Algoritmo euclideo per il calcolo del Massimo Comun Divisore e identità di Bézout

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1 Algoritmo euclideo per il calcolo del Massimo Comun Divisore e identità di Bézout Algoritmo euclideo. Richiamo. Ricordiamo che dati due numeri interi relativi a, b il massimo comun divisore di entrambi, MCD(a,b), non dipende dall ordine fra a e b ed è lo stesso sostituendo ciascuno dei due numeri (o entrambi) con i loro opposti: MCD(a,b)=MCD(b,a)= MCD(-a,b)=MCD(a,-b)=MCD(-a,-b). Quindi il Massimo Comun Divisore di due numeri coincide con il Massimo Comun Divisore dei loro valori assoluti, presi in qualsiasi ordine. Pertanto nel calcolo di MCD(a,b) si può sempre assumere che a e b siano non negativi e che b sia diverso da zero. Richiamo (teorema di divisione). Dati due numeri naturali a e b con b 0, esistono e sono unici due numeri naturali q ed r tali che: a=bq+r e 0 q<r. Osservazione. Siano a, b, q, r numeri naturali verificanti le relazioni del teorema di divisione e sia d 0 un numero naturale che divide b. Allora: d divide a se e solo se d divide r. Ricordiamo che la condizione d divide b significa b=dq per qualche numero naturale q. Quindi se d divide r, allora esiste un numero naturale q tale che r=dq e quindi a= bq+r=dq q+dq =d(q q+q ). Pertanto d divide a. Viceversa, se d divide a, allora a=dq per qualche numero naturale q. Quindi: r=a-bq=dq -dq =d(q - q ) e perciò d divide r. Come conseguenza si ricava che i divisori comuni della coppia (a, b) sono gli stessi divisori comuni della coppia (b, r) e pertanto: MCD(a, b)=mcd(b, r). L osservazione precedente fonda l algoritmo euclideo per il calcolo del Massimo Comun Divisore di due numeri.

2 Se b divide a allora MCD(a,b)=b. Se b non divide a, allora dividendo a per b, si ricava: a=bq+r con 0<r<b ed inoltre: MCD(b, r)= MCD(a, b). Poi, se r divide b, allora r= MCD(b, r)= MCD(a, b). Se r invece non divide b, allora dividendo b per r, si ricava che esistono q ed r tali che b=rq +r con 0<r <r<b ed inoltre MCD(r,r)=MCD(b, r)= MCD(a, b). Di nuovo, se r divide r allora r = MCD(r,r )=MCD(b, r)= MCD(a, b). Se invece r non divide r, allora come prima possiamo scrivere r=r q +r con 0<r <r <r<b. Il processo può di nuovo continuare e, ad ogni passo, se il resto della divisione precedente è diverso da zero, si divide il divisore precedente con tale resto e si ottiene un nuovo resto strettamente più piccolo del precedente, ma comunque maggiore o uguale a zero. Quindi tale processo non può continuare indefinitamente, ma deve arrestarsi dopo un numero finito di passi e l ultimo resto non nullo trovato è il Massimo Comun Divisore dei numeri di partenza a e b. Esempi. Applichiamo l algoritmo euclideo per calcolare il Massimo Comun Divisore in alcuni casi. E utile (e consigliabile) calcolare il Massimo Comun Divisore utilizzando anche altri metodi, come ad esempio elencando tutti i i divisori comuni o passando attraverso la scomposizione in fattori primi. 1) MCD(42,14). In tal caso 14 divide 42: 42=14 3 quindi MCD(42,14) =14. 2) MCD(43,14). Dividendo 43 per 14 si ottiene: 43= e procedendo nella divisione con 14:1 si ottiene 14=1 14 L ultimo (che in questo caso è anche il primo) divisore non nullo è 1, quindi MCD(43, 14)=1 3) MCD(48, 14). Ancora dividendo 48 per 14 si ottiene: 48= e procedendo nella divisione con 14:4 si ottiene 14=6 2+2; dividendo infine 6 per 2 si ricava:

3 6=2 3. L ultimo resto non nullo è 2, quindi MCD(48,14)=2. 4) MCD(223, 65). Dividiamo come al solito 223 per 65 e procediamo con le successive divisioni fra i vecchi divisori e resti: 223= , 65=28 2+9, 28= =1 9. Quindi: MCD(223, 65)=1. Esercizi. 1) Utilizzando vari metodi, tra cui l algoritmo euclideo, calcola il MCD di tutte le seguenti coppie di numeri: (48, 30); (126, 147); (-30, 72); (36, -50); (-66, -110); (1128, 746); (2160, 2180). 2) Dimostra che, per ogni numero naturale n 2, MCD(3n+1, n)=1. 3) E vero che MCD(3n+2, n)=1 per ogni n 2? Identità di Bézout. Osservazione. Prendiamo gli esempi svolti precedentemente e proviamo a ripercorrere a ritroso le varie eguaglianze ottenute. 1) MCD(42,14)=14, perché 42=13 3. Notiamo allora che possiamo scrivere 14=MCD(42, 14) = ) MCD(43,14)=1, ottenuto da: 43= Da questa si ottiene 1=MCD(43, 14)= 1 43+(-3) 14. 3) MCD(48, 14)=2, ottenuto da 48=14 3+6, 14=6 2+2

4 Dall ultima uguaglianza si ha: 2= MCD(48, 14)=14+(-2)6. La prima eguaglianza ci consente invece di ricavare 6= 48+(-3) 14, che sostituita nella precedente ci permette di ottenere: 2= MCD(48, 14)= (-2) ) MCD(223, 65)=1, ottenuto da: 223= , 65=28 2+9, 28= Come in precedenza, risalendo dall ultima uguaglianza verso la prima si ricava: 1=28+(-3) 9, 9= 65+(-2) 28, 28=223+(-3) 65. Usando queste nuove uguaglianze e sostituendo, un passo dopo l altro, i valori ottenuti si ricava: 1=MCD(223, 65)= (-24) 65. Osservazione. In tutti i casi precedenti ripercorrendo a ritroso l algoritmo euclideo abbiamo ottenuto due numeri interi relativi h, k tali che MCD(a, b) = ha+kb. Si può verificare che quanto ottenuto nei casi precedenti è vero in generale: dati a, b interi relativi non entrambi nulli, l algoritmo euclideo a ritroso consente di trovare degli interi relativi h, k tali che MCD(a, b) = ha+kb. Definizione. Dati a, b interi relativi non entrambi nulli, si dice identità di Bézout ogni eguaglianza della forma: MCD(a, b) = sa+tb, con s, t numeri interi relativi. Osservazione. L algoritmo euclideo produce una particolare identità di Bézout, fra le molte possibili. Ad esempio MCD(10, 4) =2 e, mediante l algoritmo euclideo, da 10=4 2+2, ricaviamo: 2= MCD(10, 4) = 1 10+(-2) 4, ma valgono anche tutte le uguaglianze seguenti: 2= MCD(10, 4) = (-1) = 3 10+(-7) 4= (-3) 10+8x4 =. = 9 10+(-22) 4 = (-9) e così per infinite altre.

5 Si possono trovare delle relazioni interessanti fra i coefficienti dell identità di Bézout ottenuti con l algoritmo euclideo e quelli delle altre possibili identità, ma queste vanno oltre i limiti e gli scopi di questo insegnamento. Osservazione. Dall identità di Bézout, MCD(a, b) = sa+tb, si ricava che ogni multiplo del Massimo Comun Divisore di due numeri interi relativi a e b, non entrambi nulli, si può scrivere nella forma: ua+vb, con u, v opportuni numeri interi relativi Si può dimostrare che anche il viceversa è vero: dati a, b numeri interi, non entrambi nulli, allora: un numero intero relativo m si può scrivere nella forma: m = ua+vb, con u, v opportuni numeri interi relativi se e solo se MCD(a, b) divide m. Esercizi. 1. Determina se esistono degli interi relativi u, v tali che 7u+6v=24 ed in caso Dato che MCD(7, 6)= 1 ed 1 divide 24 la risposta è affermativa. Inoltre da 1=1+(-1)6 si ricava: 24=24 7+(-24) 6 e quindi (u, v) = (24, -24). 2. Determina se esistono degli interi relativi u, v tali che 48u+14v=32 ed in caso Anche ora dato che MCD(48, 14)=2 e 2 divide 32=2 16, la risposta è affermativa. Inoltre applicando ad esempio a ritroso l algoritmo euclideo come fatto in precedenza si ricava: 2= MCD(48, 14)= (-2) Da cui: 32 = 2 16 = (-32) , quindi (u, v) = (-32, 112). 3. Determina se esistono degli interi relativi u, v tali che 8u+10v=39 ed in caso Ora la risposta è negativa in quanto MCD(8, 10) =2 e 2 non divide 39. Si può anche osservare che la stessa risposta si può ottenere osservando direttamente che, essendo 8 e 10 divisibili per 2, anche ogni numero della forma 8u+10v è divisibile per 2, mentre non lo è 39.