Corso di Laurea in Scienze Biologiche Prova scritta di Matematica del 26/01/2007

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1 Corso di Laurea in Scienze Biologiche Prova scritta di Matematica del 6/0/007 COGNOME NOME MATRICOLA 3 sin( ) e 3 + ) Determinare ( cos()) Possibile svolgimento Il ite proposto si presenta nella forma indeterminata [ ] 0 0 Calcoliamolo utilizzando ripetutamente il Teorema di de l Hopital Si ha 3 sin( ) e 3 + ( cos()) (H) cos( ) e 3 ( cos()) + sin() (cos( ) e 3 ) ( cos()) + sin() (H) ( sin( ) 6e 3 ) 3 sin() + cos() (H) ( sin( ) 6 cos( ) 6e 3 36 e 3 ) cos() + sin() ) Per esercizio: verificare che 6 8 cos(3 ) + 3e sin() 3 log( + 3) 3 arctan() 3) Determinare (e ) Possibile svolgimento Il ite proposto si presenta nella forma indeterminata [ ] 0 0 Calcoliamolo utilizzando ripetutamente il Teorema di de l Hopital Si ha log( + 3) 3 arctan() (e ) ) Per esercizio: verificare che (H) e + e 6( + 3) 6( + ) e + e (H) 8( + 3) 8( + ) 8 e + e 9 3 log( + ) arctan(3) sin() 6

2 ) Determinare se in 0 0 la funzione ( e ) se > 0 f() + (e + e ) se 0, risulta continua e se risulta derivabile Possibile svolgimento Osserviamo che f(0) f() Per calcolare il ite destro + f() sfruttiamo il ite notevole insieme alle proprietà dei iti Si ha e, ( e ) e + + ne segue + f() e perciò la funzione data è continua in 0 0 Calcoliamone la derivata in IR \ {0} Per < 0 si ha mentre per > 0 si ha ( ) f () D (e + e ) e e, ( ( e f )) () D e ( + ) (e )( + ) + ( + ) e ( ) + + ( + ) Ne deduciamo e ( ) + + > 0, f () ( + ) e e < 0 Calcoliamo ora il ite destro e sinistro di f () per 0 Osserviamo che Inoltre, e ( ) + + ( + ) e e 0 e ( ) (H) e ( + ) (H) e ( + 8) Si ha dunque f () 0 + f () Ne segue che la funzione f è continua e derivabile in 0 0 e risulta f (0) 0

3 Per esercizio: giungere alla stessa conclusione applicando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale ) Per esercizio: verificare che la funzione è continua e derivabile in 0 0 con f (0) 0 3) Determinare se in 0 0 la funzione e se > 0 f() log( ) cos() se 0, log( + ) se > 0 f() se 0, risulta continua e se risulta derivabile Possibile svolgimento Osserviamo che f(0) f() Per calcolare il ite destro + f() sfruttiamo i due iti notevoli log( + ) insieme alle proprietà dei iti Si ha e + log( + ) + log( + ) + ne segue + f() e perciò la funzione data è continua in 0 0 Calcoliamone la derivata in IR \ {0} Per < 0 si ha mentre per > 0 si ha Ne deduciamo f () D f () f () D ( + 3 ) 6, ( log( + ) + ) + + log(+) + ( + ) + + log(+) + ( + ) > 0, 6 < 0 Osserviamo ora che, mentre si ha f () 6 0, il calcolo del ite destro di f () per 0 richiede un po di calcoli algebrici ed è lasciato per esercizio Conviene quindi svolgere l esercizio applicando la definizione di derivata (destra, in questo caso) come ite del rapporto incrementale Calcoliamoci quindi il ite f() f() + + Lo calcoliamo (per 0) con il Teorema di de l Hopital: ( ) log( + ) log( + ) ( + )

4 log( + ) ( + ) (H) ( + )( ) (H) + Concludiamo che f () 0 + f () 0 0 e risulta f (0) 0 ) Per esercizio: verificare che la funzione ( + ) ( 3 + ) 0 0 f() è continua e derivabile in 0 0 con f (0) 0 log( + ) + se > 0 Infine la funzione f è continua e derivabile in (e + e ) se 0, 3) Determinare il numero di soluzioni dell equazione arctan( ) + π Possibile svolgimento Consideriamo la funzione f : IR IR f() arctan( ) + Abbiamo allora che è una soluzione dell equazione data se e solo se f() π Quindi il problema proposto si riconduce alla determinazione delle intersezioni del grafico della funzione y f() con la retta orizzontale y π La funzione f è continua su IR (giustificare questa affermazione); per studiarla riscriviamola nel modo seguente: { arctan( ) + se f() arctan( ) + se < Tralasciamo lo studio del segno; osserviamo solo che si ha f() e f() > 0 per ogni (giustificare questa affermazione) Inoltre, essendo l arcotangente una funzione itata, abbiamo f() + + e f() Per studiare la monotonia di f calcoliamone la derivata prima (lo studio della derivabilità in 0 è lasciato per esercizio) Per < si ha f () D ( arctan( ) + ) + ( ) + ( ) + ( )

5 e analogamente per > si ha Ne deduciamo f () D ( arctan( ) + ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + 3 se > + ( ) f() ( ) se < + ( ) Studiamo il segno di f () Osserviamo subito che f () > 0 per > ; mentre, per <, f () ha lo stesso segno di ( ) ( ) Abbiamo così f () > 0 per < 0 (oltre che per > ), e f () < 0 per 0 < < ; f () 0 per 0 Perciò la funzione f è crescente nei due intervalli ilitati (, 0) e (, + ), ed è decrescente in (0, ) Ne segue che per 0 la funzione data ammette un valore massimo relativo dato da f(0) π, mentre per la funzione data ammette un valore minimo relativo dato da f() Un semplice studio del grafico permette di determinare al variare di α IR il numero di soluzioni dell equazione arctan( ) + α Si ha infatti: α < c è una sola soluzione (negativa); α ci sono soluzioni; < α < π ci sono 3 soluzioni; α π α > π ci sono soluzioni; c è una sola soluzione (positiva) In particolare ne deduciamo che l equazione data arctan( ) + π ha due soluzioni 3) Per esercizio: determinare il numero di soluzioni dell equazione arctan( ) ) Determinare il numero di soluzioni in IR \ {0} dell equazione e Possibile svolgimento Consideriamo la funzione f : IR \ {0} IR f() e

6 Abbiamo allora che 0 è una soluzione dell equazione data se e solo se f() Quindi il problema proposto si riconduce alla determinazione delle intersezioni del grafico della funzione y f() con la retta orizzontale y La funzione f ha come dominio l insieme IR \ {0} { IR : 0}, insieme in cui è continua (giustificare questa affermazione); per studiarla riscriviamola nel modo seguente: e se f() e se <, 0 Studiamone il segno; a questo scopo la riscriviamo così: e se f() e e se <, 0 e Essendo e > 0 per ogni, si vede che f() ha lo stesso segno di : si ha quindi f() > 0 per > 0 e f() < 0 per < 0; in particolare la funzione f non è mai nulla Calcoliamo i iti di f agli estremi del suo dominio: si trova subito f() + e f() Abbiamo poi f() + e + + f() per la gerarchia degli infiniti Per studiare la monotonia di f calcoliamone la derivata prima in IR \ {0} (lo studio della derivabilità in 0 è lasciato per esercizio) Per <, 0 si ha ( ) e f ( + )e () D e analogamente per > si ha Ne deduciamo ( ) e f () D f() ( )e ( )e se > ( + )e se <, 0 Studiamo il segno di f () Osserviamo subito che f () > 0 per > ; mentre, per < e 0, f () ha lo stesso segno di ( + ) Abbiamo così f () > 0 per < (oltre che per > ), e f () < 0 per < < 0 e 0 < < ; f () 0 per Perciò la funzione f è crescente nei due intervalli ilitati (, ) e (, + ), ed è decrescente nei due intervalli aperti (, 0) e (0, ) Ne segue che per la funzione data ammette un valore massimo relativo dato da f( ) e, mentre per la funzione data ammette un valore minimo relativo dato da f() Infine il comportamento per 0 è stato studiato in precedenza Un semplice studio del grafico permette di determinare al variare di α IR il numero di soluzioni dell equazione Si ha infatti: e α

7 α < e ci sono soluzioni (entrambe negative); α e c è una sola soluzione ( ); < α < non ci sono soluzioni; α c è una sola soluzione ( ); α > ci sono soluzioni (entrambe positive) In particolare ne deduciamo che l equazione data e ha due soluzioni; possiamo anche aggiungere che queste soluzioni saranno una compresa tra 0 e e l altra maggiore di (giustificare questa affermazione) 3) Per esercizio: determinare il numero di soluzioni dell equazione e ) Calcolare l integrale 6 9 ( ) d Possibile svolgimento Calcoliamo prima di tutto l integrale indefinito sostituzione razionalizzante y Si ha y, da cui d y dy e perciò ( ) d y y (y ) dy y(y ) dy ( ) d tramite la Per calcolare l integrale della funzione razionale, determiniamo A, B IR tali che y(y ) y(y ) A y + B y Si ottiene A e B e quindi y(y ) dy y dy + y dy log y + log y + c log y y + c Tornando poi alla variabile si ha ( ) d log + c Passando infine all integrale definito, si trova 6 9 ( ) d log 3

8 (verificare per esercizio sfruttando le proprietà dei logaritmi) In alternativa si poteva operare il cambiamento di variabile y nell integrale definito ottenendo 6 (verificare per esercizio) ) Per esercizio: verificare che 9 log(7) ( ) d 3 y(y ) dy log 3 ( + ) d log 3 6e 3) Calcolare l integrale log(5) e 9 d Possibile svolgimento Calcoliamo prima di tutto l integrale indefinito d tramite la sostituzione razionalizzante y e Si ha dy e d e perciò 6e e 9 d 6 y 9 dy Per calcolare l integrale della funzione razionale Si ottiene A e B e quindi 6 (y 3)(y + 3) dy Tornando poi alla variabile si ha 6 (y 3)(y + 3) dy 6e e 9 6, determiniamo A, B IR tali che (y 3)(y + 3) 6 (y 3)(y + 3) A y 3 + B y + 3 y 3 dy y + 3 dy log y 3 log y c log y 3 y c 6e e 9 d log e 3 e c Passando infine all integrale definito, ricordando l identità e log(r) r valida per ogni numero reale positivo r, si trova log(7) 6e log(5) e 9 d log 0 log 8 log 8 5 (verificare per esercizio sfruttando le proprietà dei logaritmi) In alternativa si poteva operare il cambiamento di variabile y e nell integrale definito ottenendo log(7) log(5) (verificare per esercizio) ) Per esercizio: verificare che 6e 7 e 9 d 6 5 y 9 dy log 8 5 log(6) log() e e d log 3

9 5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy y () + cos() y() cos() sin() y( π) 0 Possibile svolgimento Determiniamo per prima cosa l integrale generale dell equazione differenziale y () + cos() y() cos() sin() in un intorno del punto 0 π A questo scopo prima di tutto calcoliamo l integrale indefinito cos() sin() d Si tratta di un integrale immediato in quanto D(sin()) cos() Si ha dunque cos() d log sin() sin() (attenzione al modulo!) Tenendo conto del fatto che varia in un intorno di 0 π, possiamo itarci a considerare l equazione differenziale nell intervallo (0, π); notiamo infatti che sin() > 0 per ogni (0, π) Dunque possiamo liberarci del valore assoluto nell integrale indefinito: cos() d log sin() log(sin()), (0, π) sin() Moltiplicando entrambi i membri dell equazione differenziale data per e log(sin()) sin(), si ottiene la seguente equazione ad essa equivalente: D(sin()y()) sin() cos() Calcoliamo l integrale immediato sin() sin() cos() d d cos() + c Concludiamo che l equazione differenziale data ammette, nell intervallo (0, π), il seguente integrale generale: y() cos() + c sin() Infine, per determinare la soluzione del problema di Cauchy, ricaviamoci il valore della costante c imponendo che valga la condizione y( π ) 0 Si trova c 0 La soluzione del problema di Cauchy assegnato è quindi y() cos() cos() sin() sin() In alternativa si poteva applicare la formula risolutiva per equazioni differenziali lineari del primo ordine (svolgere i calcoli per esercizio); infine, in questo tipo di esercizi si richede di eseguire la verifica che la funzione trovata risolve il problema di Cauchy assegnato 5) Per esercizio: determinare la soluzione del problema di Cauchy y () sin() y() sin() cos() y( π) 0

10 53) Determinare la soluzione del problema di Cauchy y () + 3 y() y() 0 Possibile svolgimento Determiniamo per prima cosa l integrale generale dell equazione differenziale y () + 3 y() in un intorno del punto 0 A questo scopo prima di tutto calcoliamo l integrale immediato 3 d log 3 (attenzione al modulo!) Tenendo conto del fatto che varia in un intorno di 0, possiamo itarci a considerare l equazione differenziale nella semiretta (0, + ); dunque possiamo liberarci del valore assoluto nell integrale indefinito: 3 d 3 log(), (0, + ) Moltiplicando entrambi i membri dell equazione differenziale data per e 3 log() 3, si ottiene la seguente equazione ad essa equivalente: D( 3 y()) 3 Calcoliamo l integrale immediato 3 3 d 3 + c Concludiamo che l equazione differenziale data ammette, nell intervallo (0, + ), il seguente integrale generale: 3 y() 3 + c Infine, per determinare la soluzione del problema di Cauchy, ricaviamoci il valore della costante c imponendo che valga la condizione y() 0 Si trova 3 + c 0, da cui c 3 La soluzione del problema di Cauchy assegnato è quindi y() ( 3 ) In alternativa si poteva applicare la formula risolutiva per equazioni differenziali lineari del primo ordine (svolgere i calcoli per esercizio); infine, in questo tipo di esercizi si richede di eseguire la verifica che la funzione trovata risolve il problema di Cauchy assegnato 5) Per esercizio: determinare la soluzione del problema di Cauchy y () + y() y() 0