Geometria piana. Veronica Gavagna E Albachiara Trapanese

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1 Geometria piana Veronica Gavagna E Albachiara Trapanese

2 Disegna un triangolo. Quante e quali informazioni relative ai suoi elementi (angoli e lati) devi mandare in un SMS a un amico perché possa disegnare un triangolo congruente al tuo? Le misure di due soli elementi sono sufficienti per disegnare un triangolo congruente a quello dato? Proviamo con a) Due lati b) Un lato e un angolo c) Due angoli Due soli elementi non bastano. Provate a trovare un controesempio per ognuno dei tre casi.

3 E tre elementi bastano? d) Due lati e l angolo compreso e) Due lati e uno degli angoli non compreso

4 f) Un lato e due angoli adiacenti g) Un lato e due angoli, uno adiacente e uno no Attenzione! Potrebbe sembrare che ci si possa ricondurre banalmente al caso precedente, ma non è proprio così k

5 e) Tre lati f) Tre angoli

6 In conclusione, sono nei casi d) f) e) possiamo costruire un triangolo congruente a quello dato. Questi equivalgono ai tre criteri di congruenza 1. Se due triangoli hanno due lati uguali e l angolo tra di esse compreso, allora i triangoli sono congruenti 2. Se due triangoli hanno un lato uguale e gli angoli ad esso adiacenti, allora sono congruenti 3. Se due triangoli hanno i tre lati uguali allora sono congruenti

7 Vediamo la versione degli Elementi di O.Byrne (1847) «in which coloured diagrams and symbols are used instead of letters for the greater ease of learners» consultabile ~cass/euclid/byrne.html Scaricabile e consultabile firstsixbooksofe00byrn

8 Il primo criterio di congruenza è la proposizione 4 del libro I degli Elementi di Euclide.

9 Come possiamo definire un poligono? Secondo voi, quali tra le regioni piane visualizzate in figura sono poligoni e quali no?

10 In realtà, potremmo dare una definizione che li possa comprendere tutti, ma potrebbe rivelarsi «inopportuno dare definizioni troppo generali di poligono (o di qualsiasi altro ente matematico) se si prevede di farne uso solo in casi molto particolari» (Villani 2006, p.244) Potrebbe andare bene definire il poligono come una regione limitata del piano il cui bordo è formato da una spezzata chiusa non intrecciata.

11 Un poligono si dice regolare se ha tutti gli angoli e i lati uguali. E dunque un poligono è non regolare (irregolare) quando ha a) Tutti i lati e gli angoli tra loro disuguali b) Tutti gli angoli uguali ma i lati disuguali c) Almeno una coppia di lati disuguali e almeno una coppia di angoli disuguali d) Almeno una coppia di lati disuguali oppure almeno una coppia di angoli disuguali La risposta giusta è la d)

12 Se un poligono ha tutti i lati uguali, ha necessariamente anche tutti gli angoli uguali? No, si veda ad esempio il rombo E se ha tutti gli angoli uguali, ha necessariamente anche tutti i lati uguali? No, si veda ad esempio il rettangolo

13 Quanto misurano gli angoli dei poligoni regolari? Cominciamo a considerare un poligono qualsiasi Se consideriamo un poligono di n lati e un punto P interno al poligono, possiamo congiungere P con i vertici del poligono e ottenere tanti triangoli quanti sono i lati n. Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto (π), se moltiplichiamo π per n otteniamo la somma degli angoli interni di un poligono più un angolo giro in P (2 π),

14 Quindi La somma angoli interni di un poligono è nπ 2π = π n 2 Se il poligono è regolare, i suoi n angoli sono uguali e allora, detta α n l ampiezza di uno di questi, si avrà π(n 2) α n = n Se misuriamo in gradi 180 (n 2) α n = n

15 Quanto misurano gli angoli di un triangolo equilatero (α 3 )? E di un quadrato (α 4 )? E di un pentagono (α 5 )? E di un esagono (α 6 )?

16 Studio degli angoli:letassellature Quali poligoni regolari possiamo usare per ricoprire un pavimento senza buchi?

17 Tassellatura con poligoni regolari Se vogliamo tassellare il piano con un solo poligono regolare, per evitare che si formino buchi, è necessario che la misura di uno dei suoi angoli (tutti uguali!!) sia un divisore di 360. Quindi avremo: 60 - Triangolo equilatero 90 - Quadrato Esagono regolare

18 Tassellature con più di un poligono regolare Esagono regolare + triangolo equilatero Quadrato + triangolo equilatero Esagono + triangolo equilatero + quadrato

19 Tabelle riassuntive

20 Tassellature con figure quasiasi E possibile tassellare il piano con figure qualsiasi? Non sempre: vedremo come tassellare il piano con triangoli e quadrilateri dopo aver parlato di simmetria. Questo argomento presenta molti legami con l architettura e l arte in genere: basta vedere le immagini in Per un attività didattica realizzata in I media (ma attuabile anche nella classe V della primaria) si veda il primo articolo di

21 Esempi di tassellature L Alhambra L alveare La Certosa di Calci Escher

22 A proposito di equiscomposizione. Il Tangram Le regole del gioco sono queste: Dovete usare tutti i 7 pezzi per formare un immagine. I pezzi si devono toccare ma non sovrapporre!! Gioco interattivo con il tangram Iniziamo a costruirlo

23 COSTRUZIONE DEL TANGRAM Il tangram si costruisce a partire da un foglio quadrato (dimensioni: mezzo DIN A4), da piegare e tagliare lungo la diagonale, formando due triangoli rettangoli isosceli Il primo dei due rettangoli viene piegato e tagliato lungo la mediana principale formando due triangoli isosceli rettangoli (le figure 1 e 2 del tangram). Tali figure possono essere analizzate e classificate. L'altro triangolo viene piegato e tagliato per la parallela all'ipotenusa passante per i punti medi dei cateti: si ottiene un triangolo rettangolo isoscele (figura 3 del tangram) e un trapezio isoscele. Il trapezio viene piegato e diviso lungo la mediana, a formare due trapezi rettangoli congruenti. Il primo trapezio viene diviso a fomare un quadrato (figura 4 del tangram) e un piccolo triangolo isoscele rettangolo (figura 6 del tangram). Il secondo trapezio viene piegato e diviso a formare un parallelogrammo (figura 5 del tangram) e un piccolo triangolo isoscele rettangolo (figura 7 del tangram).

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26 Cosa possiamo dire? Le figure sono formate dagli stessi «PEZZI» Definizione: Due poligoni si dicono EQUISCOMPONIBILI se possono essere scomposti nello stesso numero finito di poligoni tra loro congruenti Ma allora cosa hanno in comune? Hanno la stessa. ESTENSIONE Definizione: Due poligoni si dicono EQUIESTESI (o EQUIVALENTI) se sono equiscomponibili

27 Se due poligoni sono equiestesi allora sono congruenti? NO! Sono equiestesi ma non congruenti Se due poligoni sono congruenti allora sono equiestesi? SI! CONGRUENTI EQUIESTESI EQUIESTESI CONGRUENTI

28 Le due figure qui riprodotte sono equiscomponibili? Contiamo i quadretti..

29 Le due figure non sono per niente equiscomponibili (come sembrava). In realtà, se proviamo a scomporre il quadrato e quindi a ricomporlo per formare il rettangolo, compare una sottile fessura a forma di parallelogramma avente l area esattamente di un quadretto! In geometria occorre.. dimostrare

30 I due triangoli sembrano equiscomponibili ma non equistesi Possibile?? Potete vedere la soluzione (in forma di laboratorio per la I media) in Un quadretto in più o in meno nte_21.pdf

31 Dimostriamo che il parallelogramma ABDC è equiesteso al rettangolo EGDC Teorema. Ogni parallelogramma è equiesteso ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.

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33 Come sono il triangolo ABC e il rettangolo AEDB? Sono EQUIESTESI Dimostriamolo Teorema. Ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di ugual base e metà altezza

34 Come sono i triangoli in figura?

35 Teorema. Ogni trapezio è equiesteso ad un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza

36 Teorema. Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equiesteso ad un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza. Dimostrazione

37 Teorema. Ogni poligono di n lati è equiesteso ad un poligono di n-1 lati. n = 6 n = 5 Sono equiestesi? Dimostriamolo..

38 Un poligono con 6 lati Un poligono con 5 lati Un poligono con 4 lati È equiesteso Un poligono con 5 lati Un poligono con 4 lati Un poligono con 3 lati Ma ogni triangolo è equiesteso ad un.. Teorema. Ogni poligono è equiesteso ad un rettangolo.

39 Il (cosiddetto) Primo Teorema di Euclide Teorema. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equiesteso al rettangolo che ha per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. Dimostriamolo

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43 Traduzione dalla Geometria all Algebra Teorema. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equiesteso al rettangolo che ha per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. AC 2 = AH AB

44 Il teorema di Pitagora Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse aria da respirare, il quadrato dell ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Malba Tahan, Una perla pericolosa, in L uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996.

45 Pitagora (Samo 575 a.c. Metaponto 495 a.c) Il teorema di Pitagora è di Pitagora? Acusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti pratici della dottrina Matematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete

46 Il teorema di Pitagora è di Pitagora? Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I sec. a.c. di un attività scientifica (e matematica in particolare) di Pitagora Unica eccezione parrebbe il distico di Apollodoro Come quando Pitagora scoprì la famosa figura Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi Altra testimonianza importante è il seguente passo di Proclo:

47 Proclo Diadoco (V sec) In primum Euclidis Elementorum libri commentarii Se si crede a coloro che vogliono indagare gli avvenimenti antichi, si potrà anche trovare qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e che assicura che egli abbia sacrificato un bue dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia meravigliato di coloro che per primi hanno riconosciuto la verità del teorema, ammiro ancora di più l autore degli Elementi (Euclide, NdR) non solamente per la dimostrazione che ha provato definitivamente il teorema, ma anche per la generalizzazione che ne ha dato nel libro VI E dunque

48 Il teorema di Pitagora è di Pitagora? Proclo è scettico sull attribuzione a Pitagora del teorema Attribuisce esplicitamente la dimostrazione a Euclide Le fonti sembrano attestare a Pitagora o ai pitagorici una qualche scoperta matematica, ma non sono concordi su quale potesse essere. E improbabile che il teorema di Pitagora sia ascrivibile a Pitagora

49 Possiamo congetturare un attribuzione? Prima di tutto dobbiamo distinguere fra teorema e regola Il teorema è accompagnato da una dimostrazione (e questa è una caratteristica peculiare della matematica greca), mentre la regola non lo è necessariamente. Sotto questo aspetto, la «regola di Pitagora» era certamente nota fin da tempi molto antichi: certamente veniva usata nella civiltà babilonese. Abbiamo infatti alcune testimonianze:

50 Civiltà babilonese Abbiamo almeno quattro tavolette riconducibili alla «regola di Pitagora» 1. Tavoletta Yale 7289 (1900 a.c a. C.) 2. Tavoletta Plimpton Tavoletta di Susa 4. Tavoletta Tell Dhibayi

51 La dimostrazione del teorema Nel sito si possono trovare 92 dimostrazioni del Teorema di Pitagora non sono «da studiare». ;) Per chi non fosse ancora soddisfatto, veda Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa, 1968) 397 dimostrazioni

52 La dimostrazione del teorema Il caso del triangolo rettangolo isoscele si vede immediatamente

53 Il Menone di Platone Socrate. Coloro che se intendono chiamano questa linea diagonale sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l area doppia. Ragazzo Certamente, o Socrate

54 Il Teorema di Pitagora Teorema. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equiesteso alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. ATTENZIONE!! Per somma di quadrati intendiamo la figura formata dall unione dei due quadrati non sovrapposti

55 Dimostriamolo con il primo Teorema di Euclide

56 Byrne s edition

57 Dimostrazioni con figure equiscomponibili Dimostrazione di Henry Perigal

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59 Altra dimostrazione

60 Dimostrazione del Teorema Di Pitagora T T Q 2 T T T Q 1 Q 3 T T T Q Q Q 1 Q 2 T Q 3 Ma siamo proprio sicuri che Q 1 sia sempre un quadrato? O dipende dagli angoli di T? Non dovremmo DIMOSTRARLO per esserne davvero certi?

61 Formulazione algebrica del Teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo, indicata con c la lunghezza dell ipotenusa, e con a e b le lunghezze dei cateti si ha: c 2 = a 2 + b 2

62 Il Teorema di Pitagora nell arte = Piet Mondrain, Composizione con rosso blu e giallo,1930 Theo Van Doesburg, Controcomposizione V, 1924

63 Pare che il Teorema (o la regola?) di Pitagora fosse già noto anche in Cina ( a.c.) sotto il nome di Teorema Kou Ku Questo diagramma chiamato HSUAN-THU rappresenta quattro triangoli rettangoli aventi i lati di lunghezza 3,4 e 5 e un quadrato grande di lato 7.

64 Problemi tratti da Pier Maria Calandri, Aritmetica (1491)

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66 Abbiamo visto e dimostrato che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull ipotenusa è equiesteso ai quadrati costruiti sui cateti. E se costruissimo figure diverse dai quadrati? Il teorema continuerebbe a valere? Figura tratta da A.Cerasoli, Mr Quadrato, Sperling e Kupfer

67 Il teorema di Pitagora «generalizzato» Se sui cateti di un triangolo rettangolo costruiamo due figure simili (che si possono ottenere l una dall altra con ingrandimenti o rimpicciolimenti) e similmente poste allora la figura simile e similmente posta che si costruisce sull ipotenusa è equiestesa alle due precedenti

68 Su questo teorema si basano alcuni puzzle pitagorici interattivi (dalla mostra Pitagora e il suo teorema, agina.php) che si trovano alla pagina 1%20-%202/giochi.php

69 Il (cosiddetto) Secondo teorema di Euclide Teorema. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equiesteso al rettangolo che ha come lati le proiezioni dei due cateti sull ipotenusa.

70 Q 2 Q 2 Q 1 Q 3 Q 3 R Q 2 = Q 1 + Q 3 Q 2 = Q 3 + R Q 1 = Q 2 Q 3 R = Q 2 Q 3 Q 1 è equiesteso ad R

71 Formulazione algebrica del Secondo Teorema di Euclide Teorema. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equiesteso al rettangolo che ha come lati le proiezioni dei due cateti sull ipotenusa. CH 2 = AH HB

72 Dal Rettangolo al quadrato Il primo Teorema di Euclide permette di costruire, dato un rettangolo, un quadrato ad esso equiesteso. AL 2 = AD AB Ogni rettangolo è equiesteso ad un quadrato

73 Ogni poligono è equiesteso ad un rettangolo Ogni rettangolo è equiesteso ad un quadrato Ogni poligono è equiesteso ad un quadrato Definizione. L AREA di un poligono coincide con l area del quadrato ad esso equiesteso L AREA è un numero reale positivo. Tutti i poligoni equiestesi hanno la stessa area.

74 Ritroviamo le vecchie formule dell area di un triangolo - dell area di un parallelogramma - dell area di un trapezio - dell area di un poligono regolare di n lati.

75 Esercizi Si consideri un triangolo A i cui lati misurano 3 cm, 2 cm e 10 cm e un triangolo B i cui lati misurano 4 cm, 5 cm e 3 cm. Quale dei due triangoli non è costruibile e per quale motivo? Siano A, B, C i vertici del triangolo costruibile, che ora chiameremo ABC. Si può affermare con sicurezza che ABC è un triangolo rettangolo? Perché?

76 Esercizi In un quadrato ABCD di lato 10 cm è inscritto un quadrato LMNO. I segmenti DO, CN, BM e AL sono uguali fra loro e ciascuno di essi misura 2 cm. Quanto misura l area del quadrato LMNO? Il segmento OM divide il quadrato ABCD in due parti uguali? Perché? Che tipo di quadrilatero è AMOD? Quanto misura la sua area?

77 Esercizi Qual è l ampiezza di un angolo interno di un poligono regolare di dodici lati (dodecagono)? E possibile tassellare un piano usando dolo piastrelle a forma di dodecagono regolare? In caso negativo, si costruisca una tassellatura usando dodecagoni regolari e un altro (o altri) poligoni regolari.

78 Esercizi In figura è rappresentato il rettangolo ABCD con le sue diagonali. Qual è il rapporto tra il triangolo grigio e l intero rettangolo? Siano 1 cm e 3 cm le lunghezze dei lati del rettangolo: qual è la lunghezza della diagonale? Che tipo di numero è quello che rappresenta la lunghezza della diagonale? Può essere espresso in forma frazionaria? In che modo?

79 Materiale per l insegnamento 1. Un sito molto interessante è Matematita In particolare, viene proposto un laboratorio sulle forme geometriche per la scuola primaria 2. UMI - Matematica Nucleo: Lo spazio e le figure. Schede con attività per la scuola primaria /elementari.pdf

80 Riferimenti bibliografici Vinicio Villani, Cominciamo dal punto, Bologna, Pitagora 2006 R. Zan, Dispense geometria 14 maggio RMAZIONE%20POLO%20DI%20LIVORNO/MATEMATICA /Dispense_geometria_14maggio08.pdf