Successioni numeriche

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1 Successioni numeriche Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 1 / 48

2 Definizione Una successione a valori reali è una funzione f : N R n a n = f (n). si indica con {a n } o {a n } n N. a n è l elemento n-esimo della successione {a n }. fissato n 0 N, se domf = {n N : n n 0 }, allora si scrive {a n } n n0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 2 / 48

3 Esempio 1 a n = n n + 1, n N. a 0 = a 1 = a 2 =.. a 10 = = = = = Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 3 / 48

4 Esempio 2 a n = 1 n, n N, n > 0 quindi dom(a n ) = N + N (Il dominio di {a n } può non essere uguale a tutto N) n a n = = = = Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 4 / 48

5 Definizione del limite Sia L R. Si dice che la successione {a n } n N, converge a L quando ε > 0 N ε N : n N ε a n L < ε, e si scrive lim a n = L. n + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 5 / 48

6 Per ogni fissato ε > 0, ε > 0 da un certo punto in poi N ε N : n N ε tutti i valori della successione distano da L meno di ε a n L < ε Osservazione: nella definizione di limite ε è arbitrario, mentre N ε dipende da ε: se cambio ε, cambia N ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 6 / 48

7 Definizione del limite: caso L = ± 1 Si dice che la successione {a n } n N, diverge a + quando M R N N : n N a n M, e si scrive lim a n = + n + 2 Si dice che la successione {a n } n N, diverge a quando M R N N : n N a n M, e si scrive lim a n = n + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 7 / 48

8 Esempio 3 La successione a n = n n, n N, diverge a +. Infatti, Osserviamo che a n = n n n, n N. Verifichiamo che M R, n M N : n N, n n M a n = n n M. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 8 / 48

9 Esempio 4 Sia α R, α > 0. La successione a n = n α, n N, diverge a +. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 9 / 48

10 Successioni infinitesime Chiamiamo infinitesima una successione {a n } convergente a 0 per n, cioè lim n a n = 0. Osservazione: {a n } è infinitesima se e solo se { a n } è infinitesima. Esempio La successione a n = 1 n, n N+, è infinitesima. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 10 / 48

11 Esempio Sia Allora q R, con q < 1. lim n qn = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 11 / 48

12 Dai rispettivi teoremi dimostrati per funzioni seguono le loro versioni per successioni: Teorema dell unicità del limite Supponiamo che lim n a n = L, Allora L = L. lim a n = L. n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 12 / 48

13 Teorema di permanenza del segno Sia {a n } R, con a n L ]0, + ] per n (risp., a n L [, 0[). Allora m N : n m a n > 0 (risp. a n < 0). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 13 / 48

14 Teorema del confronto Siano {a n }, {b n } R successioni non oscillanti (quindi convergenti o divergenti a ± ). Se m 0 : n m 0, a n b n, allora lim a n lim b n. n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 14 / 48

15 ATTENZIONE: L implicazione a n < b n n N lim a n < lim b n n n è falsa! Infatti, per si ha a n < b n per ogni n N, ma a n = 1 n + 2, b n = 1 n + 1 lim a n = lim b n = 0. n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 15 / 48

16 Teorema dei due carabinieri Supponiamo che {a n }, {b n } R soddisfino Se {c n } R verifica allora lim n c n = L. lim b n = lim a n = L R {± }. n n m 0 N : n m 0 a n c n b n, (1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 16 / 48

17 Un importante conseguenza del Teorema dei due carabinieri: Proposizione Siano {a n }, {b n } R tali che lim n a n = 0, {b n } è limitata. Allora {a n b n } è infinitesima. Dimostrazione: Sia M > 0 tale che Allora si ha b n M n N. 0 a n b n M a n n N e siccome a n 0 per n, il Teorema dei due carabinieri implica da cui la tesi. lim a n b n = 0, n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 17 / 48

18 Classificazione Una successione può essere: - CONVERGENTE se lim a n = L, con L R; n - DIVERGENTE POSITIVAMENTE se lim a n = + ; n - DIVERGENTE NEGATIVAMENTE se lim a n = ; n - OSCILLANTE se non è né convergente né divergente. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 18 / 48

19 Esempio La successione a n = ( 1) n, n N, è oscillante. Esempio La successione a n = ( n) n, n N, è oscillante. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 19 / 48

20 Successioni limitate Sia {a n } R. Diciamo che {a n } è limitata se esiste M > 0, tale che a n M, n N. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 20 / 48

21 Esempi sono limitate le seguenti successioni: 1 a n = ( 1) n, 2 a n = sin n, 3 a n = cos n, 4 a n = arctan(1 + n 2 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 21 / 48

22 Teorema: limitatezza delle successioni convergenti Supponiamo che {a n } R sia convergente a L R. Allora {a n } è limitata. Dimostrazione: Dalla definizione del limite, con la scelta ε = 1, segue che N 0 N tale che n > N 0 a n L < 1. Quindi a n < L + 1 per ogni n > N 0. Se definiamo M = max{ a 0, a 1,..., a N0, L + 1}, allora si ha a n M n N Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 22 / 48

23 Osservazione: NON vale il viceversa: falso che {a n } limitata {a n } convergente. Controesempio: 1 a n = ( 1) n, 2 a n = sin n, sono oscillanti. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 23 / 48

24 Operazioni con i limiti Teorema (algebra dei limiti): Siano {a n }, {b n } successioni numeriche tali che lim a n = a, n lim b n = b, dove a, b R. n Allora in assenza delle forme INDETERMINATE, cioè in assenza dei casi vale (+ ) + ( ), 0 (± ), lim (a n + b n ) = a + b n lim (a n b n ) = a b n lim (a n b n ) = a b n lim n a n = a, (se b 0) b n b ± ±, 0 0, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 24 / 48

25 Dove definiamo per la somma: per il prodotto: per la divisione: x + (+ ) = (+ ) + x = +, x + ( ) = ( ) + x =, (+ ) + (+ ) = +, x R x R ( ) + ( ) =, x (+ ) = +, x ( ) =, x > 0, x (+ ) =, x ( ) = +, x < 0, (+ )( ) =, + x + x (+ )(+ ) = +, ( )( ) = +, x = 0, x R, ± = +, =, x > 0, =, x x = +, x < 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 25 / 48

26 Caso b = 0. Nel caso lim a n = a 0, n lim b n = 0 n vale 1 Se esiste N 0 N tale che n N 0 : b n > 0, allora { a n + se a > 0, lim = n b n se a < 0. 2 Se esiste N 0 N tale che n N 0 : b n < 0, allora { a n se a > 0, lim = n b n + se a < 0. 3 Se per ogni N 0 N esistono n, m N 0 tali che b n > 0 e b m < 0, allora a n lim n b n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 26 / 48

27 Caratterizzazione di limiti tramite successioni Teorema Sia A R e sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Sia f : A R. Allora lim x x 0 f (x) = L R se e solo se per ogni successione {x n } tale che x n x 0 per n + vale lim f (x n) = L (2) n + Dimostrazione: consideriamo solo il caso L R. Supponiamo che Sia ε > 0. Allora esiste δ > 0 tale che lim f (x) = L R, (3) x x 0 x A : 0 < x x 0 < δ : f (x) L < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 27 / 48

28 Sia ora {x n } tale che x n x 0 per n +. Allora esiste N tale che n N si ha x n x 0 < δ. Quindi da cui (2). n N : f (x n ) L < ε, Per dimostrare l altra implicazione supponiamo che (2) valga per ogni successione {x n } convergente a x 0 e che lim x x0 f (x) L. Quindi esiste ε > 0 tale che δ > 0 x : 0 < x x 0 < δ : f (x) L ε. Ponendo δ = 1 n, n N, n 1 si ottiene une successione {x n} tale che x x 0 < 1 n, f (x n) L ε n 1. Questo è in contraddizione con (2). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 28 / 48

29 Corollario Sia A R e sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Sia f : A R. Se esistono due successioni {a n } e {b n } tali che lim a n = n + lim b n = x 0, lim f (a n) n + n + lim f (b n), n + allora lim f (x) x x 0 Esempio Sia f : (0, + ) data da f (x) = sin(1/x). Ponendo a n = 1 2 b n = (4n+1)π si ha nπ e lim a n = lim b n = 0, lim f (a n) = 0, n + n + n + lim f (b n) = 1. n + Quindi lim sin(1/x) x 0+ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 29 / 48

30 Successioni monotone Definizione Sia {a n } R. Diciamo che (i) {a n } è crescente se a n a n+1 n N (ii) {a n } è strettamente crescente se a n < a n+1 n N; (iii) {a n } è decrescente se a n a n+1 n N; (iv) {a n } è strettamente decrescente se a n > a n+1 n N; Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 30 / 48

31 Les uccessioni monotone non sono mai oscillanti Teorema Sia {a n } una successione crescente. Allora {a n } ammette il limite e vale lim a n = sup a n. n n Dimostrazione: Sia L = sup n a n. Siccome {a n } è crescente, si ha a n a 0, n N. Quindi o L = +, opprure L R. Se L = +, allora {a n } è crescente, quindi Cioè lim n a n = +. M R N N : a N M. M R N N : n N : a n M. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 31 / 48

32 Se L R, allora per ogni ε > 0 esiste N ε N tale che a Nε > L ε. Siccome {a n } è crescente, ne segue che n N ε : L ε < a n L. Quindi lim a n = L n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 32 / 48

33 Nel modo del tutto analogo si dimostra Teorema Sia {a n } una successione decrescente. Allora {a n } ammette il limite e vale lim a n = inf a n. n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 33 / 48

34 Esempio: la successione a n = 1 n - è strettamente decrescente - è limitata. In particolare, Allora ritroviamo che inf n a n = 0. lim a n = inf a n = 0. n + n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 34 / 48

35 Esempio: la successione a n = ( n ) n, n 1, - è strettamente crescente - è limitata: infatti, 2 a n < 3 n 1. Quindi {a n } è convergente e vale ( sup ) n = lim n n a n = e. n + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 35 / 48

36 Sottosuccessioni Definizione Sia {b n } n N R. Diciamo che {b n } è sottosuccessione di {a n } se f : N N strettamente crescente e illimitata tale che b n = a f (n) n N. N.B. le condizioni alla funzione f implicano che lim f (n) = +. n + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 36 / 48

37 Esempi: 1 { 1 è sottosuccessione della successione { } 1 n (prendendo 2 f (n) = n + 5). (n+5) 2 } 2 { 1 (2n+3) 2 } è sottosuccessione di { 1 n 2 } (prendendo f (n) = 2n + 3). 3 { 1 (3n 2) 2 } è sottosuccessione di { 1 n 2 } (prendendo f (n) = 3n 2). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 37 / 48

38 Teorema Siano L R e {a n } una successione. Si ha lim a n = L lim b n n n = L per ogni sottosuccessione {b n } di {a n }. Dimostrazione: consideriamo il caso L R. Sia ε > 0. Per la definizione di limite esiste N 0 N tale che a n L < ε n N 0. Siccome f (n) è crescente e vale f (n) + per n, esiste N ε N tale che f (n) N 0 n N ε. Quindi b n L < ε n N ε Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 38 / 48

39 se {a n } converge, allora ogni sua sottosuccessione converge, se {a n } diverge, ogni sua sottosuccessione diverge. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 39 / 48

40 Corollario Sia {a n } una successione. 1 Se esiste una sottosuccessione {b n } oscillante, allora {a n } è oscillante. 2 Se esistono due sono due sottosuccessioni {b n } e {c n } di {a n } tali che allora la successione {a n } oscilla. lim b n lim c n n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 40 / 48

41 Esempio Consideriamo {a n } = {( 1) n } e le sue due sottosuccessioni {b n } e {c n }: b n = ( 1) 2n = 1 c n = ( 1) 2n+1 = 1. Esse hanno limiti diversi: Quindi {( 1) n } è oscillante. lim b n = 1 e lim c n = 1 n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 41 / 48

42 Esempio Consideriamo {a n } = {( n) n } e le sue due sottosuccessioni {b n } e {c n }: b n = ( 2n) 2n = (2n) 2n c n = [ (2n + 1)] 2n+1 = (2n + 1) 2n+1. Esse hanno limiti diversi: Quindi {( n) n } è oscillante. lim b n = + e lim c n =. n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 42 / 48

43 Successioni limitate e sottosuccessioni Se una {a n } è convergente, allora {a n } è limitata. Il viceversa è FALSO. Domanda: se {a n } è limitata, esiste almeno qualche sottosuccessione a nk di {a n } convergente? Teorema di Bolzano-Weierstrass Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 43 / 48

44 Successioni di Cauchy Definizione Diciamo che una successione {a n } è di Cauchy se ε > 0 N ε N : n, m N ε a n a m < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 44 / 48

45 Teorema Sia {a n } una successione convergente. Allora {a n } è di Cauchy. Dimostrazione: sia lim n + a n = L R. Sia ε > 0. Allora esiste N ε N tale che n N ε : a n L < ε 2 Allora n, m N ε vale a n a m = a n L + L a m a n L + a m L < ε 2 + ε 2 = ε Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 45 / 48

46 Teorema Sia {a n } una successione di Cauchy. Allora {a n } è limitata. Dimostrazione: ponendo ε = 1 nella definizione di una successine di Cauchy si trova N 1 N tale che n N 1 : a n a N1 < 1 Quindi n N 1 : a n 1 + a N1 da cui n N : a n 1 + a N1 + max{ a 0, a 1,... a N1 1 } Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 46 / 48

47 Teorema (Criterio di Cauchy) Sia {a n } una successione di Cauchy. Allora {a n } è convergente. Dimostrazione: Siccome {a n } è limitata, si veda il teorema precedente, per il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una sottossuccesione convergente {b n } di {a n }. Sia L = lim b n, n + e sia f : N N una funzione strettamente crescente e tale che lim f (n) = + b n = a f (n) (4) n + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 47 / 48

48 Sia ε > 0. Siccome {a n } è di Cauchy e f (n) soddisfa (4), esistono N ε,1, N ε,2, N ε,3 N tali che Poniamo Dunque per ogni n N ε si ha n, m N ε,1 : a n a m < ε 2, n N ε,2 : f (n) N ε,1 n N ε,3 : a f (n) L < ε 2 N ε = max{n ε,1, N ε,2, N ε,3 } a n L = a n a f (n) + a f (n) L a n a f (n) + a f (n) L < ε 2 + ε 2 = ε Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 48 / 48