Risoluzione degli esercizi del Secondo Appello (19/2/07)

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1 Risoluzione degli esercizi del Secondo Appello 9//) Sia y = gx) l equazione della retta tangente alla curva C di equazione y = 8x 4 x 3 + nel punto x,y ) =,3) di C. Allora g) vale... Svolgimento. La derivata di 8x 4 x 3 + per x = vale = Quindi l equazione della retta sarà y = gx) = f) + x )f ) = 3 + x ) = x 8. Quindi g) = 9 Sia per x fx) := x 5 + x + x +. Sia g la funzione inversa di f. Allora 9g ) + vale... Svolgimento. Si ha y = fx)) = quando x 5 + x + x + =, che per x ha la sola soluzione x =. Quindi g ) = f ) = =. Infine 9g ) + = 6 3 Sia fx) := sin3x) + arctan 4x) + vale... x 3 e x x per ogni x e f) :=. Allora f ) Svolgimento. L esercizio, praticamente uguale a un esercizio dato nella prova del 3 Gennaio, la cui soluzione era stata messa in rete), si può fare in vari modi. Il modo più rapido è quello di notare che essendo f) = ), f ) := x fx) f) x = x fx) x, ma si può evidentemente procedere in modo più tradizionale, calcolando le derivate nel generico x e poi prendendo x =. Banalmente le derivate di sin 3x e di arctan 4x, in, sono uguali, rispettivamente, a 3 e a 4. Quindi la derivata in di sin3x) + arctan 4x) vale. Per il termine rimanente, osserviamo che e x x x x / da cui 3 e x x 4x e la sua derivata in fa 4. Finalmente si ha f ) = + 4 =. 4. e / x + e x arctan x) cos x) ) + + x x x =... Svolgimento. Preso atto che x e / x =, x e x =, arctan x) x, cos x) x),

2 x e / x +e x arctan x) cos x )+ + x x = +)++ x) = + 49 = 3 5 Sia fx) := x e x + e sia x m l unico punto di minimo relativo della funzione f su R. Allora fx m ) + vale... Svolgimento. Sembrerebbe facile vedere che fx) x e che f) =, e quindi per x = si ha un punto di minimo assoluto. Fidandosi del testo che parla di unico punto di minimo relativo) si deduce che x m = da cui fx m )+ = 34. Ma facciamo finta di non esserci accorti e calcoliamo la derivata di fx) per x visto che per x = la funzione non è derivabile). Abbiamo, per x <, che fx) = xe x + da cui f x) = x ) e x che, per x <, non si annulla mai è sempre negativa). Per x > abbiamo invece fx) = xe x + da cui f x) = x) e x che è positiva per < x <, è negativa per < x e si annulla per x = che risulta quindi un massimo relativo. Del resto, f ) = e < bocca che piange), come si conviene ad un onesto massimo relativo. Quindi il minimo relativo deve per forza essere in... 6 Sia f : R R definita da fx) := x e x 8, x R. Quali delle seguenti proprietà ha la funzione f in tutto R? A) f è continua; B) f è derivabile; C) f è itata inferiormente; D) f è dispari; E) f è itata superiormente; F) f è pari; G) f è monotona; H) f è periodica. N.B. La risposta a questa domanda sarà considerata esatta, se e solo se saranno indicate tutte e sole le proprietà che ha effettivamente la funzione f, fra quelle riportate qui sopra.) Svolgimento. Questo esercizio aveva due varianti: una è quella scritta sopra con e x moltiplicato per una potenza dispari di x qui, x )). La variante consisteva nell uso di una potenza pari di x : ad esempio fx) := x 6 e x 8. Cominciamo con fx) := x e x 8, che risulta immediatamente continua e derivabile in tutto R. Si vede anche facilmente che i iti per x che tende a + e per x che tende a sono entrambi = 8. Deduciamo quindi che la funzione deve essere itata sia inferiormente che superiormente). Si vede anche facilmente che f non è pari e neppure dispari. Pensare che sia periodica è da ricovero fortunatamente non l ha detto nessuno) e una funzione monotona che parte da 8 a ) e arriva a 8 a + ) è molto difficile da immaginare, a meno che la funzione non sia costante che non era il nostro caso; ma, sfortunatamente, la monotonia ha comunque ottenuto parecchi consensi). Quindi la risposta giusta era A, B, C, E. Nel caso invece della funzione fx) := x 6 e x 8, abbiamo le stesse proprietà di prima per gli stessi motivi), ma inoltre la funzione risulta anche essere pari. Quindi la risposta giusta era A, B, C, E, F.

3 Svolgimento. Calcoliamo separatamente e poi x ) 8x + x 8 dx = ) dx = [arcsin x] = π/ π/)) = π; 8x 8 8x + x ) dx = 8 + x dx 8 + x dx = 8[arctanx] = 8π/4 π/4)) = 9π; da cui segue facilmente che I = π 9π = π e I π =. 8 Sia J := xe x + e x/4) dx. Allora J + 4 vale... Svolgimento. Calcoliamo separatamente xe x dx = [ x e x ) ] + e x ) dx = [ e x] + =, e x/4 dx = [ 4e x/4] + = 4, da cui J := xe x + e x/4) dx = + 4 =, e J + 4 = 5. ) n 9 Considerata la serie, dire per quali valori di x essa converge assolutamente. N.B. Attenti a distinguere < da e > da + n ) x/ )) Svolgimento. Ricordiamo che una serie a n converge assolutamente se la serie suoi valori assoluti) converge. Nel nostro caso, quindi, bisogna vedere per quali x converge la serie a n dei + n ) x/. Ricordiamo ora che una serie del tipo n α x/) >, cioè 4 x > cioè x < 3. converge per α >. Quindi dobbiamo imporre

4 a distinguere < da e > da )) Svolgimento. Ricordiamo che una serie del tipo k n cioè una serie geometrica) converge se e solo se k <. Quindi, nel nostro caso, dopo avere scritto la nostra serie come dobbiamo imporre che x + ) n+ 6 n = 6x + ) x + ) n x + <, 6 6 n = 6x + ) x + cioè che x + < 6, cioè che la distanza di x da sia minore di 6. Questo avviene quando 6 < x < + 6 cioè quando 3 < x < 6 ) n Sia y : R R la soluzione del problema di Cauchy : y t) + 3y t) = 3, t R ; y) =, y ) = 4. Allora 3y) + y ) + vale... Svolgimento. Consideriamo dapprima l equazione omogenea associata, cioè y t)+3y t) =, il cui integrale generale è dato da y om = C e 3 t + C. Poi cerchiamo una soluzione particolare y p della equazione completa. Verrebbe voglia di provare con y p = A cercando A in modo che y p risolva l equazione). Questo tentativo è però destinato a fallire, in quanto le costanti come C o come la A che vorremmo cercare) risolvono, come abbiamo visto, l equazione omogenea associata y +3y = ) e quindi, certamente, non possono risolvere l equazione completa y + 3y = 3 ). Quindi bisogna alzare il grado e provare con y p = At. Si ha facilmente y p = A e y p =, che sostituiti nella equazione danno +3A = 3 e quindi A = e y p = t. L integrale generale della equazione completa è quindi dato da y = y om + y p = C e 3 t + C t, a cui dobbiamo ora imporre le condizioni iniziali y) = e y ) = 4 per trovare C e C. Abbiamo y) = C + C = e y ) = 3C = 4, da cui facilmente C = e C =. La soluzione è quindi data da yt) = e 3 t t. Per buona prudenza controlliamo che y t) + 3y t) faccia davvero 3, che y) faccia e che y ) faccia 4. La verifica è lasciata al lettore... A questo punto calcoliamo y) = e 3 e y ) = 3e 3. Quindi 3y) + y ) + vale 3e 3 ) + 3e 3 ) + = 3 + =.

5 u 8 ) =. Allora 6log u 6 ) + 8 vale... Svolgimento. Anche questo esercizio è praticamente una versione leggermente semplificata di un esercizio quasi identico dato nella prova del 3 gennaio, la cui soluzione era stata messa in rete. Si tratta di una equazione a variabili separabili che risolviamo col trucco di Leibniz : da otteniamo senza saper bene cosa vuol dire) che du dx = u/ x u / du = x dx da cui, integrando, [ ] u 8 v8/ = Svolgendo i calcoli si ha da cui e finalmente [ ] x. t 8/ 8 u8/ 8 = x 8/ 8 u8/ = x ux) = ) /8 8. x Ora calcoliamo u 6 ) /8 ) /8 8 ) = 6 = = /8 da cui 6log u 6 ) ) + 8 = = = 6. 8