Analisi Matematica 2: Secondo Parziale, , Versione A. Cognome e nome:...matricola:...

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1 Analisi Matematica : Secondo Parziale, 6.6.7, Versione A Cognome e nome: matricola: es. es. es.3 es.4 es.5 es.6 es.7 somma 5cr cr Stabilire se la forma differenziale ω = (y 3y sin(x))dx + (xy + 3 cos(x) + z )dy + (yz + 4z 3 )dz è esatta in R. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è la curva C di equazione r(t) = (t( t), cos(πt), t( t)) per t.. Calcolare l area delle superficie di equazione z = cosh( x + y ), z 5 4, y. P.S. cosh(t) = [et + e t ], sinh(t) = [et e t ]. 3. Calcolare il volume del solido {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4, (x ) + y, z } utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche. 4. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D = {(x, y) : x y 3, x + y 4}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = ( 3x, 3y, ) Σ = {(x, y, z) R 3 : z = 6 x y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

2 6. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = t(y y), y() =. 7. Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y 6y + 9y = 3e 3t.

3 Analisi Matematica : Secondo Parziale, 6.6.7, Versione B Cognome e nome: matricola: es. es. es.3 es.4 es.5 es.6 es.7 somma 5cr cr Stabilire se la forma differenziale ω = ( y + 3y cos(x) + z )dx + ( xy + 3 sin(x))dy + (xz 4z 3 )dz è esatta in R. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è la curva C di equazione r(t) = (t( t), cos(πt), t( t)) per t.. Calcolare l area delle superficie di equazione z = cosh( x + y ), z 5 3, y. P.S. cosh(t) = [et + e t ], sinh(t) = [et e t ]. 3. Calcolare il volume del solido {(x, y, z) R 3 : x + y + z 6, (x ) + y 4, z } utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche. 4. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D = {(x, y) : y x 3, x + y 4}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = (y, x, 4) Σ = {(x, y, z) R 3 : z = 4 x + y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

4 6. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = t(y y), y() =. 7. Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y 6y + 9y = 3e 3t.

5 A. Bisogna trovare la primitiva U(x, y, z) tale che x = y 3y sin(x), y Integrando la prima equazione si trova = xy + 3 cos(x), z = yz + 4z3. U(x, y, z) = xy + 3y cos(x) + g(y, z), essendo g(y, z) una costante di integrazione. Sostituendola nella seconda equazione si ha: xy + 3 cos(x) + g y = xy + 3 cos(x) + z, oppure: g(y, z) = yz + h(z), dove h(z) non dipende da y. U(x, y, z) = xy + 3y cos(x) + yz + h(z). Sostituendola nella terza equazione si ha: yz + h (z) = yz + 4z 3, oppure: h(z) = z 4 + cost. Di conseguenza, U(x, y, z) = xy + 3y cos(x) + yz + z 4 + cost Inoltre, ω = U(,, ) U(,, ) = 6. C B. Bisogna trovare la primitiva U(x, y, z) tale che x = y +3y cos(x)+z, y Integrando la prima equazione si trova = xy+3 sin(x), z = xz 4z3. U(x, y, z) = xy + 3y sin(x) + xz + g(y, z), essendo g(y, z) una costante di integrazione. Sostituendola nella seconda equazione si ha: xy + 3 sin(x) + g y = xy + 3 sin(x), oppure: g(y, z) = h(z). U(x, y, z) = xy + 3y sin(x) + xz + h(z). Sostituendola nella terza equazione si ha: xz + h (z) = xz 4z 3,

6 oppure: h(z) = z 4 + cost. Di conseguenza, U(x, y, z) = xy + 3y sin(x) + xz z 4 + cost Inoltre, ω = U(,, ) U(,, ) =. C A. La superficie ha la seguente parametrizzazione ρ cos θ Φ(ρ, θ) = ρ sin θ, ρ ln(), θ π. cosh(ρ) Φ ρ Φ ρ sinh(ρ) cos θ θ = ρ sinh(ρ) sin θ, ρ Φ ρ Φ θ = ρ cosh(ρ). A = π ( ) ln() ρ cosh(ρ) dρ dθ = π [ρ sinh(ρ) cosh(ρ)] ln() = 3 4 ln() 4. B. La superficie ha la seguente parametrizzazione ρ cos θ Φ(ρ, θ) = ρ sin θ, ρ ln(3), θ π. cosh(ρ) Φ ρ Φ ρ sinh(ρ) cos θ θ = ρ sinh(ρ) sin θ, ρ Φ ρ Φ θ = ρ cosh(ρ). A = π ( ) ln(3) ρ cosh(ρ) dρ dθ = π [ρ sinh(ρ) cosh(ρ)] ln(3) = 4 3 ln(3) 3.

7 3A. In coordinate cilindriche il solido viene descritto dalle disuguaglianze ρ + z 4, ρ cos θ e z, il che vuol dire che π θ π. ( π/ [ cos θ ] ) 4 ρ V = ρ dz dρ dθ = = = 6 3 π/ ( cos θ π/ π/ ρ ) 4 ρ dρ dθ ( ) 8 3 sin θ 3 = 6 3 [ cos θ + 3 cos3 θ ] π/ = 3 9. ( ( cos θ) sin θ ) 3B. In coordinate cilindriche il solido viene descritto dalle disuguaglianze ρ + z 6, ρ 4 cos θ e z, il che vuol dire che π θ π. ( π/ [ 4 cos θ ] ) 6 ρ V = ρ dz dρ dθ = = π/ ( 4 cos θ π/ = 8 3 π/ 64 3 ρ ) 6 ρ dρ dθ ( sin θ 3 ) = 8 3 [ cos θ + 3 cos3 θ ] π/ = ( ( cos θ) sin θ ) 4A. In coordinate polari: ρ, θ π. Essendo γ 6 = {(t, ) : t }, γ = {( cos t, sin t) : t π}, γ 6 3 = {(( t) 3, ( t) ) : t }, si ha: A = (xdy ydx) γ γ γ 3 = + ( + π/6 = + 3 π + = 3 π. ( cos t[ cos t dt] sin t[ sin t dt]) 3( t)[ dt] ( t)[ 3 dt] )

8 4B. In coordinate polari: ρ, π θ π. Essendo γ 3 = {( t, t 3) : t }, γ = {( cos t, sin t) : π t π}, γ 3 3 = {(, t) : t }, si ha: A = = + π/3 (xdy ydx) γ γ γ 3 ( t[ 3 dt] t 3 [ dt] ) ( cos t[ cos t dt] sin t[ sin t dt]) + = + 3 π + = 3 π. 5A. Primo metodo. Determiniamo prima una particolare A, non dipendente da z, per cui A 3 y A z = 3x, A z A 3 x = 3y, A x A y =. Allora A = (, x, 3xy) + φ è la soluzione generale dell equazione A = ( 3x, 3y, ). Utilizzando il teorema di Stokes si ha: int Σ F n dσ(x, y) = Σ A d s = Σ A dy = π sin t[d(4 cos t)] = 3π, dove l orientamento di Σ è antiorario e il versore normale n punta in alto. Secondo metodo. Poichè F =, si può sostituire Σ dalla superficie Σ = {(x, y, ) : x + y 6} che ha la stessa curva di frontiera e il versore normale n = (,, ). F n dσ(x, y) = F n dσ(x, y) = F 3 (x, y) dxdy = 3π. Σ Σ Σ 5B. Primo metodo. Determiniamo prima una particolare A, non dipendente da z, per cui A 3 y A z = y, A z A 3 x = x, A x A y = 4.

9 Allora A = (, 4x, x + y ) + φ è la soluzione generale dell equazione A = (y, x, 4). Utilizzando il teorema di Stokes si ha: π F n dσ(x, y) = A dy = 4 4 cos t[4 cos t dt] = 64π, Σ Σ dove l orientamento di Σ è antiorario e il versore normale n punta in alto. Secondo metodo. Poichè F =, si può sostituire Σ dalla superficie Σ = {(x, y, ) : x + y 6} che ha la stessa curva di frontiera e il versore normale n = (,, ). F n dσ(x, y) = F n dσ(x, y) = F 3 (x, y) dxdy = 64π, Σ Σ Σ quattro volte l area di un disco di raggio Scrivendo l equazione differenziale nella forma ( y ) dy = y y(y ) = t dt, si ottiene log y y = t + cost, opppure [(y )/y] = cost.e t. Sostituendo y() = si trova cost. = e quindi y =. + e t 7. L equazione caratteristica λ 6λ + 9 = ha lo zero doppio λ = 3. la soluzione generale dell equazione omogenea è data dall espressione y = c e 3t + c te 3t. Siccome la parte a destra 3e 3t è soluzione dell equazione omogenea e lo è anche te 3t, per trovare una soluzione particolare dell equazione inomogenea si ponga y = At e 3t. In tal caso y = A(3t + t)e 3t, y = A(9t + t + )e 3t e y 6y + 9y = A[(9t + t + ) 6(3t + t) + 9t ]e 3t = Ae 3t,

10 quindi A = 3. la soluzione generale dell equazione inomogenea è data dall espressione y = c e 3t + c te 3t + 3 t e 3t.