Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta

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1 Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta Il concetto di similitudine è innato: riconosciamo lo stesso oggetto se è più o meno distante da noi, perché conserva la stessa forma. (immagini di Palazzo Carignano di Torino) In geometria il concetto di similitudine è legato al possesso di alcune proprietà: due o più poligoni sono simili se hanno gli angoli a due a due congruenti e se hanno i lati corrispondenti proporzionali. (un poligono può essere considerato come l ingrandimento dell altro) Spesso non è così semplice rilevare la similitudine poiché i lati corrispondenti non sono paralleli. corrispondenza: vertici D e G vertici A e H vertici B e E vertici C e F lati AD e HG lati DC e GF lati BC e EF lati AB e HE 1

2 In alcuni casi è molto semplice e efficace la costruzione per disegnare poligoni simili. Poligoni regolari con ugual numero di lati sono simili 2

3 Esempi molto significativi di rapporto tra le aree corrispondenti Osservando i primi tre esempi (triangolo-rettangolo-rombo) notiamo che raddoppiando o triplicando il lato della figura iniziale, mentre il perimetro raddoppia o triplica, l area si moltiplica rispettivamente per quattro o per nove. Nel quarto esempio mentre i lati del rettangolo sono moltiplicati per 1,5 (anche il perimetro è moltiplicato per 1,5), l area è moltiplicata per 2,25 (cioè 1,5*1,5=1,5 2 ). Ricordiamo ancora che il rapporto tra le aree di poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto tra i lati corrispondenti (o tra i perimetri). Teorema di Talete e similitudine nei triangoli Il teorema di Talete è uno dei più applicati della geometria e il suo enunciato è molto noto: Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali genera coppie di segmenti direttamente proporzionali. E stato inserito ora nella lezione perché viene applicato assieme al suo inverso per dimostrare i criteri di similitudine dei triangoli. Per prendere visione delle dimostrazioni rigorose del teorema di Talete, del suo inverso e dei criteri di similitudine dei triangoli vedere apposita lezione, poiché queste pagine sono dedicate ad alunni della scuola secondaria di primo grado e questi argomenti sono solo giustificati. Per giustificare il teorema di Talete si disegnano le rette su carta quadrettata o si utilizza un software di geometria dinamica che ci permette di tracciare una griglia, di misurare i segmenti e di calcolare automaticamente il loro rapporto spostando col puntatore le rette parallele. Vedremo al termine dell argomento alcune applicazioni de teorema di Talete. Similitudine nei triangoli Come tutti i poligoni due triangoli sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e se hanno proporzionali le coppie di lati corrispondenti. 3

4 Criteri di similitudine dei triangoli Sono teoremi che si dimostrano (vedere lezione specifica) grazie al teorema di Talete diretto e inverso e a partire dai criteri di similitudine già dimostrati. Ci permettono di stabilire se due triangoli sono simili conoscendo tre dei sei elementi (lati e/o angoli). Per giustificarli si consiglia di disegnare, per ogni criterio, due triangoli tenendo conto solo degli elementi enunciati in quel criterio e successivamente di verificare che anche gli altri elementi corrispondono a quelli del criterio generale di similitudine (due poligoni sono simili se hanno gli angoli a due a due congruenti e se hanno i lati corrispondenti proporzionali). Primo criterio Due triangoli sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti (osserviamo che poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto possiamo non considerare il terzo angolo) Secondo criterio Due triangoli sono simili se hanno congruente un angolo e se hanno proporzionali i lati che lo formano. Terzo criterio Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali. Applicando il primo criterio di similitudine dei triangoli possiamo dimostrare i due teoremi di Euclide sul triangolo rettangolo. Dobbiamo fare molta attenzione nel rilevare i lati corrispondenti nei triangoli simili. Primo teorema di Euclide sul triangolo rettangolo Un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa (oppure: Il quadrato avente per lato un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa). 4

5 Secondo teorema di Euclide sul triangolo rettangolo L altezza relativa all ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti su di essa (oppure: Il quadrato avente per lato l altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per lati le proiezioni dei cateti su di essa). Alcune applicazioni teoriche o pratiche del teorema di Talete e della similitudine 5

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7 Omotetia e similitudine Figure omotetiche sono sempre simili, ma non viceversa. Per il momento affermiamo che le figure omotetiche non sono solo simili, ma anche similmente disposte. Esercitiamoci con le figure precedenti, utilizzando i diagrammi di Euler Venn, nella classificazione. Due poligoni sono omotetici se il rapporto tra le distanze tra due punti corrispondenti e un punto detto centro di omotetia è costante. Il rapporto si dice rapporto di omotetia e si indica con K. Se le due figure sono dalla stessa parte rispetto al centro di omotetia, l omotetia è diretta; se invece le due figure sono da parti opposte rispetto al centro, l omotetia è inversa e il rapporto di omotetia è un numero negativo. In entrambi i tipi di omotetia le figure mantengono lo stesso verso. Se K = -1 l omotetia inversa coincide con la simmetria centrale. Le figure omotetiche sono simili e possiamo scrivere le proporzioni già applicate nella similitudine. Inoltre le figure omotetiche sono similmente disposte: i lati corrispondenti sono a due a due paralleli. Le figure omotetiche possono essere concepite anche nello spazio tridimensionale. 7

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9 Il pantografo: uno strumento per tracciare figure omotetiche i Pitagorici DIDATTICA E DIVULGAZIONE DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE LEZIONI UNO 9