Verifica del 8 febbraio 2018

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1 Verifica del 8 febbraio 018 Esercizio 1 (15 punti) Risolvi le seguenti disequazioni: 1 x 1 a) x + 6x + 8 x 3 b) x c) d) Esercizio (0 punti) 3 x 8 x 4 x 3 ax 9 Considera la funzione f ( x) = x 3x a) Determina il valore del parametro a in modo che la funzione intersechi l asse delle ascisse nel punto x = 1 In corrispondenza del valore di a trovato, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti: b) Determina il dominio della funzione f c) Determina per quali valori di x la funzione è positiva e per quali si annulla d) Stabilisci se la funzione è invertibile e) Considerata la funzione g ( x) = x, determina il dominio della funzione h = g f Esercizio 3 (15 punti) Considera la funzione f il cui grafico è tracciato a lato. a) Determina il dominio e l insieme immagine della funzione f b) Determina per quali valori di x la funzione è positiva c) Stabilisci se f è una funzione monotona crescente o decrescente o nessuno dei due casi d) Stabilisci se f è invertibile e, in caso affermativo, traccia il grafico della funzione inversa e) Calcola, se esistono, i valori di ( f f )( 3), 1 ( f f )( 4), ( f f )( 3) Esercizio 3bis Traccia il grafico della seguente curva: Ed evidenzia la regione di piano definita dal seguente sistema y 4x + 8x + 4 x y 0 x 3 1 Esercizio 4 (5 punti)

2 Data l'equazione lineare: ( + k ) x + ( k 1) y + 3 k = 0 (con k parametro reale), stabilisci se, al variare di k, l equazione rappresenta un fascio di rette proprio o improprio e studia le caratteristiche del fascio (rette generatrici, eventuale centro del fascio), e determina: a) l equazione della retta del fascio passante per P(0; ); b) il valore di k per cui la retta del fascio è parallela all asse x; c) il valore di k per cui la retta del fascio è parallela alla retta passante per A(; 1) e per B(0; 3); d) i valori di k per i quali vi sono rette che formano angoli ottusi con l asse x; e) i valori di k per i quali le rette del fascio intersecano il segmento CD di estremi C(; 0) e D(; 3). E richiesta la rappresentazione grafica di tutti gli elementi geometrici del problema (punti, rette, segmenti) Esercizio 5 (10 punti) Dati i punti A(-;) e B(1;8), determina il punto C di ordinata -1 in modo che il triangolo A. Calcola il perimetro, l area e le coordinate del circocentro del triangolo ABC. E richiesta la rappresentazione grafica di tutti gli elementi geometrici del problema. Esercizio 6 (15 punti) Dopo aver scritto le coordinate dei punti indicati in figura, scrivere le equazioni delle seguenti rette: a. retta passante per i punti A e B b. retta passante per i punti B e D c. retta passante per i punti A ed E d. retta passante per i punti B e C Trovare, se esiste, il punto di intersezione tra le rette trovate in c. e in d. AB ˆ C sia rettangolo in

3 Verifica del 16 aprile Esercizio 1 (6,5 punti) E data la circonferenza di equazione x +y -x-y-3=0: a) Calcola le coordinate dei punti A e B, intersezione della circonferenza con la retta r di equazione y=x-1 (indica con B il punto di ordinata negativa). b) determina l equazione della retta ta tangente alla circonferenza nel suo punto A, e della retta tb tangente a nel suo punto B; c) Indicato con D il punto di intersezione di t A e tb, calcola l area del triangolo ABD. d) Rappresenta graficamente tutti gli elementi geometrici del problema ed evidenzia il triangolo di cui al punto (c). E dato il fascio di circonferenze k di equazione x +y -kx-ky+8=0: e) Determina per quali valori di k l equazione precedente rappresenta un fascio di circonferenze non degeneri; f) Verifica per quali valori di k le circonferenze del fascio tangenti alla retta r. Esercizio (,5 punti) Sia y=f(x) la funzione, definita nell intervallo [-;3] di cui a lato è rappresentato il grafico. Disegna il grafico delle seguenti funzioni: a) y=f(x-1)- b) y=f( x ) c) y= f(x-1) d) y= f( x -1) Puoi usare colori distinti per le varie curve (ricordati di associare ad ogni grafico la relativa funzione, in caso contrario il grafico non sarà valutato)

4 Verifica del 10 maggio Quesito 1 Determina l equazione della parabola (con asse di simmetria parallelo all asse y) a che passa per i punti A(1;0) B(0;-3) C(;1), motivando sinteticamente i passaggi svolti. Determina l equazione della parabola che ha asse di simmetria x=-1 ed è tangente b nel suo punto di ascissa x=1 alla retta di equazione y=x-3, motivando sinteticamente i passaggi svolti. Disegna la parabola di equazione x=y -y e determina, al variare del parametro reale d q, la posizione della retta y=x+q rispetto alla parabola (ovvero quando la retta è esterna, tangente, secante). Illustra sinteticamente i passaggi svolti Quesito a Scrivi la definizione di parabola (come luogo geometrico).../0,50 b Scrivi come di ricava l equazione generica della parabola con asse parallelo all asse y e con il vertice nell origine. c Applicando la definizione, determina l equazione della parabola che ha fuoco in F(1;0) e direttrice di equazione x=-3. Calcola le coordinate del vertice della parabola e rappresentala graficamente..../1,50 Quesito 3 Determina l equazione della circonferenza che passa per il punti A(3;-4) e B(-4;-3) a e che ha il centro sulla retta di equazione x-3y=0, motivando sinteticamente i passaggi svolti. Determina l equazione della circonferenza che passa per l origine ed è tangente alla b retta 3x-y+13=0 nel suo punto di ascissa -1, motivando sinteticamente i passaggi svolti. Scrivi quali caratteristiche deve avere un equazione di secondo grado in x, y c affinchè rappresenti una circonferenza, e come si determinano le caratteristiche della circonferenza (centro, raggio) in funzione dei coefficienti di detta equazione. Quesito 4 Sia p la parabola di equazione y=x e la circonferenza passante per l origine ed avente il centro nel punto di coordinate C(0;b) dove b è un parametro reale non a nullo. Determina per quali valori del parametro b le curve p e non hanno punti in comune oltre all origine (punto in cui le due curve sono tangenti fra loro)..../0,5.../0,50

5 Verifica del maggio Esercizio 1 (6,5 punti) a) Determina l equazione della parabola p, con asse di simmetria parallelo all asse y, che ha vertice nel punto V(;1) e passa per il punto P di coordinate (3;0). b) Indicato con A il punto, di ascissa minore, in cui la parabola p interseca l asse delle ascisse, determina l equazione della retta t tangente alla parabola in A. c) Calcola l equazione della circonferenza che passa per il punto V e che è tangente alla retta t nel punto A; calcola le coordinate del centro C della circonferenza d) Calcola le coordinate del punto V, simmetrico di V rispetto al centro C di e) Calcola l area del triangolo AVV (suggerimento: il triangolo è inscritto in una semicirconferenza) Esercizio (,5 punti) a) Rappresenta graficamente la funzione di equazione f ( x) = x 1 b) Risolvi graficamente la disequazione f(x)< x- c) *Risolvi graficamente la disequazione f(x-)<x