Istruzioni: Il seguente foglio deve essere compilato e consegnato insieme agli altri fogli debitamente compilati.

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1 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) Istruzioni: Il seguente foglio deve essere compilato e consegnato insieme 1. Si calcoli l insieme di definizione della seguente funzione: f(x) = 2. Si enunci e dimostri il teorema di Rolle. ln( x 1) x 2 x 6 3. Si scriva la formula di Taylor con resto nella forma di Peano per una generica funzione f(x). Si scriva l approsimazione di Taylor per la funzione f(x) = cos x fino al termine di quarto ordine nell intorno del punto x 0 = Si studi la seguente funzione (I.D., segno,limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = (2x 2 x + 1)e x 5. Si dimostri il seguente limite notevole lim x 0 sin x x = Si calcoli il determinante della matrice A: A = Si risolva il seguente integrale indefinito: e x sin xdx 8. Si definisca il concetto di dipendenza e indipendenza lineare tra vettori in R n. Usando la definizione di combinazione lineare, si stabilisca se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti: x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 =

2 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) 1. Si calcoli, utilizzando la definizione (cioe il limite del rapporto incrementale), la derivata della funzione f(x) = x Si enunci e dimostri il teorema di Lagrange. 3. Dato il polinomio f(x) = ax 3 + bx 2 + cx si calcolino i coefficienti Reali a, b, c sapendo che: f(x) ammette punto di minimo in P (1, 4). f(x) ammette punto fi flesso per x = Si studi la seguente funzione (I.D., segno,limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = 5. Si enunci il teorema di De L hospital. x ln x 1 6. Si calcoli, se esiste, la matrice inversa A 1 della matrice A: A = Si calcoli la primitiva della seguente funzione passante per P (0, 1) f(x) = xe 2x 8. Si calcoli la matrice B tale per cui: [ ] [ ] B = Si risolva successivamente il sistema Bx = Cramer. [ 2 2 ] utilizzando il metodo di

3 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA A 1. Si calcoli la derivata della funzione f(x) = x tramite il limite del rapporto incrementale. 2. Si calcoli T D, dove gli insiemi T e D sono rispettivamente gli insiemi di definizione delle funzioni f(x) = ln( x 2 1 ) e g(x) = e x x 2 x. 3. Si definisca il concetto di dipendenza e indipendenza lineare tra vettori in R n. Si discuta se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti: x 1 = [1 2 0] x 2 = [4 0 0] x 3 = [1 2 3] 4. Si studi la seguente funzione (I.D., limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = [2 ln(e x 1)] + 6e x x 5. Si enunci e dimostri la regola di integrazione per parti. 6. Si scriva la formula di Taylor con resto nella forma di Peano per una generica funzione f(x). Si scriva l approsimazione di Taylor per la funzione f(x) = e x fino al termine di terzo ordine nell intorno del punto x 0 = Si calcoli il seguente integrale definito f(x) = π π x 2 5 x 3 + sin x dx 8. Si calcoli il valore del parametro reale k tale per cui il sistema Ax = [0] ammette infinite soluzioni. Si risolva successivamente il sistema per il valore del parametro k trovato precedentemente. A = k 1 1

4 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA B 1. Si calcoli la derivata della funzione f(x) = (x 2) x. 2. Si definisca il concetto di punto di accumulazione per un insieme. Si individuino, se esistono, i punti di accumulazione dell insieme A = {1, 2, 3} motivando la risposta. 3. Si definiscano i concetti di base e dimensione di uno spazio vettoriale. Si discuta se i seguenti vettori x 1, x 2 e x 3 costiutiscono una base per lo spazio R 3 : x 1 = [1 2 0] x 2 = [4 0 0] x 3 = [1 2 3] 4. Si studi la seguente funzione (I.D., limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = [2 ln(e x 1)] + 6e x x 5. Si enunci e dimostri la regola di integrazione per parti. 6. Si scriva la formula di Taylor con resto nella forma di Peano per una generica funzione f(x). Si scriva l approsimazione di Taylor per la funzione f(x) = ln x fino al termine di terzo ordine nell intorno del punto x 0 = Si calcoli il seguente integrale definito f(x) = 1 1 x 2 5 x 3 + x dx 8. Si calcoli il valore del parametro reale k tale per cui il sistema Ax = [0] ammette infinite soluzioni. Si risolva successivamente il sistema per il valore del parametro k trovato precedentemente. A = k 1 1

5 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA A 1. Si definiscano le tipologie di punti di discontinuita che puo ammettere una funzione. Discutere la natura degli eventuali punti di discontinuita della seguente funzione: f(x) = 2 1 ln x 2. Si dimostri che, data f(x) : R R, f(x) derivabile in R implica f(x) continua in R. Si fornisca inoltre un contro esempio che mostri come l implicazione inversa non sia valida. 3. Si calcoli, se possibile, ((A + B) C) 1, dove A, B e C sono le seguenti matrici: [ ] A = 0 1 B = 1 1 C = Si studi la seguente funzione (I.D., segno,limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = e3x+1 x 5. Si enunci e dimostri il teorema della media integrale. 6. Si calcoli l equazione della parabola passante per il punto O(0, 0) e avente vertice in V (4, 2). 7. Si risolva il seguente integrale indefinito (x 2 x)e x dx 8. Si calcoli per quali valori del parametro reale a il seguente sistema ammette soluzione unica. Si risolva quindi il sistema per a = 1 usando il metodo di Cramer. x + y z = 1 y + 3z = 0 ax + 3z = 0

6 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA B 1. Si calcoli la derivata della funzione f(x) = x tramite il limite del rapporto incrementale. 2. Si scriva il polinomio di Taylor con resto nella forma di Peano per una generica funzione f(x) nell intorno del punto x 0. Si calcoli lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(x) = sin x in un intorno del punto x 0 = 0 arrestandosi al termine di quinto ordine. 3. Si definisca il concetto di rango di una matrice. Si calcoli il rango della matrice A al variare del parametro reale k. 1 2k 8 2k A = 0 k 4 k Si studi la seguente funzione (I.D.,segno, limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): e 3x+1 f(x) = x 5. Si enunci e dimostri il teorema fondamentale del calcolo integrale. 6. Si calcolino le equazioni delle rette passanti per il punto P (2, 1) e tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 = Si risolva il seguente integrale definito 1 (x 2 x)e x dx 0 8. Si calcoli per quali valori del parametro reale a il seguente sistema ammette soluzione unica. Si risolva successivamente il sistema per a = 1 usando il metodo di Cramer. x + y z = 1 y + 3z = 0 ax + z = 0

7 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA C 1. Si calcoli l insieme dei punti di accumulazione per il dominio della seguente funzione: f(x) = ln( x 2 + 2x x) 2. Si enunci il teorema di De L Hospital. Si risolvano i seguenti limiti senza usare la regola di De L Hospital: x 2 + x 2 lim lim x2 + 2x x x 1 x 2 4x + 3 x + 3. Si calcoli, se possibile, la matrice inversa della matrice A: A = Si studi la seguente funzione (I.D., limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = e3x+1 x 5. Si enuncino e dimostrino i teoremi di Fermat e Rolle. 6. Si calcolino le equazioni delle rette passanti per il punto P (1, 1) e tangenti alla parabola di equazione y = x Si calcoli il seguente integrale improprio 1 x 3 e x4 dx 8. Si calcoli per quali valori del parametro reale a il seguente sistema ammette soluzione unica. Si risolva successivamente il sistema per a = 1 usando il metodo di Cramer. x + y z = 1 y + 3z = 0 ax + 2z = 0

8 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) Istruzioni: Il seguente foglio deve essere compilato e consegnato insieme 1. Si enunci la formula di derivazione per le funzioni del tipo f(x) g(x). Si calcoli la derivata della funzione f(x) = x sin(x). 2. Si dimostri che, data f(x) : R R, f(x) derivabile in R implica f(x) continua in R. Si fornisca inoltre un contro esempio che mostri come l implicazione inversa non sia valida. 3. Si risolvano i seguenti limiti: x cos x 4e x2 lim x 0 5x 2 x + sin x + ln x 2 lim x + x 2 4. Si studi la seguente funzione (I.D., segno,limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = x 1 x 2 x 6 5. Si enunci il teorema della media integrale. 6. Si definiscano i concetti di base e dimensione di uno spazio vettoriale. Si calcoli per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori costituiscono una base per lo spazio R 3 : a = [5 2 1] b = [k 0 k] c = [ 5 3 k] 7. Si calcoli l area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione { x 2 +x 6 se 0 x < π f(x) = sin(x) se π x 2π e l asse delle x. 8. Si risolva il sistema lineare Ax = [0] specificando il numero delle soluzioni A =

9 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA A 1. Si discutano, motivando la risposta, le eventuali simmetrie delle seguenti funzioni: f(x) = a x + a x 2 g(x) = ln 1 x 1 + x h(x) = ax + 1 a x 1 2. Si dimostri che, data f(x) : R R, f(x) derivabile in R implica f(x) continua in R. Si fornisca inoltre un contro esempio che mostri come l implicazione inversa non sia valida. 3. Si definisca il concetto di rango di una matrice. Si discuta il rango della matrice A al variare del parametro reale k: k A = k Si studi la seguente funzione (I.D., segno,limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): 5. Si enunci il teorema di Lagrange. f(x) = (x 2)e 1 x 6. Si scriva la formula di Taylor con resto nella forma di Peano per una generica funzione f(x). Si scriva l approsimazione di Taylor per la funzione f(x) = cos x fino al termine di quarto ordine nell intorno del punto x 0 = Si calcoli la primitiva della seguente funzione passante per P (e, 1) f(x) = ln2 x x 8. Si enunci il teorema di Rouchè-Capelli. Si risolvano quindi i seguenti sistemi lineari. [ ] (AA )x = [0] (A A)x = [0] con A = 2 2 0

10 Cognome... MATEMATICA GENERALE A-D, ( ) FILA B 1. Si calcoli il Dominio della seguente funzione: x3 x f(x) = ln x Si dimostri il seguente limite notevole lim x 0 sin x x = Si calcoli il valore del parametro reale k tale per cui non esiste l inversa A 1. Si calcoli infine A 1 per k = k A = k Si studi la seguente funzione (I.D., segno,limiti, eventuali asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo): f(x) = (x 2)e 1 x 5. Si definisca il concetto di insieme delle parti P(A) di un insieme A. Si scriva inoltre l insieme delle parti del seguente insieme: A = {π, 1, a} 6. Si scriva la formula di Taylor con resto nella forma di Peano per una generica funzione f(x). Si scriva l approsimazione di Taylor per la funzione f(x) = e x fino al termine di terzo ordine nell intorno del punto x 0 = Si calcoli il valore del parametro reale k, con k > 0 tale che: k 0 e 2x 4 e x dx = 0 8. Si enunci il teorema di Rouchè-Capelli. Si risolvano quindi i seguenti sistemi lineari. [ ] (AA )x = [0] (A A)x = [0] con A = 3 3 0

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