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1 PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente su AB e su BC. Sia poi R l intersezione con il cateto CA dell arco di circonferenza di centro A e raggio AP. Si specifichino le limitazioni da imporre ad affinché la costruzione sia realizzabile. Perché esista R sul cateto AC, deve essere AC BC a cos a sin a a b) Si esprima in funzione di l area S del quadrilatero mistilineo PQCR e si trovi quale sia il valore minimo e quale il valore massimo di S(). Per determinare l area richiesta togliamo dall area del triangolo quella dei due settori circolari di centri A e B, rispettivi raggi (a ) e, ampiezze,. Quindi avremo: 6 S = AB AC sin a a a ; ABC = = 8 SPQCR = a ( a ) 8 6 Dobbiamo quindi studiare gli estremi di 6 + 8a+ a 4, a a 4 Che è un arco di parabola con concavità rivolta verso il basso, pertanto ha un massimo nel vertice, se interno all insieme di definizione, e non ha minimi, salvo a considerare i casi in cui il quadrilatero degenera e diviene un triangolo mistilineo. Il grafico ottenuto con Derive per a = è il seguente:

2 Quindi il massimo si ha per 8 a a 6 = e vale a. Il minimo si ha nell estremo destro, cioè per = a e vale: ( 8 7) c) Tra i rettangoli con un lato su AB e i vertici sul lato opposto su ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima. a Indichiamo con la misura di GD, ricaviamo quella di ED. vale la seguente proporzione: AB: CH = FE : CK a : a = : CK CK = ED = a = ( a ) Quindi la funzione da massimizzare è S( ) = ( a ), < < a 4 Che è una parabola con concavità rivolta verso il basso e ha perciò massimo nel suo vertice: ( a ) 8 S a a a a 8 = = d) Il triangolo ABC è la base di un solido W. Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni, ottenute tagliandolo con piani perpendicolari ad AB, sono tutti quadrati. Il solido è praticamente formato da due piramidi aventi la base quadrata in comune,. CH.

3 Quindi il volume è: a CH AB = a a = 4 6 PROBLEMA Assegnato nel piano il semicerchio Γ di centro C e diametro AB =, si affrontino le seguenti questioni: Si disegni nello stesso semipiano di Γ un secondo semicerchio Γ tangente ad AB in C e di uguale raggio. a) Si calcoli l area dell insieme piano intersezione dei due semicerchi Γ e Γ. Costruiamo il triangolo, ovviamente equilatero, on figura e determiniamo l area cercata togliendo dall area del semicerchio Γ, le due parti bianche. L area cercata è perciò: + = 6 4 b) Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in Γ.

4 Consideriamo la figura Chiamiamo ˆ ECD =, abbiamo GD = CD = cos( ) ; ED = sin( ). Quindi l area è sin cos = sin, < < 9. Quindi il massimo si ha per = 9, cioè = 45, ossia quando il rettangolo ha la base GD doppia dell altezza ED. c) Sia P un punto della semicirconferenza di Γ, H la sua proiezione ortogonale su AB. Si ponga P CB = e si esprimano in funzione di le aree S e S dei triangoli APH e PCH. Si calcoli il rapporto S( ) f ( ) =. S ( ) =. Determiniamo intanto l area del triangolo isoscele ACP: sin( 8 ) sin( ). Quindi avremo: Adesso determiniamo l area di PCH: cos( ) sin( ) sin( ) + cos( ) sin( ) + cos f ( ) = = cos cos ( ) sin( ) d) Si studi f() e se ne disegni il grafico prescindendo dai limiti geometrici del problema.

5 La funzione è definita per valori. È periodica di periodo : cos + k. Ha infiniti asintoti verticali per tali ( ) ( + ) + cos + + cos = cos cos, quindi basta considerarla solo nell intervallo [, ]. Non ha quindi né asintoti orizzontali né obliqui. È positiva per cos > Il che accade quando il coseno è positivo, cioè per + k < < + k. Consideriamo la funzione f ( ) La derivata prima è Che si annulla per La derivata seconda è E poiché si ha: = k. ( k ) ( ) + cos =. cos f f ( ) ' " ( ) ( ) sin = cos + sin = cos ( ) ( ) ( k ) + sin + sin + f " ( k ) = = > ; f " ( k ) cos k + = = < cos k + Abbiamo infiniti massimi per ( ) = k + e infiniti minimi per = k. Quindi la funzione di partenza ha un grafico che è simmetrico di quello della f, ed è perciò: QUESTIONARIO. Si consideri la seguente proposizione: Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.

6 La proprietà è certamente falsa, basta pensare a due solidi di altezza diversa posti sullo stesso piano. Ci saranno sezioni che incontrano uno dei due solidi e non l altro. Ma continua a non valere anche se avessero la stessa altezza, basti pensare a un cubo di lato e a una piramide di base quadrata di area. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che 5 sin =. 4 Dire che il lato è sezione aurea del raggio significa che vale la seguente proporzione: Adesso consideriamo la seguente figura: r + r 5 r: l = l: r l l + l r r = l = l r + r 5 AH 5 Abbiamo: sin 4 = = = = AC r r 4. Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo? Si ha: S r = + = r S r r h h. Quindi il volume è: V ( r) S r = r. Studiamo il massimo nell intervallo:, S. S r S V '( r) = V ' r = r =, che è un massimo:

7 Il massimo vale perciò: S V"( r) = r V" <. S S S S S S S V = = = 7 4. Si esponga la regola del marchese de L Hôpital (66 74) e la si applichi per dimostrare che 8 lim =. La regola è applicabile a forme indeterminate del tipo,, per rapporti di funzioni continue e derivabili, per le quali esiste il limite del rapporto delle derivate. Tutte le ipotesi sono valide. Abbiamo allora: 8 lim = lim ln 8 7 Il limite ottenuto è ancora forma indeterminata a cui è applicabile la regola. La applicheremo 8! 8 altre 7 volte, ottenendo: lim = ln. 5. Si determini un polinomio P() di terzo grado tale che: Cerchiamo un polinomio P() = P () =, P() = e P a b c d P ( ) d = = Applichiamo i dati: Infatti abbiamo: a = a = b = b = a + b + c + d = c = b c d a = d = 4 4 b c d b c d P' ( ) = b+ c + d ; P d= a = a n n n 6. Se,, con n > sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

8 Abbiamo : n n n n n n n n n n n n,, = h h = = + = Quindi: n n n n n n n + = n ( n ) n = n 8 n ( n ) + = n 9n+ 4 = n = Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell equazione: Rappresentiamo la cubica: y + k = = e il fascio di rette y = -k. Facilmente si vede che abbiamo una soluzione se k < k > 4; soluzioni se k = k = 4; soluzioni se < k < Sia f la funzione definita da delle sue derivate, prima e seconda, nel punto f ( ) =. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno =. La funzione è definita in tutti i reali positivi. Poi si ha: Inoltre: ( ) ( ) ( ) f ' = ln ; f " = ln ( ) ( ) ( ) f ' = ln = ln > ; f "( ) = ln ( ) ( ) = ln ( ) + >

9 9. Sia f ( ) = ; esiste il lim f( )? Si giustifichi la risposta. Abbiamo = + > se f ( ) = = se < se > e quindi : lim f( ) =, perciò il se < limite non esiste.. Secondo il codice della strada il segnale di salita ripida (fig. a lato) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell esempio è %. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di, Km, supera un dislivello di 85 m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale? % =, è il valore della tangente dell angolo formato dal percorso e dall orizzontale. Quindi l angolo è 85 cos '4". Quindi la tangente è,7 7% 85 =

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