I Prova scritta - 12 novembre 2004

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1 GEOMETRIA per Ingegneria chimica ed elettrica: parte di geometria delle prove scritte e delle intermedie del corso Analisi 1 + Geometria 1, prove scritte di Geometria cod PROVE INTERMEDIE I Prova scritta - 12 novembre 24 [ ] 3i ( 3 + i) 9 A. (4) E data la matrice M M 2,2 (Cl ), M = 1/2 7 i Scrivere det M nella forma a + ib, in forma trigonometrica e in forma esponenziale. (Nota: l argomento del numero det M si puo trovare con la calcolatrice). 2. Disegnare nel piano di Gauss det M e le soluzioni dell equazione X 4 = det M. B. Dato al variare di k IR il sistema lineare AX = b, dove X = x y z, (A, b) = k 1 k + 3 k 2 1 k 2 k k 2 1. (3) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. 2. (1) Dire per quali valori di k il sistema è omogeneo e per tali valori (se esistono) trovare l insieme delle soluzioni. 3. (1) Nel caso k = 1: aggiungere una riga alla matrice (A, b) del sistema in modo che il nuovo sistema ottenuto non abbia soluzioni. Sia ora k =. 4. (1) Risolvere il sistema nel caso k =. 5. (2) Provare che per k = la matrice A dei coefficienti del sistema è invertibile e trovare A (2) Per k =, dare un espressione della soluzione del sistema utilizzando A 1 ed effettuare il calcolo, confermando il risultato trovato in (2) Sia A la matrice del punto 5. Data l equazione Y A 2 = AEA, con Y, E M 3,3 (IR), E = E 1,2 matrice elementare di scambio, Y matrice incognita: dire se l equazione è risolubile e in caso affermativo dare un espressione della soluzione Y e calcolarne l elemento di posto (1,1). A. (3) Dato il numero complesso α = 1 + i: II Prova scritta - 17 dicembre (2) Determinare a Cl in modo che il polinomio F (x) = x 5 + x + a abbia α come radice. : 2. Determinare un polinomio P (x) a coefficienti reali (P (x) IR[x]) di grado minimo che abbia α = 1+i come radice e tale che P (1) = 3. B. Sia fissata nello spazio vettoriale V 3 la base ortonormale K = { i, j, k}, e sia Oxyz il sistema di coordinate corrispondente. Sia v il vettore di coordinate (1, 1, 2) a sia W = {w = (1, 1, 2) (x, y, z), al variare di (x, y, z) V 3 }.

2 1. (2) Provare che W è un sottospazio di V 3 e trovare una base di W e la sua dimensione. 2. (4) Trovare il versore vers v e completarlo a base ortonormale destrorsa E per lo spazio V 3. -Scrivere la matrice ortogonale P di passaggio tra la base canonica K e la base E - Trovare le coordinate del punto A : (x = 6, y =, z = ) nel nuovo sistema di riferimento OXY Z avente come versori i vettori della base E. C. Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz. Sono dati i punti O(,, ) A(3, 3, ) B(3,, 3) C(, 3, 3). 1. (1) Verificare che i 4 punti O, A, B, C sono i vertici di un tetraedro, 2. (2) Trovare l equazione del piano contenente i tre punti O, A, B. 3. (2) Trovare il piede H dell altezza del tetraedro condotta dal vertice C. 4. (2) Trovare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza passante per i tre punti O, A, B. A. (3) Dato il numero complesso α = 1 + i: II Prova scritta - 17 dicembre (2) Determinare a Cl in modo che il polinomio P (x) = x 5 + x + a abbia α come radice. 2. Determinare un polinomio Q(x) a coefficienti complessi (Q(x) Cl [x]) di grado minimo che abbia α come radice di molteplicità = 2 e tale che Q(i) = 2i. B. Sia fissata nello spazio vettoriale V 3 la base ortonormale K = { i, j, k}, e sia Oxyz il sistema di coordinate corrispondente. Sia v il vettore di coordinate (1, 1, 2) a sia W = {w = (1, 1, 2) (x, y, z), al variare di (x, y, z) V 3 }. 1. (2) Provare che W è un sottospazio di V 3 e trovare una base di W e la sua dimensione. 2. (4) Trovare il versore vers v e completarlo a base ortonormale destrorsa E per lo spazio V 3. -Scrivere la matrice ortogonale P di passaggio tra la base canonica K e la base E - Trovare le coordinate del punto A = (x = 6, y =, z = ) nel nuovo sistema di riferimento OXY Z avente come versori i vettori della base E. C. Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz. Sono dati i punti O(,, ) A(3,, 3) B(3, 3, ) C(, 3, 3). 1. (1) Verificare che i 4 punti O A B C sono i vertici di un tetraedro, 2. (2) Trovare l equazione del piano contenente i tre punti O, A, B. 3. (2) Trovare il piede H dell altezza del tetraedro condotta dal vertice C. 4. (2) Trovare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza passante per i tre punti O, A, B. A. Dato il sistema lineare AX = b, dove X = I Prova scritta - 11 novembre 25 x y z (A, b) = ( 1 k 1 k k 2 + 4k k ) : 1. (3) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema.

3 2. (2) Dire per quali valori di k le soluzioni del sistema costituiscono un sottospazio S IR 3 e per tali valori (se esistono) trovare S, dim S e una base F di S. 3. (3) Trovare i valori di k per cui la terna s = (, 1, 2) sia soluzione del sistema. Per tali valori, quando possibile, aggiungere un equazione al sistema, in modo che s sia l unica soluzione del nuovo sistema ottenuto, quando non e possibile, giustificarne il motivo. Sia ora k =, quindi A = ( ) e sia B = 1 2 : 4. (3) Calcolare, se esiste, l inversa della matrice M = A T A 2I. Data l equazione A T AX 2X = B (X matrice incognita) dire quante righe e colonne ha X, provare che l equazione ha una sola soluzione dandone la formula risolutiva (senza fare i calcoli). B.(4) Dati i numeri complessi z 1 = 8e πi ; z 2 = 3 + i 5: 1. Scrivere z 1 in forma a + ib. 2. Trovare il modulo di z 2, scrivere e disegnare molto approssimativamente nel piano di Gauss z 2 e le soluzioni di X 3 = z 2 (senza fare troppi calcoli!!). 3. Dato il polinomio Q(X) = (x+2)(x 2+i) 2 Cl [X], scrivere tutti e soli i polinomi P(X) a coefficienti reali di grado minimo aventi tra le radici quelle di Q(X). C.(1) Sia V IR-spazio vettoriale e siano v 1, v 2, v 3, v 4 vettori di V linearmente indipendenti. Dire se e vero che anche i vettori v 1, v 2, v 3 sono linearmente indipendenti e dimostrarlo in caso affermativo; se e falso, costruire un controesempio. II Prova scritta - 16 dicembre 25 1 k 1 A. Data, al variare di k IR, la matrice A = k : 1 k 1 1. (2) Sia W IR 3 il sottospazio generato dalle colonne di A. Determinare per ogni k IR la dimensione di W. 2. (3) Nel caso k =, scrivere una base ortonormale E di W, trovare [ le] coordinate del vettore (, 2, ) 1 rispetto a questa base e scrivere il vettore w W tale che w E = (3) Sempre nel caso k =, quindi A = , trovare gli autovalori di A, una base per ogni autospazio e, se possibile, scrivere P matrice invertibile e matrice diagonale, tali che P 1 AP =. 1 B. Sia B M 3,3 (IR) matrice diagonalizzabile simile alla matrice = 3 (cioè P 1 AP = ) (1) E vero che B 3 è diagonalizzabile? In caso affermativo scrivere la matrice diagonale simile a B (1) E vero che B è invertibile? In caso affermativo si può affermare che B 1 è diagonalizzabile? Senza disegni verrà tolto 1 punto.

4 C. Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz. Sono dati i punti A(2, 2, ) B(2,, 2) C(, 2, 2). 1. (1) Verificare che i punti A, B, C sono i vertici di un triangolo equilatero. 2. (2) Trovare l equazione del piano contenente i tre punti A, B, C. 3. (1) Trovare il punto D in modo che il quadrilatero ABDC sia un rombo. 4. (4) Trovare centro, raggio e una rappresentazione cartesiana per la circonferenza inscritta nel rombo. II Prova scritta - 16 dicembre 25 1 k A. Data, al variare di k IR, la matrice A = k 2 k : (2) Sia W IR 3 il sottospazio generato dalle colonne di A. Determinare per ogni k IR la dimensione di W. 2. (3) Nel caso k =, scrivere una base ortonormale E di W, trovare [ le ] coordinate del vettore (1, 2, 2) 1 rispetto a questa base e scrivere il vettore w W tale che W E = (3) Sempre nel caso k =, quindi A = 2, trovare gli autovalori di A, una base per ogni autospazio e, se possibile, scrivere P matrice invertibile e matrice diagonale, tali che P 1 AP =. B. Sia B M 3,3 (IR) matrice diagonalizzabile simile alla matrice. = (cioè P 1 AP = ). 1. (1) E vero che B 2 è diagonalizzabile? In caso affermativo scrivere la matrice diagonale simile a B (1) E vero che B è invertibile? In caso affermativo si può affermare che B 1 è diagonalizzabile? C. Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz. Sono dati i punti A(2, 2, ) B(2,, 2) C(, 2, 2). 1. (1) Verificare che i punti A, B, C sono i vertici di un triangolo equilatero. 2. (2) Trovare l equazione del piano contenente i tre punti A, B, C. 3. (1) Trovare il punto D in modo che il quadrilatero ABCD sia un rombo. 4. (4) Trovare centro, raggio e una rappresentazione cartesiana per la circonferenza inscritta nel rombo. Primo compito - 18 ottobre 26 (A.A. 26/27) [ ] [ 2 1 sen α cos α A. Sono date le matrici A, M M 2,2 (IR), A =, M = 1 2 cos α sen α ], α IR. 1. (2) Dire per quali α IR la matrice M è invertibile e per tali α scrivere la matrice M (1) Calcolare la matrice P = M M T. Cosa si deduce? 3. (2) Sia B una qualsiasi matrice simmetrica. Possiamo affermare (senza fare troppi calcoli) che la matrice M 1 BM sarà certamente simmetrica?

5 4. (2) Fissato in M il valore α = π/4, risolvere l equazione MX = AM ( cosa deve essere X?). B. Dato al variare di k IR il sistema lineare AX = b, dove x 1 2 k 1 X = y, (A, b) = 2 2k k k 2 z 2 k 2 k 1. (4) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. 2. (2) Risolvere, se possibile, il sistema per k = 1 mediante l algoritmo di riduzione totale di Gauss. 3. (1) Dire per quali valori di k il sistema è omogeneo e per tali valori trovare l insieme delle soluzioni. 4. (2) Dire per quali valori di k IR la riga r 1 della matrice A è combinazione lineare delle righe r 2, e r 3 e scrivere almeno una di tali combinazioni. II Prova scritta intermedia - 15 novembre 26 A. Dato al variare di k IR il sottospazio V k = L{ (k + 1, k 1, k); (k 2,, k); ( k,, k) } IR 3 : 1. Determinare per ogni k IR qual è la dimensione di V k. 2. Dire per quali valori di k IR il vettore v = (1,, ) / V k. 3. Per k = 1 trovare una base B per il sottospazio V Verificare che v = (,, [ 1) ] V 1 e trovare le ccordinate v B di v rispetto alla base B del punto 3. Sia 1 w V 1 tale che w B = ; scrivere w e dire se < v, w > è base per il sottospazio V Sempre per k = 1 completare la baseb di V 1 a base per IR 3. È possibile costruire una base E di IR3, 1 E B in modo che (2, 1, ) E = 1? 1 B. Dati i numeri complessi z = 2 i 2, z 1 = (1 i 3) Scrivere z 1 in forma a + ib. 2. Verificare se e z z1 = e 2πi. (2i) 14 (e iπ/4 ) Determinare e disegnare nel piano di Gauss le soluzioni dell equazione X 3 = z. 4. Determinare e disegnare nel piano di Gauss { z Cl tali che z = 1 e z z IR}. :

6 III Prova scritta intermedia - 2 dicembre A. (4) E data la matrice M M 3,3 (IR), M =. 1 3 Trovare gli autovalori di M e una base per ogni autospazio. Se possibile scrivere una matrice diagonale e una matrice P invertibile tali che P 1 MP =. B. Nello spazio, in cui è fissato un sistema di coordinate ortogonali Oxyz sono dati il punto A(, 1, 1) e le rette (r) : x = t 1 y = t z = 1 (s) : { x 2 = 2y + z = (3) Verificare che r e s sono sghembe e trovarne la comune perpendicolare. 2. (1) Determinare l equazione del piano π contenente s e passante per A. 3. (2) Scrivere delle equazioni per la circonferenza con centro in A e tangente ad s. Primo compito scritto - 24 ottobre 27 A. Dato il sistema lineare con 3 incognite x, y, z associato alla matrice k k (A, b) = 2k k k : k 2 k 2 2k k 2 1. (4) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema e risolvere il sistema, quando possibile, per k {, 1, 2}. [ Se k / {, 1, 2} una sola soluzione, per k = 2 soluzioni, per k = 2 1 soluzioni, per k = 1 nessuna soluzione.] 2. (1) Dire se per qualche valore di k IR la terna (1, 1, 1) è soluzione del sistema. [k {, 2}] 3. (3) Provare che per k = 1 la matrice A (dei coefficienti delle incognite) del sistema è invertibile e trovare A 1. Risolvere quindi l equazione XA = A 2 + E 23, dove E 23 è la matrice elementare che scambia le righe R 2 e R 3. B. (1) E vero che ogni matrice invertibile A M n,n (K) è prodotto di matrici elementari? (Se vero dimostrare, se falso dare un controesempio). ( C. Sono dati i numeri complessi z = 2e 4 3 πi, z 1 = 2 + i) e(15 6 πi) 2 (e i) (3) Scrivere in forma esponenziale il numero z = z 1 z. 2. (2) Determinare e disegnare nel piano di Gauss le radici dell equazione X n = z. 3. (2) Scrivere z in forma a + ib e trovare il polinomio P (x) Cl [x] di grado minimo avente z come radice doppia e tale che P ( 1) = 3i. Secondo compito scritto - 23 novembre 27 A. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi è un sottospazio e in caso affermativo trovarne una base. 1. V = {v V 3 tali che v (2i + 2j k)} (In questo caso trovare una base ortonormale di V ).

7 2. W = {(x, y, z, t, u) IR 5 tali che x + y u = y + z + u = } 3. U = {(x, y, z, t) IR 4 tali che x 3 = y + t = }. B. Sia fissto nello spazio un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz e siano A = (3,, 1), B = (, 4, ). 1. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la retta AB e scriverne una parametrica tale che per il valore del parametro t = si ottenga il punto B e che per t = 1 si ottenga il punto A. 2. Trovare un punto E sul segmento AB tale che AE = 1/3AB. 3. Scrivere l equazione del piano asse del segmento AB (piano passante per il punto medio di AB e perpendicolare ad AB. 4. Trovare C asse z tale che il triangolo ABC sia isoscele con AC = BC. [Risposta C = (,, 3)]. Trovare poi il punto D in modo che il quadrilatero ACBD sia un rombo. 5. Scrivere delle equazioni parametriche per l altezza CH del triangolo ABC. C. (1) E vero che ogni matrice invertibile A M n,n (K) è prodotto di matrici elementari? (Se vero dimostrare, se falso dare un controesempio). ( D. Sono dati i numeri complessi z = 2e 4 3 πi, z 1 = 2 + i) e(15 6 πi) 2 (e i) (3) Scrivere in forma esponenziale il numero z = z 1 z. 2. (2) Determinare e disegnare nel piano di Gauss le radici dell equazione X n = z. 3. (2) Scrivere z in forma a + ib e trovare il polinomio P (x) Cl [x] di grado minimo avente z come radice doppia e tale che P ( 1) = 3i. Terzo compito scritto - 8 gennaio A. (6) Data la matrice simmetrica A = : Dire per quali k IR un vettore della forma (1, 2, k) è autovettore per A e per tali k dire qual è il corrispondente autovalore. 2. Determinare (anche usando i risultati di 1) autovalori e autospazi della matrice A Determinare, se possibile, una matrice P tale che P T AP = 1 1 RISPOSTA k k = λ { (1) A = = 8 + 2k = λ k = λ 8 + 2k = 2λ k 1 2 k 5 k 5 = λk 2 + 4k = 5. { { k = 1 k = 5 Quindi 2 casi possibili: λ = 5, con autovettore v 1 = (1, 2, 1) e λ = 1 con autovettore v 2 = (1, 2, 5). (2) Da (1) ho già due autovalori e due autovettori di A. T raccia(a) = 3 = λ 1 + λ 2 + λ 3 = λ 3 = 1. Come autovettore v 3 posso prendere v 1 v 2 = ( 12, 6, ) o anche ( 2, 1, ). Quindi i due autospazi sono V 5 =< (1, 2, 1) >, V 1 =< ((1, 2, 5), ( 2, 1, ) >. (3) Per costruire la P richiesta devo avere una base ortonormale di autovettori. Quindi, siccome (1, 2, 5) ( 2, 1, ), basta scrivere i versori delle basi trovate sopra: < (1/ 6, 2/ 6, 1/ 6), (1/ 3, 2/ 3, 5/ 3), ( 2/ 5, 1 5, ) >.

8 P = 1/ 6 1/ 3 2/ 5 2/ 6 2/ / 6 5/ 3 B. (5) Sia ora C la conica associata alla matrice A = Scrivere l equazione di C, riconoscere C e trovarne (se esistono) centro di simmetria e asintoti. 2. Trovare un equazione canonica per C (senza fare il cambiamento di coordinate). 3. (facoltativo) Disegnare approssimativamente C nel piano Oxy RISPOSTA (1) DetB = 4 <, deta = 5 = la conica è iperbole. Quindi ha centro di simmetria e asintoti. Equazione di C : 4xy + 3y 2 + 2x + 4y =. { { 4y + 2 = x = 1/4 Il sistema delle derivate parziali per trovare il centro A di C è: = A = 4x + 6y + 4 = y = 1/2. Gli asintoti sono paralleli alle rette ottenute scomponendo la forma quadratica 4xy+3y 2 = y(4x+3y); quindi sono y = 1/2, 4x + 3y = 5/2. (2) Gli autovalori di B sono λ 1 = 4, λ 2 = 1. Quindi una forma canonica per l equazione della conica è 4X 2 Y 2 5/4 =. C. (5) Sia fissto nello spazio un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz e siano A = (1, 2, 3), B = (,, 1). 1. Trovare un punto C sull asse z in modo che il triangolo ABC sia isoscele con vertice A (cioè AC = AB). 2. Trovare poi il punto D in modo che il quadrilatero ABDC sia un rombo e determinarne l area. 3. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza con centro in A e passante per i punti B, C. RISPOSTA (1) C(,, t). Imponendo AC = AB = 3, si trova C(..5) (2) ABDC rombo D C = B A D = B + C A = ( 1, 2, 3). (3) Il piano che contiene la circonferenza è il piano per A, B, C che ha equazione 2x y =. Quindi una rappresentazione { cartesiana per la circonferenza è: (x 1) 2 + (y 2) 2 + z 3) 2 = 9. 2x y =.

9 ESAMI SCRITTI Esame scritto - 12 gennaio 25 1 k A. (5) Sia k IR e si considerino la matrice A k = 1 2 e il sottospazio V (k) di IR 3 generato 1 1 dalle colonne di A k : V (k) = L{(1, 1, ), (k, 2, 1), (,, 1)}. 1. Determinare la dimensione di V (k) al variare di k IR e dire per quali valori di k il vettore v = (1, 1, 2) appartiene al sottospazio V (k). 2. Sia ora k = 2. Scrivere una base B per il sottospazio V (2) ed esprimere (se possibile) il vettore v = (1, 1, 2) come combinazione lineare della base B trovata. [ ] e iπ B.(3) Data in M 2,2 (Cl ) la matrice Q = i 98 (1 + i) 6 calcolare (se esiste) Q 1. C. (3) Dire se la matrice M = è diagonalizzabile e in caso affermativo trovare due matrici 1 1 P invertibile e diagonale, tali che P 1 MP =. D. (5) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sia dato il punto A = (4/5,, 3/5). 1. Trovare l equazione del piano Π contenente il punto A e l asse y 2. Determinare la retta contenuta nel piano Π e ortogonale alla retta OA. 3. Trovare due punti B e C sul piano Π, in modo che il quadrilatero OABC sia un quadrato. (Si può usare il punto 2) 4. Trovare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza ottenuta ruotando il punto A attorno all asse y. Esame scritto - 12 gennaio A. (5) Sia k IR e si considerino la matrice A k = k 2 e il sottospazio V (k) di IR 3 generato 1 1 dalle colonne di A k : V (k) = L{(1, k, ), (2, 2, 1), (,, 1)}. 1. Determinare la dimensione di V (k) al variare di k IR e dire per quali valori di k il vettore v = (1, 1, 1) appartiene al sottospazio V (k). 2. Sia ora k = 1. Scrivere una base B per il sottospazio V (1) ed esprimere (se possibile) il vettore v = (1, 1, 1) come combinazione lineare della base B trovata. [ ] 1 (1 + i) B.(3) Data in M 2,2 (Cl ) la matrice Q = 6 + 8i i 86 2e iπ/2 calcolare (se esiste) Q 1. C. (3) Dire se la matrice M = è diagonalizzabile e in caso affermativo trovare due matrici 1 2 P invertibile e diagonale, tali che P 1 MP =. D.(5) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sia dato il punto A = (, 3/5, 4/5).

10 1. Trovare l equazione del piano Π contenente il punto A e l asse x. 2. Determinare la retta contenuta nel piano Π e ortogonale alla retta OA. 3. Trovare due punti B e C sul piano Π, in modo che il quadrilatero OABC sia un quadrato. (Si può usare il punto 2) 4. (1) Trovare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza ottenuta ruotando il punto A attorno all asse x. Esame scritto - 25 gennaio 25 A. (5) Dato al variare di k IR il sistema lineare 1 1 k 1 k k 1 k k 1 k Dire per ogni k IR se il sistema è risolubile e quante soluzioni ha. [.2cm] x y z t = k k : 2. Dire per quali valori di k IR le soluzioni del sistema sono un sottospazio di IR 4 e per questi valori trovare due basi diverse per questo sottospazio. 3. Sia k = : aggiungere, se possibile un equazione al sistema in modo che il nuovo ottenuto abbia come unica soluzione s = (1, 1, 1, 1). B.(3) Dato il polinomio P (x) = x 4 8ix Cl [x]: 1. Determinare le radici del polinomio P (x). 2. Determinare un polinomio a coefficienti reali Q(x) di grado 3 avente come radice il numero C. (3) La matrice simmetrica M = α = P (i) + e i π/2. ha polinomio caratteristico P A (x) = x 3 6x 2 : diagonalizzare M trovando due matrici P ortogonale e diagonale, tali che P T MP =. D.(5) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati la retta r : x + y = z x + 1 = ed il punto P (, 2, ). 1. Determinare nel fascio di piani di asse r il piano π contenente il punto P. 2. Determinare la proiezione ortogonale Q di P sulla retta r e scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza passante per P e tangente alla retta r in Q. 3. Data la conica di equazione 2x 2 3y 2 + 4x =, riconoscerne il tipo e scriverne una forma canonica. Esame scritto - 25 gennaio 25 A. (5) Dato al variare di k IR il sistema lineare 1 k 1 k k k k 1 k [.2cm] 1. Dire per ogni k IR se il sistema è risolubile e quante soluzioni ha. x y z t = k k :

11 2. Dire per quali valori di k IR le soluzioni del sistema sono un sottospazio di IR 4 e per questi valori trovare due basi diverse per questo sottospazio. 3. Sia k = : aggiungere, se possibile un equazione al sistema in modo che il nuovo ottenuto abbia come unica soluzione s = (1, 1, 1, 1). B.(3) Dato il polinomio P (x) = x 4 8x = IR[x]: 1. Determinare le radici del polinomio P (x). 2. Determinare un polinomio a coefficienti reali Q(x) di grado 3 avente come radice il numero C. (3) La matrice simmetrica M = α = P (i) + e i π. ha polinomio caratteristico P A (x) = x 3 6x 2 : diagonalizzare M trovando due matrici P ortogonale e diagonale, tali che P T MP =. D.(5) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati la retta r : x y = z x + 1 = ed il punto P (, 3, 2). 1. Determinare nel fascio di piani di asse r il piano π contenente il punto P. 2. Determinare la proiezione ortogonale Q di P sulla retta r e scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza avente centro in P e tangente alla retta r. 3. Data la conica di equazione 2x 2 2xy + 2y 2 + 4x =, riconoscerne il tipo e scriverne una forma canonica. Esame scritto - 11 febbraio 25 [.2cm] A. (4) Dato al variare di k IR il sistema lineare omogeneo 1 k 1 x 2 2 k y = k 2 + k z sia S k IR 3 il sottoinsieme delle soluzioni: 1. Dire perchè S k è sottospazio di IR Dire per ogni k IR quante soluzioni ha il sistema e qual è la dimensione di S k. 3. Scrivere una base per S k nei casi in cui S k non è (,, ). [ i 2 B.(4) Date le matrici A, B a coefficienti complessi A = i 2 e 3πi/4, ] [, B = i 1. Scrivere det(a) in forma a + ib, dire se esiste una soluzione X M 2,2 (Cl ) dell equazione matriciale XA = B + A 2, e in caso affermativo dare senza fare i calcoli un espressione per la soluzione X. 2. Determinare un polinomio a coefficienti complessi P (x) avente come radice di molteplicita 4 il numero α = 1 e scrivere in forma (a + ib) il numero β = P (i 3). C. (4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati la retta r : x + z = y + 2x = ed il punto P ( 2, 2, ). ] :

12 1. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza γ 1 avente come asse la retta r e passante per P. 2. Scrivere una rappresentazione parametrica per la retta tangente alla circonferenza γ 1 in P. 3. Determinare, se esiste, una sfera contenente la circonferenza γ 1 e avente centro sull asse z. D. (4) 1. Diagonalizzare la matrice simmetrica B = [ Riconoscere la conica C di equazione x 2 + 4xy 2y 2 4 =. ] mediante una matrice P ortogonale. 3. Scrivere la conica C in forma canonica dando le formule di cambiamento di coordinate e disegnarla nel sistema Oxy.(Usare quanto fatto al punto C.1). Esame scritto - 8 giugno 25 [.2cm] A. (4) Dato al variare di k IR il sistema lineare omogeneo k 1 2 k k 2 x y k 1 z sia S k IR 3 il sottoinsieme delle soluzioni: 1. Dire perchè S k è sottospazio di IR 3. = 2. Dire per ogni k IR quante soluzioni ha il sistema e qual è la dimensione di S k., 3. Scrivere una base ortonormale per S k nel caso k = 1. B.(2) Scrivere il numero complesso z = 8 e 3πi/4 ( in forma a + ib. 3 + i) 4 C. (4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati la retta r : 2y z = 2x + z = ed il punto P ( 2,, 2). 1. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza γ 1 ottenuta ruotando P attorno alla retta r. 2. Trovare il centro della circonferenza γ Trovare l equazione del piano contenente r e il punto P. [ ] 1 2 D. (6) Sono date la matrice B = e la conica C di equazione x xy y 2 2x =. 1. Diagonalizzare, se possibile, la matrice B mediante una matrice P ortogonale speciale. 2. Riconoscere la conica C e, usando 1, scriverne un equazione canonica. 3. Trovare il centro di simmetria di C e, usando la parte 1, dare le formule di cambiamento di coordinate per ottenere l equazione di C in forma canonica. 4. Usando i risultati precedenti, disegnare C nel sistema Oxy.

13 Esame scritto - 8 luglio 25 [.2cm] k 1 1 A. (6) Sono date le due matrici A = 1 1 k 2 b = k + 1 k k 1. Dire per ogni k IR quante soluzioni ha il sistema Ax = b. 2. Risolvere il sistema per k = Sia ora k = : dire perchè la matrice A è sicuramente diagonalizzabile e diagonalizzare A trovando matrice invertibile e P ortogonale tali che P 1 AP =. B.(3) Dato il numero complesso z = 1. Scrivere z in forma esponenziale. 2. Risolvere l equazione X 3 = z. 16i ( 3 + i) 6 : C. (2) Riconoscere la conica di equazione x 2 y 2 + 2x 4y = e scriverne una forma canonica. D. (5) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono date le rette r : 2y z = x + z 1 = e s : {x = t, y = t 1, z = 1 t. 1. Verificare che le due rette sono complanari e trovare il piano che le contiene. 2. Scrivere delle equazioni parametriche per le retta perpendicolare a r e a s e incidente entrambe. 3. Scrivere l equazione di una sfera S di raggio R = 2 e tangente alle due rette date. Esame scritto - 14 settembre k A. (6) Sono date le due matrici A = k 1 k b = 1 k k 2 k 1 [.2cm] 1. Dire per ogni k IR quante soluzioni ha il sistema Ax = b. 2. Verificare che per k = 1 le soluzioni del sistema sono un sottospazio di IR 3 e trovare una base ortonormale per questo sottospazio. 3. Sia ora k = : dire se la matrice A è diagonalizzabile e in caso affermativo diagonalizzare A trovando matrice invertibile e P invertibile tali che P 1 AP =. B.(2) Scrivere il numero complesso z = 1 i 3 in forma esponenziale e risolvere l equazione X 4 = z. C. (4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono date le rette r : 2x + z = x + y + 1 = e s : {x = 2t, y = 2t 3, z = 4t. 1. Verificare che le due rette sono parallele e trovare l equazione del piano che le contiene entrambe. 2. Calcolare la distanza tra le due rette. D (4) Data nel piano Oxy l ellisse γ avente centro in C(1, 2) e un vertice in A(3, ): 1. Determinare le coordinate di un altro vertice B di γ in modo che BC = Scrivere l equazione dell ellisse γ nel sistema di riferimento CXY avente origine in C, il punto A sull asse X e il punto B sull asse Y.

14 3. Scrivere le formule di cambiamento di coordinate tra il sistema Oxy e il sistema CXY. Esame scritto - 12 gennaio 26 A. (5) Dati i sottospazi W 1, W 2 di IR 4 definiti come segue: W 1 = {(x, y, z, t) IR 4 tali che x + 2y = x + t = x + 6y 2t = } W 2 = L{(1, 2,, ); (1,,, 1); (1, 6,, 2)} 1. Trovare una base e la dimensione di W Trovare una base e la dimensione di W Dire per quali k IR il vettore v = (1, 4, k 2 1, k) W 2. B.(5) Data la conica Γ di equazione alle domande seguenti 2xy 15y 2 2x + 3y 19 =, rispondere nelle apposite parentesi 1. Riconoscerne il tipo [La conica è...] 2. Determinare il centro di simmetria C di Γ. [C =...] 3. Determinare l equazione canonica di Γ. [Equazione canonica:...] 4. Determinare le equazioni degli assi di simmetria di Γ [assex :...assey :...]. C. (4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati i due punti A(1,, ) e B(1, 1, 2). 1. Calcolare la distanza dell origine O(,, ) dalla retta AB. 2. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza γ ottenuta ruotando il punto O attorno alla retta AB. 3. Scrivere una rappresentazione parametrica per la retta tangente alla circonferenza γ in O. x = 1 + t 4. Determinare, se esiste, una sfera contenente γ e avente centro sulla retta s : y = 1 z = 2 t D. (2) Scrivere il numero complesso z = l equazione X 3 = z. ( 1 + i 2 ) 11 in forma a + ib, in forma trigonometrica e risolvere. Esame scritto - 31 gennaio 26 A. (4) Dire per quali k IR il vettore v = (1,, 3) è autovettore per la matrice A = Per k = 7 diagonalizzare A. B.(5) Data, nel piano Oxy, l ellisse Γ di centro C(, 1), avente un vertice in A(2, 2) e un altro vertice B sull asse x: rispondere nelle apposite parentesi alle domande seguenti k 1. Determinare le equazioni degli assi di simmetria X, Y di Γ e le coordinate del punto B. [assex :...assey :...B =...]..

15 2. L equazione della conica nel sistema CXY è: [...] 3. Scrivere le formule di cambiamento di coordinate tra i due sistemi Oxy e CXY. Traslazione: Rotazione C. (4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati i punti A(1,, ), O(,, ) e B(1, 2, 2). 1. Verificare che il triangolo OAB è rettangolo in A e trovare un punto C in modo che il quadrilatero AOBC sia un rettangolo. 2. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza γ circoscritta al triangolo OAB. ( 1 i 3 ) D. (3) Scrivere un polinomio P (x) Cl [x] avente z 1 = i come radice, z 2 = come radice di 2 molteplicità 27 e tale che P () = 1. Esame scritto - 13 febbraio 26 A. Dato al variare di k IR il sistema lineare AX = b, dove x X = y 1 k 1 k 1 z, (A, b) = k 1 k 1 k k 1 k k t 2 2k + 1 k 2 2k (2) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. 2. (2) Per k = 1 risolvere il sistema e verificare che le soluzioni sono un sottospazio vettoriale di IR 4 ; trovare una base B per tale sottospazio e completare B ad una base E per IR 4. Sia ora k = (3) Sia M la [ sottomatrice ] di A costituita dalle prime due righe di A. Diagonalizzare la matrice C = MM T + mediante una matrice ortogonale P (1) Dire quante soluzioni ha l equazione CX 3X = C. B. (3) Dato il numero complesso z = i i. 3 Scrivere e disegnare nel piano di Gauss le radici dell equazione X 7 = z. C.(4) senza disegni verrà tolto 1 punto Dati nello spazio i punti A(1, 2, ), B(1,, 2), C(4,, ) e la circonferenza γ avente centro C e tangente alla retta AB, trovare: 1. l equazione del piano α contenente il triangolo ABC; 2. il piede H dell altezza del triangolo condotta dal vertice C; 3. determinare la retta asse di γ una rappresentazione cartesiana per γ. D.(1) Riconoscere la conica di equazione 4x 2 y 2 + 4x 2y = e (facoltativo) disegnarla nel piano (xy). :

16 A. Dato il sistema lineare AX = b, dove X = Esame scritto - 8 giugno 26 x y (A, b) = z 1 k 1 2 k 2 + 4k k 1 k 2 + 3k k + 1 k (3) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. Dire per quali valori di k le soluzioni del sistema costituiscono un sottospazio S IR 3 e per tali valori (se esistono) trovare una base F di S. 2. (1) Spiegare perchè il numero λ = è autovalore della matrice A del sistema per ogni k IR. 3. (2) Trovare i valori di k per cui il vettore (1,, 1) sia autovettore per la matrice A del sistema. Facoltativo: per tali valori dire se A è diagonalizzabile (vietato fare troppi calcoli...) (1) Sia ora k =, quindi A = 2 : calcolare, se esiste, l inversa della matrice M = A I. 1 1 B.(3) Dati i numeri complessi z 1 = 2e iπ/4 ; z 2 = 3 + i: 1. Scrivere z = 5z 1 /z 2 in forma a + ib. 2. Scrivere un polinomio Q(X) IR[X], di grado minimo avente z come radice e tale che Q() = 1. C.(2) Fissato nel piano un sistema di coordinate ortogonali Oxy, scrivere l equazione della conica di equazione y = x 2 nel sistema di coordinate OXY ottenuto ruotando gli assi di un angolo θ = π/6. D.(4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali Oxyz, Provare che l asse z e la retta di equazioni y 1 = x + 2z = sono sghembe, trovarne la distanza e la retta comune perpendicolare. A. Dato il sistema lineare AX = b, dove X = Esame scritto - 11 luglio 26 x y (A, b) = z 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k + 1 k k (5) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. Dire per quali valori di k le soluzioni del sistema costituiscono un sottospazio S IR 3, per tali valori (se esistono) trovare una base ortonormale F di S e completare F a base ortonormale per IR (2) Fissato il valore k = nella matrice A del sistema, dire se A è diagonalizzabile e in caso affermativo diagonalizzare A. B.(3) 1. Risolvere l equazione x 3 = 2 2e 3iπ/4. 2. Scrivere il polinomio Q(X) IR[X], di grado minimo avente tra le sue radici le soluzioni dell equazione al punto 1 e tale che Q() = 1. C.(3) Fissato nel piano un sistema di coordinate ortogonali Oxy, riconoscere la conica di equazione x 2 2xy + 2y 1 =, trovarne il centro di simmetria C e le coordinate di C nel sistema OXY ottenuto ruotando gli assi di un angolo θ = π/3. D.(3) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali Oxyz, provare che l asse z e la retta di equazioni y 1 = x + 2 = sono parallele, trovarne la distanza e il piano che le contiene. : :

17 A. Dato il sistema lineare AX = b, dove X = Esame scritto - 14 settembre 26 x y (A, b) = z k 2 2 k + 2 k 2k k 2 k (4) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema e risolverlo, se possibile per k =, per k = 2 e per gli eventuali valori di k per cui ha infinite soluzioni. 1 B (3) Diagonalizzare la matrice simmetrica M = 2 1, determinando una matrice ortogonale P e 1 2 una matrice diagonale tali che P T MP =. C.(3) 1. Determinare e disegnare nel piano di Gauss le radici dell equazione x 3 = i. 2. Scrivere il polinomio Q(X) IR[X], di grado minimo avente tra le sue radici il numero ( i) 4 e tale che Q() = 1. D.(2) Fissato nel piano un sistema di coordinate ortogonali Oxy, riconoscere e disegnare la conica di equazione x 2 2xy =. E.(4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali Oxyz, sia r la retta di equazioni y + z = x + 2 = : trovare la proiezione ortogonale s di r sul piano π : 2x y 2z = e trovare il piano contenente entrambe le rette r ed s. Esame scritto - 11 gennaio 27 A. (4) E data la matrice M M 3,3 (IR), M = /2 1. Diagonalizzare M trovando una matrice diagonale e una matrice P ortogonale tali che P T MP =, 2. Scrivere l equazione della conica C avente M come matrice associata. Riconoscere e disegnare C. (Non si richiede l equazione canonica). B. Dato al variare di k IR il sistema lineare AX = b, dove x X = y 1 2k k 1 z, (A, b) = 2 k 1 k + 3 k 2 1 k 2 1 k k k t 2 1. (2) Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. 2. (2) Dire per quali valori di k l insieme S delle soluzioni del sistema è uno spazio vettoriale e per tali valori trovare una base per S. Completare la base di S ad una base per IR 4. C. (3) Dato il numero complesso α = 1 i: 1. Determinare a Cl in modo che il polinomio F (x) = x 2 + x + a abbia α come radice. Per tale valore di a trovare anche l altra radice β di F (x). 2. Determinare un polinomio P (x) a coefficienti reali di grado minimo che abbia come radici quelle del polinomio F (x) del punto 1 e tale che P () = 3. : :

18 D. Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz. Sono dati i punti A(2, 2, ) B(2,, 2) C(, 2, 2). 1. (2) Verificare che i punti A, B, C sono i vertici di un triangolo equilatero e determinarne l area. 2. (1) Trovare l equazione del piano contenente i tre punti A, B, C. 3. (2) Trovare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza passante per i tre punti A, B, C. Analisi 1+ Geometria 1 - Ingegneria Chimica ed Elettrica - 1 febbraio 27 x A. (4) Dato il sistema lineare AX = b, dove X = y 1 2 k z (A, b) = 2 4 k 1 2k 1 2 k k 1 2k t 1. Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. 1 2 k R Riducendo ottengo k 1 per cui se k e k 2 il sistema ha 1 soluzioni (in k 2 2k funzione dell incognita non pivotale t). 1 2 Se k = riducendo ancora ottengo 1 per cui il sistema ha 2 soluzioni (sistema omogeneo) Se k = 2 ottengo 2 1 per cui il sistema non ha soluzioni Dire per quali valori di k le soluzioni del sistema costituiscono un sottospazio di IR 4. Per tali valori di k trovare una base per il sottospazio delle soluzioni. R Le soluzioni del sistema sono un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo, quindi solo per k =. In questo caso l insieme delle soluzioni è S = {( 2y, y, z, ), y, z IR}. ( 2y, y, z, ) = y( 2, 1,, )+ z(,, 1, ) = base di S =< ( 2, 1,, ); (,, 1, ) >. B. (5) La matrice M = ha polinomio caratteristico P M (x) = x(x 1) 2 : 1. Determinare una base per ogni autospazio di M e se possibile scrivere P matrice invertibile e matrice diagonale che diagonalizzano M. R M ha due autovalori λ 1 =, λ 2 = 1 (µ(λ 2 ) = 2). Trovo i due autospazi: V = {( z, z, z), z IR} = L{( 1, 1, 1)}; V 1 = {( y + z, y, z), z IR} = L{( 1, 1, ); (1,, 1)} Quindi M è diagonalizzabile e P 1 MP = con P = 1 1 = Determinare una base ortonormale per ogni autospazio di M e dire se una matrice Q che ha come colonne l unione delle basi ortonormali trovate è invertibile e/o ortogonale. La matrice Q diagonalizza M?

19 R Base ortonormale di V =< ( 1/ 3, 1/ 3, 1/ 3). Per trovare una base o.n. di V 1 fisso v 1 = ( 1, 1, ) e cerco v 2 = ( y + z, y, z) in modo che v 1 v 2 = ( 1, 1, )( y + z, y, z) = = 2y z = = v 2 = (y, y, 2y), scelgo v 2 = (1, 1, 2) e una base o.n. per V 1 è < ( 1/ 2, 1/ 2, ); (1/ 6, 1/ 6, 2/ 6) >. La matrice Q è invertibile e diagonalizza M perchè le colonne sono una base di IR 3 costituita da autovettori per M, ma Q non è ortogonale perchè la matrice M non è simmetrica e quindi i due autospazi non possono essere ortogonali; infatti ( 1, 1, 1)( 1, 1, ) = 2. C. (3) Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz, sono dati i punti P (1,, ) e Q(3, 2, 2) 1. Trovare l equazione del piano π asse del segmento P Q. R Il piano π passa per il punto medio M(2, 1, 1) del segmento P Q e ha M P = (1, 1, 1)come vettore normale, quindi la sua equazione è x + y + z = Scrivere l equazione della sfera S avente centro in Q in modo che la sua intersezione col piano π sia una circonferenza γ avente raggio = 2 e scrivere delle equazioni per γ. R La distanza di Q dal piano π vale d(q, π) = = 3. Quindi il raggio delle sfera deve essere R = 5. La sfera ha quindi equazione {(x 3) 2 + (y 2) 2 + (z 2) 2 = 5. (x 3) Delle equazioni per la circonferenza γ sono 2 + (y 2) 2 + (z 2) 2 = 5 x + y + z = 4. D (2) E data la conica γ di equazione x 2 3y 2 6y =. 1. Riconoscere e scrivere una forma canonica completando i quadrati per la conica γ trovandone, se esiste, il centro di simmetria. R Completo i quadrati e ottengo x 2 3(y + 1) = ; quindi il centro di simmetria è C(, 1), l X 2 equazione canonica è 3 Y 2 = 1 e la conica è un iperbole. 2. Trovare l inversa della matrice 3 3 associata all equazione x 2 3y 2 6y = della conica γ. R Si ha la matrice A = e risulta A 1 = E. (2) Dato il numero complesso α = 2 3 (cos π 6 i senπ 3 ): 1. Scrivere α in forma esponenziale e determinare almeno un valore n IN tale che α n IR. R α = (cos 2 i sen 2 ) = 3 3i = 3 2e iπ/4. Si vede subito che α 4 = (3 2) 4 e iπ = 162 IR, quindi va bene n = Scrivere un polinomio P (x) a coefficienti complessi avente α come radice e tale che P(3)=3. R P (x) = (x 3 + 3i)Q(x) con Q(x) Cl [x] sostituendo ottengo 3 = P (3) = 3iQ(3) = Q(3) = i e posso scegliere P (x) = i(x 3 + 3i).

20 Esame di Analisi 1 + Geometria 1 - Chimici e Elettrici 15 febbraio 27 A (4) Dato il numero complesso α = 29 (1 + 2i)(1 + 3i) 5( 3 + i) Scrivere α in forma a + ib e in forma esponenziale. 2. Disegnare nel piano di Gauss α e le sue radici cubiche (anche senza determinarle esplicitamente, basta un disegno preciso). R (1 + 2i)(1 + 3i) = 5 + 5i, ( 3 + i) 9 = 2 9 e i9π/6 = 2 9 i = α = 1 + i i = 1 i = 2e i5π/4. Si disegnano ai vertici di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio 6 2 con un vertice nella prima radice che ha argomento 5 12 π cioè 15. B (4) Dato il sistema lineare nelle incognite x, y, z, t x + (k + 1)y+ z+ kt = k 1 y+ kz = 2x + 2t = 1. Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema e risolverlo, se ha soluzioni, per k = Determinare i valori di k IR tali che le soluzioni del sistema siano un sottospazio V IR 4. Per tali valori di k determinare una base per V. R. Il sistema deve essere omogeneo per cui k = 1. Per tale k il sistema ha ρ = 3 = dim V = 4 3 = 1. V = {( t,,, t), t IR} = una base di V è B =< ( 1,,, 1) >. 3. Per i valori di k trovati al punto 2, costruire una matrice diagonalizzabile 4 4 M tale che V sia l autospazio di M associato all autovalore λ = R. Scelgo per esempio M = P 1 P con = P = 1 1, in modo 1 1 che l altro autospazio sia V = L{(, 1,, ), (,, 1, ), (,,, 1)}. C (4) Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate { cartesiane ortogonali monometriche x + y z = destrorse Oxyz, sono dati il punto P ( 1, 1, 1) e la retta r : z = 3x 1. Trovare il simmetrico P di P rispetto a r. 2. Scrivere delle equazioni per la circonferenza γ ottenuta ruotando il punto P attorno a r e determinare la retta tangente a γ in P. D (4) Data al variare di k IR la famiglia di coniche di equazioni 3x 2 + 2xy + ky 2 1 = : 1. Dire se esiste qualche valore di k per cui la conica è una parabola. 2. Riconoscere, scrivere in forma canonica diagonalizzando la matrice della forma quadratica e disegnare nel piano Oxy la conica C ottenuta per k = 3.

21 Esame di Analisi 1 + Geometria 1 - Chimici e Elettrici 7 giugno 27 [.2cm] A (5) Dato il numero complesso α = (i 3) 6 2e iπ/ Scrivere α in forma a + ib e in forma esponenziale. 2. Determinare e disegnare nel piano di Gauss il numero α e le radici dell equazione X 5 = α. Scrivere in forma a + ib con 2 cifre decimali esatte una radice che si rappresenta nel primo quadrante. R....quad( 3 + i) 9 = 2 9 e i9π/6 = 2 9 i = α = 1 + i = 1 i = 2e i5π/4. i x +y +z t = 2 2y z t = 3 B (5) Dato il sistema lineare nelle incognite x, y, z, t x +2y +z t = 4 2x +2y +2z t = k 1. Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema e determinare i valori di k IR tali che (1, 2, 3, 4) sia una soluzione del sistema. 2. Determinare, se esiste, la matrice inversa della matrice A dei coefficienti del sistema e, in tal caso, risolvere il sistema usando A 1. C (3) Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate { cartesiane ortogonali monometriche x + y z = destrorse Oxyz, sono dati il punto P ( 1, 1, 1) e la retta r : z = 3x 1. Trovare l equzione del piano Π contenente r e P. 2. Determinare il raggio della circonferenza γ avente centro nel punto P e tangente a r. 3. Scrivere delle equazioni per la circonferenza γ. D (3) Determinare per la matrice simmetrica M = 1 5 2, avente polinomio caratteristico P M (x) = x 3 12x x, una una matrice ortogonale P e una matrice diagonale tali che P T MP =. Analisi 1 + Geometria 1 per Ingegneria chimica e ingegneria elettrica Esame scritto - 13 settembre 27 - Parte di Geometria 1 k 1 [ 2k k 2, b = x, x = y k 1 k 1 A (7) Date al variare di k IR le matrici A = 1. Discutere al variare di k IR la caratteristica della matrice A. 2. Dire quante soluzioni ha il sistema A x = b per k =, k = 1, e k = 2, e risolverlo quando possibile. 3. Per k = trovare una base ortonormale per il sottospazio di IR 3 generato dalle colonne della matrice A. 4. Per k =, data la matrice (A b) = del sistema precedente, trovarne gli autovalori, una base per ogni autospazio e dire se (A b) è diagonalizzabile. B (4) Data, nel piano Oxy, la famiglia di coniche di equazione x 2 + 2λxy + 2y 2 + 2x = : 1. Riconoscere la conica al variare di λ IR. 2. Per λ = scrivere un equazione canonica par la conica e disegnarla nel piano Oxy. ] :

22 C (4) Nello spazio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz, sono dati il punto P ( 3,, 1), la retta r e il piano π aventi rispettivamente equazioni r : y 1 = 2x + z =, π : 3x + y z 1 =. 1. (2) Trovare la proiezione ortogonale H di P su r. 2. (2) Trovare la proiezione ortogonale K di P su π e dire se il triangolo P HK è rettangolo in H. [R. H = ( 1,, 2), K = (, 1, ); (P H) (K H), quindi il triangolo P HK è rettangolo.] D (1) Scrivere in forma a + ib e in forma esponenziale il numero complesso z = e 1+iπ/2 + i 24 e. [R. z = ei + e. Esame di Analisi 1 + Geometria 1 - Chimici - Elettrici - 11 gennaio 28 x + y + z = 3 2x y + 4z = 5 A (4) Dato il sistema lineare dipendente da k IR. 3y z = 2 5x y z = k 1. Determinare i valori di k IR per cui il sistema ha soluzione e per tali valori risolverlo. 2. Sia V il sottospazio di IR 4 generato dalle colonne della matrice dei coefficienti del sistema A. Dire quanto vale dim(v ) e scrivere un sistema di generatori per V che non sia base. B (4) 1. Disegnare nel piano di Gauss tre soluzioni distinte dell equazione i 15 e z = 1 nell incognita z Cl. 2. Trovare un polinomio P (x) IR[x] avente 1 i come radice doppia e tale che P () = 2. C (4) Data la conica x 2 2kxy + ky 2 + 2x = dipendente da k IR. 1. Riconoscere la conica al variare di k IR. Sia ora k = 2: 2. Trovare una matrice otogonale P e una matrice diagonale tali che P T BP =, dove B è la matrice della forma quadratica della conica. D (4) Nello spazio nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz, sono dati i due punti A(1,, ) e B(1, 1, 2). 1. Scrivere una rappresentazione parametrica per la retta r passante per A e B. 2. Trovare l area deel paarallelogramma di spigoli OA, OB. 3. Scrivere il piano α contenente r e ortogonale al piano β : x + 2y z = Esame di Analisi 1+Geometria1 - Ingegneria Chimica e Elettrica - 5 febbraio 28 k 1 k + 1 A [5] Dati la matrice A e il vettore b dipendenti da k IR: A = 1 1, b = (k 2 + k) 1 k 1. Discutere al variare di k IR il numero di soluzioni del sistema A x = b. [ R. Per k e k 1 una sola soluzione, per k = 1 2 soluzioni, per k = nessuna soluzione.] 2. Per i valori di k per cui l insieme S delle soluzioni del sistema è un sottospazio di IR 3, trovare una base ORTONORMALE per S. [ R. Per k = 1 il sistema è omogeneo quindi S è un sottospazio. Una base ortonormale per S è < (1,, ); (, 1/ 2, 1/ 2) >.]

23 3. Determinare i valori di k per cui la suddetta matrice A = k (k 2 + k) 1 k sia simmetrica e per tali valori trovare una matrice P ORTOGONALE e una matrice diagonale tali che P T AP =. [ R. La matrice è simmetrica solo per k = 1. In questo caso per esempio scelgo = 2, P = 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2. B [2] Data la famiglia di coniche di equazione x 2 + 2(k 1)xy + y 2 2kx =, k IR, 1. Dire per quali valori di k IR la conica è un iperbole. 1 k 1 k [ ] [R. Le matrici associate sono A = k k 1 B =. k 1 1 k Devo avere detb <, deta, quindi la conica è iperbole per k < e per k > 2. ] 2. Dire se per qualche valore di k la conica è una circonferenza. In caso affermativo trovarne centro e raggio. [R. La conica è una circonferenza per k = 1, con centro C(1, ) e raggio R = 1.] C [4] Nello spazio nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz, sono dati i due punti A(, 3, 4) e B(, 4, 3). 1. Determinare un punto C sull asse x in modo che l area del parallelogramma di spigoli CA e CB sia 49. [ R. Deve essere C(t,, ), e B C A C = 49. Quindi C(,, ).] 2. Scrivere il piano α contenente A, C, O. [R. x = ] 3. Trovare il punto simmetrico dell origine rispetto alla retta AB. [ R. Il simmetrico O è il quarto vertice del rombo con vertici OAB. Quindi O = (, 7, 7).] D [4] 1. Trovare e disegnare nel piano di gauss le soluzioni dell equazione x 4 = ( 1 + i) 4. [ R. le soluzioni sono ±1 ± i.] 2. Scrivere un polinomio P (x) a coefficienti complessi di grado minimo avente come radice doppia (-1+i) e che inoltre soddisfi la condizione P () =. [R. Per esempio P (x) = x(x + 1 i) 2. ] Analisi 1 + Geometria 1 per Ingegneria chimica e ingegneria elettrica Esame scritto - 9 giugno 28 - Parte di Geometria A (9) Date al variare di k IR le matrici A = 9 k 3 k, b = k, x = k 1. Discutere al variare di k IR il numero di soluzioni del sistema A x = b. 2. Per k = diagonalizzare la matrice A trovando una P ortogonale e una diagonale tali che P t AP =. 3. Sempre per k =, scrivere l equazione della conica γ associata alla matrice A + I, riconoscere γ, trovarne un equazione in forma canonica e il sistema di coordinate corrispondente. x y z :

24 Risposte 1. Se k = 3/4 1 soluzioni, se k 3/4 nessuna soluzione. 2. A è simmetrica quindi esistono P e per il teorema spettrale. Autovalori λ = 1, λ = (µ = 2). Autospazi V = {(x, y, 3x), x, y IR} V 1 = {(3x,, x), x IR}. Quindi P = 1/ 1 3/ 1 1 3/ 1 1/ 1, = 1 3. La conica ha equazione 8x 2 + y 2 + 6x =. E iperbole con equazione canonica 8X 2 Y 2 9/8 =. B (4) Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz, sono dati i due punti A(1,, ), O(,, ) e la retta r : x z + 2 = y z =. 1. Verificare che A, O, r sono contenuti in uno stesso piano e trovarne l equazione. 2. Determinare P r in modo che il triangolo OAP sia rettangolo in e trovare il quarto vertice B del rettangolo AOP B. Determinare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza circoscritta al triangolo OAP. Risposte 1. Nel fascio di piani di asse r : λ(x z+2)+µ = (y z) = il piano passante per O(,, ) è α : y z =. Questo piano contiene anche il punto A. Quindi A, O, r sono contenuti in α 2. Parametriche di r : (t 1, t, t). Preso P (t 2, t, t) r, imponendo che i vettori AO e P O siano ortogonali si ottiene t = 2, P = (, 2, 2). La circonferenza e data dall intersezione della sfera con centro in M = punto medio di AB e raggio MO = AB/2 con il piano y z = trovato al punto (1). ( 1 i 3 ) 3 C (3) Dato il numero complesso z = i scrivere z in forma a + ib, e risolvere l equazione x 4 = z. 2 Risposte 1 i 3 = e π 3 i. Quindi z = ie πi = i. Le radici sono x k = e 3π/2+2kπ 4 i, k =, 1, 2, 3. 2 Esame scritto - 1 luglio 28 - Parte di Geometria e 2πi ( i)9 A (5) E data la matrice M M 2,2 (Cl ), M = 1 3i 1. i 1 + 2i 1. Dire se M è invertibile e se possibile trovare l inversa di M. 2. Disegnare nel piano di Gauss le soluzioni dell equazione X 4 = det M. B (6) Data la conica x 2 6xy + 3ky 2 + 2kx = dipendente da k IR. 1. Riconoscere la conica al variare di k IR. 2. Per il valore di k per cui la conica è una parabola trovare una matrice ortogonale P e una matrice diagonale tali che P T BP =, dove B è la matrice della forma quadratica della conica. 3. (facoltativo) Trovare un equazione canonica della conica. C (5) Sono dati al variare di k IR i tre piani α, π, σ di equazioni π : x + y + kz = k, σ : x + 2y + z = 3 α : 2x + ky + 4z =. 1. Studiare al variare di k IR l insieme π σ α: - dire per quali k l intersezione π σ α è una retta [R. ] - dire per quali k IR vale che π σ α = [R. ] - dire per quali k IR vale che π σ α è un solo punto [R. ] - dire se esiste k tale che la retta π σ sia parallela al piano α [R. ]..