ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 8/11/2013

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1 ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 8//3 Premessa (Cfr. gli Appunti di Analisi Vettoriale / del Prof. Troianiello) Nello studio degli integrali impropri il primo approccio all utilizzo del criterio del confronto, quando si ha a che fare con funzioni f, g entrambe di segno costante, conviene tentarlo ricorrendo allo studio del limite del rapporto tra le due. Poniamoci ad esempio nel caso di f, g :]a, b] R, a < b <, con f e g > in ]a, b], entrambe integrabili secondo Riemann da A a b per ogni A ]a, b]. Supponiamo che esista L = lim a + f()/g() (necessariamente ). Allora: se < L <, cosa che esprimiamo come f() g() per a + e quindi esiste un A tale che Lg()/ f() (L + )g() per a < A, allora l integrale improprio di f converge o diverge se e solo se, rispettivamente, converge o diverge quello di g; se L = sicché, fissato η >, esiste un A tale che f() ηg() per a < A allora la convergenza dell integrale improprio di g implica quella dell integrale improprio di f, mentre la divergenza dell integrale improprio di f implica quella dell integrale improprio di g; se L = sicché, fissato K >, esiste un A tale che f() Kg() per a < A allora la convergenza dell integrale improprio di f implica quella dell integrale improprio di g, mentre la divergenza dell integrale improprio di g implica quella dell integrale improprio di f. Esercizio Dire se le funzioni sin () ( + ), e, sin() sono integrabili in senso classico o improprio negli intervalli ], ] e ], + [. Risposta Dal momento che sin() è sempre limitato in modulo da, la funzione sin () ( + ) = sin () + si prolunga con continuità fino a, perché il suo limite per esiste e vale. Quindi su ], ] l integrale esiste (già) come integrale di Riemann. Invece su l integrando si maggiora con +, sicché l integrale improprio converge su [, + [ e in conclusione su tutto ], + [. Consideriamo la funzione e. Su ], ] possiamo utilizzare lo sviluppo di Maclaurin di e, che ha come primo termine, per cui e quindi e per e = e = per

2 (vd. la Premessa), e tenendo conto che non è integrabile in ], ] se ne conclude che l integrale improprio della funzione assegnata diverge su ], ]. Dal momento poi che la funzione e tende all per (l esponenziale a numeratore tende all più rapidamente più della potenza a denominatore) si riconosce che diverge l integrale improprio su [, + [ e quindi, anche indipendentemente da quanto studiato su ], ], che esso diverge su tutto ], + [. Consideriamo la funzione sin(). Dalla maggiorazione sin() segue l integrabilità della funzione assegnata su ], ]. Per riesce poi sin() 3/, circostanza questa sufficiente a riconoscere la esistenza dell integrale improprio anche su [, + [, e in conclusione su tutto ], + )[. Esercizio Verificare se gli integrali impropri convergono. G = (e ) /3 d, G = ( cos ) /3 d Risposta Benché l intervallo d integrazione sia limitato, i due integrali sono impropri perché gli integrandi sono sì continui, però illimitati: per la precisione, essi tendono all quando +. Ma sia di e che di cos si esplicitano facilmente gli sviluppi di Taylor (anzi di MacLaurin). Dunque G converge perché e è infinitesimo dello stesso ordine del primo addendo non nullo del suo sviluppo, cioè di, per cui (e ) /3 ( ) /3 con ( ) /3 d < ; invece G diverge perché cos è infinitesimo dello stesso ordine del primo addendo non nullo 4 del suo sviluppo, per cui ( cos ) /3 ( 4 ) /3 con ( 4 ) /3 d =. Esercizio 3 Dati gli integrali impropri J = π/ sin α d, J = β e d,

3 determinare per quali valori di α R converge J e per quali valori di β R converge J. Risposta J converge se e solo se converge π/ α sin α α d ovvero se e solo se α < α >. J converge per tutti i β: quando l integrando tende a più rapidamente di ogni potenza della, ad esempio più rapidamente di di che ha integrale improprio da a convergente. Esercizio 4 Studiare il carattere delle serie S = n= n log n, S = n= n log n log(log n). Risposta S converge (assolutamente) e S diverge: basta confrontarle rispettivamente con [ d log = ] = log log e d log log(log ) = [log(log(log ))] =. Esercizio 5 Calcolare la derivata rispetto ad della funzione F () = 5 e t t dt, >. Risposta Innanzitutto, calcoliamo e t dt = t te t dt = e t et dt = t + K e quindi La somma di quest ultima quantità e di 5 e t dt = e5 t e53. fornisce il risultato. e5 e53 Esercizio 6 Dimostrare che la funzione β e è integrabile in senso improprio nell intervallo ], + [ per ogni β R e calcolarne l integrale per β =,,. 3

4 Risposta La funzione esponenziale e = ! m! m +... verifica per ogni e per ogni numero naturale m la diseguaglianza Pertanto stima quest ultima sufficiente per e m! m. β e = β e m! m β, m β > a riconoscere l esistenza dell integrale improprio su ], + [. I valori richiesti sono a e d = e e a, a e d = e +a e, a a e d = 5 e + a+a e. a Esercizio 7 (i) Calcolare F () = e t dt nei punti in cui l integrale improprio converge. (ii) Senza preoccuparsi di verificare le ipotesi che giustificano il procedimento, scrivere le espressioni integrali di F (), F (), F (),..., F [n] () e ricavarne in particolare t n e t dt = n! (iii) Giustificare il procedimento seguito nel punto precedente. Risposta (i) Dev essere ovviamente >, e in tal caso da cui M e t dt = Pertanto il calcolo esplicito fornisce: M (e t ) dt = [e t ] M = e M e t dt = per >. F () =,..., F [k] () = ( ) k k! k+., 4

5 Supponendo di poter derivare sotto il segno di integrale si ottiene F () = Iterando il procedimento si ricava e t dt = F () = F [k] () = ( ) k t k e t dt te t dt per >. da cui, confrontando il calcolo precedente per le derivate F [k] () si ottiene e quindi t k e t dt = k! k+ t k e t dt = k! per kk N per k N prendendo =. Per giustificare le derivazioni sotto il segno d integrale occorrono opportune maggiorazioni delle funzioni integrande t k e t. Se si fa variare in tutta la semiretta ], [, le uniche maggiorazioni possibili sono coi sup > t k e t = t k, che non hanno integrali impropri convergenti su < t <. Però, siccome ogni punto > si trova in una semiretta [α, [ con < α <, ci basta ottenere per ogni α > le maggiorazioni richieste. A tal fine basta tener conto che t k e t g(t) = g α (t) = t k e αt per α, t < : da qui segue che le ipotesi del teorema di continuità e derivabilità valgono, per ogni α >, facendo variare in [α, [, e quindi le derivazioni sono giustificate per ogni >. Esercizio 8 Sia F (t) = log + + t d. (i) Determinare l insieme E R nel quale l integrale improprio è assolutamente convergente. (ii) Provare che F (t) è continua in E. (iii) Provare che F (t) è derivabile in E. Risposta (i) Siccome per ogni > ed ogni t R il valore assoluto dell integrando si maggiora con g(), dove g() = log /( + ), basta mostrare che g() è integrabile (in senso improprio) da a per concludere che E = R. Ora, log + d < per il confronto asintotico: per + l infinito (log )/ + è dello stesso ordine di log, che (essendo la derivata di log ) è assolutamente integrabile (in senso improprio) da a. D altra parte, per l ordine dell infinitesimo (log )/ + è superiore a quello di qualunque potenza α con α <, e quindi log d <. + 5

6 (ii) La maggiorazione uniforme del modulo dell integrando, vista nel passo precedente, con la funzione g() mostra che F (t) è continua per ogni t, cioè in tutto E. (iii) Tenuto presente che t log f t (, t) = ( + + t ) e quindi f t (, t) t + + t log + + t g(), dove abbiamo maggiorato t con ( t ) + t = + t, si deduce che F (t) è derivabile e che F (t) = + t log ( + + t ) d. Esercizio 9 Sia F () = e t cos t dt. (i) Senza preoccuparsi di verificare le ipotesi che giustificano il procedimento, scrivere l espressione integrale di F (). (ii) Giustificare il procedimento seguito nel punto precedente. (iii) Calcolare l espressione integrale di F (), verificare che vale la relazione F () = F () e dedurne che F () = F ()e /4. Risposta (i) Derivando sotto il segno di integrale si ottiene F () = te t sin t dt. (ii) Per giustificare la derivazione sotto il segno d integrale basta tener conto che sia nell espressione di F () e sia in quella di F () gli integrandi sono uniformemente dominati da funzioni della sola t integrabili da a : e t cos t e t, te t sin t te t per R, t [, [. (iii) Integrando per parti si ottiene F () = te t sin t dt = [ ] e t sin t Dunque F () soddisfa l equazione lineare omogenea del I ordine y = y, il cui integrale generale è Ce /4, insieme alla condizione iniziale y() = F () te t cos t dt = F (). 6

7 (e si potrebbe completare sapendo che l integrale di e t da a, cioè F (), vale π/4). Esercizio (i) Determinare per quali valori di α converge l integrale improprio e t t α (ii) Calcolare il lim sin e t + t dt. Risposta (i) Utilizzando il limite notevole deduciamo che per t tendente a + risulta dt. e t lim t t = e t t α t α, e quindi l integrale dato è convergente se e solo se α < 3. (ii) Abbiamo lim sin() + ( e t dt = lim t sin() e t + t dt + Usando quanto visto in (i) (con α = ) sappiamo che esiste finito, per cui lim sin() + lim + e t t dt ) t dt. e t ( ) dt = lim t sin dt = lim + t sin() + =. Questo si poteva fare anche utilizzando de l Hopital una volta riscritto sin() =. sin() Esercizio Dire per quali β > esiste l integrale improprio + log β d In questi caso si applichi la definizione calcolando quando possibile anche l integrale improprio. Risposta La funzione integranda f() = log β () è positiva su (, + ) : pertanto per decidere se l integrale improprio esiste basta esaminare se esiste il limite t lim t + log β () d Il calcolo è facile: 7

8 i) se β riesce t log β d = {(log(t)) β (log()) β} β ii) se β = riesce t d = log(log(t)) log(log()) log Pertanto nel primo caso si ha convergenza solo se β >, mentre nel secondo caso non c è convergenza. Riassumendo: l integrale improprio richiesto converge se e solo se β >. Per tali valori di β l integrale vale Esercizio Siano lim t + {(log(t)) β (log()) β} = (log()) β β β F (, y, u, v) = y + uv, G(, y, u, v) = y + u v. Dimostrare che esistono un intorno U di (, ) ed un unica coppia di funzioni f, g : U R con le proprietà f(, ) = g(, ) =, F (, y, f(, y)) = G(, y, g(, y)) = per (, y) U e calcolare il determinante jacobiano di (f, g) in (, ). Risposta Per dimostrare il risultato richiesto basta applicare il Teorema del Dini nella sua versione più generale valida anche per i sistemi. Innanzitutto, dunque, osserviamo che F (,,, ) = G(,,, ) =. Calcoliamo poi u F (, y, u, v) = v, v F (, y, u, v) = u, u G(, y, u, v) = u, v G(, y, u, v) = v: siccome la matrice [ ] [ ] u F (,,, ) A := v F (,,, ) = u G(,,, ) v G(,,, ) ha determinante diverso da zero, le ipotesi del Teorema del Dini sono soddisfatte, e quindi in un opportuno intorno U del punto (, ) è assicurata l esistenza della coppia di funzioni (f, g) con le proprietà richieste. Lo jacobiano di (f, g) si calcola tramite la formula fornita tramite il Teorema del Dini da cui Jac g(, ) = A B dove B è la matrice [ F (,,, ) y F (,,, ) G(,,, ) y G(,,, ) da cui Jac g(, ) = 4 [ ] [ ] = ] = 4 [ ] [ 4 4 ]. Esercizio 3 Data la funzione h() = 3 cos(t) t 8 dt, >,

9 calcolare h ( π). Risposta Basta osservare che in questo caso si applica la formula per la derivazione di integrali definiti dipendenti da un parametro: h () = 3 [ sin(t)] dt + 3 cos(3 ) 3 cos( ) = cos(3 ) cos( ) + cos(3 ) cos( ) = cos(3 ) Da qui otteniamo in particolare h ( π) =. cos( ). 9