di una delle versioni del compito di Geometria analitica e algebra lineare del 12 luglio 2013 distanza tra r ed r'. (punti 2 + 3)

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1 Esempo d soluzone d una delle verson del compto d Geometra analtca e algebra lneare del luglo 3 Stablre se la retta r, d equazon parametrche x =, y = + t, z = t (nel parametro reale t), è + y + z = sghemba o complanare con la retta r, d equazon cartesane In ogn caso, determnare la y + z = dstanza tra r ed r' (punt + 3) La retta r ha parametr drettor (,, ) Ponendo z = s, dalle equazon cartesane d r s rcavano le equazon parametrche x =, y = s, z = s, da cu rsulta che r ha la stessa drezone d r e non ha punt n comune con essa (altrment, per l ascssa del punto comune dovrebbe essere =!!! ) Dunque r ed r sono parallele, e percò esste un pano che le contene tutte e due La dstanza tra due rette parallele è la dstanza d un punto qualsas dell una dalla sua proezone ortogonale sull altra In questo caso, possamo calcolarla come la dstanza d O = (,, ), che sta su r, da O (proezone ortogonale d O su r) che è l punto n cu r è taglata dal pano perpendcolare alle due rette, passante per O: y z = O ha le coordnate (,, ) e qund la dstanza tra r, r è Scrvere un equazone cartesana del pano che passa per la retta r, d equazon parametrche, nel + y = parametro reale t, x =, y = + t, z = t, ed è parallelo alla retta s, d equazon z = 6 (punt 3) La retta r ha drezone (,,), la retta s ha la drezone (,,) Il pano cercato passa per un punto d r (ad esempo, (,,) ) ed ha gactura ndvduata dalle drezon delle due rette; la sua equazone cartesana è x + det y = ( x + )( ) + ( )( y ) z = x y z = z Allo stesso rsultato s può arrvare cercando, tra pan del fasco che ha per sostegno r λ ( x + ) + µ ( y + z ) = quello che è parallelo a s, per l quale deve avers λ () + µ ( ) =, coè λ = µ 3 a) Scrvere un equazone cartesana della sfera S con centro n (,,) e passa per (,,) e delle equazon cartesane della curva C che è ntersezone d S col pano π d equazone y = b) Scrvere delle equazon parametrche d C

2 c) Per ogn punto P d C, s consder la retta g che è perpendcolare al pano π e che passa per P Scrvere delle equazon parametrche delle rette g e rcavarne delle equazon parametrche ed un equazone cartesana della superfce generata da queste rette (punt + + 3) a) Il raggo della sfera è la dstanza tra l centro (,,) e l punto (,,), qund la superfce S ha equazone x + ( y + ) + z = ( ) x + y + + z = ( ) Le equazon cartesane d C sono y + = b) L ntersezone d una superfce sferca con un pano che passa per l suo centro è una crconferenza massma, percò C è la crconferenza d raggo uguale a, con centro (,,), stuata nel pano che passa per (,,) ed è parallelo al pano delle x, z Le equazon parametrche d C sono = cosα y =, α R z = snα c) Le perpendcolar al pano d C hanno la drezone dell asse delle y, qund le = cosα equazon parametrche delle rette g sono y = + t, t R z = snα Al varare d α e d t, queste equazon descrvono punt del clndro crcolare generato dalle rette g Dalle equazon parametrche s rcava l equazone cartesana del clndro

3 x + z = In R, s consder l sottospazo U generato da vettor,, Trovare, u = v = w = specfcandone una base, un sottospazo W che sa supplementare d U (punt ) La matrce ( u v w ) ha rango uguale a, qund è la dmensone del sottospazo U Ogn suo supplementare ha dmensone ; è un sottospazo generato da due vettor che sano lnearmente ndpendent da vettor u, v, che formano una base d U Ad esempo, dopo aver verfcato che è s può sceglere W = Span( e, e ) ( e e u v ) rango = 5 Sa L l applcazone da R ad R così defnta: L x x x x x : (,, 3, ) = a) Dmostrare che L è lneare b) Scrvere la matrce assocata ad L rspetto alle bas canonche d R ed R c) Dmostrare che L è surgettva d) Determnare una base del sottospazo KerL (nucleo d L) (punt: 5) a) 3

4 = = L( x + y,, x + y ) = ( x + y ) = x + y = L( x) + L( y) L( αx) = α x = α x = α L( x) = = = b) La matrce assocata ad un applcazone lneare da uno spazo quadrdmensonale ad uno spazo d dmensone è d tpo (,) In questo caso, poché ogn vettore della base canonca d R ha come mmagne, la matrce assocata all applcazone L è Infatt: x A = x + + x x ( ) A = c) Per ogn numero reale h esste qualche vettore nfatt, scelto d) Il nucleo d L è l sottospazo d percò { ( h ) x =, s ha L( x ) = h x R per quale è L( ) R delle soluzon dell equazone x x x3 x ker L = x R x = λ, x = µ, x = ν, x = λ µ ν, per λ, µ, ν R } 3 x = h; = S ha Una base del nucleo è la famgla,, Per controllare la coerenza tra le rsposte d),c), usando l teorema delle dmenson, verfchamo che, da dm(kerl) = 3, segue: dm(iml) = 3 =, e qund è confermato che l applcazone è surgettva h 6 Stablre per qual scelte d h la matrce reale C = è dagonalzzable e, per que valor d h, h scrvere la matrce M d un cambamento d base che port C n forma dagonale (punt + ) Scrvamo l equazone caratterstca della matrce data λ h λ det λ = ( λ) det = ( λ)( λ λ ) = λ h λ Gl autovalor sono ( con molteplctà algebrca ) e, semplce

5 Perché la matrce sa dagonalzzable, è necessaro che l autospazo relatvo all autovalore doppo sa d dmensone Lo spazo degl autovettor assocat all autovalore doppo è dato dalle soluzon d h ( C ( ) I) X = X = h Questo sstema omogeneo (n tre ncognte) ha matrce de coeffcent è Dalla rduzone a scaln h h h h soluzon se l rango della s rcava che l rango è soltanto per h = ; qund la matrce è dagonalzzable solamente per h = In tale caso, l autospazo assocato all autovalore doppo ha come base la famgla, ; l autospazo relatvo all autovalore semplce è determnato da qund è l sottospazo generato dal vettore ( C() () I) X = 3 X = Una matrce d un cambamento d base da cu s ottenga una matrce, smle a C, n forma dagonale, è M = 5