Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1
|
|
- Gabriele Mauri
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 SETTIMANA 9 (23 29 Novembre 2015) da consegnare Mercoledi 2 Dicembre. Esercizio 1. Sia E = (V,, ) uno spazio metrico finito dimensionale. sottospazio vettoriale di V. Dimostrare che V = W W ovvero che Sia W un Dedurre che dim W + dim W = dim V. V = W + W, e W W =. Soluzione 1. Poiché, é per ipotesi una forma bilineare definita positiva, per ogni vettore non nullo w V, w, w > 0. In particolare, nessun vettore non nullo puó essere ortogonale a se stesso, e quindi W W =. Dato comunque un vettore v V esso si scrive come v = P W (v) + (v P W (v)) dove P W : V V é la proiezione ortogonale su W. Poiché P W (v) W e (v P W (v)) W, concludiamo che V = W + W. Si poteva anche osserrvare che data una base ortogonale B 1 di W ed una base ortogonale B 2 di W, gli elementi di B 1 B 2 sono linearmente indipendenti essendo mutuamente ortogonali. Siccome W = Ker P W e W = Im P w, per la formula delle dimensioni si ha dim V = dim W + dim W e quindi la cardinalitá di B 1 B 2 é uguale alla dimensione di V e quindi B 1 B 2 é una base di V. Da questo segue subito che V = W W. Peró questo argomento richiede di aver giá dimostrato che la proiezione ortogonale é un applicazione lineare. Esercizio 2. Sia V = Mat n n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate n n. Dato un vettore A Mat n n la sua traccia é il numero Tr(A) := a + a a nn ottenuto sommando le entrate di A sulla diagonale principale. 1. Calcolare la traccia delle seguenti matrici Dimostrare che T r(a) = T r( t A), per ogni A Mat n n. 3. Dimostrare che T r : Mat n n R é un applicazione lineare e calcolare la dimensione del nucleo e dell immagine. 1
2 4. Dimostrare che T r(ab) = T r(ba), per ogni A, B Mat n n. 5. Dimostrare che se C Mat n n é una matrice invertibile, allora T r(c 1 AC) = T r(a), per ogni A Mat n n. Soluzione , 4, 8 2. Gli elementi diagonali di A sono esattamente gli elementi diagonali di t A. 3. T r(αa + βb) = n i=1 (αa + βb) ii = n i=1 (αa ii + βb ii ) = αt r(a) + βt r(b). Dato comunque x R la matrice A tale che A = x e A ij = 0 per ogni (i, j) (1, 1) soddisfa T r(a) = x. Per cui la traccia é un applicazione suriettiva. Ne segue che dim Im Tr = 1 e quindi dim Ker Tr = dim Mat n n 1 = n T r(ab) = n i=1 (AB) ii = n i=1 n j=1 (A ijb ji ) = n j=1 n i=1 (B jia ij ) = T r(ba). 5. T r(c 1 AC) = T r((ac)c 1 ) = T r(a(cc 1 )) = T r(a1 n ) = T r(a). Esercizio 3. Sia V = Mat n n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate n n. Si consideri l applicazione, : V V R definita da (la traccia della trasposta di A per B). A, B := Tr ( t AB) (1) 1. Dimostrare che l applicazione, appena definita é un prodotto scalare definito positivo su V (ovvero una forma bilineare simmetrica e definita positiva). 2. Sia W il sottospazio vettoriale di V composto di tutte le matrici di traccia nulla, ovvero W := Ker Tr. Trovare una base ortonormale di W e completarla ad una base ortonormale di V. Soluzione Grazie all esercizio 2 la forma cosi definita é un prodotto scalare. Infatti: 1) é simmetrica: A, B = T r( t AB) = T r( t ( t AB)) = T r( t BA) = B, A ; 2) é bilineare: essendo simmetrica basta dimostrare che é lineare nella seconda variabile: A, αb + γc = T r( t A(βB + γc)) = T r(β t AB + γ t AC) = βt r( t AB) + γt r( t AC) grazie alla linearitá della traccia; 3) é definita positiva: A, A = T r( t AA) = i Ai A i = i Ai 2 e per le proprietá della norma segue che A, A 0 per ogni A ed é uguale a zero se e solo se A = Abbiamo dimostrato nell esercizio 2 che dim W = n 2 1. La base standard C = {E ij i, j = 1, 2,, n} forma una base ortonomale per lo spazio metrico E = (V,, ). Infatti, la seguente formula segue subito dalla definizione (1): E ij, E kl = { 1 se Eij = E kl 0 altrimenti (2) Troviamo adesso una base ortogonale per W : gli elementi E ij con i j appartengono a W e sono in numero di n 2 n. Per completarli ad una base di W dobbiamo 2
3 quindi trovare n 1 elementi. E naturale scegliere matrici diagonali poiché esse sono ortogonali agli elementi E ij con i j. La scelta naturale degli E ii E i+1,i+1 non produce una base ortogonale. Consideriamo invece i seguenti elementi: s h s := E + E E ss se s+1,s+1 := E ii se s+1,s+1. al variare di s = 1, 2,, n 1. Ad esempio per n = 4 essi sono h 1 = h 2 = h 3 = i= Segue subito da (2) che gli elementi {h i i = 1, 2, n 1} sono mutuamente ortogonali. Quindi l insieme B W = {E ij i j} {h 1,, h n 1 } é una base ortogonale di W. Per renderla ortonormale, basta osservare che h s = s + s 2 e sostituire in B W gli elementi h i con i loro normalizzati h i := h i / h i ed ottenere cosi la base ortonormale B W := {E ij i j} { h 1,, h n 1 } di W. Per completare B W ad una base ortogonale di V basta aggiungere la matrice identitá 1 n. Per ottenere una base ortonormale, bisogna osservare che 1 n = n e quindi l insieme B W {1 n / n} é una base ortonormale di E. Esercizio 4. Sia E = (V,, ) uno spazio metrico finito dimensionale. Sia U V un sottospazio vettoriale di V. Consideriamo la proiezione ortogonale su U: essa é la funzione P U : V V che ad ogni vettore v V associa l unico vettore P U (v) U che ha distanza minima da v. (A lezione abbiamo visto come definire P U rispetto ad una base ortogonale di U). 1. Dimostrare che P U : V V é un applicazione lineare, e calcolarne nucleo e immagine; 2. Dimostrare che P U : V V é un endomorfismo autoaggiunto (o simmetrico) di E (ovvero P U (v), w = v, P U (w) per ogni v, w V ). 3. Dimostrare che P U + P U = id V. Soluzione Abbiamo dimostrato nell esercizio 1, che V = U U. Per cui dato comunque v V, esistono unici u U ed u U tale che v = u + u. La proiezione ortogonale P U : V V agisce su v come segue P U (v) = u. Quindi P U é ovviamente lineare. Un altro modo per dimostrare la linearitá di P U é il seguente: sia {u 1,, u k } una base ortonormale di U. Allora P U (v) = n i=1 v, u i u i e la linearitá di P U segue subito dalla linearitá sulla prima variabile del prodotto scalare,. Il nucleo di P U é U e l immagine é U. 2. Siano v 1 = u 1 + u 1 e v 2 = u 2 + u 2 due vettori di V (con u 1, u 2 U e u 1, u 2 U ). Allora P U (v 1 ), v 2 = u 1, u 2 + u 2 = u 1, u 2 = u 1 + u 1, u 2 = v 1, P U (v 2 ). 3. Siano v = u + u un vettore di V (con u U e u U ). Allora P U (v) = u e P U (v) = u per definizione. Per cui P U (v) + P U (v) = u + u = v per ogni v V e quindi P U + P U = id V. 3
4 Esercizio 5. Sia b : V V R una forma bilineare su uno spazio vettoriale V di dimensione n. Sia B = {v 1,, v n } una base di V e sia A Mat n n la matrice che rappresenta b nella base B. Sia B = {w 1,, w n } un altra base di V. Trovare la matrice che rappresenta b in questa nuova base B (Suggerimento: basta usare la definizione di matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base e la matrice di cambiamento di base). Come esempio, si consideri la base B = {(1, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} di e si consideri la forma bilineare b A dove A é la matrice: A := Trovare la matrice che rappresenta b A rispetto alla base B. Soluzione 5. Siano z 1 e z 2 due vettori di V e siano X 1 = F B (z 1 ) e X 2 = F B (z 2 ) i loro vettori di coordinate rispetto alla base B. Per definizione si ha b(z 1, z 2 ) = b A (X 1, X 2 ) := t X 1 AX 2. (3) Consideriamo adesso la matrice B di cambiamento di base da B a B : essa per definizione rende commutativo il seguente diagramma: V id V V F B F B R n S B R n per cui se Y 1 := F B (z 1 ) e Y 2 := F B (z 2 ) sono i vettori delle coordinate di z 1 e z 2 nella base B, si ha X 1 = BY 1 e X 2 = BY 2. Sostituendo in (3) si ha b(z 1, z 2 ) = t X 1 AX 2 = t (BY 1 )A(BY 2 ) = t Y 1 ( t BAB) Y 2. Per cui la matrice t BAB é la matrice che rappresenta la forma bilineare b nella base B. Nell esempio basta osservare che la matrice di cambiamento di base dalla base standard C di alla base B ha per colonne gli elementi di B per cui essa é B = La matrice che rappresenta b A nella base B é quindi t BAB = come si calcola facilmente. Esercizio 6. Sia E := (R 4, ) lo spazio euclideao standard di dimensione 4. Trovare una base ortonormale del sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori (1, 1, 1, 1), (5, 1, 1, 1) e ( 3, 3, 1, 3). 4
5 Soluzione 6. Poniamo v 1 := (1, 1, 1, 1), v 2 := (5, 1, 1, 1) e v 3 := ( 3, 3, 1, 3). Si vede facilmente, ad esempio attraverso una eliminazione di Gauss, che i tre vettori v 1, v 2 e v 3 sono linearmente dipendenti con relazione di dipendenza lineare v 3 = 2v 1 v 2. In particolare, il sottospazio che essi generano ha dimensione 2 ed ha come base B = {v 1, v 2 }. Ortogonalizziamo B: consideriamo il vettore w 2 = v 2 v 2 v 1 v 1 v 1 v 1 = v v 1 = v 2 v 1 = (4, 2, 0, 2). Esso é ortogonale a v 1. Una base ortonormale dello spazio generato da v 1 e v 2 é quindi data dai vettori e 1 ed e 2 definiti da e 1 := v 1 / v 1 = 1 2 v 1 e e 2 = w 2 / w 2 = w 2. Esercizio 7. Sia E = (V,, ) uno spazio metrico. Dimostrare che per ogni v, w V valgono le seguenti uguaglianze 1. v + w 2 + v w 2 = 2( v 2 + w 2 ); 2. v, w = 1 4 ( v + w 2 v w 2 ). Soluzione 7. Dalla bilinearitá e simmetria del prodotto scalare, si ha v + w 2 = v, v + 2 v, w + w, w e v w 2 = v, v 2 v, w + w, w. Le due uguaglianze richieste sono ovvie conseguenze di questo. Esercizio 8. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai vettori (1, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 0) e (1, 0, 0, 1). Trovare una base ortonormale B di W, rispetto al prodotto scalare standard di R 4. Estendere la base B di W ad una base ortonormale C di (R 4, ). Calcolare la matrice che rappresenta la proiezione ortogonale su W, sia nella base C che nella base canonica di R 4. Soluzione 8. W é il sottospazio vettoriale di R 4 di equazione cartesiana x 3 = 0. In altre parole W = Span{(0, 0, 1, 0)}. Una sua base é quindi data da B := {E 1, E 2, E 4 } che é anche ortonormale. Per completare B ad una base ortonormale di R 4, basta aggiungere il terzo vettore standard E 3 di R 4. Otteniamo la base C = {E 1, E 2, E 4, E 3 }. La matrice che rappresenta la proiezione ortogonale su W nella base C é quindi mentre nella base standard {E 1, E 2, E 3, E 4 } la matrice cercata é Esercizio 9. Sia B := { t (1, 1, 1), t (0, 1, 1), t (2, 1, 1)} un sottoinsieme di. Mostrare che gli elementi di B sono mutuamente ortogonali, rispetto al prodotto scalare standard di. Dedurne che B é una base ortogonale di (, ). Determinare le coordinate del vettore v = t (1, 2, 1) nella base B. 5
6 Soluzione 9. Poniamo v 1 := t (1, 1, 1), v 2 := t (0, 1, 1) e v 3 := t (2, 1, 1). Si verifica subito che gli elementi di B sono ortogonali a due a due (c era un errore di stampa nella versione precedente dell esercizio). In particolare sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di. Per trovare le coordinate del vettore v utilizziamo la formula dimostrata a lezione: v = v v 1 v 1 v 1 v 1 + v v 2 v 2 v 2 v 2 + v v 3 v 3 v 3 v 3 = 4 3 v v v 3 da cui deduciamo che il vettore delle coordinate del vettore v nella base B é ( 4 3, 1 2, 1 6 ). Esercizio 10. Sia W il sottospazio vettoriale di di equazione x y + 3z = 0. Scrivere la matrice che rappresenta la proiezione ortogonale su W rispetto al prodotto scalare standard di, nella base standard di. Soluzione 10. Ci sono diversi modi per risolvere questo esercizio, a seconda dei gusti. Cominciamo seguendo il piú veloce (ovvero quello che richiede di fare meno conti): una base per W é composta dai due vettori w 1 := (1, 1, 0) e w 2 := ( 3, 0, 1). Una base ortogonale di W é la seguente : v 1 = w 1 := (1, 1, 0) e v 2 = ( 3, 3, 2). Per completarla ad una base ortogonale di basta aggiungere il vettore (1, 1, 3) (che é il vettore dei coefficienti dell equazione che definisce W ). Normalizziamo questa base ortogonale e troviamo la base ortonormale B 0 = {e 1, e 2, e 3 } di, composta dai vettori e 1 := 1 2 (1, 1, 0), e 2 := 1 22 ( 3, 3, 2) ed e 3 := 1 (1, 1, 3). La matrice B 0 := 1/ 2 3/ 22 1/ 1/ 2 3/ 22 1/ 0 2/ 22 3/ che ha per colonne le coordinate dei vettori di questa base ortonormale é ortogonale, ovvero B0 1 = t B 0 (questo é il vantaggio di lavorare con basi ortonormali!). La matrice B 0 é la matrice di cambiamento di base dalla base standard C := {E 1, E 2, E 3 } di alla base B 0 ovvero rende commutativo il seguente diagramma 1 3 S B0 La matrice che rappresenta la proiezione ortogonale P W nella base B 0 é chiaramente la seguente A = Per trovare la matrice che rappresenta P W nella base C consideriamo il seguente diagramma 1 3 P W 1 3 S B0 S A S B0 6
7 da cui deduciamo che la matrice C che rappresenta P W nella base C é la seguente C := B 0 AB0 1 = B 0 A t B 0 = Si noti che non abbiamo dovuto fare praticamente nessun conto, a parte moltiplicare le matrici. Il secondo metodo consiste nel trovare una base ortogonale B di W e poi calcolare l inversa con Gauss Jordan: una base ortogonale di W é B := {v 1, v 2 } dove v 1 = (1, 1, 0) e v 2 = ( 3, 3, 2). Per completarla ad una base ortogonale di basta aggiungere il vettore v 3 := (1, 1, 3) (che é il vettore dei coefficienti dell equazione che definisce W ). La matrice B := che ha per colonna questi vettori, é la matrice di cambiamento di base dalla base standard C := {E 1, E 2, E 3 } di alla base B ovvero rende commutativo il seguente diagramma 1 3 S B La matrice che rappresenta la proiezione ortogonale P W nella base B é chiaramente la seguente A = Per trovare la matrice che rappresenta P W nella base C consideriamo il seguente diagramma 1 3 P W 1 3 S B S A S B da cui deduciamo che la matrice C che rappresenta P W nella base C é C := BAB 1. Calcoliamo B 1 con Gauss Jordan: /2 1/ /22 3/22 1/ / 1/ 3/ e deduciamo che B 1 = 1/2 1/2 0 3/22 3/22 1/ 1/ 1/ 3/ 7
8 Calcoliamo quindi C C = BAB 1 = Il terzo metodo é il piú brutale di tutti e consiste nel calcolare le coordinate delle tre proiezioni ortogonali P W (E 1 ), P W (E 2 ) e P W (E 3 ) nella base standard C = {E 1, E 2, E 3 }. Per calcolare le proiezioni ortogonali utilizziamo la formula vista a lezione: costruiamo una base ortogonale di W, ad esempio la base B = {v 1, v 2 } dove v 1 := (1, 1, 0) e v 2 := ( 3, 3, 2). Si ha P W (E 1 ) = E 1 v 1 v 1 + E 1 v 2 v 2 = 1 v 1 v 1 v 2 v 2 2 v v 2 = 1 (10, 1, 3) P W (E 2 ) = E 2 v 1 v 1 + E 2 v 2 v 2 = 1 v 1 v 1 v 2 v 2 2 v v 2 = 1 (1, 10, 3) P W (E 3 ) = E 3 v 1 v 1 + E 3 v 2 v 2 = 0v v 1 v 1 v 2 v 2 22 v 2 = 1 ( 3, 3, 2) La matrice C che ha questi tre vettori per colonne é la matrice che rappresenta P W nella base C: C =
A = e 1 = e 2 + e 3, e 2 = e 1 + e 3, e 3 = e 1, ; e 3 =
aa -6 Soluzioni Esercizi Applicazioni lineari Sia data l applicazione lineare F : R R, F X A X, dove A i Sia {e, e, e } la base canonica di R Far vedere che i vettori e e + e, e e + e, e e, formano una
DettagliAlgebra Lineare. a.a Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni del compito pomeridiano del 6/12/2004
Algebra Lineare. a.a. 004-05. Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni del compito pomeridiano del 6/1/004 Esercizio 1. Siano V e W due spazi vettoriali e sia F : V W un isomorfismo (quindi F è lineare e
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 9
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9 Esercizio Sia (V,, ) uno spazio metrico Si mostri che se U V, v V, p U la proiezione ortogonale su U, allora v p U (v) U Soluzione: Il vettore v si scrive in modo unico
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007
ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala
DettagliEsercizi svolti. delle matrici
Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa
DettagliLe risposte vanno giustificate con chiarezza. 1) Nello spazio vettoriale V delle matrici 2 2 a coefficienti reali, considera le matrici A 1 = , A 4 =
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica Esame di Geometria 1 con Elementi di Storia Prof. F. Tovena 30 gennaio 2015 Le risposte vanno giustificate con chiarezza. 1 Nello
DettagliF x 1 = x 1 + x 2. 2x 1 x 2 Determinare la matrice C associata a F rispetto alla base canonica (equivalentemente,
Corso di Laurea in Fisica. Geometria 1. a.a. 2006-07. Gruppo B. Prof. P. Piazza Esonero del 1/12/06 con soluzione Esercizio. Spazio vettoriale R 2 con base canonica fissata e coordinate associate (x 1,
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 8
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 8 Esercizio. Si consideri il sottospazio U = L v =, v, v 3 =. (a) Si trovino le equazioni cartesiane ed una base ortonormale di U. (b) Si trovi una base ortonormale di
DettagliGeometria BAER A.A. Canale I Foglio esercizi 4
Geometria BAER A.A. Canale I Foglio esercizi 4 Esercizio. Si trovino basi degli spazi delle soluzioni dei seguenti sistemi lineari Soluzione: Sol(S ) = L[ x + 3x x 3 + 5x 4 = S : x + 3x x 3 + x 4 = S x
DettagliSapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.
Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si
DettagliSoluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente
1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F
DettagliATTENZIONE: : giustificate le vostre argomentazioni! Geometria Canale 3. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A.
Geometria Canale. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A. Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio 1 7 2 6 6 4 6+1 5 6+2 Totale 1+ ATTENZIONE:
DettagliT (a) La matrice associata alla trasformazione lineare T rispetto alle basi canoniche è semplicementre A = 1 1 5
8 Analogamente, T 0 = 6 4 5 4 2. (a) La matrice associata alla trasformazione lineare T rispetto alle basi canoniche è semplicementre 4 A = 5 C AB = 4 cioé la matrice dei coefficienti delle espressioni
DettagliGeometria Prova scritta, appello unico, sessione autunnale Corso di laurea in fisica A.A 2017/2018 Canali A C, e L Pa
Geometria Prova scritta, appello unico, sessione autunnale Corso di laurea in fisica A.A 27/28 Canali A C, e L Pa Durata: 2 ore e 3 minuti Simone Diverio Alessandro D Andrea Paolo Piccinni 7 settembre
Dettaglix 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x 1 + x 3
a.a. -6 Esercizi. Applicazioni lineari. Soluzioni. Sia : R 4 R 4 l applicazione lineare data da e siano dati i sottospazi + x ( x ) = +, + x 4 + x 4 U = span{, } W = span{, }. (i) Determinare ker e dire
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 4: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Esercizio. Sono dati i seguenti sistemi lineari omogenei nelle incognite x, y, z: { x + y z = x + y z = x + y z = S : x y + z =, S :, S 3 : x 3y =,
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
Dettagli2. Determinare le dimensioni dei seguenti sottospazi W ed esibirne due basi basi diverse, quando è possibile:
aa 5-6 Esercizi 5 Basi dimensione e coordinate Soluzioni Apostol: Sezione 5 Esercizi 6a 7 8 9 Determinare le dimensioni dei seguenti sottospazi W ed esibirne due basi basi diverse quando è possibile: i
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliCapitolo 3 Matrici. Marco Robutti. Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia. Anno accademico
Capitolo 3 Matrici Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare Definizione (Matrice) Una matrice A M R (k, n) è
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio 2016)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio 206) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Al variare del parametro α R, si considerino la retta { x + y z = r : 2x + αy + z = 0 ed
DettagliCorso di Laurea in Fisica. Geometria 1. a.a Gruppo B. Prof. P. Piazza Soluzioni compito a casa del 17/11/06 B =
Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 26-7. Gruppo B. Prof. P. Piazza Soluzioni compito a casa del 7//6 Soluzione esercizio. Sia B {e, e 2 } e sia B {v, v 2 }. La matrice B del cambiamento di base
DettagliCapitolo 5 Applicazioni lineari Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare. Marco Robutti
Capitolo 5 Applicazioni lineari Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 27 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti: Data un
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
DettagliRegistro dell insegnamento. Facoltà Ingegneria... Insegnamento GEOMETRIA... Settore Mat03... Corsi di studio Ingegneria Meccanica (M-Z)...
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Registro dell insegnamento Anno Accademico 2014/2015 Facoltà Ingegneria...................................... Insegnamento GEOMETRIA............................. Settore Mat03...........................................
Dettaglidipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?
Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2,
DettagliSPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:
SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione:
DettagliSPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo
Dettaglia + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d
SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,
DettagliCompito di MD A.A. 2013/14 4 Settembre 2014
Compito di MD A.A. 3/4 4 Settembre 4 IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non saranno valutate risposte prive
DettagliAlgebra lineare e geometria AA Esercitazione del 14/6/2018
Algebra lineare e geometria AA. 2017-2018 Esercitazione del 14/6/2018 1) Siano A, B due matrici n n tali che 0 < rk(a) < rk(b) = n. (a) AB è invertibile. (b) rk(ab) = nrk(b). (c) det(ab) = det(a). (d)
Dettagli1 o ESONERO DI ALGEBRA (Studenti di Informatica canale D Andrea) 10 Novembre 2014 Soluzione
1 o ESONERO DI ALGEBRA (Studenti di Informatica canale D Andrea) 10 Novembre 2014 Soluzione 1. Scrivere la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da T (x, y, z) (2x + y z, 3y +
DettagliEsercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3.
Esercizi. Soluzioni.. Siano dati i vettori,, R. (i) Far vedere che formano una base di R. (ii) Ortonormalizzarla col metodo di Gram-Schmidt. (iii) Calcolare le coordinate del vettore X = 5 Sol. (i) Usiamo
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria 1 che ho tenuto presso la
DettagliESAMI DI MATEMATICA DISCRETA 2009/2010
ESAMI DI MATEMATICA DISCRETA 2009/2010 09/06/2009 (1) In R 4 si considerino il sottospazio vettoriale W k = Span{(2, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (k, 1, 0, 1)} e il sottospazio vettoriale U dato da tutti i
DettagliAlgebra delle matrici
Algebra delle matrici Metodo di Gauss-Jordan per l inversione di una matrice. Nella lezione scorsa abbiamo visto che un modo per determinare l eventuale inversa di una matrice quadrata A consiste nel risolvere
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 5
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 5 Esercizio. Si considerino i sottospazi di R 4 : E = L[v =, v = Si trovi una base di E F. ] F = L[w = 3, w = 4, w 3 = Soluzione: Osserviamo che w 3 = w + w, dunque
Dettagli13 febbraio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
febbraio 0 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 0-0 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati
DettagliAlgebra lineare. Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica. Pierluigi Amodio
Algebra lineare Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari pierluigi.amodio@uniba.it http://dm.uniba.it/ amodio A.A. 2016/17 P.
DettagliGeometria Appello I Sessione Invernale Corso di laurea in fisica A.A 2018/2019 Canali A C, L Pa, Pb Z
Geometria Appello I Sessione Invernale Corso di laurea in fisica A.A 8/9 Canali A C, L Pa, Pb Z Durata: ore e 3 minuti Alessandro D Andrea Simone Diverio Paolo Piccinni Riccardo Salvati Manni 5 giugno
DettagliAlgebra e Geometria 2 per Informatica Primo Appello 23 giugno 2006 Tema A W = { A M 2 (R) A T = A }
Algebra e Geometria per Informatica Primo Appello 3 giugno 6 Tema A Sia M (R lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti reali Sia W = { A M (R A T = A } il sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche
DettagliGeometria A. Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 2017/ Maggio 2018 Prova Intermedia
Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Maggio 8 Prova Intermedia Il tempo per la prova è di ore. Durante la prova non è permesso l uso di appunti e libri. Esercizio
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
DettagliProdotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali
CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5
DettagliEsercizi di Geometria 1 - Foglio 3bis
Esercizi di Geometria - Foglio 3bis Alessandro Rubin (alex.rubin@outlook.com) Si ringrazia Ricardo Tzantzoglou per il codice L A TEX condiviso dicembre 7 Esercizio. Sia f : V W un applicazione e G = {(v,
Dettagli11 settembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
Dettagli11 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 9
Geometria BAER Canale I Esercizi 9 Esercizio 1. Si trovi la matrice del prodotto standard di R 3 rispetto alle basi B = (2, 0, 1) t, (1, 0, 2) t, (1, 1, 1) t } e D = (2, 2, 1) t, ( 1, 2, 2) t, (2, 1, 2)
Dettagli[Si può fare una dimostrazione valida per ogni scelta di u, che sfrutti solo la linearità del prodotto scalare]
Università di Bergamo Anno accademico 20182019 Primo anno di Ingegneria Foglio 7 Geometria e Algebra Lineare Sottospazi, basi e dimensione Esercizio 7.1. Sia u = (1, 1, 1) e si consideri il sottoinsieme
DettagliEsercizi proposti. Si dica quali dei precedenti sono sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale quadrate di ordine n.
Esercizi proposti 1. astratti 1.1 Si consideri lo spazio R [x] dei polinomi nella variabile x con coefficienti reali. Si dica se il suo sottoinsieme S formato dai polinomi privi del termine di grado 2
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione.
DettagliRango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli
Rango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli Sappiamo che a una matrice m n, A, è associata l applicazione lineare L A : R n R m, L A (X) = AX, X R n. Definizione 1. Lo spazio nullo di A, N (A), è
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Richiami di Algebra Lineare Eduardo Rossi Università degli Studi di Pavia Corso di Econometria Marzo 2015 Rossi Algebra Lineare 2015 1 / 41 Vettori Prodotto interno a : (n 1) b : (n 1) a b = a 1 b 1 +
Dettaglir 2 r 2 2r 1 r 4 r 4 r 1
SPAZI R n 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x, y, z)
DettagliIstituzioni di Matematica I. Esercizi su sistemi lineari. & % x + y " #z = "1 & '#x " y+ z =1
Istituzioni di Matematica I Esercizi su sistemi lineari Esempio. Dire per quali valori di λ R il sistema x " y+ z = 2 % x + y " z = " x " y+ z = ha una sola soluzione, per quali nessuna, per quali infinite
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
Dettagli19 settembre Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliFattorizzazione QR e matrici di Householder
Fattorizzazione QR e matrici di Householder ottobre 009 In questa nota considereremo un tipo di fattorizzazione che esiste sempre nel caso di matrici quadrate non singolari ad entrate reali. Definizione
DettagliNOME COGNOME MATRICOLA CANALE
NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. R. Sanchez - T. Traetta - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica
DettagliGeometria Appello I Sessione Invernale Corso di laurea in fisica A.A 2018/2019 Canali A C, L Pa, Pb Z
Geometria Appello I Sessione Invernale Corso di laurea in fisica A.A 208/209 Canali A C, L Pa, Pb Z Durata: 2 ore e 30 minuti Alessandro D Andrea Simone Diverio Paolo Piccinni Riccardo Salvati Manni 2
DettagliEsercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre
Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre SETTIMANA 4 (19 25 Ottobre) Matrici elementari Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang. Esercizio
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
DettagliCapitolo 8 Forme quadratiche e loro applicazioni Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare. Marco Robutti
Capitolo 8 Forme quadratiche e loro applicazioni Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 2017 1 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti
DettagliCORSO DI MATEMATICA II Prof. Paolo Papi ESERCIZI. 1). Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali. (a) V = R 3.
CORSO DI MATEMATICA II Prof Paolo Papi ESERCIZI ) Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali (a) V = R 3 () W = {(x,,x 3 ) x,x 3 R} (2) W 2 = {(x,,x 3 ) x,x 3 R} (3) W 3
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 3
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 3 Esercizio. Discutere le soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite,, z al variare del parametro k. 3 + kz = k k + 3z = k k + z = Soluzione: Il determinante
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni
Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}) 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 11
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi Esercizio. Scrivere la matrice delle seguenti trasformazioni ortogonali del piano (a Proiezione ortogonale sulla retta x + y = (b Rotazione di π/4 seguita da riflessione
DettagliParte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale
Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 10
Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
Dettagli12 dicembre Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
1 dicembre 005 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 005-006 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti
DettagliEsercitazioni di Geometria A: spazi euclidei
Esercitazioni di Geometria A: spazi euclidei 9-10 marzo 2016 Esercizio 1 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K = R e si consideri una base B = {e 1, e 2, e 3 }. Si consideri la matrice a coefficienti
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da
DettagliEsercizi di Geometria Spazi vettoriali e sottospazi - indipendenza lineare
Esercizi di Geometria Spazi vettoriali e sottospazi - indipendenza lineare 1. Quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi di R 3? Motivare la risposta. (a) {(x, y, 1) x, y R} (b) {(0, y, 0) y R} (c)
DettagliAlgebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Quarto scritto
Algebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Quarto scritto LUGLIO 8 Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio 6.5 6.5 3 6.5 4 6.5 5 6.5 otale 3 Occorre motivare le risposte. Una soluzione
DettagliA.A GEOMETRIA CDL IN INGEGNERIA MECCANICA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CIVILE ED INDUSTRIALE SOLUZIONI TEST 4
A.A.8-9 GEOMETRIA CDL IN INGEGNERIA MECCANICA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CIVILE ED INDUSTRIALE SOLUZIONI TEST 4 Esercizio (). Sia γ la conica di equazione: γ : x xy + y + 8x + =. (a) Verificare che la conica
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 11
Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
Dettagli8 luglio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
8 luglio 015 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 014-015 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 2017-2018 Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI 1. Determinare, utilizzando esclusivamente operazioni elementari,
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5
pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x
Dettagli25 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliALGEBRA LINEARE: LEZIONI DAL 10 AL 18 OTTOBRE
ALGEBRA LINEARE: LEZIONI DAL 10 AL 18 OTTOBRE Sommario delle lezioni 10 Ott: Lezione 4. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Sottospazio generato da un numero finito
DettagliComplemento ortogonale e proiezioni
Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 011-01 Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI 1. Per h, k R si consideri il sistema lineare kx 1 + hx + X 4 = 1
DettagliProdotto scalare. Piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Prodotto scalare in R n. Piani nello spazio. 19 Dicembre 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio 2
DettagliEsercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 19 Ottobre
Esercizi Di Geometria (BAER Canale Da consegnare Lunedi 9 Ottobre SETTIMANA 3 (2 8 Ottobre Moltiplicazione di matrici Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang Esercizio
DettagliCapitolo 7 Struttura metrica in R n Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare. Marco Robutti
Capitolo 7 Struttura metrica in R n Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 27 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti: Data
DettagliUniversità di Pisa - Ingegneria Meccanica Geometria e Algebra Lineare 2009/2010. Soluzioni esercitazione 11/11/2009
Università di Pisa - Ingegneria Meccanica Geometria e Algebra Lineare 29/2 Soluzioni esercitazione //29 Esercizio. Risolvere, al variare del parametro reale λ, il seguente sistema lineare: x 2 y z = λ
DettagliNozioni e notazioni: concetti primitivi di insieme, elemento ed appartenenza.
Geometria I lezione del 30 settembre 2013 Presentazione del corso. Nozioni e notazioni: concetti primitivi di insieme, elemento ed appartenenza. Insiemi numerici: i numeri naturali, gli interi, i numeri
DettagliSoluzione facsimile 2 d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI
Soluzione facsimile d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 00-004 COGNOME......................................... NOME......................................... N. MATRICOLA................
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA PRIMO APPELLO, 15 GIUGNO 2010 VERSIONE A. 1 a 1. 0 a a 2
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA PRIMO APPELLO, 5 GIUGNO 2 VERSIONE A Esercizio Al variare del parametro reale a, si consideri l endomorfismo : R R definito dalle condizioni: a a a 2 a a 2 =,
DettagliErrata corrige. p. 10 riga 5 del secondo paragrafo: misurare
Errata corrige p. 9 esercizio 5. Modificare testo dell esercizio come segue: Dati una retta r e un punto P, esistono infiniti piani per P paralleli a r: si tratta dei piani che contengono la retta s per
Dettagli5 settembre Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA) PROVA SCRITTA DEL 4 LUGLIO 2000 Tempo assegnato: 2 ore e 30 minuti
ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA (PROF ACCASCINA) PROVA SCRITTA DEL 4 LUGLIO 000 Tempo assegnato: ore e 30 minuti PRIMO ESERCIZIO [7 punti] 1 Dimostrare che, per ogni naturale n, ciascuna
Dettagli