Liceo scientifico - Liceo linguistico Tecnico: - Indirizzo Giuridico Economico Aziendale - Amministrazione,Finanza e Marketing - Turismo

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1 Liceo scientifico - Liceo linguistico Tecnico: - Indirizzo Giuridico Economico Aziendale - Amministrazione,Finanza e Marketing - Turismo Professionale: - Indirizzo enogastronomico ed ospitalità alberghiera - Indirizzo operatore turistico Via Rossi/Casacampora 3 Tel. (+39) (+39) Fax (+39) Via Marittima 6 Tel. e Fax (+39) Ercolano (Na) nais01100g@istruzione.it - Cod. Mecc NAISO1100G - C.F Indirizzo posta elettronica certificata: nais01100g.istruzione@pec.it

2 una successione o sequenza infinita o stringa infinita può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da una infinità numerabile di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-esimo termine per ogni numero naturale OVVERO Una successione numerica f è una funzione che associa ad ogni numero naturale n un numero reale a n, f :nєn a n = f(n) ЄR

3 Rappresentazione mediante espressione analitica: Si scrive esplicitamente la relazione che lega n con a n,oppure con il simbolo: Es: a n = 2n+1 con n N è la successione dei numeri dispari Rappresentazione tramite formula ricorsiva Non è assegnata la legge generale ma soltanto il legame tra un termine ed il suo successivo. Per determinare univocamente la successione bisogna assegnare il primo termine Es: rappresenta la successione dei numeri dispari

4 Definizione: Assegnata una successione numerica {a n } n N, si dice serie la somma dei termini di tale successione, indicata formalmente con il simbolo : + a n n=1 Per dare un senso a tale simbolo introduciamo la cosiddetta successione delle somme parziali {s n } n N, ovvero la successione costituita da: s 1 =a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 +a 3... s n = = a 1 + a 2 +a 3 +a n..

5 Se la successione delle somme parziali {s n } è regolare, si dirà che la serie è regolare Se la successione delle somme parziali {s n } non è regolare, si dirà che la serie non è regolare. Se il limite della successione {s n } n N è finito si dice che la serie è convergente e si chiama somma della serie: + S = a n = lim s n n=1 n + Quando, invece la successione {s n } n N diverge positivamente si dice che la serie è divergente positivamente (o equivalentemente negativamente se la successione diverge negativamente).

6 Partendo dalla successione dei reciproci dei numeri naturali La somma parziale n-esima della serie armonica è il numero armonico Nonostante ciascuna di tali somme si ottenga dalla precedente addizionando un termine via via più piccolo e convergente a 0, la successione delle somme diverge positivamente e pertanto la serie armonica è divergente.

7 Anche se piuttosto semplice, la serie armonica contiene alcune caratteristiche che sono piuttosto strane: ad esempio, è difficile credere che non converga. La più semplice dimostrazione in merito consiste nel prendere dei blocchi di termini, ciascuno delle dimensioni della rispettiva potenza di due (ovvero il primo blocco formato da 1 elemento, il secondo di 2 elementi, il terzo di 4 elementi, il quarto di 8 elementi, e così via ); è semplice vedere che ciascuno di questi termini è maggiore di ½, e quindi la serie è minorata da una serie infinita di termini ciascuno uguale a ½, quindi diverge. Come si può evincere dalla formula:

8 Il nome deriva da armonia musicale. È noto che una corda che vibra emette, oltre al suono di frequenza principale f 0 e di lunghezza d onda λ 0 =2L, altri suoni secondari detti armonici naturali o ipertoni, di frequenze multiple intere e di lunghezza d onda sottomultipli di quelle principali, ma di ampiezza (volume sonoro) sempre minore e quindi da un certo momento in poi non percepibili dall orecchio umano. Il suono globale è la somma di tutti gli armonici, ognuno di frequenza f n = nf 0, e lunghezza d onda λ n = (1/n)λ 0, n N, prodotto da una configurazione della corda divisa in n semilunghezze d onda. La successione {1/n} n N legata alle parti di corda corrispondenti è detta per questo motivo armonica.

9 La media armonica ѐ il reciproco della media aritmetica dei reciproci. Dati N numeri x i, i = 1,...,N, la loro media armonica ѐ data da: Quando i numeri numeri x i, i = 1,...,N, coincidono con i primi N numeri naturali, la somma a denominatore coincide con la somma parziale N- sima della serie armonica. Come la media geometrica, anche la media armonica perde di significato se uno dei valori di n e' uguale a zero.

10 ma perché l hanno chiamata armonica? Il nome di armonica deriva da armonia ed e legata alla scala musicale naturale, una modifica della scala musicale pitagorica. Pitagora, all epoca in cui studiava i rapporti armonici delle corde pizzicate, facendo esperimenti con il monocordo costruì una scala musicale basata su rapporti semplici, basati sull'armonia musicale.

11 Pitagora per i suoi esperimenti si serviva del Monocordo. Pitagora scoprì che le note corrispondono a porzioni della corda e che gli armonici seguono rapporti numerici come 2/1, 3/2, 4/3, tipici anche dello spazio che ci circonda. La nostra comprensione delle proporzioni armoniche viene da Pitagora, e non è propria solo della musica. Molti studiosi sono concordi nel ritenere che le stesse considerazioni che valgono per gli armonici musicali, valgono anche in molti altri campi di applicazione, da cui la frase: Studiate il monocordo e scoprirete i segreti dell Universo.

12 Il monocordo è il primo strumento musicale a corda inventato dall uomo. Esso è costituito da una corda di lunghezza assegnata L tesa e fissata su una cassa risonante rettangolare. Alla corda è collegato un cursore che permette di varierne la lunghezza. Pitagora scoprì che premendo una corda a metà della sua lunghezza e pizzicando una sua a metà, essa suona la stessa nota ad un ottava superiore, dove l ottava è l intervallo tra una nota musicale e la stessa nota di frequenza doppia (sopra) o metà (sotto). Il rapporto di due note separate da un ottava è quindi 2:1.

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14 Corda pizzicata senza nessuna interruzione. Frequenza x x Corda pizzicata interrotta alla sua metà. Frequenza 2x 2x

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16 Corda pizzicata senza nessuna interruzione. Frequenza x x Corda pizzicata interrotta alla sua metà. Frequenza 3/2x 3/2x

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18 Corda pizzicata senza nessuna interruzione. Frequenza x x Corda pizzicata interrotta alla sua metà. Frequenza 4/3x 4/3x

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25 e quindi la posizione del MI è la media armonica tra le posizioni del DO e del SOL

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27 4C: Falanga Claudia; Lombardo Mario; Scarano Rosario; Scognamiglio Anna Maria; Valletti Michela 4D: Ascione Chiara; Di Corso Giancarlo Mauro; Di Luca Marcella; Sorrentino Giuseppina 4E Corso Giancarlo; Zinelli Salvatore; Amino Ciro; Sorrentino Valentina; Spiezio Rossella e la partecipazione della Prof.ssa RITA PUNZO

28 Pitagora e la musica // - Nicola Chiriano chiriano.thebrain.net/articoli/a&b_15_chiriano.pdf Bibliografia Bergamini;Trifone Barozzi Matematica.blu.2.0 Zingarelli Dalla collana MONDO MATEMATICO L armonia è questione di numeri Musica e matematica RBAItalia