Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Ingegneria

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1 Analisi e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Esercizi Funzioni. Calcolare la derivata delle funzioni: (a f( = ln tg cos sin (b f( = + ln( + +. Dimostrare che la funzione è costante a tratti. 3. Mostrare che l equazione f( = arctan + + arctan + + e = 0 + e possiede almeno una soluzione nell intervallo [0, ]. 4. Mostrare che la funzione f( = ( + e + e possiede esattamente uno zero sull intervallo [0, ]. 5. Sia f : R R la funzione definita da (a Studiare la funzione f. (b Determinare l immagine di f. f( = (c Stabilire se i punti di flesso di f sono allineati. (d Scrivere l equazione della retta tangente per = e per =. (e Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di secondo Peano. f, con resto. Sia f : R R la funzione definita da f( = (a Mediante la definizione, dimostrare che f è decrescente sull intervallo (0, +. (b Dimostrare che l immagine f(i dell intervallo I = [, ] è in intervallo chiuso e limitato. (c Determinare l immagine di f.

2 7. Sia f : R R la funzione definita da f( = e + 4 e +. (a Studiare la funzione f (senza studiare la derivata seconda. (b Determinare l immagine di f. (c Determinare (se esistono l estremo inferiore e l estremo superiore di f. (d Dimostrare che l equazione f( + ( e = 0 possiede almeno una soluzione sull intervallo [0, ]. (e Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di secondo Peano. 8. Sia f : R R la funzione definita da (a Studiare la funzione f. (b Determinare l immagine di f. e arctan +. (c Determinare (se esistono l estremo inferiore e l estremo superiore di f. (d Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di secondo Peano. (e Calcolare il limite 9. Sia f : R R la funzione definita da (a Studiare la funzione f. (b Determinare l immagine di f. f( e L = lim 0 f( e cos. f( = + +. (c Determinare (se esistono l estremo inferiore e l estremo superiore di f. (d Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di secondo Peano. (e Calcolare il limite 0. Studiare la funzione f : R R definita da. Sia f : R R la funzione definita da (a Studiare la funzione f. f( e + sin L = lim 0 f( e + ln( + 5. f( = +, f( = e artg. f, con resto f, con resto f, con resto

3 (b Determinare l immagine I di f. (c Stabilire se la funzione f : R I è invertibile. In caso affermativo, disegnare il grafico della funzione inversa f : I R e stabilire i punti in cui la funzione f è derivabile. Infine, calcolare (se esiste f ( 0, dove 0 = f( 0 e 0 =. (d Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al terzo ordine di f, con resto secondo Peano. (e Calcolare il limite. Studiare la funzione f : R R definita da 3. Sia f la funzione definita da L = lim 0 f( cos sin ln( f(. f( = e +. f( = 3 ln( 3. (a Determinare il campo di esistenza di f. (b Dimostrare che l immagine di f è un intervallo chiuso e limitato. (c Studiare la funzione f (senza studiare la derivata seconda. (d Dedurre il numero minimo di punti di flesso della funzione f. (e Determinare l immagine di f. 4. Sia f : [0, + R la funzione definita da + ln f( = ln per > 0 α per = 0. (a Dimostrare che la funzione è ben definita per ogni > 0. (b Determinare il valore del parametro α in modo che la funzione f (da destra nel punto 0 = 0. sia continua (c Stabilire se esistono dei valori del parametro α in corrispondenza dei quali la funzione f è derivabile (da destra nel punto 0 = 0. (d Studiare la funzione f (senza studiare la derivata seconda. (e Dedurre il numero minimo di punti di flesso della funzione f. (f Determinare l immagine di f. (g Determinare l immagine dell intervallo I = [e, +. 3

4 Soluzioni. (a Usando le proprietà delle derivate, si ha ossia f ( = = 4 = 4 = ( ln tg tg cos sin cos cos sin cos ( cos sin sin 3 sin cos sin 4 + = sin + + cos sin 3 = sin + + cos sin 3 = sin 3, f ( = sin 3. sin cos sin 3 + cos sin 3 (b tenuto conto che la funzione è definita per 0, si ha ossia f ( = = = = ( , f ( = + = +.. La funzione f è definita solo per ±. Pertanto, il suo campo di esistenza D = (, (, (, + si spezza in tre intervalli disgiunti. La derivata prima di f è f ( = 0 per ogni D. Pertanto, la funzione f è costante su ognuno dei tre intervalli in cui D si spezza. Poiché f(0 = artg = π e lim f( = lim f( = π ( +, si ha f( = { π per < < π per <, >. 4

5 3. Consideriamo la funzione F : [0, ] R definita da F ( = + e. + e Tale funzione è continua. Inoltre, si ha F (0 = > 0 e F ( = e +e = +e e < 0. Quindi, per il teorema degli zeri, la funzione F possiede almeno uno +e zero sull intervallo (0,, ossia l equazione F ( = 0 possiede almeno una soluzione nell intervallo (0,. 4. La funzione f : [0, ] R è continua. Inoltre, si ha f(0 = > 0 e f( = ( e +e < 0. Quindi, per il teorema degli zeri, la funzione f possiede almeno uno zero sull intervallo (0,. Poiché la derivata prima di f è f ( = (4 + + e e ( + e, la funzione f è strettamente decrescente su tutto l intervallo [0, ]. Di conseguenza, f possiede esattamente uno zero sull intervallo (0,. 5. (a i. Segno di f : poiché il numeratore e il denominatore sono sempre positivi, si ha f( 0 per ogni R. In particolare, f(0 =. ii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim f( = 4. ± Pertanto, la funzione ammette la retta di equazione = 4 come asintoto orizzontale per ±. iii. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = 3( + ( +. La funzione è derivabile su tutto R. iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 sse + 0 sse 0 sse +. Pertanto, la funzione possiede un minimo (assoluto per = e un massimo (assoluto per = + (. Più precisamente, il massimo è m (, 5 3 e il massimo è M +, 5+3. v. Derivata seconda di f : si ha f ( = ( ( + 3 = ( + ( 4 + ( + 3. vi. Segno della derivata seconda, concavità e flessi di f : si ha f ( 0 sse ( + ( sse 3 o + 3. Quindi, la funzione presenta concavità rivolta verso l alto per < < 3 o > + 3, mentre presenta concavità rivolta verso il basso per < o 3 < < + 3. Infine, la funzione possiede tre punti di flesso, dati da F (, e F,3 ( 3,

6 vii. Grafico di f : 4 F 3 F F (b L immagine di f è Imf = [ ] 5 3, (c L equazione della retta che passa per i due punti F ed F 3 è ossia ( 3 = ( + 3 ( = 0. Poiché anche il punto F (, appartiene a questa retta, i tre flessi della funzione sono allineati. 4 F 3 F F (d L equazione della retta tangente in 0 è = f( + f ( 0 ( 0. Quindi, le due rette tangenti richieste sono: per 0 = : = per 0 = : = 3 ( ossia = 0 ( + ossia = 0. (e Lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di f, con resto secondo Peano, è f( = f(0 + f (0 + f (0 + o(. Poiché f(0 =, f (0 = 3 e f (0 =, si ha f( = o(.

7 . (a Per ogni, > 0, si ha f( f( (poiché è crescente (8 + ( + (8 + ( ( 0 ( + ( 0 0 (poiché, > 0. Abbiamo così dimostrato che per ogni, > 0, se, allora f( f(. Pertanto, f è decrescente sull intervallo (0, +. (b Poiché f è una funzione continua e I è un intervallo chiuso e limitato, anche l immagine f(i è in intervallo chiuso e limitato (per il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi. (c La funzione f è pari e positiva, possiede un massimo nel punto M (0,, non possiede punti di minimo e ammette la retta = / come asintoto orizzontale per ±. Il grafico della funzione è Pertanto Imf = (, ]. 7. (a i. Segno di f : si ha f( 0 per ogni R. In particolare, f(0 =. ii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim f( = e lim f( = +. Pertanto, la funzione ammette la retta di equazione = come asintoto orizzontale per e ammette la retta di equazione = come asintoto orizzontale per +. iii. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = ( e (4e +. La funzione è derivabile su tutto R. 7

8 iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 sse ( 0 sse 0. Pertanto, la funzione possiede un minimo (assoluto per = 0 e un massimo (locale per =. Più precisamente, il massimo è m ( 0, ( e il massimo è M, e +. Si e + e noti che + e + <. v. Grafico di f : (b L immagine di f è Imf = [,. (c L estremo inferiore di f coincide con il suo valore minimo superiore è., mentre l estremo (d Consideriamo la funzione F : [0, ] R definita da F ( = f( + ( e. La funzione F è continua e F (0 = < 0 e F (0 = f( > 0. Per il teorema degli zeri, esiste almeno un punto 0 (0, tale che F ( 0 = 0, ossia tale che f( 0 + ( 0 e 0 = 0. (e Lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di f, con resto secondo Peano, è f( = f(0 + f (0 + f (0 + o(. La derivata seconda di f è f ( = (4( 4 + e e (4e + 3. Pertanto, si ha f(0 = /, f (0 = 0, f (0 = /4 e f( = o(. 8. (a i. Segno di f : si ha f( 0 per ogni R. In particolare, f(0 =. ii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim f( = 0. ± Pertanto, la funzione ammette la retta di equazione = 0 come asintoto orizzontale per ±. iii. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = ( eartg ( +. La funzione è derivabile su tutto R. iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 sse 0 sse /. Pertanto, la funzione possiede ( un massimo (assoluto per = /. Più precisamente, il massimo è M, 4 5 eartg. 8

9 v. Derivata seconda di f : si ha f ( = ( e artg ( + 3. vi. Segno della derivata seconda, flessi e concavità di f : si ha f ( 0 sse 0 sse 3 5 o Pertanto, la concavità è rivolta verso l alto per < 3 5 o per > 3+ 5, ed è rivolta verso 3 5 il basso per < < In particolare, si hanno i punti di flesso ( F, 3 5, 0 5 e 3 5. vii. Grafico di f : 4 5 earctan F F (b L immagine di f è Imf = 3 5 ( 0, 4 5 eartg ] (c L estremo inferiore di f è 0, mentre l estremo superiore coincide con il suo valore massimo 4 5 eartg. (d Lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di f, con resto secondo Peano, è f( = f(0 + f (0 + f (0 + o(. Poiché f(0 =, f (0 = e f (0 =, si ha f( = + + o(. (e Per 0, si ha f( e = + + o( ( o( Pertanto, si ha = + + o( + o( = + o( f( e cos = = + + o( ( + + o( ( + o( = + + o( + o( + + o( = + o(. + o( L = lim 0 + o( = lim + o( 0 + o( =. 9

10 9. (a i. Simmetrie: la funzione è pari. Basta studiarla per 0. ii. Segno di f : si ha f( 0 per ogni R. In particolare, f(0 =. iii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha Inoltre, si ha m = q = f( lim + = lim + lim (f( = lim + = lim + lim f( = = + ( = lim ( + + o( / = lim = lim + o( = lim + o( = Pertanto, la funzione ammette la retta di equazione = come asintoto obliquo per +. Per simmetria, ammette anche la retta di equazione = come asintoto obliquo per. iv. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = ( 4 ( + 3/. La funzione è derivabile su tutto R. v. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 sse ( 4 0 sse 0 e. Pertanto, la funzione possiede un massimo (locale per = 0 e due minimi 8assuluti per = ±. Più precisamente, il massimo è M (0, e i minimi sono m, (±, 5. vi. Derivata seconda di f : si ha f ( = 4 ( + 5/. vii. Segno della derivata seconda, flessi e concavità di f : si ha f ( 0 sse 4 0 sse o. Pertanto, la concavità è rivolta verso l alto per < o >, ed è rivolta verso il basso per (, 4 <. In particolare, si hanno i punti di flesso F, viii. Grafico di f : <

11 F F 5 (b L immagine di f è Imf = [ 5, +. (c L estremo inferiore di f coincide con il suo valore minimo 5, mentre l estremo superiore non esiste, essendo la funzione superiormente illimitata. (d Lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di f, con resto secondo Peano, è f( = f(0 + f (0 + f (0 + o(. Poiché f(0 =, f (0 = 0 e f (0 = 4, si ha (e Per 0, si ha f( e + sin = = ( + o( f( = + o(. ( o( + ( + o( = + o( 3 + o( + + o( = 5 + o( f( e + ln( + 5 = = ( 8 + o( ( o( Pertanto, si ha + ( + o( 5 = 8 + o( + o( + + o( 5 = 9 + o(. 5 + o( L = lim o( = lim 5 + o( o( = (a Segno di f : f( 0 sse + sse 0 e + 4 sse 0 e 3 sse 3. In particolare, f(0 =.

12 (b Limiti agli estremi e asintoti: poiché lim f( = lim f( = + lim + (non ci sono forme di indeterminazione = +, la funzione non possiede asintoti orizzontali. Tuttavia, poiché ( f( m = lim = lim + ( + = lim + + = 3 q = lim (f( m = lim ( + = lim + = 0, la funzione f ammette la retta di equazione = 3 come asintoto obliquo per. Analogamente, poiché ( f( m = lim + = lim ( + = lim = q = la funzione f +. lim (f( m = lim + ( + = + lim = 0, ammette la retta di equazione = come asintoto obliquo per (c Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = La funzione è derivabile su tutto R. +. (d Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : poiché < + < per ogni R, si ha f ( 0 per ogni R. Pertanto, la funzione è sempre crescente. (e Derivata seconda di f : si ha f ( = ( + 3/. (f Segno della derivata seconda e concavità di f : si ha f ( < 0 per ogni R. Quindi, la funzione presenta sempre concavità rivolta verso il basso. (g Grafico di f :

13 = 3 = 3. (a i. Segno di f : si ha f( 0 per ogni R. In particolare, f(0 =. ii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim f( = 0, lim f( f( = + e lim + + = +. Pertanto, la funzione ammette la retta di equazione = 0 come asintoto orizzontale per, mentre non possiede né asintoto orizzontale né asintoto obliquo per +. iii. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = e artg +. La funzione è derivabile su tutto R. iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 per ogni R. Più precisamente, si ha f ( > 0 per ogni R \ {0} e f (0 = 0. Pertanto, la funzione è strettamente crescente su tutto R e in = 0 c è un punto a tangente orizzontale. v. Derivata seconda di f : si ha f ( = ( + 3 e artg ( +. vi. Segno della derivata seconda, concavità e flessi di f : si ha f ( 0 sse ( sse 3 e 0. Pertanto, la concavità è rivolta verso l alto per < 3 e per > 0, ed è rivolta verso il basso per 3 ( < < 0. Inoltre, si hanno i punti di flesso F 3, e 3 +artg 3 e F (0,. In particolare, F vii. Grafico di f : è un punto di flesso a tangente orizzontale. 3

14 F F 3 0 (b L immagine di f è I = Imf = (0, +. (c Poiché f è strettamente crescente, la funzione f : R I è invertibile. Il grafico di f è il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante: 0 Infine, poiché f (0 = 0, la funzione f non è derivabile in = f(0. In ogni altro punto di I la funzione f è derivabile. Infine, si ha 0 = f( 0 = f( = e π/4 e f ( 0 = f ( f( 0 = f ( 0 = f ( = e +π/4. (d Lo sviluppo di MacLaurin troncato al terzo ordine di f, con resto secondo Peano, è f( = f(0 + f (0 + f (0 4 + f (0 3 + o( 3.

15 La derivata terza di f è f ( = ( e artg ( + 3. Poiché f(0 =, f (0 = f (0 = 0 e f (0 =, si ha (e Per 0, si ha f( = o(3. Pertanto, si ha f( = o(3 cos sin ln( f( = = ( + o(3 ( 3 ( o(3 + o(3 + ( o(3 = o(3 = 3 + o(3. L = lim 0. (a Intersezione con l asse : f(0 = o(3 3 + o(3 = lim o( + o( =. (b Segno di f : si ha f( 0 sse e +. Confrontando graficamente le due funzioni = e e = +, si ha 3 α 5

16 Pertanto, f( 0 per α, per un opportuno α R, α < 0. Poiché f( = e + > 0 e f( 3 = e 3 < 0, si ha 3 < α <. (c Limiti agli estremi e asintoti: poiché f( lim f( = ± e lim ± ± = +, la funzione non possiede asintoti orizzontali né asintoti obliqui. (d Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = e. La funzione è derivabile su tutto R. In particolare, f (0 =. (e Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 sse e +. Confrontando graficamente le due funzioni = e e = +, si ha β γ Pertanto, f ( 0 sse β e γ, per due opportuni β, γ R. Poiché f ( = e > 0 e f (0 = < 0, si ha < β < 0. Analogamente, poiché f ( = e 4 < 0 e f ( = e > (.5 =.5 > 0, si ha < γ <. La funzione possiede un minimo (locale per = γ e un massimo (locale per = β. Poiché e β = β +, si ha f(β = e β +β +β = β ++β +β = 3 β. Analogamente, si ha e γ = γ + e f(γ = 3 γ. Quindi, il massimo è M (β, 3 β e il minimo è m (γ, 3 γ. (f Derivata seconda di f : si ha f ( = e. (g Segno della derivata seconda, concavità e flessi di f : si ha f ( 0 sse e sse ln. Quindi, la funzione presenta concavità rivolta verso l alto per > ln, mentre presenta concavità rivolta verso il basso per < ln. Infine, la funzione possiede un punto di flesso, dato da F (ln, 3 ln ln.

17 (h Grafico di f : F 3 α β ln γ 3. (a Affinché la funzione sia definita, deve essere { { > 0 3 < { > 0. Pertanto, il campo di esistenza di f è D = [ 3, 3]. (b Poiché f è una funzione continua definita su un intervallo D chiuso e limitato, la sua immagine è un intervallo chiuso e limitato (per il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi. (c i. Simmetrie di f : la funzione è pari. Basta studiarla sull intervallo [0, 3]. ii. Segno di f : poiché > ln per ogni > 0, si ha f( > 0 per ogni D. In particolare, si ha f(0 = 3 ln( 3.59 e f(± 3 = ln.3. Pertanto, si ha f(0 > f(± 3. iii. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = ( ( 3. La funzione è derivabile su tutto l intervallo estremi. In particolare, si ha ( 3, 3, tranne che agli lim ( f ( = + e lim 3 ( f ( =. 3 + Pertanto, nei punti, = 3 la tangente è verticale. 7

18 iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : si ha f ( 0 sse ( sse 0 e 3. Quindi, la funzione possiede due minimi (assoluti per = e un massimo (assoluto per = 0. Più precisamente, il massimo è M (0, e i minimi sono m, (,. v. Grafico di f : 3 ln( 3 F F ln 3 (d Dal grafico della funzione, si ha che il numero minimo di flessi è due. (e Dal grafico della funzione, si ha che Imf = [, 3 ln( 3] (a Poiché il denominatore non si annulla mai, essendo > ln per ogni > 0, la funzione è ben definita per ogni > 0. (b Affinché la funzione f sia continua (da destra nel punto 0 = 0, si deve avere + ln α = f(0 = lim f( = lim ln =. (c Se la funzione f è derivabile (da destra nel punto 0 = 0, allora è anche continua (da destra in 0 = 0 e quindi α =. Ora, affinché f sia derivabile (da destra in 0 = 0, il seguente limite deve esistere ed essere finito: f( f(0 lim = lim ( + ln ln + = lim 0 + ln + = 0. (d Pertanto, la funzione f è derivabile (da destra in 0 = 0 e f (0 = 0. i. Segno di f : poiché > ln per ogni > 0, si ha f( > 0 sse ln sse β, dove β è un opportuno numero reale compreso tra 0 e. ii. Limiti agli estremi e asintoti: poiché si ha lim f( =, + la funzione ammette la retta di equazione = come asintoto orizzontale per +. 8

19 iii. Derivata prima e derivabilità di f : la funzione è derivabile su tutto l intervallo [0, + e si ha ( ln f ( = ( ln per > 0 0 per = 0. iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f : per > 0, si ha f ( 0 sse ln 0 sse e. Quindi, la funzione possiede un minimo (assoluto per = 0 e un massimo (assoluto per = e. Più ( precisamente, il minimo è m (0, e il massimo è M v. Grafico di f : e, e+ e e+ e F F β e (e Il numero minimo di punti di flesso della funzione f è. [ ] (f L immagine di f è Imf =, e+ e. ( (g L immagine dell intervallo I = [e, + é f(i =, e+ e ]. 9