Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 1. U.D. N 08 I sistemi di primo grado a due incognite

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1 Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 1 U.D. N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 01) Coordinate cartesiane 0) I sistemi di primo grado a due incognite 03) Metodo di sostituzione 04) Metodo del confronto 05) Metodo di addizione e sottrazione 06) Metodo di Cramer Pagina 1 di 6

2 Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite Coordinate cartesiane Su di una retta r consideriamo un punto O, detto origine, un verso positivo indicato con una freccia ed un segmento unitario. In questo caso la retta r dicesi asse delle ascisse e viene indicata col simbolo e di solito è disegnata in posizione orizzontale. O U P Ogni punto P r individua il segmento OP. Noi sappiamo che OP è un numero reale che esprime la misura del segmento OP rispetto al segmento assunto come segmento unitario. OP Adesso poniamo: e conveniamo di considerare positivo (negativo) se P si trova alla destra (sinistra) di O. Il numero dicesi ascissa del punto P. Da quanto abbiamo detto è evidente che esiste una corrispondenziunivoca fra i numeri reali relativi ed i punti P di una retta r sulla quale abbiamo fissato un punto origine O, un verso positivo, una unità di misura per i segmenti. Adesso consideriamo due rette orientate ed y fra loro perpendicolari. La retta è orientata da sinistra verso destra, la retta y è orientata dal basso verso l alto. Sia O il punto comune alle rette ed y. Sia P un punto qualsiasi del piano. Sia H la proiezione ortogonale di P sulla retta e K la proiezione ortogonale di P sulla retta y. OH Sia l ascissa del punto H rispetto alla y P(,y) OK K P retta orientata, sia y l ascissa del II I punto K rispetto alla retta orientata y. I numeri o reali relativi ed y si dicono le coordinate III H IV cartesiane del punto P. Si scrive P(, y) e si legge <<P di coordinate ed y>>. è detta ascissa del punto P, y è detta ordinata del punto P. La retta orientata è detta asse delle ascisse o asse delle, la retta orientata y è detta asse delle ordinate o asse delle y. Pagina di 6

3 Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 3 Le due rette ed y costituiscono un sistema di assi cartesiani ortogonali. Il punto O è detto origine degli assi. Da quanto si è detto si deduce che esiste una corrispondenza biunivoca fra le coppie ordinate di numeri reali ed i punti di un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani. Le rette ed y dividono il piano in 4 parti ciascuna delle quali prende il nome di quadrante. Le rette ed y e le loro due bisettrici dividono il piano in 8 parti, ciascuna delle quali prende il nome di ottante. Sistema di primo grado a due incognite Sistema di primo grado a due incognite è l insieme di due equazioni di primo grado a due incognite di cui vogliamo trovare, quando esiste, la soluzione comune. Ridotto a forma normale o canonica o tipica, assume la seguente forma: a + by c a + b y c 1 dove ed y sono le incognite, a ed a 1 sono i coefficienti dell incognita, b e b 1 sono i coefficienti dell incognita y, c e c 1 sono i termini noti. Un sistema di primo grado a due incognite può essere risolto con 4 metodi diversi: 1) metodo del confronto ) metodo di sostituzione 3) metodo di addizione e sottrazione detto anche metodo di riduzione 4) metodo di Cramer. Si procede come segue: METODO DI SOSTITUZIONE 1) Si risolve una delle due equazioni rispetto alla (rispetto alla y) ) L espressione così ricavata si sostituisce nell altra equazione al posto della (della y). Si ottiene una equazione di primo grado in y () la cui soluzione dà il valore della y () 3) Il valore trovato per la y (per la ) viene sostituito nell espressione precedentemente trovata, pervenendo così al valore della (della y). + 3y y 7 4 3y 5 + y 7 4 3y 5 + y y + y y + y y + y 14, 17y , 17y 34, y y , y 7 Pagina 3 di 6

4 4 Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite METODO DEL CONFRONTO Si procede come segue: 1) Si risolvono le due equazioni del sistema rispetto alla medesima incognita,ad esempio rispetto ad ) Si uguagliano le due espressioni algebriche ottenute e si perviene ad una equazione di primo grado in y 3) Si risolve questa equazione ottenendo il valore della y, cioè si ottiene y y o 4) Il valore dell altra incognita ( nel nostro caso ) si ottiene sostituendo quello trovato y o in una qualsiasi delle due espressioni precedentemente trovate. 7y y + 7 y y 4 y + +, 35y y y + 6y , y 13, y 3 ( ) ,, y METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE (o di riduzione o della combinazione lineare) Si procede come segue: 1) Se vogliamo ricavare la allorisogna eliminare la y ) Si calcola il m.c.m. tra i coefficienti della y, cioè tr e b 1. Sia k m. c. m.( b, b1 ). Si moltiplicano ambo i membri della prima equazione per k b ed ambo i membri della seconda equazione per k b 1. Otteniamo due equazioni nelle quali i termini contenenti la y hanno coefficienti uguali od opposti. 3) Sommiamo o sottraiamo ambo i membri delle due equazioni così ottenute pervenendo ad una equazione di primo grado nella, risolta la quale otteniamo il valore della,ad esempio o. 4) Il valore dell altra incognita (nel nostro caso la y) può essere determinato con un procedimento analogo, oppure sostituendo il valore trovato o in una delle due equazioni del sistema e risolvendo l equazione ad una incognita (nel nostro caso in ) che ne risulta Pagina 4 di 6

5 Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite y 4 m. c. m.( 7, ) 14, 14, y y y y y 1 y 13 8 sommiamo membro a membro, m. c. m.( 3, 5) 15, , 13 Si sottrae membro a membro y METODO DI CRAMER Dati quattro numeri a, b, a1, b il numero D 1 ab1 a1 b dicesi determinante del secondo ordine e si ottiene sottraendo dal prodotto dei termini della diagonale discendente il prodotto dei termini della diagonale ascendente. Se il sistema che vogliamo risolvere è ridotto a forma canonica, cioè è del tipo: a + by c a + b y c 1 allora abbiamo: D determinante del sistema determinante formato dai coefficienti delle incognite D c b c b determinante dell incognita determinante che si ottiene dal determinante del sistema sostituendo la colonna dei coefficienti della con la colonna dei termini noti D y a c a c determinante dell incognita y determinante che si ottiene dal determinante del sistema sostituendo la colonna dei coefficienti della y con la colonna dei termini noti Pagina 5 di 6

6 6 Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite Le soluzioni del sistema dato ci vengono fornite dalle due seguenti frazioni: c b D c1 b1 D cb ab bc ba, y a c Dy a1 c1 D ac ab ca ba y , y Pagina 6 di 6

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