CAMPIONAMENTO. y(t) = x 1 (t) x 2 (t) Σ δ(t - kt c. ) k. Figure 1:
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- Baldassare Grassi
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1 CAMPIONAMENTO 1) Si considerino i due segnali a banda limitata x 1 (t) con banda B 1 e x 2 (t) con banda B 2. Si costruisca il segnale y(t) come y(t) = x 1 (t) x 2 (t) Volendo applicare il principio del campionamento a y(t), quale è il valore minimo della frequenza di campionamento f c? 2) Si consideri il campionatore indicato in fig. 1 dove T c = 1/f c è il periodo di campionamento. x(t) y(t) Σ δ(t - kt c ) k Figure 1: 3) Il segnale Detta B la banda di x(t), analizzare lo spettro del segnale campionato y(t) nei due casi: a) f c > 2B b) f c < 2B Verificare che nel primo caso il filtro interpolatore opera correttamente Dire che tipo di distorsione si verifica nel secondo caso. ( x(t) = sin 500t + π ) 6 deve essere campionato e ricostruito esattamente dai suoi campioni. Qual è il massimo intervallo ammissibile tra due campioni? Qual è il minimo numero di campioni necessari per ricostruire 1 s di segnale?
2 4) Si consideri il segnale y(t) = x(t) + x 1 (t) + x 2 (t) con x 1 (t) = x(t)cos(2πf 0 t), x 2 (t) = x(t)cos(n2πf 0 t) e x(t) strettamente limitato in banda a B = 1 KHz. y(t) deve essere campionato in modo tale da poter essere ricostruito dai suoi campioni. La frequenza di campionamento è f c = 10 KHz. Determinare i valori di f 0 ed N affinchè: i segnali di ingresso siano spettralmente separati si abbia una perfetta ricostruzione di y(t) N sia massimo. 5) Un segnale x(t) con banda limitata B = 5 KHz viene inviato all ingresso del sistema di fig. 2. x(t) x c (t) Decimatore y(t) H(f) z(t) Τ c Σ δ ( t-nt c ) n Figure 2: La frequenza di campionamento è f c = 20 KHz. Il decimatore sopprime i campioni dispari di x(t). Il filtro H(f) è un passabasso ideale, con banda B f = 10 KHz. Determinare lo spettro di z(t) in funzione di quello di x(t). Dire se è possibile ricostruire x(t) da z(t). 6) Il segnale x(t) = 1 [ ( ) ] πtb π 2 t 2 sin 2 sin 2 (πtb) 2 viene campionato per una conversione A/D. Indicare qual è la minima frequenza di campionamento che consente un esatta ricostruzione del segnale a partire dai suoi campioni. 7) Si consideri il segnale determinato N x(t) = y i (t) i=0 dove y i (t) = x i (t) sin(2πif 0 t + φ i ). I segnali x i (t), i = 0,, N hanno tutti la stessa banda B, N è un numero intero strettamente positivo, f 0 0 e φ i, i = 0,, N, sono costanti.
3 a. Trovare il minimo valore di f 0 tale per cui i segnali y i (t) sono spettralmente separati. b. Con tale valore di f 0, determinare, in funzione dei rimanenti parametri, la minima frequenza di campionamento necessaria per poter ricostruire esattamente x(t) a partire dai suoi campioni.
4 QUANTIZZAZIONE 1) Si consideri un quantizzatore uniforme che opera su M livelli definiti tra E ed E. Si consideri, inoltre, un segnale x(t) con ddp uniforme tra A ed A. con A < E. Determinare l espressione del rapporto segnale/rumore di quantizzazione in funzione della potenza di x(t). 2) Si consideri un quantizzatore non uniforme con legge A. Si determini l espressione asintotica del rapporto segnale/rumore di quantizzazione quando il segnale all ingresso ha una ddp uniforme e il suo livello è molto piccolo. 3) Si consideri un segnale aleatorio con spettro costante tra B e B e zero altrove, essendo B = 4 khz; si assuma che tale segnale abbia una densità di probabilità uniforme. Per trasmettere tale segnale in forma numerica, di norma esso viene campionato alla frequenza f c = 2B = 8 khz e quantizzato in modo uniforme utilizzando n b = 8 bit di quantizzazione. Si ottiene in tal modo una velocità di trasmissione di 64 kbit/s con un rapporto segnale/disturbo di quantizzazione di circa 48 db, senza riduzione della banda del segnale. Per esigenze di trasmissione si vuole trasmettere tale segnale su un canale numerico che consente una velocità di trasmissioni di solo 32 kbit/s, ovviamente accettando una riduzione della qualità della trasmissione. Per ottenere tale risultato si riducono sia il numero n b di bit di quantizzazione (riducendo, quindi, il rapporto segnale/disturbo di quantizzazione) sia la banda del segnale per mezzo di un filtro che consente il transito delle frequenze tra B 0 e B 0, con B 0 < B. Si considerino per n b i valori 7,6,5,4; per ciascuno di essi si calcoli il valore di B 0 che consente la trasmissione con 32kbit/s e il corrispondente valore del rapporto segnale/disturbo di quantizzazione. 4) Un segnate x(t) con d.d.p. uniforme e spettro di potenza: G x (f) = A 1 + ( f f 0 ) 2 è applicato all ingresso del sistema indicato in figura 1 x(t) Filtro Quantizzatore uniforme Figure 1: Il filtro è rettangolare passa-basso con funzione di trasferimento: H(f) = 1 f f x H(f) = 0 f > f x Il quantizzatore è uniforme e opera su n bit. Determinare:
5 a - la velocità di trasmissione all uscita (in bit/s) b - l espressione del rapporto segnale/disturbo complessivo. Nota: si assuma sempre f x > f 0 ; vale inoltre l integrale notevole: 0 1 π/n dx = 1 + xn sin(π/n) 5) Si abbia da trasmettere un segnale di informazione con banda pari a 15 KHz e con d.d.p. uniforme mediante un sistema PCM. Si vuole che, operando al di sopra della soglia, il rapporto segnale/disturbo complessivo non sia mai inferiore a 33 db. Determinare: il numero di bit di quantizzazione richiesti; la velocità di trasmissione in bit/secondo il valore massimo ammesso p* per la probabilità di errore del canale trasmissivo. 6) Per alcuni sistemi di comunicazione di tipo militare è sufficiente una qualità inferiore a quella del normale servizio telefonico. In particolare, si considera sufficiente la trasmissione della banda Hz (anzichè ); inoltre è ritenuto sufficiente un rapporto segnale/disturbo di 36 db. Volendo codificare in forma numerica il segnale da trasmettere determinare: la frequenza di campionamento il numero di bit per campione la velocità di emissione in bit/s 7) Si consideri un segnale analogico avente una banda pari a 6 KHz; lo si voglia codificare in forma numerica, in modo da assicurare un rapporto segnale/disturbo pari a 60 db. Determinare la velocità di emissione R in bit/s (si assuma, per la frequenza di campionamento, il valore minimo ammissibile). Scelta R = 120 Kbit/s R = 60 Kbit/s R = 108 Kbit/s Non so 8) Si consideri un segnale analogico avente una banda pari a 6 KHz; lo si voglia codificare in forma numerica, e trasmettere su un canale che consente una velocità di trasmissione di 120 Kbit/s. Determinare il rapporto segnale/disturbo η (espresso in db) ottenibile con la quantizzazione (si assuma, per la frequenza di campionamento, il valore minimo ammissibile). Scelta η = 60 db η = 120 db R = 30 db Non so 9) Si consideri un segnale analogico avente una banda pari B x ; lo si voglia codificare in forma numerica, in modo da assicurare un rapporto segnale/disturbo pari a 60 db.
6 Avendo a disposizione un canale numerico che consente la trasmissione di un flusso numerico con velocità pari a 120 Kbit/s, determinare il massimo valore ammesso per B x (si assuma, per la frequenza di campionamento, il valore minimo ammissibile). Scelta B x = 6 KHz B x = 12 KHz B x = 18 KHz Non so
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