Insiemi Numerici: I Numeri Interi

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1 Insiemi Numerici: I Numeri Interi Docente: Francesca Benanti Ottobre I Numeri Interi È ben noto che, mentre l equazione x 5 = 0 è risolubile in N, l equazione x + 3 = 0 non lo è. Allora si cerca di ampliare l insieme numerico in modo da includere tutte le soluzioni di equazioni del tipo x + n = 0, n N. Si giunge, quindi, all insieme dei numeri interi relativi. A partire dall insieme dei numeri naturali N definiamo l insieme degli interi relativi. Consideriamo il prodotto cartesiano N N = {(n, m) n, m N} e definiamo in esso la seguente relazione (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n, (n, m)(n, m ) N N. ρ è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (n, m) N N, n + m = m + n. Dunque (n, m)ρ(n, m). 1

2 Simmetrica: (n, m), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n (n, m )ρ(n, m). Transitiva: (n, m), (n, m ), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) (n, m )ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n n + m + n + m = m + n + m + n n + m = m + n (n, m)ρ(n, m ). Consideriamo l insieme quoziente N N/ρ = {[(n, m)] n, m N} Osservazione 1: [(n, m)] =? Esempi: (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n m = n m, n m m n = m n, n < m (3, 0) = (7, 4) = (12, 9) [(3, 0)] (4, 8) = (0, 4) = (8, 12) [(0, 4)] (0, 0) = (1, 1) = (8, 8) [(0, 0)] Osservazione 2: [(n, m)] = [(n m, 0)], [(n, m)] = [(0, m n)], n m m > n

3 Osservazione 3: [(n, 0)] = [(n, 0)] n = n [(0, m)] = [(0, m )] m = m Allora, si ha N N/ρ = {[(n, 0)] n N } {[(0, 0)]} {[(0, m)] m N } Poniamo per definizione Z = N N/ρ Z risulta, pertanto, decomposto nei seguenti sottoinsiemi dove Z = Z + {0} Z Z + = {[(n, 0)] n N } {0} = {[(0, 0)]} Z = {[(0, m)] m N } Gli elementi di Z + prendono il nome di interi positivi. Gli elementi di Z prendono il nome di interi negativi. Graficamente:

4 Osservazione: Z è una estensione di N nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme Z + {0} identificabile con N. Consideriamo l applicazione definita dove n N. ϕ è iniettiva e ϕ(n) = Z + {0}. ϕ : N Z = Z + {0} Z ϕ(n) = [(n, 0)] Poniamo, n N, Allora [(n, 0)] n, [(0, n)] n, [(0, 0)] 0. Z = {n n N } {0} { n n N } 2 Divisibilità in Z Definizione: Si definisce valore assoluto di un intero x il numero intero positivo { x, x 0 x = x, x < 0

5 Esempi: 7 = 7, 3 = 3, 0 = 0. Proprietà: x = y x = ±y; x = 0 x = 0; x + y x + y ; x y = x y ; x + x 0. Come per i numeri Naturali si ha Teorema (Algoritmo della Divisione per gli Interi): Siano a, b Z, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri interi q, r tali che a = bq + r, 0 r < b. q è detto quoziente; r è detto resto. dimostrazione: (Esistenza) 1 Caso: b > 0. Allora b = b. Consideriamo l insieme S = {x x = a bz 0, z Z}. Proviamo che S. Consideriamo l intero a b( a ) = a + b a. È del tipo a bz con z = a. Osserviamo, inoltre, che, essendo b > 0 si ha b 1 da cui b a a. Allora a + b a a + a 0. Dunque a + b a S e si ottiene S.

6 Allora, per l Assioma del buon ordinamento, S ha un elemento minimo. Sia esso r. Dunque r = a bq 0, per un opportuno q Z. Abbiamo così provato che a = bq + r, con r 0. Ci rimane da verificare che r < b. Ragioniamo per assurdo e supponimo che r b. Allora 0 r b = a bq b = a b(q + 1) S e r b < r. Assurdo! 2 Caso: b < 0. Allora b > 0 e per il caso precedente esistono due interi q e r tali che a = ( b)q + r, 0 r < ( b). Allora a = b( q ) + r, 0 r < ( b) = b da cui ponendo q = q e r = r si ottiene a = bq + r, 0 r < b. (Unicità) Siano q, r e q, r due coppie di numeri interi tali che e Se r r, allora a = bq + r, a = bq + r, 0 r < b 0 r < b 0 r r = (a bq ) (a bq) = bq bq = b(q q ) Dunque, passando ai valori assoluti, si ha b (q q ) = b(q q ) = r r = r r r < b. Dunque b (q q ) < b e questo è possibile solamente se q q < 1 ossia q = q. Allora r = a bq = a bq = r Dunque la tesi.

7 Definizione: Dati due numeri interi a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c Z tale che a = bc. Osservazione: Se a non divide b si scrive b a Esempi: 3 15 perchè 5 Z tale che 15 = 3 5; 4 15 perchè z Z tale che 15 = z 4; 3 21 perchè 7 Z tale che 21 = ( 3) ( 7). Osservazione: 1. a 0, a Z, infatti a Z si ha 0 = 0 a. Dunque, tutti gli interi sono divisori dello zero. 2. Se 0 a, allora a = 0, infatti se 0 a allora c Z tale che a = 0 c da cui a = 0. Dunque, l unico intero di cui lo zero è divisore è lo zero stesso. 3. b a con b 0 il resto della divisione di a per b è zero. Infatti, se b a allora esiste c Z tale che a = bc. Inoltre se applichiamo l algoritmo della divisione ad a e b si ha che esistono q e r in Z tali che a = bq + r con 0 r b. Allora bc = a = bq + r da cui r = b(c q). Dunque b r ma 0 r b allora r = 0. Viceversa, sia r = 0. Allora a = bq da cui segue che b a. 4. a Z, ±1, ±a sono divisori di a, infatti a = a 1 = ( a) ( 1). Dall Osservazione 4 deriva la seguente definizione Definizione: Sia a Z. ±1, ±a sono detti divisori impropri di a. Un divisore b di a, b ±1, ±a è detto divisore proprio di a. Proprietà:

8 1. (Transitiva) b 1 b 2, b 3 Z, b 1 b 2 b 2 b 3 b 1 b 3. Se b 1 b 2, allora c 1 Z tale che b 2 = b 1 c 1. Se b 2 b 3, allora c 2 Z tale che b 3 = b 2 c 2. Allora b 3 = b 2 c 2 = (b 1 c 1 )c 2 = b 1 (c 1 c }{{} 2 ) = b 1 c 3. Dunque c 3 b 1 b b 1 b 2 Z, b 1 b 2 b 2 b 1 b 1 = ±b 2. Se b 1 b 2, allora c 1 Z tale che b 2 = b 1 c 1. Se b 2 b 1, allora c 2 Z tale che b 1 = b 2 c 2. Allora b 1 = b 2 c 2 = (b 1 c 1 )c 2 = b 1 (c 1 c 2 ). Dunque b 1 (1 c 1 c 2 ) = 0. Segue che b 1 = 0 oppure 1 c 1 c 2 = 0. Da b 1 = 0 si ha b 2 = b c 1 = 0 da cui b 2 = b 1. Da b 1 0 si ha 1 c 1 c 2 = 0 da cui c 1 c 2 = 1 ossia c 1 = c 2 = ±1 e quindi b 2 = ±b 1 e b 1 = ±b (Compatibilità con somma e differenza) b 1 b 2, b 3 Z, b 1 b 2 b 1 b 3 b 1 (b 2 ± b 3 ). Se b 1 b 2, allora c 1 Z tale che b 2 = b 1 c 1. Se b 1 b 3, allora c 1 Z tale che b 3 = b 1 c 1. Allora b 2 ± b 3 = b 1 c 1 ± b 1 c 1 = b 1 (c 1 ± c 1 ) da cui b 1 (b 2 ± b 3 ). Definizione: Siano a, b Z. a e b si dicono associati se a b e b a ossia se si dividono a vicenda, e si scrive a b. Osservazione: a b a = ±b. Osservazione: In Z consideriamo la seguente relazione R: a, b Z, arb a b. Si verifica facilmente che R è una relazione di equivalenza. Definizione: Un intero a Z, a 0 e a ±1, è detto irriducibile se ha solo i divisori impropri. Definizione: Un intero a Z, a 0 e a ±1, è detto primo se ogniqualvolta divide un prodotto allora divide uno dei due fattori, ossia a bc, b, c Z a b a c.

9 3 Massimo Comun Divisore Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce massimo comun divisore di a e b un intero positivo d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Osservazione: Se d e d sono due massimi comun divisori di a e di b allora sono necessariamente associati ossia l uno l opposto dell altro d = ±d, infatti se d è massimo comun divisore di a e di b si ha che d a e d b inoltre, poichè d è massimo comun divisore di a e di b, d sarà un divisore di d cioè d d. Analogamente si deduce che d d. Allora d = ±d ossia d d. Si definisce Il Massimo Comun Divisore di a e b quello tra i due che è maggiore o uguale a zero. Si ha pertanto la seguente definizione. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce Il Massimo Comun Divisore di a e b, e si denota (a, b), l intero positivo d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Esempi: 1. (8, 6) = (0, 0) = 0.

10 3. (a, 0) = a, con a 0. Osservazione: Abbiamo dimostrato nell osservazione precedente che se un massimo comun divisore esiste allora esso è unico. Dimostriamone l esistenza. Teorema (Esistenza del Massimo Comun Divisore): Dati due numeri interi a, b Z esiste sempre il loro massimo comun divisore, d = (a, b) e si può scrivere nella forma d = ax + by per opportuni x, y Z. dimostrazione: Distinguiamo due casi. 1 Caso: a = b = 0. Banalmente (0, 0) = 0 e 0 = 0x + 0y, x, y Z. 2 Caso: a 0 b 0. Consideriamo il seguente insieme di numeri naturali costituito da tutti i numeri naturali che si possono scrivere come combinazione lineare di a e b S = {n N n = ax + by, x, y Z} Dimostriamo che S. Sia a 0 (se b 0 il ragionamento è analogo). Allora, a > 0 si ha a = a 1 + b 0 S. Se a < 0 si ha a = a ( 1) + b 0 S. Dunque S. Allora, per l Assioma del Buon Ordinamento, d S d elemento minimo. Dimostriamo che d = (a, b). Notiamo che, poichè d S, d 0 e d = ax + by per opportuni x, y Z. Rimane da verificare che d soddisfa le due proprietà di massimo comun divisore. d è divisore comune di a e b? Applichiamo l algoritmo della divisione a a e d. Allora esistono q e r in Z tali che a = qd + r con 0 r < d = d. Dimostriamo che r = 0.Per assurdo supponiamo che r 0. Allora r = a qd = a (ax + by)q = a(1 xq) + b( yq) e 0 < r < d. Dunque r èun intero positivo combinazione lineare a coefficienti interi di a e b per cui r S. Ma r < d e ciò contraddice la minimalità di d in S. Quindi r = 0 e d a. Analogamente si dimostra che d b. Quindi d è un divisore comune di a e b. Se d 0 a e d 0 b si ha che d 0 d? Se d 0 a, allora z 1 Z tale che a = z 1 d 0. Se d 0 b, allora z 2 Z tale che b = z 2 d 0. Ma d = a x + b y = (d 0 z 1 )x + (d 0 z 2 )y = d 0 (z 1 x + z 2 y) da cui segue che d 0 d.

11 Il teorema è dunque dimostrato. La scrittura d = ax + by è detta Identità di Bézout. Osservazione: Si noti che tale espressione non è unica. Ad esempio, 1 = ( 4) 5 = ( 2) Problemi: Dati due numeri interi a, b Z 1. Come determinare il loro Massimo Comun Divisore, d = (a, b)? 2. Come determinare una Identità di Bézout d = ax + by? Risposta: Algoritmo Euclideo delle Divisioni Successive L Algoritmo si basa sul seguente risultato Proposizione: Siano a, b Z, b 0. Sia a = bq + r con 0 r < b. Allora (a, b) = (b, r) dimostrazione: Sia d = (a, b) e sia d 1 = (b, r). Poichè d = (a, b) si ha d a e d b da cui d a bq = r. Dunque d b, d r ed essendo d 1 = (b, r) si ha d d 1. Analogamente, si ha d 1 b e d 1 r da cui d 1 bq + r = a. Dunque d 1 b, d 1 a e poichè d = (a, b) si ha d 1 d. In conclusione d d 1 e d 1 d da cui d 1 = ±d ma d 1 0, d 0 dunque si ottiene la tesi d 1 = d. Algoritmo Euclideo delle Divisioni Successive: L algoritmo euclideo consiste in una successione finita di divisioni euclidee in modo che il divisore e il resto, se non nullo, diventino rispettivamente dividendo e divisore della divisione successiva. Il processo si arresta non appena si trova un resto nullo. Siano a, b Z. Se b = 0 si ha (a, 0) = a = a (±1) + 0 y. Analogamente, se a = 0 si ha (0, b) = b = 0 x + b (±1).Inoltre (a, b) = (±a, ±b) e (a, b) = (b, a). Per cui possiamo supporre a b > 0.

12 Algoritmo Euclideo: Siano a, b Z, a b > 0. Si consideri la successione a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2. r n 2 = r n 1 q n + r n, r n 1 = r n q n+1 0 r n < r n 1 dove q i e r i sono rispettivamente i quozienti e i resti delle n + 1 divisioni scritte e ove la successione termina non appena si trovi r n+1 = 0. Allora La successione termina dopo un numero finito di passi; r n = (a, b). Dimostrazione: La successione delle divisioni termina perchè b > r 1 > r 2 > r 3 > è una successione decrescente di naturali. Inoltre, per la proposizione precedente, si ha Esempi: (a, b) = (b, r 1 ) = (r 1, r 2 ) = = (r n 1, r n ) = (r n, 0) = r n. 1. (1804, 328) =? Osserviamo che allora Ma dunque In conclusione 1804 = (1804, 328) = (328, 164) 328 = (328, 164) = (164, 0) = 164 (1804, 328) = (328, 164) = (164, 0) = 164

13 2. (72, 22) =? 72 = = = = Dunque (72, 22) = 2 L algoritmo Euclideo ci permette anche di dare una risposta al secondo problema e di determinare una identità di Bézout. Per il teorema sull esistenza del Massimo Comun Divisore si ha che esistono due interi x, y tali che Ci chiediamo 2 = 72 x + 22 y x =?, y =? L algoritmo euclideo ci dice 72 = = = = Allora 6 = ; 4 = = 22 (72 22) 3 = = ; 2 = = ( ) ( ) 1 = = = ; In conclusione: 2 = ( 13).

14 Definizione: Due numeri interi a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Criterio: Dati a, b Z. a e b sono coprimi se e soltanto se 1 si può scrivere come loro combinazione lineare a coefficienti interi (a, b) = 1 1 = a x + b y, x, y Z. Dimostrazione: ( ): Deriva banalmente dal Teorema di esistenza del massimo Comun Divisore. ( ): Sia 1 = a x + b y e sia d = (a, b). Allora d a d b da cui d a x + b y = 1 e, poichè d 0, si ha la tesi d = 1. Esempio: Consideriamo a = 41 e b = 27. Si osserva facilmente che Quindi (41, 27) = 1. 1 = ( 3) Conseguenze: 1. Due interi consecutivi sono coprimi (a, a + 1) = 1, a Z 2. Dividendo due interi per il loro massimo comun divisore si ottengono interi coprimi a ( (a, b), b (a, b) ) = 1 Dimostrazione: 1. 1 = a ( 1) + (a + 1) 1 e per il criterio si ha la tesi. 2. Sia d = (a, b) allora d = a x + b y per opportuni x, y Z. Dividendo per d si ottiene 1 = a x + b y. Dunque ( a, b ) = 1 la tesi. d d d d Proposizione: 1. Siano a, p Z, p irriducibile. Se p non divide a allora è coprimo con a.

15 2. Se un intero divide un prodotto di interi ed è coprimo con uno dei due fattori allora divide l altro. Siano a, b, c Z 3. Siano a, b, m Z e (a, b) = 1 a bc, (a, b) = 1 a c. a m, b m, (a, b) = 1 ab m. 4. Sia a Z, a 0, ±1. Se a è irriducibile allora a è primo. Dimostrazione: 1. Sia d = (a, p), allora d p e d 0. Dunque d = 1 oppure d = p ma d = p implica p a contro l ipotesi d = 1 cioè a e p coprimi. 2. Siano a, b, c Z. Se a bc allora f Z tale che af = bc. Inoltre (a, b) = 1 dunque 1 = ax + by, per opportuni x e y Z. Moltiplichiamo per c dunque a c. c = acx + bcy = acx + afy = a(cx + fy) 3. Siano a, b, m Z. Se a m si ha che c Z tale che m = ac. Inoltre se b m = ac, poichè (a, b) = 1, per la proposizione precedente si ha b c. Allora d Z tale che c = bd. Dunque m = ac = abd da cui ab m. 4. Siano a, b, c Z. Supponiamo che a bc, a c e dimostriamo che a b. Poichè a bc si ha che d Z tale che bc = ad. Poicè a c e a è irriducibile, si ha che (a, c) = 1. Allora 1 = ax + cy, per opportuni x e y Z. Da cui b = axb + cyb. POichè a bc si ottiene a axb + cyb = b ossia la tesi. Corollario: Sia a Z, a 0, ±1. a è primo se è e soltanto se è irriducibile. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce minimo comune multiplo di a e bun intero positivo m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0.

16 Osservazione: Come per il Massimo Comun Divisore si dimostra che se mem sono due minimi comuni multipli di a e di b allora sono associati m = ±m. Si definisce Il minimo comune multiplo di a e b quello tra i due che è maggiore o uguale a zero. Si ha pertanto la seguente definizione. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], l intero positivo m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Teorema: Dati a, b Z. Allora [a, b] e (a, b)[a, b] = ab Dimostrazione: Dati a, b Z. Si ha (a, b) a da cui (a, b) ab. Allora q Z tale che ab = (a, b)q. Dimostriamo che q soddisfa le condizioni (1) e (2) della definizione di minimo comune multiplo. Poichè (a, b) a si ha che a 1 Z tale che a = (a, b)a 1. Analogamente, Poichè (a, b) b si ha che b 1 Z tale che a = (a, b)b 1. Moltiplichiamo la prima uguaglianza per b e la seconda per a, si ottiene ab = (a, b)a 1 b, ab = (a, b)ab 1 ma vale anche ab = (a, b)q dunque q = a 1 b = ab 1 da cui b q e a q e la (1) è verificata. Sia m Z tale che a m e b m. Allora (a, b)a 1 m e (a, b)b 1 m. Dunque (a, b) m. Allora m Z tale che m = (a, b)m. Si ottiene che (a, b)a 1 m = (a, b)m da cui a 1 m. Analogamente si ottiene che b 1 m. Per un risultato precedente, poichè (a 1, b 1 ) = 1, a 1 b 1 m. Dunque q = a 1 b = a 1 b 1 (a, b) m (a, b)m e la (2) è verificata. In conclusione, ab = (a, b)q ossia ab = (a, b)[a, b] Esempio: [72, 22] =? Dal Teorema si ha [72, 22] = (72, 22) = = = 792.

17 4 Teorema Fondamentale dell Aritmetica L importanza della classe dei numeri primi consiste nel fatto che ogni numero naturale maggiore di 1 può essere espresso come prodotto di primi. Questa affermazione, a prima vista così ovvia, non è affatto banale. La dimostrazione classica, dovuta ad Euclide, è nota come Teorema Fondamentale dell Aritmetica. Teorema Fondamentale dell Aritmetica: Ogni naturale n > 1 si può scrivere come prodotto di primi n = p 1 p 2 p k, con p i primo i = 1,... k. E tale fattorizzazione è unica a meno dell ordine dei fattori, ossia se esistono due fattorizzazioni n = p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q h, con p i e q j primi, allora k = h e riordinando opportunamente i fattori si ha: p 1 = q 1, p 2 = q 2,... p k = q k. dimostrazione: (Esistenza) Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi. Supponiamo, dunque, che esiste un intero maggiore di 1 che non si possa fattorizzare nel prodotto di primi positivi. Consideriamo S = {n Z n > 1, n non è prodotto di primi positivi} Per ipotesi S. Dunque, per l Assioma del buon ordinamento, esiste un elemento minimo in S. Sia esso s S. Allora s Z, s > 1 e s non è prodotto di primi positivi. In particolare s stesso non è primo. Dunque s ha un divisore proprio d, 1 < d < s. Allora c Z tale che s = dc. Da cui si ricava che 1 < c < s. Dalla minimalità di s si ha che c, d S. Allora c e d si fattorizzano nel prodotto di primi positivi c = p 1 p r e d = q 1 q s dunque anche s sarà prodotto di primi positivi s = cd = p 1 p r q 1 q s. ASSURDO. (Unicità) Fissato h dimostriamo la tesi per induzione su k. Utilizziamo il Principio di Induzione Prima Forma.

18 Base Induzione k = 1: Se k = 1 si ha p 1 = q 1 q h Dunque q 1 p 1 ma p 1 e q 1 sono primi positivi per cui q 1 = p 1. Se h > 1 allora dividendo per p 1 si ha 1 = q 2 q h e questa uguaglianza è impossibile percè q j è primo j, 1 < j h. Dunque h = 1 e q 1 = p 1. La base dell induzione resta così verificata. Passo Induttivo: Supponiamo la tesi vera per k e la dimostriamo per k + 1. Supponiamo che p 1 p 2 p k+1 = q 1 q 2 q h. Allora p 1 q 1 q 2 q h ma p 1 è un primo per cui se divide un prodotto deve dividere uno dei fattori. Riordinando opportunamente q 1,..., q h si ha che p 1 q 1 e quindi p 1 = q 1. Dividendo per p 1 = q 1 si ottiene p 2 p }{{ k+1 = q } 2 q h. }{{} k h 1 Allora, per ipotesi induttiva, si ha k = h 1 e p 2 = q 2, p 3 = q 3,.... Da cui k + 1 = h e p 1 = q 1, p 2 = q 2, p 3 = q 3,.... Il passo induttivo è così verificato. La tesi allora è vera per ogni k 1. Sempre ad Euclide è dovuta la dimostrazione dell infinità dei numeri primi. La fama di Euclide (300 a.c.) è fondata su quella parte degli Elementi che costituisce la base della geometria. Mentre, però, la sua geometria è in gran parte una compilazione di risultati precedenti, egli ha dato grandi contributi alla teoria dei numeri. Euclide era molto incline a sfruttare un arma logica conosciuta come: la reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo.... la reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificioun pedone o anche qualche atro pezzo, ma il matematico offre la partita... (G.H.Hardy, Apologia di un Matematico (1940))

19 Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri primi. dimostrazione: Ragioniamo per assurdo e supponiamo che i numeri primi siano in numero finito k. Sia S l insieme di tutti i numeri primi. Per l assunzione fatta S è finito Consideriamo il numero naturale S = {p 1, p 2,..., p k } n = p 1 p 2 p k + 1 > 1 Per il teorema fondamentale dell aritmetica n si fattorizza nel prodotto di primi dove p ij S. Dunque p 1 p 2 p k + 1 = n = p i1 p i2 p is, p ij n = p 1 p 2 p k + 1 inoltre p ij p 1 p 2 p k dunque p ij n p 1 p 2 p k = 1 ASSURDO! Una delle più sorprendenti scoperte, dovuta ai primi matematici greci e precisamente alla scuola pitagorica, è l esistenza dei numeri irrazionali, cioè di numeri che non sono razionali. La necessità di definire numeri non razionali nasce da alcuni problemi particolari come la ricerca del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato, tra circonferenza e diametro,... Teorema: Sia p > 1 primo. Allora p non è un numero razionale.

20 dimostrazione: Ragioniamo per assurdo. Supponiamo, dunque, che p sia razionale. Allora esiste a Q, con a e b coprimi, tale che b a p = b Dunque p = a2 b 2 a2 = pb 2 Dunque il fattore p compare a sinistra del uguaglianza un numero dispari di volte e a destra un numero pari di volte e questo contraddice l unicità della fattorizzazione. Possiamo concludere che p Q.