CAPITOLO I INTRODUZIONE ALLA FISICA DEI MATERIALI SEMICONDUTTORI

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1 I. 1 CAPITOLO I INTRODUZION ALLA FISICA DI MATRIALI SMICONDUTTORI Richiami di fisica atomica. L lttroica studia i disositivi, i circuiti d i sistmi i quali la rsza d il movimto dgli lttroi gioca u ruolo fodamtal. Allo scoo di comrdr alcui di fomi su cui è basato il fuzioamto di disositivi lttroici, quali l missio di lttroi dalla matria la coduzio lttroica i mtalli i smicoduttori, è cssario richiamar alcui coctti di fisica atomica. Il rimo modllo dll atomo fu roosto l 1911 da rst Ruthrford, il qual iotizzò ch l atomo iù smlic, qullo dll idrogo, lttricamt utro, foss formato da u uclo carico ositivamt, dov è coctrata la quasi totalità dlla massa dll atomo, attoro al qual ruotass i u orbita circolar u lttro carico gativamt. Co rifrimto alla mccaica classica, la stabilità dl modllo iotizzato r l atomo di idrogo si otva ottr dall quilibrio di du forz guali cotrari: la forza di attrazio coulombiaa tra l lttro (carica ) d il uclo (carica +), sattamt quilibrata dalla forza ctrifuga dll lttro ruotat attoro al uclo. Idicado co la carica dll lttro quidi ach dl uclo, co ε o la costat dilttrica dl vuoto, m la massa dll lttro v la sua vlocità, dall quilibrio dll du forz si otti: (1.a) ( forza di attraz. coulomb. ) = ( forza ctrif.) 4π ε r o I qusto modllo, cortmt co quato iotizzato, l rgia total dll lttro T è data dalla somma dlla sua rgia citica (1/ m v ) dlla sua rgia otzial. Qust ultima è data dal valor dl otzial sfrico idotto a distaza r dalla carica dl uclo +, moltilicata r la carica dll lttro, avdo rso com rifrimto dl otzial u valor ullo quado l lttro è a distaza ifiita dal rorio uclo. I tal caso si ha: m r v 4π ε r (1.b) = ( ) ot o = 4π ε r o (Novmbr 004)

2 I. Prtato l rgia total dll lttro val: T = 1 m v 4π ε r o Utilizzado l srssio di v ricavabil dalla quazio (1.a), si otti l rgia total dll lttro i fuzio dl raggio dll orbita circolar dll lttro r l atomo di idrogo scodo il modllo di Ruthrford: (1.c) T = 8π ε r o La rarstazio grafica di qusta rlazio è riortata i figura; i trattggio è riortato l adamto dll rgia otzial i fuzio dl raggio dll orbita; qust ultima forisc ach il raggio dll orbita iù stra ch uò occuar u lttro l caso i cui tutta la sua rgia total guaglia la sua rgia r otzial (oto ach com imbuto di T rgia otzial, ottibil co la rotazio dl diagramma di figura attoro all ass dll P ordiat). Il modllo di Ruthrford cotraddic rò uo di risultati dlla lgg fodamtal dll lttromagtismo, ch stabilisc ch ua carica i moto circolar irradia rgia ad ua frquza corrlata alla lughzza dll orbita circolar. S rò l lttro irradia rgia, la rd a scaito dlla sua rgia total, ch quidi dimiuisc. Si riduc di cosguza il raggio dll orbita, comortado ua variazio dlla frquza dlla radiazio mssa, l lttro fiisc r cadr sul rorio uclo. Al cotrario, gli srimti sguiti i laboratorio ossrvado l righ dll radiazioi mss da u isim di atomi di idrogo ccitati da ua scarica lttrica i ambit rarfatto, dicoo ch l righ di missio soo smr alla stssa frquza (o lughzza d oda si ricordi ch f λ = c vlocità dlla luc).

3 I. 3 Qusta ossrvazio fu rcita da Nils Bohr l 1913, ch iotizzò r il modllo dll atomo di idrogo roosto da Ruthrford i b oti tr ostulati: a) ch l'lttro si ossa muovr i orbit circolari di raggi b rcisi, all quali vgoo associati valori discrti di rgia; quado l lttro si trova i ua di qust orbit, o irradia; i valori di rgia rmssi rdoo il om di livlli rgtici o stati stazioari (si ossrvi ch ssso lla matria trattata, com ach i vari tsti sull'argomto, si arla di livllo di u atomo al osto dlla dizio iù corrtta di livllo di rgia di u lttro dll'atomo). b) ch l'lttro ossa irradiar (od assorbir) rgia soltato lla trasizio da u'orbita ad u'altra, cioè assado da uo stato rgtico iù alto (iù basso) ad uo iù basso (iù alto). La frquza dlla radiazio mssa è lgata alla diffrza di rgia dgli stati rgtici d 1 itrssati dalla trasizio (co maggior di 1 ), dalla rlazio: (1.d) f = h 1 avdo idicato co h la costat di Plack (6, J sc, our 3, V sc). c) ch i raggi dll orbit dgli stati stazioari dbbao soddisfar la codizio ch il momto dlla quatità di moto dll lttro sia u multilo itro di h/π, cioè (1.) h m v r =, ov = 1,,3 π srcizio: Calcolar la lughzza d oda i micro dll radiazioi mss ll trasizioi tra d 1 co valori ari a 1, 1,5 V. Co qusti ostulati è ossibil ricavar i raggi dll vari orbit l rgi rlativ r l'lttro dll'atomo di idrogo; i valori di rgia così ottuti vgoo idicati, com sora si è dtto, co il om di livlli rgtici o stati rgtici. lvado al quadrato trambi i mmbri dlla (1.) sostitudovi l srssio di v ricavabil dalla (1.a), si otti l isim discrto di raggi dll orbit rmss all lttro dll atomo di idrogo:

4 I. 4 (1.f) r = m h ε o π Pr ricavar l isim discrto di valori dll rgi totali dll lttro è sufficit sostituir l srssio aa trovata lla (1.c). Si ha così: (1.g) m = 8 h 4 ε o Dado all itro i valori 1,, 3..., si ottgoo i vari valori dll rgia total dll lttro dll atomo di idrogo, cioè l isim discrto dgli stati rgtici rmssi. Da qusti valori, è ossibil rvdr toricamt tutti i salti m - costiti quidi i valori dll frquz dll radiazioi mss, ricavabili dalla (1.d) d ossrvabili i laboratorio ccitado u isim di atomi di idrogo; tal vrifica srimtal ha giustificato i ostulati di Bohr. srcizio: Dtrmiar i valori di raggi dll orbit r =1,, 3, i corrisodti valori dll rgi totali dll lttro dll atomo di idrogo l frquz dll trasizioi 3, 3 1, 1. Normalmt l lttro td ad occuar lo stato rgtico a valor di rgia iù basso, ach chiamato stato fodamtal; l caso dll atomo di idrogo ciò corrisod alla coia di valori dll (1.f) (1.g) r =1, ch foriscoo risttivamt 1 = - 13,58V d r 1 = 0,59 Å. Allorché si forisc all lttro rgia dall stro, qusto va ad occuar stati rgtici a valori di rgia iù alti co orbit di raggio crsct, divtado così smr iù lascamt lgato al rorio uclo. Vi dfiito otzial di ioizzazio l rgia ch è cssario imartir all lttro affiché sso si stacchi dal rorio uclo. Poiché i raltà lla trattazio ch sgu sarmo itrssati sorattutto all diffrz di rgia tra i vari livlli rgtici occuabili dagli lttroi, ormalmt si o gual a 0 l rgia dl livllo iù basso o cioè qullo dllo stato fodamtal. I mtodi utilizzati r far variar l rgia dgli lttroi di u atomo comrdoo l collisioi co altr articll (trasfrimto di rgia citica), gli urti co l arti dl cotitor l itrazio co fotoi (quati lmtari di rgia lumiosa hf ), ch uò dar luogo o all assorbimto di fotoi co cosgut ccitazio dgli lttroi o alla missio di radiazio da art dgli lttroi co disccitazio dgli stssi.

5 I Livlli bad di rgia La toria di Bohr o è i grado di sigar i fomi riguardati atomi co iù di u lttro. Tal roblma vi affrotato co l'ausilio dlla mccaica quatistica ch, oltr a cofrmar i risultati ottuti co il modllo atomico di Bohr r l'idrogo, è i grado di forir i livlli rgtici r sistmi iù comlssi. U risultato fodamtal dlla mccaica quatistica affrma ch quado si costituisc u sistma formato da du atomi idtici (ad smio ua molcola biatomica), r ogi livllo rgtico dll'atomo isolato si vgoo a crar du livlli dl sistma comlssivo, l cui rgi soo rossim a qull dl livllo dll'atomo isolato; la sarazio fra l rgi di du livlli crsc co il dimiuir dlla distaza fra i du atomi. Pr chiarir qusto fomo, cosidriamo ua situazio aaloga rsa i rstito dall aalisi dll rti lttrich: s suoiamo di avviciar ad u circuito risoat "LC" sza rdit, i assza quidi di dissiazioi di rgia carattrizzato da ua frquza di risoaza f 0 (vdi fig. 1), u scodo circuito idtico al rimo, crado così u cofficit di mutua iduzio M fra l du bobi, vdiamo ch il sistma rsta du frquz di risoaza ( f 1 d f ), ua u ò iù alta d ua u ò iù bassa dl valor origiario f 0. L'aalogia fra i du casi è tra l frquz di oscillazio dl sistma di du risuoatori d i valori di rgia di livlli occuati da lttroi l sistma formato dai du atomi. S stdiamo il ragioamto fatto a sistmi co iù atomi, è ossibil ituir ch l caso di solidi, dov il umro di atomi ch si ifluzao rcirocamt è gradissimo dato ch il umro di stati rgtici è ugual alla somma dgli stati dgli atomi sigoli, ogi M C L C L L C risuoator lmtar: f 0 = 1 / (π(lc) 1/ ) Fig. 1 risuoatori lmtari accoiati: f 1 = f 0 / (1 k) 1/ f = f 0 / (1 + k) 1/ dov M = k L co 0 k 1

6 I. 6 livllo dgli atomi (suosti tutti idtici) costituti il sistma darà luogo ad u umro così grad di livlli di rgia molto vicii tra loro d a qullo origiario da otr cosidrar raticamt cotiuo l'isim di tali livlli; u isim di qusto tio rd il om di bada di rgia. I u solido omogo, rfttamt rgolar, sza imurità costituito da u rorio rticolo cristallio (struttura ch rit ifiit volt la struttura di ua clla lmtar), si idica co il om di bada di valza l'ultima bada occuata dagli lttroi; la succssiva bada, la bada di coduzio, è ormalmt vuota. Prd il om di bada itrdtta, così dfiita rché "roibita" agli lttroi, l'isim di valori di rgia comrsi tra l'strmo ifrior dlla bada di coduzio ( C ) l'strmo surior dlla bada di valza ( V ). Pr chiarir quato dfiito, i fig. vi idicata ua rarstazio tiica dll bad di rgia r u solido, avdo riortato ll ass x dll asciss ua qualsiasi dirzio dl rticolo cristallio ll ass dll ordiat l rgia total dgli lttroi. Gli lttroi dgli atomi ch costituiscoo u solido, soo distribuiti ll bad rmss, rimido i ss gli stati rgtici ad rgia iù bassa (quidi gli stati disoibili lla bada di valza); i bada di coduzio bada itrdtta bada di valza x Fig. accordo al riciio di sclusio di Pauli, u qualsiasi stato o uò ssr occuato llo stsso istat da iù di u lttro. Pr i ostri scoi ossiamo classificar i matriali solidi i tr grui, coduttori, isolati smicoduttori, a scoda dlla dislocazio rlativa tra l bad di valza di coduzio. I fig. 3 vgoo rarstat i tr casi l distribuzioi dll bad suddtt. I fig. 3.a) è idicato il caso di coduttori, r i quali la bada di coduzio è arzialmt sovraosta a qulla di valza. ' oto ch il rocsso di coduzio lttrica i u solido cosist i u moto di lttroi oritato lla dirzio i cui vi alicato u camo lttrico dall stro. I trmii di rgia ciò sigifica ch u matrial uò codurr s gli lttroi dlla bada di valza ossoo, acquistado rgia dal camo, occuar dgli stati rgtici libri. Ni coduttori, data la sovraosizio dll bad, gli lttroi di valza, ach sotto l'azio di u dbol camo lttrico, hao la ossibilità di occuar C V

7 I. 7 u gra umro di stati libri dlla bada di coduzio quidi i tali matriali il fomo dlla coduzio o solo è ossibil, ma richid dall'stro ua quatità miima di rgia. Molto diffrt è la situazio dgli isolati: i qusto caso, com è idicato schmaticamt i fig. 3.b), gli lttroi di valza, fortmt lgati al loro uclo, rimioo totalmt la bada di valza o ossoo occuar, a causa dl valor otvol dlla bada itrdtta, gli stati libri dlla bada di coduzio, tra ch o vga loro imartita dall'stro ua rgia molto lvata (ad smio, l caso dlla rottura dgli isolati). Quidi i codizioi ormali i matriali isolati il rocsso di coduzio è imossibil. C V C G C V G V x Coduttor Isolat Smicoduttor a) b) c) x x Fig. 3 Il caso itrmdio è rarstato dai matriali smicoduttori, ch hao la distribuzio dll bad dl tio idicato i fig. 3.c), co valori dlla bada itrdtta G (dtta ach bada roibita i quato imdita agli lttroi, dato ch o vi soo stati rgtici occuabili), ari ad C - V, dll'ordi dll'lttro-volt (si ricordi ch 1 V = 1,6x10-19 Joul è l'rgia ch u lttro acquista attravrsado ua zoa co ua diffrza di otzial acclrat di 1 Volt). Gli lmti smicoduttori soo i gr aartti al IV gruo dl sistma riodico d i lgami covalti fra atomi vicii soo modstamt forti; ach comosti III-V hao comortamto simil, com il GaAs (arsiuro di gallio) o il IP (fosfuro di idio).

8 I. 8 A tmratura maggior dllo zro assoluto, l'agitazio trmica dgli atomi uò rodurr la rottura di qualch lgam; ciò corrisod, dal uto di vista rgtico, alla cssio di ua quatità di rgia ari o maggior di G a qualch lttro ch si trovi lla bada di valza ch, così, "salta" lla bada di coduzio. A tal fomo è sszialmt lgato il rocsso di coduzio i matriali smicoduttori; i ssi quidi la coducibilità, com vdrmo i sguito, vi fortmt ifluzata dalla tmratura, i gral, dall'assorbimto di rgia di qualsiasi tio dall'stro. Poiché l altzza dlla bada itrdtta did dalla distaza itratomica, ch ituitivamt varia co la tmratura, cosgu ch ach la G è fuzio di T dimiuisc al crscr di T. srimdo la tmratura T i gradi Klvi, r i tr smicoduttori iù comui, grmaio, silicio d arsiuro di gallio, si ha risttivamt: G G G 4 ( T ) 0,785 3,7 x 10 T ( T ) ( T ) = r il G 4 4,73 x 10 T = 1,17 T ,4 x 10 T = 1,5 T + 04 r il Si r il GaAs I smicoduttori itrisci la coctrazio itrisca Abbiamo visto ch, quado l'altzza C - V dlla bada "roibita" (bada comrsa tra i livlli C d V l diagramma di rgia dgli lttroi di fig. 4) o è troo grad ristto al trmi kt (*), u crto umro di lttroi vrrà a trovarsi lla bada di coduzio, avdo ricvuto dall'agitazio trmica l'rgia cssaria a comir il salto. Qusti lttroi, romossi lla bada di coduzio, ossoo adsso muovrsi (acquistar cioè rgia citica) sotto C V Fig. 4 x (*) La costat di Boltzma k val 1,38 x 10-3 J/ K ari ad 8,6 x 10-5 V/ K; il trmi kt, ch a tmratura ambit val 0,06 V, dà ua misura dll'rgia di agitazio trmica.

9 I. 9 l'azio di u camo lttrico; il matrial rstrà duqu ua crta coduttività lttrica, itrmdia fra qulla lvata di u coduttor mtallico qulla quasi ulla di u buo isolat. Dal rocsso ch è rsosabil dlla rsza di qusti lttroi, si dsum ch la coduttività di u matrial smicoduttor sarà fuzio dlla tmratura. I matriali smicoduttori iù comui, com già dtto, soo rarstati dal grmaio, dal silicio dall arsiuro di gallio, r i quali C - V val risttivamt 0,67 V, 1,11 V 1,43 V a tmratura ambit. I raltà la coduzio dlla corrt lttrica i smicoduttori o è dovuta solamt agli lttroi rsti lla bada di coduzio. Oguo di ssi, ifatti, ha lasciato libro u "osto" (u livllo rgtico) lla bada di valza, ch i tal modo o risulta iù comltamt occuata. ' ossibil quidi agli lttroi di livlli ifriori dlla bada di valza, occuar qusti stati rsi libri, acquistado l'rgia cssaria (ifiitsima) sotto l'azio dl camo lttrico alicato. Qusta coduzio, dovuta al moto dgli lttroi (carich gativ) lla bada di valza, uò cosidrarsi dovuta al moto di "osti libri", assimilati a carich ositiv mobili. Il coctto di lacua mobil così itrodotto, dotata di ua carica + massa dll'ordi di qulla dll'lttro, è utilissimo uivrsalmt adottato. Il coctto uò ssr chiarito ituitivamt sado al moto di ua bolla di aria tro u liquido: quado la bolla sal vrso Ia surfici, è i raltà il liquido ch scd attoro ad ssa; tuttavia è iù facil cosidrar la bolla ch sal com ua sci di masscola gativa ch td vrso la osizio di miima rgia otzial (la surfici dl liquido) d aalogamt vrso il livllo V r la lacua. Nl caso fiora cosidrato di u cristallo smicoduttor rfttamt uro d omogo, rivo cioè di lmti strai (smicoduttor itrisco), il umro dll carich "" (lttroi) è smr gual al umro dll carich "" (lacu), dato ch r ogi lttro ch si rd libro lla bada di coduzio r fftto dlla tmratura, si sarà crata ua lacua i bada di valza, cioè qust carich vgoo crat a coi. U rimo asso llo studio di matriali smicoduttori cosist l dtrmiar, r data tmratura T, quati lttroi (guali ad altrttat lacu quidi = ) vi sarao r uità di volum dl smicoduttor. ' chiaro ch il roblma è di atura statistica: i codizioi di quilibrio si avrao cotiuamt rottur ricostituzioi di lgami covalti, co cosgut bilaciamto di du rocssi di grazio di ricombiazio di coi lacua-lttro; si tratta di dtrmiar di valori mdi. Il roblma dlla distribuzio dgli lttroi fra i livlli rgtici sistti i solidi è risolto dalla statistica di Frmi-Dirac, il cui risultato, r quato riguarda qusta trattazio, è rarstato dalla fuzio di distribuzio di Frmi-Dirac:

10 I (.a) F( ) =, ( F ) 1 + kt Qusta fuzio dà la robabilità (0 F 1) ch u livllo avt rgia sia occuato F() da u lttro alla tmratura T. Si vd 1 subito ch F( F ) = 1/ ; quidi il livllo di Frmi F si uò dfiir com qul livllo di rgia ch ha il 50% di robabilità di 0,5 ssr occuato da u lttro. La fuzio F(), rarstata lla fig. 5 r quattro valori divrsi dlla tmratura T, è 0 atisimmtrica ristto al uto ( F, 0,5) com si uò vrificar immdiatamt. T T 1 T 3 T o < T 1 < T < T 3 F Fig. 5 T o = 0 K srcizio: Dtrmiar i valori di r cui F() val 0,1 0,9 risttivamt; si srima - F i uità kt r i du casi. ( - F = ±, kt) Suodo oto, r il momto, il valor di F, data la tmratura, sarà dtrmiata F(). Pr ottr il umro ffttivo di lttroi r cm 3, rsti i mdia ll'itoro di ua crta ordiata (rgia) l diagramma dll bad (fig. 4), occorr moltilicar il umro di livlli rgtici (r cm 3 ) sistti ll'itoro di qulla rgia r la fuzio F(); ciò i bas alla dfiizio di robabilità. L dsità di livlli ll'itoro di C di V, idicat co N C d N V (cm -3 ) soo dat r il grmaio r il silicio lla tablla I; ss soo fuzioi dlla tmratura, risultao roorzioali a T 3/. Idicado co l coctrazioi r cm 3 di lttroi libri di lacu libr, si avrà r u smicoduttor itrisco, i bas a quato dtto: (.b) = N C F( C ) = = N V [1 - F( V )] dato ch la robabilità di avr ua lacua a u crto livllo è ari alla robabilità ch il livllo o sia occuato.

11 I. 11 I raltà, i valori di N C di N V assuti l ricavar la (.b) rarstao di valori mdi la trattazio sguita è molto arossimata, s o rrata, oiché o si è tuto coto, tra l altro, dl riciio di Pauli. U rocdimto, iù soddisfact dal uto di vista matmatico, r arrivar allo stsso risultato dv tr coto ch la fuzio dsità di livlli rgtici N() è ua fuzio dll rgia rtato la coctrazio di lttroi comlssivamt rsti lla bada di coduzio si otti attravrso l itgrazio, stsa a tutta l altzza dlla bada stssa, dl rodotto dlla fuzio N() r la fuzio di Frmi F(); cioè si ha: = C to N ( ) F ( ) d avdo idicato co to il valor massimo di rgia dlla bada di coduzio. La fuzio N() lla bada di coduzio è data da A C ( C ) 1/, dov A C è ua costat ch val 4π (m c ) 3/ /h 3. Potdosi assumr ch ormalmt i smicoduttori itrisci è F >> kt, la F() si uò arossimar i: Quidi si ha: F( ) = ( F ) kt = A C to ( C ) C 1 / c kt 1 / ( F ) kt Sommado sottrado ll sot dlla F() la quatità C mttdo i vidza la quatità (kt) 3/, si otti: = A C ( ) kt 3 / C to ( C ) kt d ( C F ) kt d kt C Itroducdo ua uova variabil dfiita com ( - C )/kt = x, l itgral divta: = A C ( ) C F ( kt ) 3 / kt ' x 0 x 1 / x dx

12 I. 1 co l strmo x ch si uò assumr, dato ch to - C >> kt ; i qusto caso il valor dll itgral è oto ari a π. L srssio trovata è idtica alla (.b) s si assum 3 / C π. r N C il valor A ( kt ) Prima di rocdr oltr si oti ch, aalogamt a quato sora visto l caso i cui F >> kt, è ossibil ottr ua srssio smlificata dlla F() valida quado si ha F >> kt : F( ) = 1 ( F ) kt Ciò risulta immdiatamt dallo sviluo i sri dlla fuzio F() (biomio di Nwto trocato). La (.b) dà, co qust arossimazioi: ( C F ) ( F V ) (3) N kt kt C = NV = i dato ch l smicoduttor itrisco è = = i, avdo idicato co qust ultimo simbolo la coctrazio di lttroi o dll lacu l smicoduttor itrisco; di cosguza si trova immdiatamt ch la coctrazio itrisca i val: i = N C N V G kt Ioltr dall (3) si ricava facilmt la osizio dl livllo di Frmi l smicoduttor itrisco, ch val: C + V kt NV (4) F = + l = i N C Nlla (4) si è idicato co i il livllo di Frmi r u smicoduttor itrisco; sso è al ctro dlla bada itrdtta s N C = N V. Poiché N C d N V soo dllo stsso ordi di gradzza, i ratica i dista da ( C + V )/ di ua quatità molto iccola, dll ordi di kt/ (a tmratura ambit, kt = 0,06 V, mtr C - V è 1,1V r il silicio). Ciò giustifica, fra l altro, l arossimazioi fatt sora r F() i viciaza di C d V. I sitsi, oto il matrial smicoduttor la tmratura T a cui sso si trova, si coosc la coctrazio itrisca i.

13 I. 13 Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si + Si - Si Si Si Si Si Si Fig. 6 Fig.7 srcizio: Co i valori di N C d N V dati lla tablla I, calcolar il umro di ortatori libri itrisci i = = r il silicio a tmratura ambit. Il fomo dlla crazio di ortatori mobili i u cristallo si uò dscrivr da u altro uto di vista, rifrdosi alla struttura dl rticolo cristallio, ch r il silicio è qulla dl sistma cubico a facc ctrat. La fig. 6 dà ua rarstazio iaa dl rticolo r il caso dl silicio uro. I quattro lttroi di valza di ciascu atomo di silicio formao lgami covalti co lttroi di altri quattro atomi; i qust codizioi tutti gli lttroi soo lgati ai risttivi atomi o si hao ortatori mobili ch ossao codurr corrt lttrica. La fig. 7 rarsta il caso i cui si è crata ua coia lttro-lacua co la rottura di u lgam: il osto lasciato libro dall lttro (adsso mobil) uò vir rso da u lttro di u atomo cofiat raticamt sza ssa di rgia: la lacua, ach i qusta rarstazio, è quivalt a ua carica ositiva mobil. Occorr a qusto uto sottoliar ch, a tmratura ambit, i valori dll coctrazioi itrisch (cioè = = i ) sia l silicio (circa cm -3 ), sia l grmaio (circa cm -3 ), sia acora ll arsiuro di gallio (circa 10 7 cm -3 ) soo di molti ordii di gradzza ifriori all coctrazioi di lttroi libri i mtalli ( circa 10 cm -3 ) rtato è ituibil ch la coducibilità di smicoduttori itrisci risulti molto bassa I smicoduttori drogati l coctrazioi maggioritari mioritari U mtodo molto fficac r aumtar la coctrazio di carich mobili i smicoduttori cosist ll'itroduzio di alcu articolari imurità l rticolo cristallio

14 I. 14 dl matrial smicoduttor. Cosidriamo il caso (fig. 8) di ua imurità costituita da u atomo di u lmto ch abbia ciqu lttroi di valza (aartt quidi al V gruo dl sistma riodico, ad smio: fosforo), isrito sostituzioalmt lla struttura cubica dl silicio. Quattro lttroi di qusto atomo imurità saturao altrttati lgami covalti co il silicio, mtr il quito lttro o uò costituir lgam covalt co ssuo dgli atori cofiati, tutti ttravalti: sso risulta rciò molto mo lgato all atomo di fosforo cui aartva. Mtr r staccar u lttro da u'atomo di silicio occorr u rgia di 1,1 V ( C - V dlla trattazio rcdt), r librar l lttro i iu dl fosforo bastrà molto mo, circa 0,05 V. Ciò darà luogo ad u ortator libro di muovrsi (l lttro) di tio ch otrà artciar alla coduzio; l atomo di fosforo, rivato dl quito lttro, cioè ioizzato, è ivc ua carica immobil (ach dtta carica fissa) rché lgata al rticolo cristallio. I u smicoduttor ch cotga imurità di qusto tio (atomi doatori), a tmratura ambit si ha u ccsso di ortatori (mobili) gativi, si dic ch il smicoduttor è di tio. I ortatori maggiormt rsti, i qusto caso lttroi, vgoo chiamati ortatori maggioritari la loro coctrazio è idicata co, mtr la coctrazio dlla carica mobil maggioritaria è -q ; l lacu vgoo chiamat ortatori mioritari la loro coctrazio idicata co. Aalogamt la coctrazio dlla carica mobil mioritaria sarà data da q. Quidi il dic alicato all coctrazioi idtifica il tio di smicoduttor. La fig. 9 rarsta il caso dll isrimto di u atomo imurità costituito da u lmto aartt al III gruo (trivalt, ad smio: boro) situato sostituzioalmt l rticolo cristallio dl silicio. Co ua ssa total di rgia molto bassa, acora dll ordi di 0,05 V, è ossibil straar u lttro da uo di lgami silicio- Si Si Si Si P Si Si Si Si Fig. 8 Si Si Si Si B Si Si Si Si Fig. 9

15 I. 15 silicio utilizzarlo r comltar il lgam macat dll atomo di boro, ricostitudo così attoro ad sso la simmtria dl rticolo. Adsso l atomo di boro (ioizzato) è ua carica fissa gativa la macaza di u lttro vutasi a crar l rticolo dl silicio gra ua lacua mobil, disoibil r il rocsso di coduzio. U smicoduttor ricco di imurità di qusto tio (atomi accttori) mostra a tmratura ambit, u ccsso di ortatori (mobili) ositivi si chiama smicoduttor di tio. Aalogamt a quato visto sora, i ortatori maggiormt rsti, i qusto caso lacu, vgoo chiamati ortatori maggioritari la loro coctrazio vi idicata co, mtr la coctrazio dlla carica maggioritaria mobil sarà q ; i qusto tio di smicoduttori gli lttroi vgoo chiamati ortatori mioritari la loro coctrazio vi idicata co, mtr la coctrazio dlla carica mioritaria mobil sarà -q. Ach qui il dic alicato all coctrazioi idtifica il tio di smicoduttor. Nlla rarstazio dl silicio a mzzo dll bad di rgia, la rsza dll imurità (ch soo i rctual miima ristto agli atomi costituti il rticolo, dll ordi di 1 r ogi milio di atomi di silicio) dtrmia la crazio di livlli rgtici localizzati sazialmt ch cadoo tro la bada roibita dl smicoduttor. C D 0,05 V C i V i A V 0,05 V x a) b) Fig. 10 x Prcisamt, r quato si è dtto sora, i livlli doatori ( D i fig. 10.a), grati dalla rsza l rticolo di lmti dl V gruo, si trovrao molto vicii (circa 0,05 V al di sotto) al margi ifrior dlla bada di coduzio C, mtr i livlli accttori ( A i fig. 10.b), grati dalla rsza di lmti dl III gruo, si trovrao circa 0,05 V al di sora dl margi surior dlla bada di valza V. ' facil rvdr ch a tmratur o troo bass, la maggior art dgli lttroi dgli atomi doatori ricvrà dalla agitazio trmica l'rgia cssaria r ortarsi lla bada di coduzio:

16 I. 16 similmt, la maggior art dgli atomi accttori catturrà lttroi, cioè cdrà lacu alla bada di valza. L fftto dl drogaggio (rsza di imurità) sulla distribuzio dgli lttroi cosist llo sostar, r il smicoduttor drogato, la osizio dl livllo di Frmi F, ch o coicidrà iù co il valor itrisco i. La osizio dl livllo si avvicirà a C o a V a scoda ch rvalga l'fftto dgli atomi doatori o dgli atomi accttori. Pr vdr ciò, richiamiamo l srssioi dat dall (3) d utilizziamo l formul arossimat r la fuzio di Frmi F(); si ha: (5) N kt ( C F ) ( F V ) = kt C = NV Dato ch l fuzioi ch foriscoo la distribuzio dlla dsità dgli stati rgtici ll bad di coduzio di valza o variao co il drogaggio, il mtodo utilizzato r arrivar all (5) rsta comuqu valido. Ma oiché il drogaggio altra l coctrazioi, l uica quatità ch varia co il drogaggio o uò ch ssr la osizio dl livllo di Frmi F. Si oti altrsì ch, facdo il rodotto mmbro a mmbro dll (5), si otti: ( C V ) (6) = N N kt = T kt C V i 3 G Si ossrvi ch, r u smicoduttor drogato, sarà i gral divrso da ; ma la (6) mostra ch il rodotto dll du coctrazioi rima costat al variar dlla coctrazio dll imurità ari al quadrato dlla coctrazio itrisca; cioè il rodotto did soltato dal matrial dalla tmratura. Qusta è ua rlazio fodamtal (costaza dl rodotto i quilibrio, ach dtta lgg di azio di massa ) cui l sguito si farà iù volt rifrimto. aa il caso di sottoliar ch la variazio domiat di i co T è attravrso la fuzio sozial iuttosto ch attravrso T La lgg di azio di massa. La costaza dl rodotto i codizioi di quilibrio i u smicoduttor drogato uò ssr dimostrata r altra via. Riassumdo gli fftti dovuti alla rsza di imurità i matriali smicoduttori, si uò affrmar ch:

17 I Il iccolo umro di carich libr rsti i u cm 3 di smicoduttor itrisco orta alla cssità di cosidrar la ossibilità di itrodurr iccol coctrazioi di imurità ch siao i grado di modificar drasticamt la disoibilità di ortatori libri i smicoduttori (l silicio i val circa cm -3, vi soo circa 10 atomi di silicio i u cm 3, la coctrazio di imurità itrodott è ormalmt di 1 r 10 6 di atomi di silicio, il umro di lttroi libri l smicoduttor drogato sarà dll ordi di cm -3 dato ch ogi atomo doator gra u lttro libro). - I du tii di imurità samiati soo ormalmt costituiti sia da atomi di lmti dl V gruo vgoo idicati com imurità doori, dato ch dao luogo ad lttroi libri, già a tmratura ambit, lla misura di 1 lttro r ogi atomo doator, sia da atomi accttori ch grao lacu lla stssa misura ch soo costituiti da lmti dl III gruo. La rsza di ortatori libri i smicoduttori i codizioi di quilibrio è dovuta a du fftti: a) crazio di coi lttro-lacua r fftto dlla grazio trmica; b) ioizzazio di imurità immss all itro dl rticolo cristallio. Saiamo ioltr ch, ach s i du fftti soo smr rsti, il rocsso a) richid, affiché avvga, ua quatità di rgia maggior di qulla richista ormalmt dal rocsso b). Immagiiamo ioltr di ssr i codizioi di quilibrio trmico dfiito com sgu: 1) La tmratura è uiform i ogi uto dl cristallo smicoduttor o varia l tmo (rgim stazioario). ) No vi soo cami lttrici, o magtici, o radiazioi lttromagtich ch dall stro ifluzao il cristallo. 3) Il moto di lttroi lacu rsti è comltamt casual l coctrazioi di qusti soo costati dtrmiat statisticamt. Si cosidri a qusto uto u smicoduttor di tio (aalogo rocdimto si otrbb far artdo da u smicoduttor di tio ) drogato sia co imurità dl V gruo, la cui coctrazio idichiamo co N D, sia co imurità dl III gruo, la cui coctrazio idichiamo co N A, ma co N D > N A, cioè i qusto caso rval il drogaggio di tio. Suoiamo oi di ssr a tmratura ambit ch a qusta tmratura tutt l imurità siao ioizzat. Ossrviamo, com chiarito i fig. 11, ch ua art di

18 I. 18 lttroi drivati dall imurità N D (i umro ari ad N A ) imgrà gli N A stati rgtici disoibili. I rimati lttroi sarao ari a N D - N A. Pr fftto dlla grazio trmica vi sarà ioltr ua crazio di coi lttro-lacua la cui coctrazio idichiamo co th. Quidi l coctrazioi di ortatori sarao: (7) = N D - N A + th = th Il rocsso di grazio trmica è il rocsso co cui u lttro assa dalla bada di valza alla bada di coduzio, mtr il rocsso di ricombiazio è il rocsso ivrso, i quato l lttro libro, l suo moto dl tutto casual, uò trovarsi i rossimità di ua lacua uò occuar qusto lgam: i qusto caso scomar ua coia lttro-lacua. I codizioi di quilibrio trmico i du rocssi si dvoo bilaciar, cioè la raidità di crazio di coi dv ssr ari alla raidità di scomarsa: tat coi si grao ll uità di tmo r fftto dlla grazio trmica d altrttat scomaioo ll uità di tmo r fftto dlla ricombiazio. S così o foss, la coctrazio dgli lttroi libri aumtrbb smr o dimiuirbb smr d il sistma o sarbb mai i quilibrio ( costati l tmo, ad ua data tmratura, ach s vi sarà u cotiuo ricambio fra i ortatori rsti). La grazio trmica, idicata co G th (cm -3 sc -1 ), è dtrmiata dall tità dll rgia trmica disoibil dalla rgia richista r la crazio di ua coia lttro-lacua, ari a G = C V. Quidi G th è ua fuzio di T di G o did dall coctrazioi dll carich libr rsti, é dalla coctrazio dll imurità drogati. La ricombiazio R (cm -3 sc -1 ) did ivc da quato frqutmt u lttro dlla bada di coduzio icotra ua lacua dlla bada di valza. La vlocità co cui l coi lttro-lacua si ricombiao sarà roorzioal all coctrazioi d ; tato iù umrosi soo gli lttroi libri, tato iù vlocmt ua lacua icotrrà u lttro. La fuzio di ricombiazio R è ach fuzio di G di T, ch dtrmia la vlocità co cui si muovoo i ortatori libri. Quidi otrmo orr: C D i A V x Fig. 11

19 I. 19 R = r ov r è ua fuzio di G di T. Poiché i quilibrio, com si è dtto sora, dv ssr G th = R, sgu ch l ostro caso è G th = r, rtato si ha: = G r th Il scodo trmi è soltato fuzio di G di T quidi si è dimostrato ch i uo stsso smicoduttor, r smio silicio, i codizioi di quilibrio smr alla stssa tmratura T, il rodotto dll coctrazioi dgli lttroi dll lacu è costat o did dall tità di drogaggi. I articolar il valor dlla costat dv valr ach l caso i cui il smicoduttor o sia drogato, cioè sia itrisco. Prtato si ha: (8) G r th = i i = i Sostitudo qusto valor di G th /r lla rcdt, si otti la rlazio già chiamata "lgg di azio di massa": (9) = i Utilizzado r la coctrazio mioritaria l'srssio i /, sostitudo qusta ll (7), si ha: i i = N D N A + = Risolvdo la rima r, si otti: ( N D N A ) N D N A = i quidi s N D - N A è molto maggior di i, l coctrazioi di lttroi lacu r u smicoduttor di tio valgoo:

20 I. 0 (10) = N D - N A = ( N N ) D i A Ovviamt, s si foss avuto N A > N D l coctrazioi di ortatori libri r u smicoduttor i qusto caso di tio sarbbro stat: (11) = N A N D = ( N N ) A i D Si ricordi ch qusto risultato è stato ottuto artdo dall iotsi ch tutt l imurità immss l rticolo fossro ioizzat. La lgg di azio di massa, srssa dalla (9), srim la rorità ch al crscr dl drogaggio N D crsc la coctrazio di ortatori maggioritari dimiuisc qulla di ortatori mioritari. srim altrsì la rorità ch u smicoduttor, iizialmt di tio co u drogaggio N A, uò ssr covrtito i u smicoduttor di tio aggiugdo ua coctrazio di N D maggior di qulla N A. U caso molto itrssat si ha allorché l smicoduttor si vrifichi la codizio N A = N D ; i tal caso il smicoduttor si dic comsato dal uto di vista dll coctrazioi di ortatori libri è idtico ad u smicoduttor itrisco Nuov srssioi di di i fuzio di i, i d F. Il risultato srsso dalla lgg di azio di massa (9) rmtt di srimr sia ch i fuzio di i, di i di F. Ifatti si ha: ( ) kt F i NCNV (1) = = kt i = i = ( ) i F V N kt V ( C V ) i dov si è fatto uso dlla dfiizio di i data dalla formula (4). Aalogamt si ricava r la coctrazio dll lacu: ( (13) = kt i i F )

21 I. 1 I u smicoduttor di tio l'ccsso di lttroi forito dagli atomi doatori orta a ua dimiuzio dl umro dll lacu ristto al caso itrisco, i bas alla (9); avdosi > i, r la (1), F > i. Vicvrsa avvi l caso di drogaggio di tio "". srcizio: Pr u smicoduttor drogato co atomi di imurità r cm 3 calcolar la distaza mdia tra du imurità. (d =,16 x 10-6 cm =16 Å) Idichiamo co N A d N D l coctrazioi (cm -3 ) dll imurità accttori doatori. Pr i drogaggi ch si usao lla maggior art di disostivi a smicoduttor, F, ur discostadosi da i, rsta rlativamt lotao dai margii dlla zoa roibita ( ach dai livlli accttori doatori, A d D ); d'altra art solo i qusto caso valgoo gli svilui rcdti, dato ch r F() abbiamo usato l srssioi arossimat. Allora il umro di atomi doatori ioizzati sarà dato da: ( D F ) N [ ] kt D 1 F(D ) = N D 1 ND Il umro dgli atomi accttori ioizzati sarà: ( F A ) N [ ] kt A F( A ) = N A 1 N A Praticamt, sia gli atomi doatori sia qulli accttori sarao comltamt ioizzati. S soo rsti soltato atomi doatori, co coctrazio N D >> i com di solito avvi, la coctrazio dgli lttroi disoibili è raticamt dato da N D ; l caso di drogaggio co soli atomi accttori, s N A >> i, è ivc = N A. Il caso di drogaggio simultao d, cioè rsza di N A d N D llo stsso smicoduttor, mrita articolar attzio, com già dtto. S è N D > N A, il smicoduttor risulta dl tio, co coctrazio di lttroi data arossimativamt da N D N A. Ciò rché gli atomi accttori, ioizzadosi, imgao N A lttroi ch quidi o risultao disoibili r la coduzio (è iù robabil ch u atomo accttor imgi u lttro libro aziché strar uo dlla bada di valza). Aalogamt l caso N A > N D l lacu ffttivamt disoibili r la coduzio soo = N A N D. Com si è già accato, i risultati fi qui ottuti valgoo r l coctrazioi di imurità ormalmt imigat.

22 I. Al crscr dl drogaggio, il livllo F si discosta da i tddo vrso uo di margii dlla zoa roibita; quado F dista da A o da D di ua quatità aragoabil o mior di kt, l uso dll formul arossimat o è iù giustificato la trattazio si comlica. I ratica ciò si vrifica r drogaggi N A o N D suriori a cm -3 ; u smicoduttor così fortmt drogato si chiama dgr. Pr il sguito ci limitrmo smr, tra i casi articolari ch sarao vidziati, all aalisi di disositivi ch utilizzao smicoduttori o dgri. b rdrsi coto a qusto uto ch ach i qusto caso il drogaggio rctual è molto iccolo: ua coctrazio di atomi di imurità r cm 3 corrisod r il silicio (dsità,33 g/cm 3, so atomico 8) a ua coctrazio rlativa di: x x 10 8 :,33 cioè a ua urzza dl 99,98% i volum. ρ srcizio: Pr silicio drogato. co atomi di boro r cm 3, dtrmiar la osizio dl livllo di Frmi a tmratura ambit (7 C) a 100 C. (7 C : F = i - 0,351 V ; 100 C : F = i - 0,85 V). Qualuqu sia il tio ( o ) di smicoduttor, i quilibrio la dsità di carica (Coulomb/cm 3 ) total dv ssr ulla, com è b oto dall lttrostatica. Nl calcolar qusta dsità bisoga tr coto di tutt l carich, sia fiss ch mobili. Cioè dv ssr: (14) = q ( + N D N A ) = 0 da cui: = N A N D ρ I gral ll srssio dlla utralità dlla carica total, dovrbb farsi rifrimto, r quato riguarda la coctrazio dll carich fiss, a qulla rctual di imurità ch alla data tmratura risultio ioizzat; cioè l srssio satta ch ti coto di ua ioizzazio arzial è: (15) = N A - N D + co:

23 [ ( )] N A = N A F A = N A ; N [ ( )] ( A F ) D = ND 1 F D 1 kt = N + D 1 1 ( F kt D I. 3 ) Ua volta oti i valori di A di D d i drogaggi N A d N D, sostitudo l srssioi di N A - di N D + lla (15) richiamado l (5), si otti u st di 3 quazioi co l quali è ossibil ricavar l coctrazioi di ortatori la osizio dl livllo di Frmi a qualsiasi tmratura. Ritiamo, l formul valgoo fiché N A d N D o soo troo lvati (< cm -3 ). La fig. 1 mostra l adamto i fuzio dlla tmratura dl umro di lttroi mobili r cm 3 silicio drogato co 1, x i u camio di atomi doatori r cm 3. I u vasto camo di tmratura la coctrazio è costat d è ari a N D. A tmratur molto bass la rctual di atomi doatori ioizzati dimiuisc, riducdo il valor di ; a tmratur lvat i (fuzio raidamt crsct di T ) divta dllo stsso ordi o maggior di N D il smicoduttor td a ridivtar itrisco. srcizio: srimr l coctrazioi maggioritari mioritari i fuzio dl drogaggio, quado o si ossoo trascurar l coctrazioi mioritari ristto a qull maggioritari. 1 i = N D N A + ( N D N A ) 4 ; i = 1 i = N A N D + ( N A N D ) 4 ; i = + + ( x cm -3 ) N D Fig. 1 i T (K) Coduzio i smicoduttori. I ua barrtta di smicoduttor, itrisco o drogato, co ua coctrazio di carich uiform, l carich libr si muovoo di moto disordiato r fftto dll agitazio

24 I a) b) Fig. 13 trmica subdo di tato i tato dll collisioi co gli atomi gli ioi dl rticolo. I mdia il moto dovuto all agitazio trmica o roduc u tto sostamto di carich attravrso ua grica szio i u itrvallo di tmo misurabil macroscoicamt. S alla barrtta cosidrata vi alicata ua diffrza di otzial tra du strmità oost, il camo lttrico così grato aggiug ua comot ordiata al movimto disordiato dll carich mobili, ch acquistao i qust codizioi ua vlocità mdia lla dirzio dl camo lttrico. Qusta vlocità mdia rd il om di vlocità di scorrimto (drift), ach chiamata vlocità di driva. I fig. 13 vgoo rarstat i modo schmatico l traittori di u lttro i u smicoduttor i assza (fig. 13.a) d i rsza (fig. 13.b) di camo lttrico alicato. Com si vd dalla figura, l traittori, ch i assza di camo lttrico soo rttili, si icurvao allorché sull lttro agisc la forza dovuta al camo lttrico alicato. I qusto caso ll itrvallo di tmo tra collisioi succssiv l lttro vi acclrato, cddo ad ogi imatto l rgia acquistata dal camo al rticolo ch si riscalda; il trasfrimto di rgia citica rovoca u aumto dll amizz dll vibrazioi dgli atomi. Il valor mdio di rcorsi comiuti tra du collisioi succssiv vi idicato col om di cammio libro mdio. Pr dtrmiar i modo smlic la vlocità mdia di scorrimto v, è ossibil far il sgut ragioamto: il valor dlla vlocità di ua carica mobil ll istat grico t sclto ll itrvallo di tmo fra collisioi succssiv val: (16) v(t) = v(0) + at

25 I. 5 dov v(0) è la vlocità iizial subito doo la collisio d a è l acclrazio. Assumdo ch la dirzio i cui art l'lttro sia ididt dal camo alicato, quidi oritata i modo dl tutto casual tro l agolo solido 4π, ossiamo ritr ch v(0) sia i mdia gual a zro. srimdo lla (16) l acclrazio a i fuzio dlla forza agt sulla carica mobil, si otti r la vlocità mdia di scorrimto l quazio (17) v = q t c / (m*) ov si è idicato co t c il tmo libro mdio tra collisioi succssiv co m* la massa ffttiva dlla carica (*). Srimtalmt si è visto ch r cami lttrici o ccssivamt lvati (< kv/cm r il silicio) la vlocità mdia è dirttamt µ µ roorzioal al camo. Il fattor di roorzioalità vi idicato co µ, [cm / volt sc] rd il om di mobilità ch rsta dfiita com la vlocità mdia di scorrimto ch ua carica mobil assum sotto u camo lttrico uitario. Pr cami lttrici molto itsi i risultati srimtali mostrao u fftto di saturazio dlla vlocità v i fuzio di ciò comorta ua didza di da ; trascurado qusta iotsi, dalla dfiizio di dalla (17), si otti r la mobilità l srssio: (18) = q t c / (m*) µ Si ossrvi rò ch ua trattazio rigorosa fatta i bas alla mccaica quatistica dà r la mobilità u'srssio simil a qulla ricavata ma sza il cofficit a domiator. L collisioi ch l carich libr subiscoo i u smicoduttor soo di du tii: l collisioi co gli atomi dl rticolo qull co l carich fiss (atomi di imurità ioizzati); qusti du fomi ifluzao fortmt il tmo libro mdio t c quidi la mobilità. L aalisi torich gli studi srimtali ffttuati mostrao ua didza dlla mobilità dalla coctrazio dll imurità dalla tmratura. (*) La massa ffttiva o fficac m* (i gr lggrmt mior dlla massa dll lttro libro) è qulla quatità ch sostituisc i cristalli la massa dlla carica l vuoto r tr coto dgli fftti dlla rsza dl rticolo sulla acclrazio dlla carica stssa. La mccaica quatistica mostra ch m* did dalla struttura dll bad di rgia. Pr gli scoi dlla matria trattata si tga rst ch m* è diffrt r lttroi lacu ciò siga la diffrza tra i valori di N C d N V ch didoo ach da m*.

26 I. 6 Fig. 14 Co rifrimto all collisioi co il rticolo, qust aumtao di frquza co l aumtar di T rtato la mobilità r qust collisioi dimiuisc al crscr di T co la lgg T - co ch varia tra 1,5,5. Lo scattrig dovuto ivc all collisioi co l imurità ioizzat dcrsc co T i quato all aumtar di T crsc la vlocità di agitazio dgli lttroi l traittori vgoo ifluzat mo dalla rsza dl camo sfrico ch asc attoro all imurità ioizzat; i qusto caso la mobilità crsc co T. La mobilità è ach ifluzata dalla rsza di diftti rticolari o dalla rsza di imurità o dsidrat l sso ch la mobilità si riduc. S iù fftti agiscoo simultaamt sul movimto dgli lttroi o dll lacu, la mobilità comlssiva di qusti si como com l rsistz i aralllo, cioè: 1/µtot = 1/µ1 + 1/µ + I risultati rlativi all ifluza dlla variazio dlla coctrazio dll imurità drogati (la coctrazio total C T ) sulla mobilità dgli lttroi dll lacu l silicio a tmratura ambit vgoo riortati i diagrammi di fig. 14, ov si ota ch l mobilità, r trambi i ortatori r data tmratura, dcrscoo smr all'aumtar di C T.

27 I. 7 Si ossrvi ch sull'ass dll asciss è riortata la coctrazio total C T = N D + N A dll imurità rsti l smicoduttor, dato ch la traittoria di ua carica mobil ch assi i rossimità di u atomo ioizzato vi modificata sia l caso di ioi ositivi ch gativi. Ciò dv far riflttr sul fatto ch l mobilità di u smicoduttor arzialmt comsato ossao risultar ttamt ifriori a qull di u smicoduttor o comsato co gual coctrazio tta di carich libr. srcizio: Dtrmiar r il silicio itrisco il tmo libro mdio dgli lttroi dll lacu a tmratura ambit (si suoga m * = m* lac = m ). (0, sc ; 0, sc) 1.8 Corrt di drift o di driva. samiiamo adsso il rocsso di coduzio (ch è aalogo a qullo ch avvi i coduttori) tro ua barrtta di smicoduttor omogo di tio, alla qual vga alicata ua diffrza di otzial tra du strmità oost (fig. 15). Si rvd ituitivamt ch la coducibilità lttrica macroscoica dl smicoduttor sarà fuzio dlla coctrazio dll carich libr dlla loro mobilità. Pr trovar tal rlazio cosidriamo u aralllido J lmtar dlla barrtta i sam (fig. 16), rcorso dalla dsità di corrt J (A/cm ) quado il camo lttrico alicato è lla dirzio dll'ass x. Cosidriamo du szioi A B di ara S distati di ua quatità umricamt ari alla vlocità mdia di Fig. 15 A B J v S Fig. 16 scorrimto dgli lttroi v. S la coctrazio dgli lttroi è, ossrviamo ch, a rgim, ll lmto di volum comrso tra l szioi A B il umro di lttroi o cambia, s tro il volum cosidrato o vi soo fomi di grazio o di ricombiazio di carich. Il mccaismo dlla coduzio comorta ch u lttro ch

28 I. 8 attravrsa la szio A vga rimiazzato da u lttro trat dalla szio B. Quidi tro il volum cosidrato vi soo S v lttroi; dato ch tutti gli lttroi si muovoo lla dirzio x co ua vlocità mdia di scorrimto ari a v, ogi scodo tutti qulli rsti vgoo rimiazzati da uovi lttroi i ari umro. Prtato i u scodo attravrso la szio A trasitao S v lttroi la dsità di corrt J co i vrsi idicati i figura co q > 0 val: J = - q v ssdo v = - µ, si otti: (19) J = q µ Aalogamt r l lacu, si ha: (0) J = q µ I gral, i rsza σ di ambdu i tii di ortatori mobili, la dsità di corrt total di scorrimto sarà data dalla somma di du cotributi cioè: (1) J = J σ + J = q ( µ + µ ) da cui la coducibilità [S/cm] r u smicoduttor drogato, r cofroto co la lgg di Ohm r i coduttori massicci J =, val: () = q ( µ + µ ) mtr, l caso dl smicoduttor itrisco, ssdo = = i, è: σ (3) σi = q i ( µ + µ ) srcizio: Calcolar la vlocità di scorrimto dgli lttroi corrisodt a ua dsità di corrt 1 ma r cm, risttivamt r allumiio r silicio itrisco a tmratura ambit. (3, cm/sc; 3, cm/sc)

29 I. 9 Com è stato discusso l aragrafo rcdt, la coctrazio i crsc fortmt co la tmratura quidi, dato ch l mobilità variao rlativamt oco co T, la coducibilità di smicoduttori itrisci aumta al crscr dlla tmratura. Pr cotro si ossrvi ch r u smicoduttor drogato, r smio di tio, i rlazio al diagramma di fig. 1, la coducibilità lla art iatta dlla curva = (T) dimiuisc, dato ch i qusto camo si fa ristir l fftto dlla riduzio dlla mobilità co la tmratura; i qusta rgio il smicoduttor drogato si comorta alla stssa strgua di matriali coduttori. srcizio: Calcolar l coctrazioi di lttroi lacu, la rsistività la osizio dl livllo di Frmi i u cristallo di silicio cott 1, atomi di boro r cm atomi di fosforo r cm 3 r T = 300 K (1,05 x 10 5 cm -3 ; x cm -3 ; 10,4 Ω cm; 0,307 V + i ) srcizio: Calcolar la roorzio i so di fosforo (so atomico 31) ch dv ssr aggiuta ad u cristallo di silicio rché la sua rsistività a tmratura ambit sia di 00 Ω cm. S il cristallo vi ultriormt drogato co atomi di gallio r cm 3, qual è la rsistività dl cristallo? di tio o? 1.9 Corrt di diffusio. Si è samiato il rocsso di coduzio dovuto all alicazio dl camo lttrico l rlazioi tra la dsità di corrt di scorrimto d il camo i fuzio dll carattristich dl smicoduttor. I tali matriali, rò, oltr a qusto tio di corrt, sist u scodo tio di mccaismo atto a dar origi ad ua corrt di divrsa atura, ch, dal rocsso ch la gra, rd il om di corrt di diffusio. Si dfiisc corrt di diffusio qulla dovuta al flusso x Fig. 17

30 I. 30 comlssivo, r uità di surfici, di lttroi lacu libr ch si muovoo a caso da ua rgio ad alta coctrazio ad ua a bassa coctrazio. lo stsso rocsso ch avvi i u rciit io di gas co rssioi iizialmt diffrti; i sso l molcol si muovoo i modo da stabilir ua rssio uiform i tutto il rciit. Occorr ossrvar ch il moto di diffusio dll carich libr td a ortar il cristallo da ua situazio di disuiformità o di o quilibrio ad ua situazio di uiformità o di quilibrio; il suo studio è molto imortat rché tal rocsso gioca u ruolo fodamtal l fuzioamto di diodi di trasistori. Cosidriamo il caso di ua barrtta di smicoduttor di tio co ua coctrazio di lttroi mobili didt dalla sola coordiata x (vdi fig. 17). S scgliamo ua surfici di rifrimto ortogoal ad x, si uò ituitivamt rvdr ch il flusso F di lttroi attravrso la surfici sarà roorzioal al gradit dlla coctrazio dirtto i sso oosto a dtto gradit; ciò si traduc ll'quazio: (4) F = D d dx mtr il flusso F dll lacu sarà dato da: (5) F = D d dx I qust rlazioi il flusso F, rarstado il umro di carich libr ch attravrsao ua szio uitaria i u scodo, è srsso i cm - sc -1 ; la costat di roorzioalità D [cm sc -1 ], ch rd il om di diffusività o costat di diffusio, è lgata alla mobilità dall rlazioi di isti, ch qui o dimostriamo: (6) D µ kt = q D µ kt = q L sistza di tali rlazioi cost di otr utilizzar i diagrammi di fig. 14 ricavati a tmratura ambit, r rarstar D i fuzio dlla coctrazio total dll imurità alla stssa tmratura.

31 I. 31 srcizio: Alicado ua diffrza di otzial di 10 µv ad ua barrtta di smicoduttor di tio luga l = 5 mm di szio 1 x 1 mm a tmratura ambit si è arzzata ua corrt di 1 µa. Dtrmiar: a) la mobilità la diffusività dgli lttroi; b) la coctrazio dgli atomi drogati. (75 cm V -1 sc -1 ; 7 cm /sc; 1, x cm -3 ) Dai flussi di carich è smlic ricavar l comoti dlla dsità di corrt di diffusio r i du tii di carich, dato ch J = q F; adottado i vrsi covzioali si ha: (7) J = q D d dx (8) J = q D d dx I coclusio è oortuo sottoliar ch si ha corrt di diffusio i rsza di ua variazio sazial di coctrazio di carich mobili. Prché si abbia u rgim di corrt di diffusio è cssario, quidi, ch si vga a matr co oortui rocdimti, di cui si dirà i sguito, u gradit di coctrazio Codizioi di o quilibrio. Fiora si è cosidrato il caso di u smicoduttor i codizioi di quilibrio. Co ciò si itd ch tutt l gradzz cosidrat o soo fuzioi dl tmo, ch o vi è alcua sollcitazio stra, com luc, flusso di calor, cc. I raltà il fomo dlla coduzio dovuta al camo lttrico alicato dall stro imlica codizioi di o quilibrio. L coclusioi ricavat rcdtmt valgoo solo s l corrti di scorrimto di diffusio o soo tali da modificar l coctrazioi di ortatori libri calcolat i codizioi di quilibrio. ' di itrss fodamtal r il fuzioamto di disositivi a smicoduttor lo studio dll situazioi di o quilibrio, i cui l coctrazioi o soddisfao la rlazio (9); cioè si ha u ccsso o u diftto di ortatori mobili. Vi soo divrsi modi di iittar ortatori i ccsso i ua rgio di smicoduttor; allo scoo di dfiir i aramtri fodamtali usati llo studio dll codizioi di o quilibrio, è covit

32 I. 3 cosidrar il caso dlla grazio di coi lttroi-lacu r fftto fotolttrico. Rifrdoci al diagramma dll bad di C rgia r u smicoduttor, ad smio di F tio (fig. 18), l fftto fotolttrico (*) corrisod alla cssio, da art di u hν foto icidt (cui vi associata dalla V toria di Plack ua quatità di rgia ari ad hν), ad u lttro dlla bada di valza, x dll rgia cssaria r ortarlo lla Fig. 18 bada di coduzio. Ciò richid ch la frquza dlla luc icidt sia ν > ( C - V ) / h. I sguito alla sarizio dl foto icidt si vi così a crar ua coia lttro-lacua (cioè d ) i ccsso ristto al valor di quilibrio ( = i ). S abbiamo u crto flusso di fotoi icidti, si uò vir a crar u umro otvol di ortatori i ccsso. L lacu i ccsso sarao guali i umro agli lttroi i ccsso: =. I u smicoduttor di tio r cui è N D >> i, è ach >>, dov il dic si rifrisc al tio di smicoduttor. Pr smio, s si ha N D = cm -3, r u cristallo di silicio si avrà arossimativamt = cm -3 = x 10 4 cm -3. S i u crto istat si hao 10 8 coi lttro-lacua r cm 3 i ccsso dovut a grazio fotolttrica, sia ch sarao aumtat di qusto valor. Prctualmt, rò, mtr si è avuto u drastico aumto dll carich mioritari (da 10 4 circa a 10 8 cm -3 ), il umro dll carich maggioritari è rimasto rssoché ivariato: cm -3. Qusta situazio, i cui la variazio rctual di coctrazio è otvol solo r l carich mioritari, si dfiisc iizio a basso livllo; lo studio di ssa è molto smlificato ristto al caso gral. Pr studiar la diamica dlla coctrazio dll carich mioritari, vdiamo di scrivr, r u smicoduttor di tio, u bilacio tra la crazio la scomarsa di coi lttro-lacua, la variazio l tmo dlla coctrazio di ortatori mioritari = (t), iizialmt l caso i cui ssa o dida dalla osizio; ua tal situazio si uò ralizzar illumiado il smicoduttor i modo tal ch l assorbimto (*) L fftto fotolttrico si distigu i fftto fotolttrico itro, ch è qullo aa dscritto d fftto fotolttrico stro, ch si ha allorché il foto ha rgia sufficit a librar u lttro dal matrial sul qual il foto icid.

33 I. 33 di fotoi icidti sia uiform tro tutto il volum dl smicoduttor. Si uò quidi scrivr: d dt = G L + G th R dov G L idica la vlocità di grazio [ cm -3 sc -1 ] dovuta al flusso lumioso icidt, G th la vlocità di grazio trmica d R la vlocità di ricombiazio dll coi lttro-lacua. Possiamo dfiir ua vlocità di ricombiazio ffttiva U: U = R G th (i quilibrio G L = 0 d U = 0, cioè tat coi vgoo crat dall agitazio trmica quat s ricombiao lla uità di tmo). Il bilacio divta allora: d (9) = GL U dt La fuzio U rarsta la tdza dl sistma a ritorar i codizioi di quilibrio d è logico sar ch dida dalla diffrza fra la coctrazio (t) d il suo valor di quilibrio o = i /. Si assumrà da ora i oi ch U sia roorzioal a o ; ciò è giustificato dal fatto ch i risultati così trovati corrisodoo al caso ral. Il cofficit di roorzioalità tra U - o ha l dimsioi di sc -1 d il suo ivrso τ vi dfiito, r motivi ch si samirao l sguito, com vita mdia dll carich mioritari. I cosguza la (9) assum la forma (30) d dt = G L τ o S G L o varia l tmo, si raggiugrà u rgim stazioario (ch o è ua situazio di quilibrio) r cui d / dt = 0 ; la (30) dà allora r la coctrazio fial L il valor: (31) L = o + G L τ