POTENZIALE V T O R I ELETTRICO g. bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.) Introduzione

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1 Introduzione Mentre era su una piattaforma panoramica questa ragazza si accorse che i suoi capelli le si rizzavano in testa. Suo fratello, divertito, le scattò questa foto. Cinque minuti dopo un fulmine cadde sulla piattaforma e la distrusse. Molti fenomeni elettrici sono associati a trasferimenti di grandi quantità di energia. Per esempio, un fulmine che si abbatte a terra libera energia per circa 10 8 J sotto forma di luce, calore, onde acustiche e altre vibrazioni meccaniche. Da dove viene tutta questa energia e come è immagazzinata dentro le nuvole?

2 Introduzione L approccio energetico allo studio della dinamica ha portato a delle semplificazioni e ad una comprensione più profonda della materia Un vantaggio pratico del metodo energetico è che mentre la forza è un vettore l energia è uno scalare Inoltre l energia è connessa al lavoro compiuto dalle forze ed obbedisce ad una legge generale di conservazione Il metodo energetico viene esteso allo studio dell elettrostatica. Si introduce l energia potenziale elettrica ed il concetto di potenziale elettrico Si mostra infine che campo elettrico e potenziale elettrico sono completamente correlati; dato uno, si può ricavare l altro

3 Forze elettrostatiche e gravitazionali: approccio energetico F g = G m 1 m 2 r 12 2 g = ˆr 12 forze radiali dipendenti solo dalla distanza F e = 1 q 1 q 2 2 r 12 F g E = m 0 Sono forze conservative F e q 0 ˆr 12 Forze Campi integrale di linea L ab = b a F d s non dipende dal percorso

4 Forze elettrostatiche e gravitazionali: approccio energetico Il lavoro fatto da una forza conservativa nello spostamento da un punto a ad un punto b qualsiasi del campo di definizione non dipende dal percorso Differenza di energia potenziale Energia potenziale ( ) ; ΔU = L ab ; U b U a = F d s U x, y, z b a U b = b F ds +U a U a = 0 a (nel punto a arbitrario) U b = b a F d s Importante differenza Le forze gravitazionali sono solo attrattive Le forze elettrostatiche sono attrattive e repulsive

5 Differenza di energia potenziale elettrica U b U a = L ab = b a F d s = q b a E d s particella mobile da a a b campo elettrico generato da una distribuzione di cariche integrale indipendente dal cammino Sistema di due cariche (Lavoro = lavoro della forza elettrica) segni opposti (attrazione) si allontanano si avvicinano segni uguali (repulsione) si allontanano si avvicinano L ab < 0 ΔU > 0 U L ab > 0 ΔU < 0 U L ab > 0 ΔU < 0 U L ab < 0 ΔU > 0 U aumenta [sistema immagazzina] diminuisce [sistema rilascia] diminuisce [sistema rilascia] aumenta [sistema immagazzina] sistema immagazzina E => energia che arriva al sistema da lavoro esterno

6 Energia potenziale di due cariche differenza di energia potenziale U b U a = q 2 U b U a = 1 q 1 q 2 Vale per qualsiasi combinazione di segni delle cariche Vale per qualsiasi a e b Vale per qualsiasi cammino che unisce a e b b r b r b E ds = q 2 E xi dr i = q 2 E x dr a r a r b dr = 1 $ 1 q r 2 1 q 2 & 1 % r b r a U a = 0 quando r a = arbitrariamente r a r a ' ) ( Energia potenziale elettrica U ( r) = 1 q 1 q 2 r Energia potenziale gravitazionale U r ( ) = G m 1 m 2 r

7 Energia potenziale di un sistema di cariche (cariche puntiformi trattenute in posizioni fisse da forze esterne ) U ( r) = 1 q 1 q q 1 q q 2 q 3 r 12 r 13 r 23 Interpretazione dell energia potenziale di un sistema L energia potenziale è una proprietà del sistema non di ogni singola carica L energia potenziale è una quantità scalare si trasporta la carica q 1 dall infinito si trasporta la carica q 2 dall infinito si trasporta la carica q 3 dall infinito lavoro di un agente esterno L e = 0 U = 0 L e 0 L e =U = 1 q 1 q 2 r 12 L e 0 L e = 1 q 1 q q 2 q 3 r 13 r 23 U = 1 q 1 q q 1 q q 2 q 3 r 12 r 13 r 23

8 Energia potenziale di un sistema di cariche L energia potenziale elettrica di un sistema di particelle puntiformi fisse è uguale al lavoro che un agente esterno deve fornire per aggregare il sistema stesso, trasportando ogni carica nella sua posizione da una distanza infinita esempio r 1 =r 2 =r 3 =d=12 cm, q 1 =+q, q 2 =-4q, q 3 =+2q, q=150 nc U = 1 " +q $ # ( )( 4q) d ( )( +2q) + +q = ( Nm 2 / C 2 ) 10 d ( )( +2q) + 4q ( ) 2 0,12m ( ) C d % ' = 10q2 & d = = 1, J = 17mJ

9 Il potenziale elettrico Sistema di due cariche Forza elettrica F = 1 qq o r 2 Energia potenziale elettrica U = 1 qq o r ˆr Campo elettrico (forza per unità di carica) associato alla carica q E = F q 0 = 1 q r 2 ˆr Potenziale elettrico V = U = 1 q q 0 r Sistema di più cariche fisse Metodo operativo di misura del potenziale P q 0 Potenziale elettrico nel punto P originato dal sistema di cariche U P L = -U U = 0 P V P = U P q 0 grandezza scalare indipendente dal valore di q 0 (positiva) Distribuzione carica positiva: per portare da infinito una carica q o di prova positiva, lavoro negativo à energia positiva Potenziale elettrico nei pressi di una carica positiva è positivo (carica negativa è potenziale negativo) Se in un punto il potenziale è nullo non è detto che lo sia anche il campo! (per esempio nel punto a metà strada tra due cariche opposte) Sarà invece nullo il lavoro complessivo per portarvi una carica dall infinito (forza e spostamento perp.)

10 Differenza di potenziale elettrico Il potenziale elettrico Invece di riferirsi ad un punto all infinito, è spesso preferibile determinare la differenza tra due punti ΔV = V b V a = U b U a q 0 Unità di misura del potenziale elettrico V b > V a V b < V a [lavoro del campo negativo] [lavoro esterno positivo] [lavoro del campo positivo] [lavoro esterno negativo] V P = U P q 0! joule " # coulomb = volt $ % & (tensione) ΔU joule ( ) = q coulomb ( )ΔV volt ( ) ΔU ( elettronvolt) = q( e)δv ( volt) 1elettronvolt =1e 1V = ( 1, C) ( 1J/C) =1, J

11 Calcolo del potenziale dato il campo Campo uniforme e cammino rettilineo L ab = b a F d s = F x Δx = ( q 0 E) ( D) = q 0 ED ΔU = L ab ; V b V a = U b U a q 0 = L ab q 0 = ED (>0 V b > V a ) Caso generale L ab = E = V b V a D b F ds b = q 0 E ds a " volt m = N % # $ C & ' a integrale di linea indipendente dal cammino V b V a = U b U a q 0 = L ab = E ds q 0 b a a punto di riferimento all infinito (per convenzione V inf = 0) V b = b E d s integrale di linea del campo

12 Potenziale di una carica puntiforme Cammino radiale V b V a = E ds = E dr b a r b r a V b V a = q r b dr = q # 1 % 1 r 2 $ r b r a r a & ( ' V b = 1 q r Vale per tutti i cammini da a a b Vale anche per punti qualsiasi a e c q > 0 q < 0 Punto a di riferimento all infinito r a e V a = 0 Il potenziale non dipende dalla carica di prova q 0

13 Esempi Quale deve essere il valore di una carica puntiforme positiva isolata affinché il potenziale elettrico a 15 cm sia 120 V? q = V r = ( 120 V) ( 4π )( 8, C 2 / Nm 2 )( 0,15m) = 2, 0nC Carica paragonabile alle cariche prodotte per attrito, per esempio strofinando un palloncino Quale è il potenziale elettrico alla superficie di un nucleo di oro. (Z=79e; R=7, m) ( ) 79 V b = 1 q r = 8, Nm 2 / C 2 ( ) ( ) 1, C 7, m =1, V

14 Potenziale di un insieme di cariche puntiformi P V P V P = V 1 +V 2 +V V N Somma algebrica di scalari N V P = V i = 1 i=1 q i i ri Principio di sovrapposizione applicato ai potenziali Potenziale di dipolo p; p = qd momento di dipolo elettrico indotto V P = V i = V 1 +V 2 = 1 # q + q & % ( = q r 2 r 1 $ r 1 r 2 ' r 1 r 2 i p! V P = q d cosθ r 2 = 1 r >> d r 2 r 1 d cosθ r 1 r 2 r 2 pcosθ r 2 = 1 p r r 3 (V = 0 per θ= 90 )

15 Potenziale di quadrupolo V P = V i = 1 # % $ i = 1 q r d + 2q r 2d 2 q r( r 2 d 2 ) = 1 + q r + d 2d 2 q r 3 1 d 2 / r 2 & ( = ' ( ) momento di quadrupolo d << r V P = 1 2qd 2 = 1 Q r 3 r 3

16 Il potenziale di distribuzioni continue di cariche Stesso metodo utilizzato per il calcolo del campo elettrico Il potenziale è uno scalare Il calcolo è più semplice, non si tiene conto delle direzioni dv = 1 dq r dq = λ ds dq = σ da dq = ρ dv carica lineare carica superficiale carica di volume Anello uniformemente carico V = 1 dq r = 1 q R 2 + z 2 (anello)

17 Il potenziale di distribuzioni continue di cariche dq = σ ( 2πw)dw Disco circolare uniformemente carico dv = 1 dq r = 1 σ 2πwdw w 2 + z 2 R ( ) 1 V = dv = = σ w 2 + z 2 2 2wdw = σ 4ε 0 4ε 0 0 V = σ 2ε 0 R 0 # ( w 2 + z 2 ) 1 & 2 % ( % 1 ( % ( $ 2 ' ( R 2 + z 2 z) (disco) z >> R 1! $ R 2 + z 2 = z 1+ R2 2! R 2 # & = z 1+ " z 2 % 2z +... $ # & z + R2 " 2 % 2z V = σ 2ε 0 " $ z + R2 # 2z z % ' = & σπ R2 z = 1 q z carica puntiforme

18 Superfici equipotenziali Rappresentazioni del campo tramite linee di forza e superfici equipotenziali V b V a = b a! E d! s B 2 A B 1 carica puntiforme superfici sferiche nello spazio campo elettrico uniforme piani paralleli nello spazio dipolo elettrico Superfici equipotenziali a differenza di potenziale costante (ma non sempre a distanza costante)

19 Superfici equipotenziali Quando una carica di prova si sposta su una superficie equipotenziale il campo non compie lavoro ΔV = ΔU q 0 = L ab q 0 Il risultato vale indipendentemente dal cammino percorso 1 L ab = 0 2 L ab = 0 3 L ab = ( V B V A )q 0 4 L ab = ( V B V A )q 0 Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di campo quindi al campo elettrico Se così non fosse il campo avrebbe una componente parallela alle superfici equipotenziali, quindi muovendosi lungo una linea della superficie il lavoro del campo non sarebbe nullo (contraddizione!)

20 Calcolo del campo dato il potenziale Lavoro fatto dal campo nello spostamento d s dl = q 0 dv ; dl = F d s = q 0 E d s q 0 dv = q 0 Edscosθ ; E cosθ = dv ds E è rivolto verso V decrescenti E Componente di nella direzione ds E s = dv ds " volt % # $ metro& ' derivata direzionale di V

21 Calcolo del campo dato il potenziale ds E E s è massimo Quando è diretto come (direzione e verso) E = E s " E = dv % $ ' # ds & max gradiente di V Si ha valore massimo della derivata direzionale quando la direzione di (cosθ = 1) alla superficie equipotenziale d s è perpendicolare Se d s coincide, di volta in volta, con le direzioni degli assi x,y,z E x = V x ; E y = V y Operatore differenziale (nabla) Dato il campo E ; E z = V z = i + x y j + z si ottiene il potenziale tramite integrazione Dato il potenziale V(x,y,z) si ottiene il campo E E = V x k ; tramite un gradiente i V y j V z k E = V = gradv V = E d s E = V

22 Esempio Utilizzando l espressione del potenziale assiale di un disco uniformemente carico, calcolare il campo elettrico V = σ 2ε 0 ( R 2 + z 2 z) E z = V z = σ 2ε 0 d dz (( R 2 + z 2 ) 1/2 z) E z = σ 2ε 0 " $ 1 # z R 2 + z 2 % ' &

23 Il conduttore isolato in termini di potenziale Dalla legge di Gauss Una carica in eccesso su un conduttore isolato si sposta tutta sulla superficie esterna In termini di potenziale elettrico Una carica in eccesso posta su un conduttore isolato si distribuisce sulla superficie in modo che tutti i punti del conduttore, sulla superficie e all interno, assumano il medesimo potenziale Non vi sono correnti in un conduttore isolato Se vi fossero punti a potenziale diverso le cariche libere si sposterebbero Il campo elettrico vicino alla superficie di un conduttore è perpendicolare alla superficie. La superficie di un conduttore è equipotenziale.

24 Guscio sferico conduttore isolato (o sfera condutttrice piena) q=1,0 µc; R=1,0 m campo elettrico potenziale E = V r Conduttore in un campo esterno

25 Esempi In un conduttore isolato, anche avente delle cavità al suo interno, la carica in eccesso si distribuisce sulla superficie in modo da annullare il campo elettrico all interno Scarica per effetto corona (densità superficiale # dipende dalla forma) V = 1 q 1 R 1 = 1 q 2 R 2 q 1 q 2 = R 1 R 2 σ 1 = q / 4π R σ 2 q 2 / 4π R = q R 1 2 σ 1 = R q 2 R 1 σ R 1

26 Esempio Conduttore isolato in un campo elettrico esterno