s. (3.) Si può veificae che il isultato della somma pecedente dipende dalla scelta degli intevalli t i e da come è stata assegnata la velocità v i ento questi, tuttavia se consideiamo intevalli di tempo sempe più piccoli e numeosi, otteniamo un valoe che non dipende da tali scelte ento la pecisione delle misue. Assumeemo tale valoe come misua dello spazio pecoso dal punto P nell intevallo di tempo t t. In temini matematici questo pocedimento coisponde a calcolae l integale definito della velocità da t a t. Lo spazio pecoso vale dunque: 6

22 t s s = v(t). (3.3) t Dal pocedimento descitto e dal significato geometico di integale discende che lo spazio pecoso è dato dall aea tatteggiata in Figua 6b. Pe quanto iguada la elazione esistente ta l opeatoe matematico di integale definito ed il calcolo dello spazio pecoso, valgono le stesse consideazioni fatte in meito alla definizione di velocità istantanea. Nota la velocità v(t), dal pocedimento di calcolo dello spazio pecoso in un qualunque intevallo di tempo, discende immediatamente il calcolo della legge oaia. Sostituendo nella (3.3) all istante t l istante iniziale di ossevazione del moto t o, in cui il punto P si tova nella posizione s o, e all istante t il geneico istante t, otteniamo: t v(t ) s(t) = s + v(t ) s (t) s =. (3.4) t Si noti la sostituzione della vaiabile di integazione con la vaiabile ausiliaia t. Nel caso in cui la funzione v=v(t) sia espessa in foma analitica, il calcolo della legge oaia s=s(t) è iconducibile alla iceca di una funzione pimitiva h(t) + C della funzione v(t): s (t) = v(t) + C s(t) = h(t) + C (3.5) con C costante abitaia. Pe deteminae la costante C, ed individuae completamente la legge oaia è necessaio conoscee la posizione di P in un qualunque istante. Supponendo ancoa nota la posizione s o all istante t= si ha: s = h() + C C = s h() (3.6) Sostituendo l espessione di C nella (3.5) si ottiene la legge oaia. Consideiamo il seguente esempio; la velocità in funzione del tempo sia data dall espessione: v (t) + t t = at 3bt (3.7) e all istante iniziale t o = sia s o =a. Si ha alloa: 3 ( at + 3bt ) = at bt h (t) = + (3.8) C = a = a (3.9) e la legge oaia è: ( t + ) 3 s(t) = bt + a (3.) 3..3 Acceleazione scalae Analogamente a quanto è stato fatto pe la definizione della velocità scalae, è possibile definie l acceleazione scalae che appesenta la apidità con cui vaia la velocità scalae di P. Consideiamo due istanti di tempo t e t con t < t e le velocità scalai v e v possedute da P in tali istanti. 7

23 Pe definizione si dice acceleazione scalae media del punto P nell intevallo di tempo t t la quantità: a ( m t, t ) = v t v t v = t, (3.) cioè il appoto ta la vaiazione di velocità v subita dal punto nell intevallo di tempo consideato e l intevallo di tempo t stesso. Se il valoe della acceleazione scalae media non vaia comunque si scelgano gli istanti t e t, il moto si dice unifomemente acceleato. In geneale, pe definie l acceleazione scalae istantanea (o più semplicemente l acceleazione scalae) in un geneico istante t, calcoliamo l acceleazione media tenendo fisso il pimo istante di tempo t e scegliendo una sequenza di istanti t sempe più vicini a t fino a che il valoe calcolato non cambia più ento le cife significative. Tale valoe viene assunto come acceleazione scalae all istante t. Dal punto di vista matematico il pocedimento consideato coisponde al calcolo del limite del appoto incementale: v v v a( t) = lim lim t t t t = t t. (3.) Tale limite è la deivata di v ispetto a t, petanto l acceleazione scalae è data dalla deivata dello velocità scalae ispetto al tempo t: dv a( t) =. (3.3) Le dimensioni della acceleazione sono quelle di una velocità diviso un tempo: A = V T = L T. (3.4) Nel Sistema Intenazionale l acceleazione si misua in ms -. È bene ossevae che l acceleazione scalae ha pieno significato solo nel caso di un moto ettilineo, infatti essa non tiene conto delle vaiazioni della diezione del moto che avvengono quando il punto P pecoe una taiettoia cuva. Pe una descizione geneale del moto di un punto è necessaio abbandonae le gandezze scalai e consideae le gandezze vettoiali (vettoe posizione), v (velocità vettoiale) ed a (acceleazione vettoiale). 3. Descizione geneale del moto di un punto mateiale Il poblema geneale della cinematica del punto consiste nella deteminazione della posizione di un punto P nel tempo. Finoa abbiamo consideato il moto lungo una taiettoia ben definita, descitto mediante una coodinata cuvilinea. Vogliamo oa affontae il caso geneale della descizione del moto di un punto mateiale nello spazio. A questo scopo consideiamo un sistema di ifeimento costituito da una tena di assi catesiani. La posizione del punto P è individuata dalle te coodinate x,y,z. L conoscenza della legge oaia del moto ichiede la deteminazione delle te funzioni: x=x(t) y=y(t) z=z(t) (3.5) che individuano le te coodinate del punto in funzione del tempo. 8

24 3.. Vettoe posizione Un modo equivalente di descivee la posizione di P è di definie un vettoe costituito dal segmento oientato che congiunge l oigine degli assi alla posizione occupata dal punto mateiale nello spazio (Figua 7). Tale vettoe si dice vettoe posizione ed è un vettoe applicato. Esso si indica anche il simbolo OP. Il modulo del vettoe posizione è dato da: = x + y + z (3.6) e appesenta la distanza di P dall oigine degli assi. Il vettoe posizione può essee scomposto nei suoi te vettoi componenti ispetto agli assi: = + +. (3.7) x y z Le componenti del vettoe posizione sono costituite dalla te coodinate x,y,z: x y y = cos α = x = cosβ = y. (3.8) = cos γ = z Dove α, β e γ sono gli angoli fomati dal vettoe posizione con gli assi. I coseni cosα, cosβ e cosγ si dicono coseni diettoi di e si ha: cos α + cos β + cos γ =. (3.9) Figua 7 Se definiamo te vettoi u x, u y, u z, detti vesoi, di modulo unitaio, paalleli agli assi, ed aventi lo stesso veso, il vettoe può essee scitto come: = xu x + yu y + zu (3.3) z 9

25 3.. Velocità vettoiale Indichiamo con P la posizione del punto mateiale all istante t. Tale posizione è individuata dal vettoe. Sia P ( ) la posizione ad un istante successivo t. Lo spostamento del punto P è dato dal vettoe: =, (3.3) diffeenza dei due vettoi posizione nei punti P e P (Figua 8). Si faccia attenzione a non confondee il vettoe spostamento con lo spostamento del punto P lungo l aco di taiettoia P P. Si definisce velocità vettoiale media nell intevallo t t il vettoe: v m ( t, t ) = = (3.3) t t t P P La velocità media è un vettoe dietto come lo spostamento. L equazione vettoiale pecedente coisponde a te equazioni scalai nelle componenti del vettoe ; Infatti: = x u x + y u y + z u. (3.33) z Sostituendo nella (3.3) e sepaando le componenti scalai si ha: v v v mx my mz ( t,t ) ( t,t ) ( t,t ) Risulta petanto: x = t y = t z = t x t y t z t x = t y =. (3.34) t z = t v = v u + v u + v u (3.35) m mx x my y mz z Figua 8 x y z v = u + u + u t t t m x y z (3.36)

26 In modo analogo a quanto fatto nella definizione di velocità scalae (istantanea), fissiamo un istante t geneico e consideiamo istanti t sempe più vicini a t fino che il appoto / t assume un valoe che non dipende dalla scelta di t ento gli eoi di misua. Tale valoe è, pe definizione, la velocità vettoiale del punto P all istante t. Dal punto di vista matematico questo pocedimento coisponde a calcolae la deivata del vettoe posizione ispetto al tempo: d v( t) = lim lim t t t t = t t =. (3.37) Analogamente a quanto scitto pe la velocità media, l espessione di v nelle sue componenti è: dx dy dz v = u x + u y + u z. (3.38) Se le equazioni della legge oaia x=x(t), y=y(t) e z=z(t) sono note in modo analitico, è possibile deteminae la velocità vettoiale calcolando le sue componenti con te opeazioni di deivazione: v dx dy dz = v y = v z. (3.39) x = 3..3 Intepetazione geometica della velocità vettoiale Al tendee di t a t, P tende al punto P e la diezione dello spostamento tende a quella della tangente alla taiettoia in P. Poiché la diezione di v m è la stessa di quella di la diezione della velocità vettoiale ( v lim v ) in un punto P è quella della tangente alla taiettoia nel punto consideato. = t m v P u T P vm Figua 9 Ci chiediamo se esiste un legame ta la velocità vettoiale v e la velocità scalae v. Definiamo un ascissa cuvilinea s lungo la taiettoia ed un vesoe u T tangente ad essa e con veso concode a quello dell ascissa cuvilinea. Si ha: ds v = lim = u T = v ut. (3.4) t t