Corso di Laurea in Tecniche di Neurofisiopatologia Appunti di Analisi Matematica

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1 1 Corso di Laurea in Tecniche di Neurofisiopatologia Appunti di Analisi Matematica Anno Accademico

2 2 Numero Numeri Naturali La classe dei numeri naturali è indicata col simbolo N. Essa contiene numeri quali uno, due, tre ecc. E la prima classe di numeri che sia mai stata usata, molto probabilmente già in epoca neolitica 1. Il numero zero originariamente non era incluso in questa classe. I filosofi Greci conoscevano lo zero, ma non lo consideravano appartenente ai numeri naturali: infatti, se i numeri servono a contare gli elementi che costituiscono un gruppo di cose, consideravano assurdo contare gli elementi che costituiscono il nulla. L uso dello zero come numero vero e proprio lo si deve agli indiani, ed è stato introdotto in Europa in periodo medioevale attraverso testi di matematici arabi. Nella matematica moderna lo zero è generalmente incluso tra i numeri naturali I numeri negativi NON fanno parte della classe dei numeri naturali. I numeri naturali sono un insieme chiuso nei confronti di addizione e moltiplicazione. Infatti se a e b sono numeri naturali, allora anche c= a + b e d= a b sono numeri naturali. L insieme N non è invece chiuso nei confronti di sottrazione e divisione.ad esempio, se a=3 e b=5 sia a-b che a/b non sono numeri naturali. Addizione e moltiplicazione hanno altre importanti proprietà. Se a, b, e c sono numeri naturali, allora valgono le proprietà: associativa a+(b+c)=(a+b)+c a (b c)=(a b) c commutativa a+b=b+a a b=b a distributiva a (b+c)=(a b)+(a c) (a+b) c=(a c)+(b c) Nonostante siano stati i primi numeri ad essere usati, la loro definizione rigorosa è recente, ed è dovuta al matematico italiano Giuseppe Peano ( ): I numeri naturali sono definiti da 5 assiomi: Assiomi di Peano 1. Esiste un numero naturale, 0 2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore 3. Numeri diversi hanno successori diversi 4. 0 non è il successore di alcun numero naturale 5. Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione) 1 In Africa è stato rinvenuto un manico in osso, detto Osso d'ishango, risalente a circa ventimila anni fa, che presenta incisioni interpretate come gruppi di numeri naturali.

3 Curiosità 3 I numeri naturali rappresentano probabilmente concetti innati nelle strutture cognitive non solo umane, ma anche di alcuni animali. A questo proposito, il naturalista John Lubbock ebbe l evidenza che una cornacchia sapeva contare fino a 4 (aneddoto riferito da G. Masini in Storia della Matematica (SEI 1997). John Lubbock raccontò infatti di aver conosciuto il proprietario di un casale nel cui sottotetto abitava una cornacchia. Il proprietario voleva scacciare la cornacchia. Ma ogni volta che andava nel sottotetto per catturarla, quella volava via e rientrava solo quando lui lasciava il sottotetto. Per ingannare la cornacchia, il proprietario decise allora di andare nel sottotetto con un aiutante. Dopo un po' il proprietario se ne andò e rimase solo il suo compagno, ma non servì a nulla perché la cornacchia tornò solo quando anche l aiutante se ne andò via. Provarono allora in 3 e poi in 4 ma inutilmente, perché la cornacchia era riuscita a contare il numero esatto di persone entrate nel sottotetto. Solo quando entrarono in 5 ed uscirono in 4 la cornacchia tornò nel sottotetto e poté essere catturata: aveva perso il conto delle persone che erano entrate.

4 4 Numeri Interi L insieme dei numeri interi viene indicato con la lettera Z. L insieme Z include tutti i numeri naturali e, oltre a questi, anche tutti i negativi dei numeri naturali. Z è quindi composto dai numeri: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ecc Il concetto di numero negativo è stato accettato dai matematici solo con una certa difficoltà. Ancora nel XVI secolo molti matematici ritenevano che un numero non potesse essere negativo, rifiutando di accettare l esistenza di concetti come tre mele negative. Z è chiuso non solo nei confronti di addizione e moltiplicazione (come N) ma anche nei confronti della sottrazione. Z non è invece chiuso nei confronti della divisione. Valgono le proprietà associativa, commutativa e distributiva per addizione e moltiplicazione. Rappresentazione di un numero intero. Siamo abituati a rappresentare numeri usando una base decimale, composta cioè da 10 simboli, tra 0 e 9. Questo non è ovviamente l unico modo di rappresentazione. In informatica sono molto in uso anche la base binaria (2 soli simboli: 0 e 1), la base 8 (8 simboli, tra 0 e 7) e la base 16 (i simboli sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). BASE 2 BASE 8 BASE 10 BASE A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F E8 La calcolatrice di Windows, se visualizzata in modalità scientifica, permette di convertire numeri tra basi diverse. Si seleziona la base cliccando sull opzione Dec (per la base decimale) oppure su Hex, Oct o Bin per le basi 16, 8 o 2. Ad esempio, scritta la cifra 20 in Dec, questa verrà convertita in 14, 24 o selezionando le altre basi.

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6 Curiosità La numerazione in base 10 non è l unica usata tra le varie culture umane. La numerazione in base 2 è stata adottata dal popolo Kiwai di Papua Nuova Guinea che utilizza solo la cifra uno (detta nau) e due (detta netewa). Pertanto indicano il tre come netewa-nau, il quattro come netewa-netewa, il cinque come netewa-netewa-nau. Ovviamente questo sistema non consente di contare con facilità quantità superiori al cinque. Sempre in Papua Nuova Guinea, un altra popolazione, i Kewa, ha adottato un sistema di conteggio a base 41. Come il sistema decimale (basato sul conteggio delle 10 dita delle mani), anch esso è basato sul conteggio di parti del corpo, secondo lo schema indicato in figura. Altri sistemi di numerazione usati in passato sono quelli a base 12 e a base 60. Del sistema a base 12 è rimasta traccia nel modo di contare le ore e nel termine grossa, unità commerciale che indica 12 dozzine. Del sistema a base 60, usato dai Babilonesi, è rimasta traccia nel modo di contare secondi e minuti nell ora. 6 (Georges Ifrah, Histoire Universelle des Chiffres, 1981)

7 Numeri Razionali E l insieme di tutti i numeri espressi come quoziente tra due interi, a/b, dove b 0. Questa classe di numeri è indicata con la lettera Q. Nel caso b=1, otteniamo il numero intero a e quindi l insieme Z è contenuto in Q. A differenza di Z, l insieme Q è chiuso anche nei confronti della divisione. Dati due numeri razionali a/b e c/d abbiamo: 7 Somma: a c ad bc b d bd Differenza: a c ad bc b d bd Prodotto: a c ac b d bd a b Divisione: c a d d b c ad bc Alternativamente, un numero razionale può essere espresso in forma decimale utilizzando una virgola. Ad esempio, ¼= 0,25; ½ = 0,5; 2/3 = 0,6666 Si può dimostrare che le cifre dopo la virgola o si interrompono (come in 0,25), o continuano all infinito ripetendosi periodicamente ( come in 1/7= 0, ) Dato che Z è contenuto in Q, allora i numeri razionali comprendono tutti i numeri interi. Inoltre, tra due numeri razionali qualsiasi, come 6,3 e 8,4, sono compresi un numero finito di interi (in questo caso solo 7 ed 8) ma un numero infinito di numeri razionali. Questo fa pensare che l insieme dei numeri razionali sia molto più grande di quello degli interi. Ma paradossalmente, NON E COSI. Georg Cantor ( ) ha infatti dimostrato che è possibile associare un numero NATURALE ad ogni numero razionale costruendo il diagramma in figura. Con questa costruzione, vengono via via generati tutti i possibili infiniti numeri razionali, e con una corrispondenza biunivoca (definita dal percorso seguito dalle frecce) si può associare ad ognuno degli infiniti numeri razionali un numero naturale. Ad esempio, possiamo associare il numero 1 ad 1/1, il 2 a 2/1, il 3 a 1/2, il 4 a 1/3 ecc. ecc. Se quindi per ogni numero razionale possiamo associare uno ed un solo numero naturale, gli infiniti numeri razionali non sono più numerosi degli infiniti numeri naturali. Questa proprietà si indica dicendo che è Q numerabile. Da:

8 Esercizi 8 Esercizio 1. Siete proprietari di tre quinti di un terreno quando ne ricevete un altro sesto in eredità da vostra zia. A questo punto decidete di dividere la quota in vostro possesso tra i vostri quattro figli (tre femmine ed un maschio) in parti uguali. Quale frazione del terreno finisce in proprietà alle vostre figlie? Diventano esse proprietarie della maggior parte del terreno? Esercizio 2. Tre fratelli dovevano dividersi la mandria di 35 cavalli lasciata in eredità dal padre. Le disposizioni testamentarie indicavano che metà dei cavalli doveva andare al primo fratello, un terzo al secondo, un nono al terzo. Ma i fratelli non sapevano come dividersi i cavalli dal momento che queste frazioni di eredità non sono numeri interi. In quel momento arriva un viaggiatore a cavallo che propone di risolvere la questione. Con generosità aggiunge il suo cavallo alla mandria del padre e dice ai tre fratelli: Ora la divisione sarà giusta ed esatta. Al primo fratello andranno la metà di 36 cavalli: sono 18 cavalli. Al secondo ne andrà un terzo, e cioè 12 cavalli. L ultimo fratello ne riceverà un nono, e cioè 4 cavalli. Dovete essere tutti soddisfatti. Ognuno ha ricevuto più di quanto gli sarebbe aspettato se fosse stato possibile dividere un cavallo in frazioni! Io ora me ne vado, e mi riprendo il mio cavallo insieme a quest altro che alla fine della divisione è rimasto qui senza padrone. Ed il viaggiatore si allontana con due cavalli. Come ha fatto a guadagnare un cavallo? Soluzione Esercizio 1 Quota in vostro possesso: 3/5. Quota in vostro possesso dopo aver ricevuto l eredità: 3/5+1/6. Quota per ciascun figlio: (3/5+1/6)x(1/4) Quota assegnata alle figlie: (3/5+1/6)x3/4 = =[(18+5)/30]x3/4= =[23/30]x(3/4)= =23/40= =0,575 Questa quota corrisponde al 57.5% del totale. Esercizio 2. Nel testamento, il padre aveva dato disposizioni solo per ½ + 1/3 + 1/9=17/18 della mandria. Il testamento quindi non riguardava l intera mandria perché la somma delle tre frazioni è minore di 1. Quando il viaggiatore ha aggiunto il proprio cavallo alla mandria del padre, la parte in eredità ai tre figli è diventata di 36 x 17/18 = 34 cavalli.

9 Numeri Irrazionali Già ai tempi di Pitagora (575 AC- 495 AC) ci si accorse che esistevano numeri, come, che non potevano essere razionali. Questo era stato dimostrato per assurdo da un allievo di Pitagora (Ippaso di Metaponto). è la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti lunghi 1 (Teorema di Pitagora). 9 Se fosse razionale, potrebbe essere espresso come rapporto a/b, con a e b numeri interi. Sicuramente a e b non potranno essere ENTRAMBI NUMERI PARI: se lo fossero, si semplificherebbe il fattore 2 comune nel rapporto. Quindi almeno uno dei due numeri DEVE ESSERE DISPARI. Se quindi fosse razionale: elevando a quadrato avremmo: =a/b 2=a 2 / b 2 2b 2 =a 2 Questo implica che a² è pari, e quindi anche a è pari. Pertanto deve esistere un numero k intero tale che a=2k. Sostituendo abbiamo 2b 2 =4k 2 E cioè b 2 =2k 2 Quindi anche b è pari. Ma ciò non può essere perché a e b non possono essere entrambi pari! Quindi è impossibile che Altri numeri irrazionali famosi sono: possa essere un numero razionale. : è definito come rapporto tra perimetro e diametro di una circonferenza. Lo sviluppo decimale è il seguente: = e (costante di Eulero): è definita dalla sommatoria infinita: e Il prodotto n si indica col simbolo n! che si legge n fattoriale. Si definisce 0!=1. La definizione di e può essere riscritta in modo compatto come: 1 e n0 n! Lo sviluppo decimale è e= 2, A differenza dei numeri razionali, gli sviluppi di questi numeri razionali non presentano alcuna periodicità.

10 10 Numeri Reali E l insieme dei numeri razionali ed irrazionali. Viene indicato con R. I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta. Da: A differenza di Q, R non è numerabile. Questo vuol dire che gli infiniti numeri reali sono molto più fitti dei numeri razionali, e non è possibile associarli in modo biunivoco ai numeri interi. Anche la prova della non numerabilità di R fu fornita da Cantor. La prova è per assurdo. Infatti egli ipotizzò che l insieme dei numeri reali tra 0 e 1 fosse numerabile. Se così fosse, si potrebbe costruire una sequenza infinita ma numerabile di numeri che rappresentino tutti i numeri reali tra 0 e 1: ad esempio, una infinita sequenza di numeri s k come la seguente (su usa la notazione binaria per impiegare solo due simboli, 0 e 1) s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 0, s 4 = 0, s 5 = 0, s 6 = 0, s 7 = 0, s 8 = 0, Concentriamoci ora sulla cifra in posizione decimale k del numero k-esimo (è sottolineata). Potremmo costruire un numero la cui cifra k-esima è ottenuta prendendo la cifra k-esima del numero s K, e cambiandola in 0 se fosse =1 ed in 1 se fosse =0. s 0 = 0, Questo numero NON PUO APPARTENERE alla serie numerabile s K perché diverso, per almeno una cifra, da ogni numero della serie. Ma è sempre un numero compreso tra 0 e 1. Quindi l insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 è più denso di un insieme infinito numerabile.

11 Numeri Immaginari e Numeri Complessi Per risolvere problemi legati al calcolo di radici di polinomi, alcuni matematici del XVI secolo, quali Girolamo Cardano, introdussero l uso di radici quadrate di numeri negativi come scorciatoie per arrivare alla soluzione del problema. Dal momento che il quadrato di tali numeri è un numero reale negativo e che nessun numero reale, se elevato al quadrato, può essere negativo, essi non venivano considerati veri numeri, ma solo un trucco per facilitare il calcolo. Per questo vennero chiamati numeri immaginari. L importanza dei numeri immaginari è stata apprezzata solo successivamente, coi lavori di Eulero ( ) e Gauss ( ). Un numero immaginario è ottenuto come multiplo della unità immaginaria, indicata con la lettera i. Essa è definita da: i 2 = 1. Combinando l unità reale (=1) con l unità immaginaria (=i) si è ottenuta una nuova classe di numeri, i numeri complessi C, caratterizzati dall essere composti da una parte puramente reale ed una parte puramente immaginaria. Se z è un numero complesso, lo si rappresenta come: z=a+ib con a e b numeri reali. 11 Somma: (a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d) Differenza: (a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d) Prodotto: Rapporto: (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(bc+ad) a ib a ib c id c id c id c id a ibc id 2 2 c id a ibc id c d 2 2 Esempio Calcolare il rapporto dei numeri a=3+5i e b=2-4i. a 3 5i b 2 4i 3 5i 2 4i 3 5i2 4i i 2 4i 2 (4i) 6 12i 10i i (4i) 11 i

12 12 I numeri complessi possono essere rappresentati graficamente in un piano definito da due assi cartesiani. L asse orizzontale rappresenta la parte reale, l asse verticale rappresenta la parte immaginaria. Il generico numero complesso x+iy è quindi indicato da un vettore (si veda il paragrafo sui vettori) che collega l origine (0,0) col punto di coordinate (x,y). Come ogni vettore, il numero complesso può quindi essere rappresentato anche da un modulo r=(x 2 +y 2 ) 1/2 e da una fase, definita da: tg y/x. La somma di numeri complessi può essere ottenuta quindi anche come somma di vettori. Sommario Nota: I Quaternioni Una ulteriore estensione del concetto di numero è stata proposta dal matematico Hamilton nel 1843 introducendo, oltre all unità reale 1 e immaginaria i, altre due unità j e k con la proprietà: i 2 =j 2 =k 2 =ijk=-1 Questo insieme numerico, detto H, include al suo interno C. Ma per i quaternioni non vale la proprietà commutativa del prodotto perché risulta che ij=k ma ji=-k Questi numeri trovano applicazioni in alcune branche della fisica.

13 13 Esponenti Elevamento a Potenza Se il numero a viene moltiplicato per se stesso n volte, il risultato si scrive a n. Ad esempio, =2 4 Si lascia come esercizio di dimostrare che: a n a m = a n+m Da questa relazione otteniamo in particolare: a n a 0 = a n dal che si deduce che a 0 =1 Inoltre otteniamo anche poiché a 0 =1 ricaviamo Esempio: 10-2 =1/10 2 =1/100=0.01 a n a -n = a 0 a -n = 1/a n Esercizio. Dimostrare che: e che: (a n ) m = a n m (a n ) (b n ) = (ab) n (a n )/(b n ) = (a/b) n Esempi: (10-2 ) 3 =10-6 (5) 3 (2) 3 =(10) 3 = =1 000 (4) 3 (2) 3 =(8) 3 = =(2 3 ) 3 =2 9 (4) 3 (2) -3 =(4/2) 3 = =2 3

14 Estrazione di Radice Se l esponente è una frazione, allora abbiamo a che fare con una radice. Infatti consideriamo che: a 1 =a 1/2 a 1/2 Quindi: a=(a 1/2 ) 2 cioè a 1/2 = a 14 In generale: e a a 1/m m a n/ m m a n Esempio: 27 2/3 =(27 1/3 ) 2 = =3 2 =9 Prodotti Notevoli Si può facilmente verificare che: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2-2ab+b 2 (a+b) (a-b) =a 2 -b 2 Inoltre (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a-b) 3 =a 3-3a 2 b+3ab 2 -b 3

15 Compito 15 Esercizio 1 Dati z 1 =5+i8; z 2 =-3+i4; z 3 =1+i Calcolare: z 1-2z 2 ; (z 3 ) 3 ; (z 1 + z 2 )/ z 3 ; Esercizio 2 Dati z 1 e z 2 dell esercizio precedente, rappresentare nel piano complesso z 1 e (-2z 2 ); Esercizio 3 Dato z 1 = 2+ i rappresentate graficamente i 5 numeri: z 1 ; z 1 i; z 1 i 2 ; z 1 i 3 ; z 1 i 4 ; Esercizio 4 Indicare il valore di: /2 (2/3)3-2 (7 7 7) -1/4