Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.

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1 Integrale Indefinito e l Antiderivata Il proesso inverso della derivazione si hiama integrazione. Nota la variazione istantanea di una grandezza p.es. la veloità) è neessario sapere ome si omporta tale grandezza istante per istante p.es. la posizione). Nota allora una funzione f) il problema onsiste nel trovare un altra funzione F) tale he F )f) Ad es. se f)^, potrebbe essere F)^)/ Def. Data la funzione f, si hiama anti-derivata o primitiva di f in un intervallo I una funzione F tale he per ogni di I vale: F )f) Nota. Una funzione primitiva deve essere una funzione derivabile sull intervallo I. Nota. Si mostrerà in seguito he una funzione f ontinua in un intervallo [a;b] ammette sempre una primitiva magari non esprimibile elementarmente). Nota. Una onseguenza dei orollari del teorema di Lagrange afferma he la funzione primitiva di una data funzione f non è unia. Le primitive sono infatti infinite e differisono una dall altra per una ostante addivita. Cfr. il seondo orollario al teorema di Lagrange).

2 Integrale Indefinito e l Antiderivata Es. Sia f)^. Allora: F ) È una primitiva. Ma lo sono anhe: ) F ) F F ) F k ) k In quanto: F' ) F' k ) F' ) F' ) F' ) f ) Def. Si hiama integrale indefinito della funzione f l insieme delle primitive in un intervallo I. Notare: Si india on: f ) d Simbolo di integrale oppure f Funzione integranda Variabile di integrazione Differenziale della variabile di integrazione Ed è ostituito da tutte le funzione della forma F) on ostante ed F primitiva di f Nota Vale per definizione: f ' ) d f ) Nota Variabile di integrazione muta: f ) d f t) dt f y) dy

3 Integrale Indefinito e l Antiderivata Nota. Mentre nell operazione di derivazione di assoia ad una funzione un altra funzione la sua derivata), nell integrale indefinito si assoia ad una funzione una lasse insieme) di funzioni. Il alolo integrale risulta più diffiile rispetto al alolo delle derivate Nota: Esistenza dell integrale indefinito. Per alune funzioni anhe abbastanza semplii ) non esiste la forma analitia semplie per l integrale indefinito: ad es.: e e ln ) Inoltre, non tutte le funzioni ammettono una primitiva su un determinato intervallo I una ondizione suffiiente è he siano ontinue). Una funzione primitiva deve essere una funzione derivabile e quindi deve possedere alune proprietà di regolarità. Allo sopo vale il seguente teorema:

4 Integrale Indefinito e l Antiderivata Teorema. Sia f derivabile in un intervallo I, allora f può avere disontinuità solo di II speie: Nota. Non ogni funzione definita in un intervallo é una funzione derivata. Ad esempio funzioni on disontinuità eliminabili o di I speie in determinato intervallo, non sono derivate di nessuna funzione. As es. I [,] f ) per 0 < per - 0 Nota. Alla funzione f) non si può appliare il teorema preedente relativamente all intervallo I[-,] in quanto la funzione non è derivabile in 0 e quindi non lo è in tutto l intervallo I.

5 La Tabella delle anti-derivate immediate a d a a a - d ln e d e a d a ln a) sen ) d os ) os ) d sen ) d tan )) d tan ) os ) d artan ) d arsen ) Sh ) d Ch ) Ch ) d Sh ) 5

6 La Tabella delle anti-derivate immediate Sh ) d Ch ) Ch ) d Sh ) d SettSh ) ln ) ) d SettCh ) ln d arsen ) 6

7 Proprietà Integrale Indefinito Dalle proprietà della derivata disende: ) g ) ) d f ) d f g ) d k f ) d k f ) d p. di addivitità *) p. di omogeneità **) Es. Integrazione polinomi ) 5 d 5 d d ln ' ' ' *) H f g) H f g F f ) F f G g) G g H ' f g F' G' F G)' ' H F G ) ' **) H kf ) H kf F f ) F f H ' kf' kf)' H kf ) 7

8 Consideriamo: Antiderivate quasi immediate f ' ) d ln f ) f ) d ln ln ) ln ) d e ) ln ln ) d e ) ln e d d ln d sin ) d d sin ) tan ) ln os ) os ) os ) 8

9 Consideriamo: Antiderivate quasi immediate k [ f ) ] f ' ) d [ f ) ] k k on k - Nota: sin ) sin )os ) d os ) sin )os ) d sin ) ln ) ln ) d [ sin ) ] os ) d os ) sin ) os ) ostante 5 5 ) ) ) ) d d

10 e [ f ) ] f Antiderivate quasi immediate ' ) d e f ) a [ f ) ] f ' ) d f ) a ln a) e sin ) os ) d e sin ) e d e ) d e d ) d ln) 0

11 Antiderivate quasi immediate [ f ) ] sen f ' ) d os f )) os [ ) ] f f ' ) d sen f )) f ' ) d tan f )) os f )) sen d os ) ) sen ) d os d ) os d ) tan )

12 Antiderivate quasi immediate 5 Antiderivate quasi immediate 5 )) ) ' ) f arsen d f f )) artan ) ' ) f d f f arsen d d ) d d artan 9 9

13 Antiderivate quasi immediate 6 f ) f ' ) d SettSh f )) ln f) ) f ) ) ) sin ) os ) d SettShsin )) ln sin sin ) f ) f ' ) d SettCh f )) ln f) ) f ) - ) d d SettCh) ln

14 Riassunto: ambiamento di variabili Quanto sinora fatto può essere osì riassunto: NOTO: g ) d G ) Possiamo alolare: g f )) f ' ) d G f )) Poihé: D [ G f )) ] G ' f )) f ' ) g f )) f ' ) Possiamo anhe usare un ambiamento di variabili nell integrale indefinito: y f ) dy f ' ) d g f )) f ' ) d g y) dy G y) ) y f G f ))

15 Integrazione Funzioni Razionali Consideriamo ora integrali del tipo: N ) d D ) Con N) e D) polinomi nella variabile. Se n è il grado di N) e d il grado di D) e n d, l algoritmo di divisione dei polinomi permette di srivere attraverso il quoziente Q) ed il resto R) della divisione ome segue: N ) D ) Q ) R ) D ) Allora Q) ha grado qn-d ed il resto R) ha grado r<d. In tutta generalità supporremo he n<d, potendoi ridurre a questo aso. Ci ouperemo in partiolare dei asi n e d sempre on n<d) per sempliità. 5

16 Integrazione Funzioni Razionali : denominatore di primo grado Consideriamo integrali del tipo: k a b d k a b d k a b a d k a b a d k a ln k ln a b a a b Es d d ln 6

17 Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 ) Consideriamo ora integrali del tipo: m q d on b a > a b Se ed sono le soluzioni reali e distinte dell eq. di grado assoiata al denominatore vale: a b 0 a ) ) Il proedimento vale anhe per m0 ) La funzione integranda viene osì risritta: m q a b a m q ) ) Si proede poi allo sviluppo in frazioni parziali del seondo fattore: m q A B ) ) ) ) 7

18 Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 ) A A B B A B) A B ) ) ) ) Grazie al prinipio di identità dei polinomi, il seguente sistema lineare permette di trovare i valori di A e B: In onlusione: A B m A B q m q a b d a A d B d A B ln ln a a 8

19 Integrazione Funzioni Razionali Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 ) >0 ) ) d d ) 5 d 5 ) B A B A B A / 0 A B A 9 ) ) ) ) ) ) ) B A B A B A / / 0 B A B A B A d d d 5 ) ln ln ln

20 Integrazione Funzioni Razionali Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 ) >0 ) d d ) 5 5 d 5 0 ) ) ) ) 5 B A B A B A / 5 B A B A B A d d d / 5 ln / ln

21 Integrazione Funzioni Razionali Δ0 ) Consideriamo ora integrali del tipo: q d on b a a b 0 In questo aso, se 0 é la radie doppia del denominatore abbiamo: a b a 0) q q d d a b a ) 0 q a ) 0 Es. d ) / ) d d / )

22 Integrazione Funzioni Razionali Δ0 ) Consideriamo ora integrali del tipo: m q d on b a a b m q m q d d *) a b a ) 0 0 Si proede allo sviluppo in frazione parziali della funzione integranda: m q A B A B ) B A B 0 0 ) 0) 0) 0) 0) Il seguente sistema lineare permette di determinare A e B: A B a ) ) d *) 0 0 a A 0 0 B m A B0 B ln ) 0 q

23 Es. Integrazione Funzioni Razionali Δ0 ) 5 d / ) d 5 / ) A / ) B / ) A B / ) / ) B A / B / ) B A B / 5 A / / d 9 / ) / ) d ln / ) 9 / )

24 Integrazione Funzioni Razionali Δ0 ) Un metodo alternativo onsiste nel far omparire al numeratore, on opportune trasformazioni algebrihe, la derivata del denominatore: Es. 5 d ) d d d d d 9 8 ln ) 8 d 9 / ) 8 ln ) 8 9 / ) 8 8 ln 9 / ) ln 9 9 )

25 Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 ) Consideriamo ora integrali del tipo: d on b a < a b 0 Si deve ottenere il ompletamento del quadrato dei primi due termini a b) al denominatore e poi integrare in arotangente. d d d d dy y d dy y artan y d artan y dy d 5

26 Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 ) Consideriamo ora integrali del tipo: m q d on b a < a b Si lavora in modo da fare omparire a numeratore la derivata del denominatore; quello he rimane si integra in arotangente ome nel aso preedente: 0 d ) d d d d d ln *) d 6

27 Integrazione Funzioni Razionali Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 ) <0 ) artan d d d d d dy y dy y artany) 7 artan 6 ln *)

28 Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 bis) Consideriamo ora integrali del tipo: m q d on b a < a b Si lavora in modo da fare omparire a numeratore la derivata del denominatore; quello he rimane si integra in arotangente ome nel aso preedente: 0 d ) d 6 d 6 d 6 d - d ln - *) d 8

29 Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 bis) d d d d 6 dy artany) 6 6 y y 6 6 artan dy d *) 8 6 ln - artan 9

30 Integrazione per Parti ) Partiolare tenia di integrazione. Date due funzione f,g ontinue on derivata ontinua : fg )' f'g fg' fg ) ' f'g fg' ) f'g fg' fg f'g fg ' f'g fg fg' f' ) g ) d f ) g ) f ) g' ) d Appliata all integrale del prodotto di due funzioni di ui deve essere nota, in partenza, una primitiva di una delle due nell es. la f). Spesso i si riferise alla f f )d ) ome fattor differenziale ed alla g ome fattor finito Nota In aluni asi è vantaggioso onsiderare anhe f Es. L integrale del logaritmo ln ) d ln ) ) ln ) d ln ) d 0

31 Es. os ) d Integrazione per Parti ) g ) f ' ) os ) g ) sen ) sen ) d sen ) sen ) d f ' ) sen ) sen ) )) d sen ) os ) sen ) os ) os ) In generale si usa [ P) polinomio ] : P ) h ) d g ) P ) f ' ) h ) os b) sen b) a e g ) h ) f ' ) P ) ln ) artan ) h ) l ) d h ) sen b),os b), e l ) sen b),os b), e a a La selta di f e g è indifferente

32 Integrazione per Parti ) Es. e d g ) f ' ) e e e d e e e d) e e e e ) Es. sen ) e d g ) sen ) f ' ) e os ) e sen ) e d sen ) e [ os ) e sen ) e d] sen ) e os ) e sen ) e d e sen ) e d sen ) os ) ) sen ) e d sen ) e os ) e

33 Es. sen ) d Integrazione per Parti ) g ) sen ) f ' ) sen ) os ) sen ) os ))os ) d os ) sen ) os ) d os ) sen ) sen )) d os ) sen ) sen ) d sen ) d os ) sen ) sen os ) ) sen ) d Alternativa: sen ) d os) d sen) sen) os) d

34 Es. os ) d Integrazione per Parti 5) g ) os ) f ' ) os ) sen )os ) sen ) sen )) d sen )os ) sen ) d sen )os ) os )) d sen )os ) os ) d os ) d sen )os ) os ) sen ) os ) d Es. Es. os ) d sen )) d sen )os ) sen )os ) os ) d os) sen) d...

35 Es. Ch ) d Integrazione per Parti 6) Sh ) Sh Sh ) Ch ) ) d Sh ) Ch ) d Es. g ) Ch ) f ' ) Ch ) Sh ) Ch ) Sh ) d Ch ) ) Sh ) Ch ) Ch ) ) Sh Ch ) ) Ch ) d Sh ) d d ) Ch ) Ch Ch ) Sh ) Ch ) Sh ) ) Ch ) Sh ) Sh ) ) d Ch ) Sh ) d Ch ) Sh ) d g ) Sh ) f ' ) Sh ) Sh ) Ch ) Sh ) d d

36 Integrazione per Sostituzione ) E la tenia più diffiile e generale. Per appliarla bisogna infatti sostituire nell integrale indefinito alla variabile un altra funzione on l obiettivo non di risolvere immediatamente il alolo ma di semplifiarlo. f ) d f g t)) g' t) dt È neessario alla fine del alolo dell integrale a seondo membro nella variabile t) ritornare alla valutazione dell integrale a primo membro nella variabile ) mediante l inversione della relazione gt). Periò, più preisamente, la relazione preedente diventa: g t) d g' t) dt f ) d f g t)) g' t) dt t g ) 6

37 Integrazione per Sostituzione: appliazioni simili al ambiamento di variabile ) Tipologia F e a ) d Sostituzione a t e dt ae a dt d d a t Es. e e e t dt t d t t dt t t t t t t dt t t e dt e t dt dt dt artan t ) t d d dt t ln t ) artan t) e ) ln artan e ) t e 7

38 Integrazione per Sostituzione: appliazioni simili al ambiamento di variabile ) Tipologia F, a b) d Sostituzione: t a b a t dt d d dt a b a Es. 5 5 t) dt t d 5 t tdt t dt d d t 5t 0 t 0 ) tdt 8

39 Integrazione per Sostituzione: appliazioni simili al ambiamento di variabile ) Tipologia F sen b),os b)) d Sostituzione : t os ) dt sen ) d t d d t dt Es. os )) sen ) d t) os ) dt) ln t t t ln os ) os ) t os ) dt sen ) d 9

40 Es. Integrazione per Sostituzione: appliazioni simili al ambiamento di variabile ) e d e t t t t d t dt dt t dt e e e d t d t t dt dt t t dt t artan t) e artan e ) 0

41 Integrazione per Sostituzione: Esempi partiolari 0) d d os t) d sen t) dt Sh t) d Ch t) dt d Ch t) d Sh t) dt

42 Es. Integrazione per Sostituzione: Esempi partiolari ) d os t) d sen t) dt os t ) sen t)) dt sen t) sen t)) dt sen t) dt t sen t)os t) senaros )) aros ) t aros ) aros ) Se effettuo la sostituzione sen t) d os t) dt arsen )

43 Es. Integrazione per Sostituzione: Esempi partiolari ) d Sh t) d Ch t) dt Sh t) Ch t) dt Ch t) Ch t)) dt Ch t) dt Sh t) Ch t) t SettSh ) t SettSh ) ) SettSh ) : ln

44 Es. Integrazione per Sostituzione: Esempi partiolari ) Ch t) Sh t) dt Sh t) Ch t) t d Sh t) Sh t)) dt Sh t) dt SettCh ) t SettCh ) Ch t) d Sh t) dt ) SettCh ) : ln

45 Integrazione per Sostituzione: Esempi partiolari ) d SettSh ) ln ) ) d SettCh ) ln d arsen ) 5