Problemi di approssimazione per operatori positivi in spazi adattati

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI Dottorato di Ricerca in Matematica XV Ciclo A.A Tesi di Dottorato Problemi di approssimazione per operatori positivi in spazi adattati Presentata da Mirella CAPPELLETTI MONTANO Supervisore della tesi: Prof. Francesco ALTOMARE Coordinatore del Dottorato di Ricerca: Prof. Francesco ALTOMARE

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3 A mio nonno.

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5 Prefazione I risultati stabiliti da P. P. Korovkin (cfr. [31]) nell ambito della teoria dell approssimazione delle funzioni continue tramite operatori lineari positivi costituiscono un compendio di eleganza e semplicità e, perciò, non hanno mancato di affascinare, nel corso degli anni, un numero sempre maggiore di matematici. Molti autori, infatti, si sono occupati, da un lato, della estensione di tali risultati nei più svariati spazi di funzioni e, dall altro, di sviluppare interessanti connessioni tra siffatte questioni e diversi campi dell analisi. Ciò ha comportato la nascita di una articolata teoria, che, in accordo con [8], è stata denominata teoria dell approssimazione di tipo Korovkin. Gli sviluppi più importanti di tale teoria sono documentati nella monografia di F. Altomare e M. Campiti (cfr. [8]) e nelle relative appendici. Di particolare rilievo si sono rivelati i contributi alla teoria dati da H. Bauer (cfr. [17], [18]) e, successivamente, anche da M. W. Grossman (cfr. [28]), nell ambito degli spazi adattati di funzioni continue. Gli spazi adattati sono stati introdotti da G. Choquet (cfr. [25, Vol. II, Ch. 34]) verso la fine degli anni sessanta, allo scopo di determinare una nuova e più semplice dimostrazione del problema dei momenti di H. Hamburger (cfr. [29]); lo studio degli spazi adattati ha, inoltre, trovato applicazione in diversi campi della analisi matematica quali, ad esempio, la teoria del potenziale o la teoria delle rappresentazioni integrali (cfr. [34], [40]). Negli anni settanta, poi, H. Bauer e, successivamente, M. W. Grossman si sono resi conto che nel contesto degli spazi adattati è possibile affrontare con successo diversi problemi di teoria dell approssimazione di tipo Korovkin. Questa tesi di dottorato si propone di dare un ulteriore contributo allo studio dei teoremi di tipo Korovkin in spazi adattati. Nei primi tre capitoli, si presenta un compendio delle principali proprietà degli spazi adattati e si espongono alcuni dei risultati ottenuti da M. W. Grossman in [28] e da H. Bauer in [17] e [18].

6 vi Prefazione Il quarto ed il quinto capitolo presentano nuovi aspetti della teoria che sembrano essere stati trattati per la prima volta. Tali risultati sono stati ottenuti dalla scrivente e da F. Altomare e saranno inviati a qualche rivista per la loro pubblicazione (cfr. [9], [10]). Nel quarto capitolo, si studiano le proprietà di particolari proiettori positivi definiti su spazi adattati, detti proiettori affini e si stabiliscono condizioni sufficienti affinché essi possano essere approssimati tramite reti di operatori lineari positivi o, più in generale, monotoni crescenti. Tale indagine consente di generalizzare un precedente lavoro di Altomare (cfr. [3]). Nel quinto capitolo, infine, estendendo parte dei risultati ottenuti da Grossman in [28], si determinano teoremi di tipo Korovkin per arbitrari sottospazi di spazi adattati rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi. Tale generalizzazione si dimostra, tra l altro, di una certa utilità ai fini della determinazione di diverse classi di insiemi di Korovkin. L autrice esprime profonda riconoscenza al Prof. F. Altomare, relatore di questa tesi di dottorato, per il costante incoraggiamento, il considerevole aiuto e gli innumerevoli consigli profusi durante tutto il corso di studi. Bari, Novembre 2003 Mirella Cappelletti Montano

7 Indice Introduzione 1 Notazioni 7 1 Preliminari Spazi di Riesz Teoremi di rappresentazione integrale per funzionali lineari positivi Supporto di una misura di Borel regolare Spazi adattati di funzioni continue Spazi adattati: definizione e prime proprietà Teorema di rappresentazione integrale di Choquet e sue conseguenze Su alcune topologie su E b Teoremi di tipo Korovkin in spazi adattati Funzioni affini e frontiera di Choquet Aderenze di Korovkin per operatori lineari positivi Frontiera di Choquet rispetto all operatore identità Aderenze di Korovkin per l operatore identità Proiettori affini su sottoalgebre adattate di funzioni continue Relazione d ordine di Choquet e misure massimali Proiettori E-affini Sottoinsiemi di Korovkin per proiettori E-affini Aderenze di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi Funzioni affini generalizzate e frontiere di Choquet

8 viii Indice 5.2 Aderenze di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi Sottospazi di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi per operatori finitamente definiti Aderenze di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi per l operatore identità Sottospazi di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi per proiettori continui e positivi Bibliografia 149

9 Introduzione P. P. Korovkin ha dato un notevole contributo allo sviluppo della teoria dell approssimazione delle funzioni continue tramite operatori lineari positivi. Uno dei suoi più significativi risultati in tale ambito (cfr. [31]) afferma che, denotato con C([0, 1]) lo spazio delle funzioni reali e continue su [0, 1], se una successione (L n ) n 1 di operatori lineari positivi da C([0, 1]) in C([0, 1]) è tale che lim n + L n(e k ) = e k uniformemente su [0, 1] per ogni k = 0, 1, 2, ove si ponga e k (x) = x k per ogni x [0, 1], allora lim n + L n(f) = f uniformemente su [0, 1] per ogni f C([0, 1]). La pregevole semplicità e, nel contempo, l eleganza di questo risultato hanno da subito attratto l attenzione di un gran numero di matematici; molti studiosi, infatti, hanno individuato, nel corso degli anni, svariate sue applicazioni nei più diversi campi, non solo della teoria dell approssimazione, ma anche dell Analisi Funzionale e della Teoria della Probabilità. Ad esempio, F. Altomare ha rilevato la profonda connessione esistente tra il teorema di Korovkin ed un altro classico risultato di teoria dell approssimazione, dovuto a K. Weierstrass. Tale risultato asserisce che l algebra dei polinomi reali su [0, 1] è densa nello spazio C([0, 1]), munito della topologia della convergenza uniforme. Nel corso degli anni, sono state individuate diverse dimostrazioni di questo teorema, a partire da quella presentata da Weierstrass (cfr. [44]) nel Tale dimostrazione non è, però, costruttiva e, anzi, fino al 1912 non si conoscevano esempi espliciti di successioni di polinomi che approssimassero funzioni reali e continue su [0, 1]. In tale anno, S. N. Bernstein ha stabilito una nuova dimostrazione del teorema di Weierstrass, di natura probabilistica (cfr. [22]),

10 2 Introduzione in cui finalmente si esibisce una successione di polinomi, detti polinomi di Bernstein (cfr. [8], Section 5.2), che verifica siffatta proprietà. Attraverso l impiego di tali polinomi, F. Altomare ha dimostrato che i teoremi di Korovkin e di Weierstrass sono in effetti equivalenti fra loro (cfr. [8], Section 4.2). Vari autori, poi, si sono interessati della generalizzazione del teorema di Korovkin in diversi spazi di funzioni o, più in generale, in contesti astratti e, soprattutto, della caratterizzazione dei sottoinsiemi di Korovkin; ciò ha determinato la nascita di una articolata teoria, che, in accordo con [8], è stata denominata teoria dell approssimazione di tipo Korovkin. Uno dei primi matematici che si è interessato a queste questioni è stato Yu. A. Shashkin; egli, infatti, ha esteso i risultati di Korovkin allo spazio C(X, R), costituito dalle funzioni reali e continue su X, ove X è uno spazio compatto e separato e, in tale ambito, ha caratterizzato i sottoinsiemi di Korovkin finiti (cfr. [38], [39]), in termini della loro frontiera di Choquet; ulteriori indagini in tale contesto sono, poi, state condotte da altri matematici, come, ad esempio, D.E. Wulbert (cfr. [45]) e H. Berens e G. G. Lorentz (cfr. [21]). Inoltre, analoghi risultati sono stati individuati da svariati autori, relativamente allo spazio C 0 (X, R), costituito dalle funzioni reali e continue che si annullano all infinito su uno spazio localmente compatto e separato X; tra essi, si ricordano, ad esempio, i lavori di F. Altomare (cfr. [5]), di F. Altomare e M. Campiti (cfr. [8]) e di H. Bauer e K. Donner (cfr. [20]). In C 0 (X, R), tra l altro, è possibile riconoscere l equivalenza tra risultati di tipo Korovkin e la generalizzazione dovuta a M. H. Stone (cfr. [41], [42]) del teorema di Weierstrass precedentemente citato (cfr. [8], Section 4.4). E, poi, possibile indagare su questioni connesse con la teoria dell approssimazione di tipo Korovkin in molti contesti astratti; ciò, ad esempio, è stato fatto, da Altomare (cfr., p. es., [4]) e Donner (cfr. [26]) nel contesto degli spazi vettoriali topologici ordinati, da Altomare nel contesto delle algebre di Banach (cfr. [6], [7]) e da L. G. Labsker (cfr. [32], [33]) ed altri nel contesto degli spazi di Banach. Maggiori e più completi dettagli sugli sviluppi più importanti della teoria si possono reperire nella monografia di F. Altomare e M. Campiti (cfr. [8]) e nelle relative appendici. Negli anni settanta, H. Bauer (cfr. [17], [18]) e, successivamente, M. W. Grossman (cfr. [28]) hanno studiato alcuni problemi della teoria dell approssimazione di tipo Korovkin nell ambito di opportuni sottospazi di C(X, R), ove X è uno spazio localmente compatto e separato, detti sottospazi adattati. I sottospazi adattati sono stati introdotti da G. Choquet (cfr. [25, Vol.

11 Introduzione 3 II, p. 274]) al fine di determinare una nuova dimostrazione del cosiddetto problema dei momenti. Esso consiste nel determinare condizioni necessarie e sufficienti affinché una successione (a n ) n N di numeri reali sia la successione dei momenti di una misura di Borel regolare µ su R, ovvero per ogni n N si verifichi che a n = + x n dµ(x). Il problema dei momenti è stato risolto nel 1920 da H. Hamburger (cfr. [29]); nel corso degli anni, comunque, sono state proposte varie dimostrazioni alternative di tale risultato (cfr., p. es., [36]). Tra di esse, una particolare menzione per la sua eleganza merita quella fornita da Choquet (cfr. [25, Vol. II, Th. 34.9]); essa si basa proprio su proprietà degli spazi adattati. L introduzione degli spazi adattati ha, inoltre, prodotto un notevole impulso in svariati ambiti dell Analisi come, ad esempio, la teoria del potenziale (cfr. [34], [40]). Si noti che lo spazio C(X, R), ove X è uno spazio compatto e separato, o lo spazio C 0 (X, R), con X localmente compatto e separato, sono effettivamente esempi di sottospazi adattati. L interesse per lo studio di problemi di teoria dell approssimazione di tipo Korovkin in sottospazi adattati è nato, come già detto, da alcuni lavori di H. Bauer (cfr. [17], [18]). Più precisamente, considerati uno spazio localmente compatto e separato X ed un sottospazio adattato E di C(X, R), si denoti con E b il sottospazio di C(X, R) costituito dalle funzioni f C(X, R) il cui valore assoluto è maggiorato da un elemento di E. Allora Bauer ha determinato condizioni necessarie e sufficienti, basate su proprietà della frontiera di Choquet di E, affinché, denotato con I l operatore identità su E b, una rete di operatori lineari positivi (o, più in generale, monotoni crescenti) da E b in E b converga puntualmente a I sullo spazio E b, munito, indifferentemente, della topologia della convergenza semplice su X, della topologia della convergenza uniforme sui compatti di X o della topologia per l ordine, a patto che tale convergenza abbia luogo sullo spazio E. Successivamente, M.W. Grossman (cfr. [28]) ha generalizzato l approccio seguito da Bauer, sostituendo I con un arbitrario operatore lineare positivo T : E b E b. Questa tesi di dottorato, si propone di dare un ulteriore contributo allo studio di siffatte problematiche, mettendo in luce nuovi aspetti che sembrano essere stati trattati qui per la prima volta (cfr. [9], [10]).

12 4 Introduzione Essa consta di cinque capitoli. Il primo capitolo è essenzialmente dedicato a richiamare alcune nozioni e risultati che, nel corso della trattazione, assumono un ruolo di primaria importanza. Si riportano, in particolare, alcune proprietà degli spazi di Riesz e alcuni teoremi di estensione per operatori lineari; essi, infatti, sono il punto cruciale di molte delle dimostrazioni che nel seguito si presentano. Si rammentano, poi, due teoremi di rappresentazione integrale per particolari funzionali lineari positivi, il teorema di Daniell-Stone ed il teorema di rappresentazione di Riesz e si studiano alcune proprietà del supporto di una misura di Borel regolare. Nel secondo capitolo, poi, si espongono i principali risultati ottenuti da Choquet in [25], circa la teoria degli spazi adattati. In particolare, si dimostra che in tale contesto vale il seguente teorema di rappresentazione integrale (cfr. [25, Vol. II, Th. 34.6]), che si rivela un utile strumento per l analisi di molte delle questioni nel seguito si affrontano: Se E è un sottospazio adattato di C(X, R) e ρ : E R è una forma lineare positiva, allora esiste una misura di Borel regolare µ su X tale che E L 1 (µ) e per ogni h E ρ(h) = h dµ. Nel terzo capitolo, si pone l accento sui principali risultati ottenuti da Grossman in [28]. Fissato uno spazio localmente compatto e separato X, un sottospazio adattato E di C(X, R) e un operatore lineare e positivo T da E b in E b, si studia, dunque, un particolare sottospazio di E b, detto aderenza di Korovkin di E in E b per l operatore T ; esso è costituito dalle funzioni f E b tali che per ogni rete (L i ) i I di operatori lineari positivi (o, più in generale, monotoni crescenti) da E b in E b tale che per ogni h E lim L i (h) = T (h) i I puntualmente su X o, indifferentemente, uniformemente sui compatti di X o rispetto alla topologia per l ordine, risulti che lim L i (f) = T (f) i I puntualmente su X o, indifferentemente, uniformemente sui compatti di X o rispetto alla topologia per l ordine. Si determinano, inoltre, condizioni necessarie e sufficienti affinché l aderenza di Korovkin di E in E b per T coincida

13 Introduzione 5 con l intero spazio E b. In tal caso, si dice che E è un sottospazio di Korovkin in E b per l operatore T. Successivamente, si affrontano alcune questioni connesse al caso particolare in cui si assuma che l operatore T sia l identità su E b. In tali ipotesi, infatti, è possibile determinare criteri più semplici per stabilire se uno spazio adattato E è un sottospazio di Korovkin in E b (cfr. [13]). Nel quarto capitolo, poi, si presentano alcuni nuovi risultati, ottenuti con F. Altomare (cfr. [9]), che generalizzano parte di un precedente lavoro di quest ultimo. Nella Nota [3], infatti, fissato uno spazio X compatto e separato, Altomare ha studiato le proprietà di particolari proiettori positivi T : C(X, R) C(X, R), il cui rango contenga le funzioni costanti e separi i punti di X. L analisi di questo tipo di proiettori ha permesso l elaborazione di un articolata teoria (cfr. [8], [11], [35], [43]), che coinvolge particolari processi di approssimazione positivi, semigruppi di Feller e processi di Markov. I risultati presentati nel Capitolo 4 estendono nel contesto degli spazi adattati i risultati di [3]. Più precisamente, fissati uno spazio localmente compatto, separato e numerabile all infinito X e un sottospazio adattato E di C(X, R), si introduce una opportuna classe di proiettori positivi da E b in E b, detti proiettori affini. Si presentano, poi, varie caratterizzazioni della frontiera di Choquet dei sottospazi adattati sui quali esistono proiettori affini; esse costituiscono la generalizzazione di analoghi risultati ottenuti da Altomare nel caso in cui si assuma che lo spazio X sia compatto (cfr. [3], [8]). Si perviene, inoltre, ad una caratterizzazione dell esistenza di siffatti proiettori, mettendo in evidenza il profondo legame esistente tra questa questione, la risolubilità del problema astratto di Dirichlet associato alla frontiera di Choquet del loro rango (cfr. [18], Section 4) e l unicità delle rappresentazioni integrali tramite misure concentrate su tale frontiera di Choquet. Infine, si determinano sottoinsiemi di Korovkin per proiettori affini, stabilendo, in tal modo, un metodo per approssimare tali operatori per mezzo di reti di operatori lineari positivi o, più in generale, monotoni crescenti. Nel quinto ed ultimo capitolo si estendono i risultati del Capitolo 3, investigando altri tipi di aderenze di Korovkin non solo di E, ma di arbitrari sottospazi di E b. I principali risultati del capitolo sono stati ottenuti congiuntamente a F. Altomare e saranno inviati a qualche rivista per la loro pubblicazione (cfr. [10]). Si passa a descrivere brevemente tali risultati. Si considerino su E b una topologia localmente convessa τ compatibile con

14 6 Introduzione la struttura d ordine su E b ed un operatore lineare positivo T : E b E b (τ, τ)-continuo. Fissato un sottospazio H di E b, si definisce aderenza di Korovkin di H in E b per T e τ rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi e si denota con Kor(H) τ,t, il sottospazio delle funzioni f E b per le quali risulti lim L i (f) = T (f) in (E b, τ) per ogni rete τ-equicontinua (L i ) i I i I di operatori lineari positivi da E b in E b tale che lim L i (h) = T (h) in (E b, τ) per ogni i I h H. Anche in questo caso, se Kor(H) τ,t = E b, si dice che H è un sottospazio di Korovkin in E b per T e τ rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi. Queste nozioni di aderenza e di sottospazio di Korovkin, del resto già studiate in altri spazi funzionali (cfr., p. es, [8], [20]), sembrano essere più flessibili, nel senso che possono esistere molti sottospazi di Korovkin (anche di dimensione finita) rispetto a reti equicontinue, mentre, in virtù di alcuni risultati di [4], ogni sottospazio di Korovkin in E b nel senso di [28] è necessariamente cofinale in E b e, quindi, è esso stesso adattato, per cui non può avere dimensione finita. Al fine di caratterizzare le suddette aderenze di Korovkin, si studiano opportuni inviluppi per le funzioni in E b e se ne mettono in evidenza le principali proprietà. Successivamente, denotata con τ indifferentemente la topologia della convergenza semplice su X o la topologia della convergenza uniforme sui compatti di X, si stabiliscono condizioni necessarie e sufficienti affinché un sottospazio H di E b sia un sottospazio di Korovkin in E b per τ e T rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi. Si determinano, inoltre, metodi per costruire sottospazi di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi per particolari operatori lineari positivi, detti operatori finitamente definiti, e per l operatore identità su E b e si esibiscono esempi di sottospazi di Korovkin rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi di dimensione finita per tali operatori. Infine, si estendono anche parte dei risultati del Capitolo 4, considerando, invece di proiettori affini, arbitrari proiettori positivi (τ, τ)-continui da E b in E b. Detto H il rango di tali proiettori, si presentano varie caratterizzazioni della frontiera di Choquet di H in termini dei proiettori stessi, analoghe a quelle ottenute per proiettori E-affini ed, inoltre, si determinano sottospazi di Korovkin per tali operatori rispetto a reti equicontinue di operatori lineari positivi.

15 Notazioni Si premettono, inizialmente, le principali notazioni che verranno utilizzate nel corso del lavoro. Sia X un insieme e si denoti con R X lo spazio delle funzioni reali su X. Se, poi, X è uno spazio topologico, si indichi con C(X, R) lo spazio delle funzioni reali e continue su X. Si denoti, inoltre, con C b (X, R) il sottospazio di C(X, R) costituito dalle funzioni continue e limitate su X. Allora C b (X, R), munito della norma della convergenza uniforme, definita ponendo f := sup f(x) per ogni f C b (X, R), x X è uno spazio di Banach. Sia f C(X, R). Si definisce supporto di f e si denota con il simbolo supp(f) il seguente sottoinsieme di X: supp(f) := {x X f(x) 0}. Si dice, poi, che f è a supporto compatto se supp(f) è un sottoinsieme compatto di X. Il sottospazio di C(X, R) delle funzioni reali e continue il cui supporto è compatto si denota con C C (X, R). Si supponga, ora, che X sia uno spazio topologico localmente compatto. Si dice che una funzione f C(X, R) si annulla all infinito se per ogni ɛ > 0 esiste un sottoinsieme compatto K di X tale che f(x) ɛ per ogni x X\K. Il sottospazio di C(X, R) delle funzioni continue che si annullano all infinito si denota con C 0 (X, R). C 0 (X, R) è un sottospazio chiuso di C b (X, R) e, quindi, munito della norma della convergenza uniforme, è uno spazio di Banach. Si osservi che, se X è uno spazio topologico localmente compatto, allora C C (X, R) C 0 (X, R) C b (X, R) C(X, R).

16 8 Notazioni In particolare, se X è compatto, C(X, R) = C 0 (X, R) = C b (X, R). Se X è un insieme e G è un sottoinsieme di X, si denoti con 1 G la funzione caratteristica di G, ovvero la funzione da X in {0, 1} definita ponendo per ogni x X { 1 se x G; 1 G (x) := 0 se x X \ G. In particolare, si indichi con 1 la funzione costante di costante valore 1 su X. Sia (X, M, µ) uno spazio di misura; allora, per ogni p 1, si denoti con L p (µ) lo spazio delle funzioni f : X R misurabili e tali che f p dµ < +. (1) In particolare, se X è un sottoinsieme di R n misurabile secondo Lebesgue e µ è la misura di Lebesgue su X, si preferisce usare il simbolo L p (X), p [1, + [. Se, inoltre, (X, M, µ) è uno spazio di misura, si denoti con L (µ) lo spazio delle funzioni f : X R misurabili ed essenzialmente limitate. In particolare, se X è un sottoinsieme di R n misurabile secondo Lebesgue e µ è la misura di Lebesgue su X, si preferisce denotare tale sottospazio con il simbolo L (X).

17 Capitolo 1 Preliminari Obiettivo di questa tesi di dottorato è di indagare diverse problematiche connesse con la teoria dell approssimazione di tipo Korovkin nel contesto di particolari sottospazi di funzioni continue, detti sottospazi adattati. Questo primo capitolo, di carattere introduttivo, si propone essenzialmente di richiamare alcune nozioni e risultati che saranno utilizzati nel corso di tutta la trattazione. Nel primo paragrafo, si rammentano le definizioni di spazio di Riesz e di spazio vettoriale topologico ordinato e se ne elencano alcuni esempi. Si evidenzia, poi, una proprietà, detta proprietà del Dini, di cui godono determinati sottospazi di Riesz completi per l ordine. Si citano, inoltre, alcuni teoremi di estensione per operatori lineari nel contesto degli spazi di Riesz; tali teoremi, infatti, rappresentano il punto cruciale della dimostrazione di alcuni tra i principali risultati concernenti la teoria degli spazi adattati. Nel seguito, poi, si utilizzeranno particolari teoremi di rappresentazione integrale per funzionali lineari positivi, che vengono riportati nel secondo paragrafo. Più precisamente, fissato un insieme X, considerati un sottospazio F di R X e una forma lineare positiva µ : F R, si vogliono determinare condizioni sufficienti affinché esista una misura µ, definita su una opportuna σ-algebra, tale che gli elementi di F siano integrabili rispetto a µ ed, inoltre, per ogni u F µ(u) = u dµ. In particolare, si riportano due teoremi, il teorema di Daniell-Stone ed il teorema di rappresentazione di Riesz.

18 10 Capitolo 1. Preliminari Quest ultimo, come è noto, stabilisce una corrispondenza biunivoca tra il cono delle misure di Borel regolari e il cono delle misure di Radon positive su uno spazio localmente compatto e separato X. Nell ambito della teoria degli spazi adattati, un ruolo di primaria importanza è esercitato proprio dalle misure di Borel regolari; per questo motivo, nel terzo paragrafo, si presentano alcune proprietà di siffatte misure e dei loro supporti. 1.1 Spazi di Riesz In questo primo paragrafo, si richiamano alcune nozioni relative agli spazi di Riesz. Si passano, preliminarmente, in rassegna alcune definizioni relative agli spazi vettoriali ordinati. Per ulteriori approfondimenti, vedasi, ad esempio, [2], [30]. Sia E uno spazio vettoriale reale e sia una relazione d ordine su E. Si dice che è una relazione d ordine compatibile con la struttura di spazio vettoriale di E, o che (E, ) è uno spazio vettoriale ordinato, se (i) Per ogni f, g, h E, se f g, allora f + h g + h; (ii) Per ogni f, g E e per ogni α 0, se f g, allora αf αg. Qui di seguito si elencano alcuni esempi di spazi vettoriali ordinati. Esempi R n, munito della relazione d ordine definita ponendo per ogni a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n è uno spazio vettoriale ordinato. a b a i b i per ogni 1 i n, (1.1.1) 2. Sia X un insieme; allora ogni sottospazio E di R X, munito della relazione d ordine definita ponendo per ogni f, g E f g f(x) g(x) per ogni x X, (1.1.2) è uno spazio vettoriale ordinato. In particolare, se X è uno spazio topologico, C(X, R), C b (X, R) e C C (X, R), muniti della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), sono spazi

19 1.1. Spazi di Riesz 11 vettoriali ordinati; se, poi, X è uno spazio topologico localmente compatto, C 0 (X, R), munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), è uno spazio vettoriale ordinato. Se (E, ) è uno spazio vettoriale ordinato, si pone E + gode delle seguenti proprietà: (a) f + g E + per ogni f, g E + ; E + := {f E 0 f}; (b) αf E + per ogni f E + e per ogni α 0; (c) E + ( E) + = {0}. Tali proprietà esprimono il fatto che E + è un cono convesso proprio, che prende il nome di cono degli elementi positivi di E. Uno spazio vettoriale ordinato (E, ) si dice, poi, spazio reticolato o spazio di Riesz se sup(f, g) E per ogni f, g E. Si elencano, ora, alcuni esempi di spazi di Riesz; per ulteriori approfondimenti, si rimanda, ad esempio, a [2]. Esempi R n, munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.1), è uno spazio di Riesz. 2. Se X è un insieme, R X, munito della relazione d ordine definita in (1.1.2), è uno spazio di Riesz. Se, poi, X è uno spazio topologico, C(X, R), C C (X, R), e C b (X, R), muniti della relazione d ordine definita in (1.1.2), sono spazi di Riesz. Infine, se X è uno spazio topologico localmente compatto, C 0 (X, R), munito della relazione d ordine definita in (1.1.2), è uno spazio di Riesz. Se (E, ) è uno spazio di Riesz, per ogni f E si pone f + := sup(f, 0), e f := sup( f, 0) f := sup( f, f).

20 12 Capitolo 1. Preliminari f + si dice parte positiva di f, f si definisce parte negativa di f; infine, f si dice valore assoluto di f. Per ogni f E, si ha che inoltre e f f f + ; f = f + f (1.1.3) f = f + + f. Dalla (1.1.3) segue, in particolare, che se (E, ) è uno spazio di Riesz, allora E = E + E +. Sia (E, ) uno spazio di Riesz. Un sottospazio F di E si dice sottospazio di Riesz di E se per ogni f F si ha che f F. Esempio Sia X uno spazio topologico; allora C(X, R), C C (X, R) e C b (X, R), muniti della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), sono sottospazi di Riesz di R X. Allo stesso modo, se X è uno spazio topologico localmente compatto, C 0 (X, R), munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), è un sottospazio di Riesz di R X. Uno spazio di Riesz (E, ) si dice, infine, completo per l ordine se ogni sua parte non vuota e maggiorata ammette estremo superiore, ovvero ogni sua parte non vuota e minorata ammette estremo inferiore. Esempi Lo spazio R n, munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.1), è uno spazio di Riesz completo per l ordine. 2. Se X è un insieme, lo spazio R X, munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), è uno spazio di Riesz completo per l ordine. 3. Sia X uno spazio topologico; allora C(X, R), munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), non è, in generale, uno spazio di Riesz completo per l ordine (cfr. [23, Chap. II, 1, n. 3, Exemple 2]).

21 1.1. Spazi di Riesz 13 Sia, ora, (E, ) uno spazio vettoriale ordinato e si munisca E di una topologia τ. Si presentano alcune proprietà, cui nel seguito si fa riferimento, che consentono di collegare la struttura d ordine di E alla topologia τ. Si consideri preliminarmente uno spazio topologico (E, τ), ove E è uno spazio vettoriale reale. Siano, poi, e + : E E E : R E E rispettivamente le leggi di composizione interna ed esterna su E. Si denoti con τ e la usuale topologia euclidea su R e si supponga, inoltre, che E E e R E siano muniti delle topologie prodotto, denotate con τ τ e τ e τ, rispettivamente. Si dice che la topologia τ è compatibile con + se + è una applicazione (τ τ, τ)-continua. Si dice, invece, che τ è compatibile con se è una applicazione (τ e τ, τ)-continua. Si dice, infine, che τ è compatibile con la struttura di spazio vettoriale di E se τ è compatibile con + e. In tal caso, (E, τ) si definisce anche spazio vettoriale topologico. Sia, poi, (E, ) uno spazio vettoriale ordinato e si munisca E di una topologia τ. Si dice che E è uno spazio vettoriale topologico ordinato (cfr. [24, Chap. II, 2, n. 7]), o che la topologia τ è compatibile con, se (E, τ) è uno spazio vettoriale topologico ed inoltre E + è chiuso in E. Si danno qui di seguito alcuni esempi di spazi vettoriali topologici ordinati. Esempi R n, munito della topologia euclidea e della relazione d ordine definita in (1.1.1), è uno spazio vettoriale topologico ordinato. 2. Sia X un insieme. Allora R X, munito della relazione d ordine di cui alla (1.1.2) e della topologia della convergenza semplice su X, è uno spazio vettoriale topologico ordinato. 3. Sia X uno spazio compatto. Allora C(X, R), munito della relazione d ordine definita in (1.1.2) e della topologia della convergenza uniforme, è uno spazio vettoriale topologico ordinato. 4. Se X è uno spazio localmente compatto e separato, allora C(X, R), munito

22 14 Capitolo 1. Preliminari della relazione d ordine di cui alla (1.1.2) e della topologia della convergenza uniforme sui compatti, è uno spazio vettoriale topologico ordinato. Si vuole, infine, introdurre una ulteriore proprietà di particolari sottospazi di Riesz. Definizione Sia F 0 uno spazio di Riesz completo per l ordine e sia F un sottospazio di Riesz di F 0. Si munisca F di una topologia compatibile con l ordine. Si dice che F verifica la proprietà del Dini relativamente a F 0 se il filtro delle sezioni di ogni parte A di F filtrante inferiormente e limitata inferiormente tale che inf A F risulta convergente in F. Evidentemente, se F verifica la proprietà del Dini relativamente ad F 0, allora ogni sottospazio di Riesz di F, munito della topologia indotta, verifica la proprietà del Dini relativamente ad F 0. Si presentano ora alcuni esempi di sottospazi verificanti la proprietà del Dini. Per ulteriori esempi vedasi [4]. Esempi R verifica la proprietà del Dini relativamente a R. 2. Sia X un insieme qualunque. Allora lo spazio R X, munito della topologia della convergenza semplice e della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), verifica la proprietà del Dini relativamente allo spazio R X. 3. Sia X uno spazio compatto. Allora C(X, R), munito della topologia della convergenza uniforme e della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), verifica la proprietà del Dini relativamente allo spazio R X. 4. Sia X uno spazio localmente compatto e separato. Allora C(X, R), munito della topologia della convergenza uniforme sui compatti e della relazione d ordine di cui alla (1.1.2), verifica la proprietà del Dini relativamente allo spazio R X. Si procede, ora, a ricordare alcuni teoremi di estensione per operatori lineari nel contesto degli spazi di Riesz. Più precisamente, assegnati uno spazio vettoriale reale E, uno spazio di Riesz F, un sottospazio G di E ed un operatore lineare S : G F, si vogliono determinare condizioni sufficienti affinché esista un operatore lineare T : E F tale che T G = S. A tal fine, si premette la seguente definizione.

23 1.1. Spazi di Riesz 15 Siano E uno spazio vettoriale reale e (F, ) uno spazio vettoriale ordinato. Un operatore p : E F si dice sublineare se (i) p(λx) = λp(x) per ogni x E e per ogni λ 0; (ii) p(x + y) p(x) + p(y) per ogni x, y E. Sussiste il seguente risultato, noto come teorema di Hahn-Banach- Kantorovič, per la cui dimostrazione si rimanda a [2, Th. 2.1]. Teorema Siano E uno spazio vettoriale reale, G un sottospazio di E ed (F, ) uno spazio di Riesz completo per l ordine. Si considerino, inoltre, un operatore sublineare p : E F ed un operatore lineare S : G F tali che per ogni f G risulti S(f) p(f). Allora esiste T : E F lineare tale che T G = S e T p. Si può a questo punto enunciare una conseguenza del Teorema A tal fine, si ricordi che, fissati due spazi vettoriali ordinati (E, ), (F, ) e un operatore sublineare p : E F, si dice che p è monotono se per ogni f, g E, 0 f g, risulta p(f) p(g). Si ricordi, inoltre, che un operatore lineare T : E F si dice positivo se T (f) 0 per ogni f E +. Sia, poi, E uno spazio vettoriale reale. Ogni operatore lineare ρ : E R si dice forma lineare o funzionale lineare. In particolare, se (E, ) è uno spazio vettoriale ordinato e ρ : E R è una forma lineare, si dice che ρ è positiva se ρ(f) 0 per ogni f E +. Sussiste a tal proposito il seguente risultato, per la cui dimostrazione vedasi [30, Th ]. Corollario Siano (E, ) uno spazio di Riesz, G un sottospazio di Riesz di E e (F, ) uno spazio di Riesz completo per l ordine. Si considerino, poi, un operatore monotono p : E F e un operatore lineare positivo S : G F tali che per ogni g G + risulti S(g) p(g). Allora esiste T : E F lineare positivo tale che T G = S e T (f) T ( f ) p( f ) per ogni f E. Nel seguito, i risultati precedenti vengono applicati al caso particolare in cui F = R (cfr. Esempio 1.1.4, 1). In tal caso, inoltre, è possibile, sotto opportune ipotesi, generalizzare il Teorema 1.1.8, considerando funzionali a valori in R {+ }. Sia E uno spazio vettoriale, si munisca E di una topologia τ e si denoti con E il duale topologico di E, ovvero l insieme delle forme lineari e continue

24 16 Capitolo 1. Preliminari rispetto a τ su E. (Qualora su E siano definite più topologie, si preferisce utilizzare il simbolo (E, τ).) Si dice che un funzionale p : E R {+ } è ipolineare se verifica le seguenti proprietà: (i) p(λf) = λp(f) per ogni f E e per ogni λ 0, con la convenzione che 0 (+ ) = 0; (ii) p(f + g) p(f) + p(g) per ogni f, g E. Per tali funzionali, sussiste seguente risultato, per la cui dimostrazione vedasi [12]. Teorema Siano E uno spazio vettoriale reale localmente convesso e separato e p : E R {+ } un funzionale ipolineare e semicontinuo inferiormente. Allora per ogni f E e per ogni α ] p( f), p(f)[ esiste T E tale che T p e T (f) = α. 1.2 Teoremi di rappresentazione integrale per funzionali lineari positivi In questo paragrafo si vogliono presentare due risultati, che nel seguito intervengono nella discussione di svariate questioni concernenti la teoria delle rappresentazioni integrali. Più precisamente, considerati un insieme X, un sottospazio A di R X e una forma lineare positiva µ : A R, si vogliono determinare condizioni sufficienti affinché esista una misura µ, definita su una opportuna σ-algebra, tale che A L 1 (µ) ed, inoltre, per ogni u A µ(u) = u dµ. Tali problematiche sono in qualche modo connesse alla teoria degli spazi adattati; nel prossimo capitolo, infatti, è dimostrato un ulteriore teorema di rappresentazione integrale, valido nel contesto degli spazi adattati (cfr. [25, Vol. II, Th. 34.6]). Si presenta, innanzitutto, il cosiddetto teorema di Daniell-Stone; a tal fine, sono necessarie alcune premesse. Per ulteriori approfondimenti si rimanda, poi, a [19, Section 7.1]. Siano X un insieme e F un sottospazio di Riesz di R X. Si dice che F è un reticolo di Stone se per ogni u F si ha che inf(u, 1) F. Si passa, ora, a presentare alcuni esempi di reticoli di Stone.

25 1.2. Teoremi di rappresentazione integrale per funzionali lineari positivi 17 Esempi Se (X, M, µ) è uno spazio di misura e p [1, + ], allora L p (µ) è un reticolo di Stone. 2. Sia X uno spazio localmente compatto e separato. Ogni sottoalgebra chiusa di C 0 (X, R) è un reticolo di Stone (cfr. [8, Lemma 4.4.3]). Si introduce, ora, una particolare classe di forme lineari positive su F, alle quali si applica il teorema di Daniell-Stone. Definizione Siano X un insieme e F un reticolo di Stone di R X. Una forma lineare positiva I : F R si dice integrale astratto se per ogni successione decrescente (u n ) n 1 di elementi di F tale che inf u n = 0 si ha che n 1 lim I(u n) = 0. n + Il termine integrale astratto discende dal fatto che, in grazie al teorema di Daniell-Stone, si dimostra che, in realtà, ogni forma lineare positiva verificante la Definizione è rappresentabile, in forma integrale, tramite una opportuna misura. Si ricordi, infine, che se X è un insieme e F è un reticolo di Stone di R X, un sottoinsieme G di X si dice F-aperto se esiste una successione crescente (u n ) n 1 di elementi di F tale che 1 G = sup n 1 Si indichi con S la totalità degli insiemi F-aperti di X e si denoti con A(S) la σ-algebra generata da S, ovvero la più piccola σ-algebra contenente S. Si enuncia, a questo punto, il seguente risultato, noto come teorema di Daniell-Stone, per la cui dimostrazione vedasi [19, Th ]. Teorema Siano X un insieme, F un reticolo di Stone di R X ed I un integrale astratto su F, nel senso della Definizione Allora esiste una misura µ, definita sulla σ-algebra A(S), tale che (a) F L 1 (µ); (b) I(u) = u dµ per ogni u F. u n.

26 18 Capitolo 1. Preliminari Inoltre, la misura µ gode della seguente proprietà: per ogni A A(S) inf µ(g) se esiste G S tale che A G; G S µ(a) := A G + se non esiste G S tale che A G. Finora, si è supposto che X sia un insieme qualunque. Se, però, si assume che X sia uno spazio localmente compatto e separato, è possibile determinare un ulteriore teorema di rappresentazione per forme lineari positive su C C (X, R), il teorema di rappresentazione di Riesz. Si indichi con B X la σ-algebra di Borel su X, ovvero la σ-algebra generata dagli aperti di X. Una misura µ : B X [0, + ] si dice misura di Borel se per ogni K X, K compatto, risulta µ(k) < +. Una misura di Borel µ : B X [0, + ] si dice, poi, regolare dall alto se per ogni U B X si ha che µ(u) = inf{µ(v ) V aperto, U V }. Si dice, inoltre, che una misura di Borel µ : B X [0, + ] è regolare dal basso se per ogni U X, U aperto, si ha che µ(u) = sup{µ(k) K compatto, K U}. Una misura di Borel µ : B X [0, + ] si dice, infine, regolare se è regolare dall alto e dal basso. Il cono delle misure di Borel regolari si indica con M + (X). Si indica, invece, con M + b (X) il cono delle misure di Borel regolari e finite (ovvero tali che µ(x) < + ). Si possono elencare numerosi esempi di misure di Borel regolari. Esempi La misura di Lebesgue su R n è regolare. 2. Siano X uno spazio localmente compatto e separato e x X. Denotata con ɛ x la misura di Dirac concentrata in x, risulta che ɛ x è una misura di Borel regolare. 3. Se X è uno spazio localmente compatto, separato, numerabile all infinito e metrizzabile, allora ogni misura di Borel su X è regolare (cfr. [19, Cor ]).

27 1.2. Teoremi di rappresentazione integrale per funzionali lineari positivi Se X è uno spazio localmente compatto, separato, metrizzabile, completo e separabile, allora ogni misura di Borel finita su X è una misura di Borel regolare (cfr. [19, Th ]). 5. Siano X uno spazio localmente compatto e separato, µ M + (X) e g C(X, R), g 0. Allora la misura g µ definita ponendo (g µ)(b) := B g dµ per ogni B B X è una misura di Borel regolare su X. Si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra il cono delle misure di Borel regolari su X e particolari forme lineari su C C (X, R). A tal fine, si premette la seguente definizione (cfr. [23, Chap. III, 1, n. 3]). Una forma lineare µ : C C (X, R) R si dice misura di Radon su X se per ogni K sottoinsieme compatto di X esiste M K 0 tale che per ogni f C C (X, R), supp(f) K, si ha che µ(f) M K sup f(x). x K Una misura di Radon µ su X si dice limitata se esiste M 0 tale che per ogni f C C (X, R) si ha che µ(f) M sup f(x). x X Si presentano, qui di seguito, alcuni esempi di misure di Radon. Esempi Ogni forma lineare positiva ρ : C C (X, R) R è una misura di Radon su X. Infatti, si fissi K X, K compatto. Allora, per il lemma di Uryshon, esiste g C C (X, R), 0 g 1, tale che g(x) = 1 per ogni x K. Sia f C C (X, R) tale che supp(f) K. Allora f g sup f(x) e, quindi, x K ρ(f) ρ( f ) ρ(g) sup f(x) ; di qui, l asserto. x K 2. Sia x X. Allora la forma lineare ɛ x : C C (X, R) R definita ponendo, per ogni f C C (X, R) ɛ x (f) := f(x)

28 20 Capitolo 1. Preliminari è una misura di Radon limitata su X. 3. Siano (a n ) n 1 una successione di elementi di X e (α n ) n 1 una successione di numeri reali tale che n=1 α n < +. Allora la forma lineare µ : C C (X, R) R definita ponendo per ogni f C C (X, R) µ(f) := è una misura di Radon limitata su X. α n f(a n ) n=1 4. Sia µ M + (X). Allora, la forma lineare µ : C C (X, R) R definita ponendo per ogni f C C (X, R) µ(f) := f dµ è una misura di Radon su X. Dall Esempio 1.2.5, 4 si evince, dunque, che, fissata µ M + (X), ad essa corrisponde una opportuna misura di Radon positiva. Con il prossimo risultato, noto come teorema di rappresentazione di Riesz, per la cui dimostrazione vedasi [1], si dimostra che vale anche il viceversa e, quindi, che esiste una corrispondenza biunivoca tra il cono delle misure di Borel regolari su X ed il cono delle misure di Radon positive su X. Teorema Siano X uno spazio localmente compatto e separato e µ : C C (X, R) R una misura di Radon positiva su X. Allora esiste una ed una sola µ M + (X) tale che per ogni f C C (X, R) risulti µ(f) = f dµ. Se, inoltre, µ è una misura di Radon limitata su X, allora µ M + b (X) e µ(x) = µ. 1.3 Supporto di una misura di Borel regolare Siano X uno spazio localmente compatto e separato e µ M + (X). In questo paragrafo, si pone l accento su particolari proprietà del supporto di µ.

29 1.3. Supporto di una misura di Borel regolare 21 Lo studio di tali proprietà si rende necessario, al fine di determinare opportuni strumenti per l analisi di alcune delle questioni che nel seguito si affrontano. Sia, dunque, U un aperto di X. Si dice che µ vale 0 su U se µ(u) = 0. Si denoti con U(µ) la totalità degli aperti U di X tali che µ valga 0 su U. Si definisce supporto di µ e si indica con il simbolo supp(µ) il sottoinsieme chiuso di X supp(µ) := X \ U. U U(µ) Si dice, poi, che µ M + (X) è a supporto compatto se supp(µ) è compatto e che µ M + (X) è a supporto finito se supp(µ) è finito. Si dice, inoltre, che µ M + (X) è concentrata su B se µ(x \ B) = 0. Si noti che, in grazie alla corrispondenza biunivoca esistente tra il cono delle misure di Borel regolari su X e quello delle misure di Radon positive su X (cfr. Teorema 1.2.6), il concetto di supporto di una misura di Borel regolare è equivalente a quello più familiare di supporto di una misura di Radon (cfr. [23, Chap. III, 2, n. 2]). Osservazione Sia x 0 X; allora, x 0 supp(µ) se e solo se per ogni V intorno di x 0 risulta µ(v ) 0 o, equivalentemente, se per ogni V intorno di x 0 esiste f C C (X, R), supp(f) V, tale che f dµ 0 (cfr. [23, Chap. III, 2, p. 66]). Allo stesso modo, x 0 supp(µ) se e solo se esiste V intorno di x 0 tale che µ(v ) = 0 o, equivalentemente, se esiste V intorno di x 0 tale che per ogni f C C (X, R), supp(f) V, risulti f dµ = 0. Si presentano, ora, alcuni esempi. Esempi Sia λ la misura di Lebesgue su R. Allora supp(λ) = R. 2. Siano X = [0, 1] e (a n ) n N una successione di elementi di X, densa in X; si ponga µ := 1 2 ɛ n an. In grazie all Esempio 1.2.5, 3 e al Teorema n= , si ha che µ è una misura di Borel regolare su X. Allora, supp(µ) = X. Infatti, si fissi x X e si consideri un intorno V di x; per il lemma di Uryshon, esiste f C C (X, R), 0 f 1, tale che f(x) = 1 e supp(f) V. In particolare, per il teorema della permanenza del segno, esiste U V,

30 22 Capitolo 1. Preliminari intorno aperto di x, tale che f(y) > 0 per ogni y U. Poiché (a n ) n N è densa in X, esiste m N tale che a m U. Allora f dµ 1 2 m f(a m) > 0. Da ciò, in base all Osservazione 1.3.1, x supp(µ). Sussistono, inoltre, le seguenti proprietà: (i) Se B è un sottoinsieme chiuso di X, allora supp(µ) B f dµ = 0 per ogni f C C (X, R) tale che supp(f) B = µ è concentrata su B; (1.3.1) (ii) Per ogni f L 1 (µ) f dµ = supp(µ) f dµ; (iii) Se f L 1 (µ) e f = 0 su supp(µ), allora f dµ = 0. In particolare, se f, g L 1 (µ) e f = g su supp(µ), allora f dµ = g dµ; (iv) Se f C C (X, R) e supp(f) supp(µ) =, allora f dµ = 0. Da ciò, per l Osservazione 1.3.1, in particolare, segue che X\supp(µ) U(µ) e, quindi, U U(µ). U U(µ) Si passa, ora, a dimostrare alcune ulteriori proprietà del supporto di una misura di Borel regolare. Si noti che esse sono l analogo delle proprietà presenti in [23, Chap. III, 2, n. 3], relativamente al supporto di una misura di Radon positiva. Proposizione Siano X uno spazio localmente compatto e separato e µ, ν M + (X). Allora (1) supp(µ + ν) = supp(µ) supp(ν);

31 1.3. Supporto di una misura di Borel regolare 23 (2) Se f : X R è una funzione continua, µ-integrabile, positiva e tale che f dµ = 0, allora supp(µ) {x X f(x) = 0}; (3) Se supp(µ) è compatto, allora C(X, R) L 1 (µ); (4) Se supp(µ) è compatto, allora µ M + b (X); (5) Se µ = n λ i ɛ xi, λ 1,..., λ n > 0, allora supp(µ) = {x 1,..., x n }; viceversa, i=1 se µ M + b (X) e supp(µ) = {x 1,..., x n }, esistono λ 1,..., λ n R + tali che µ = n λ i ɛ xi ; i=1 (6) Per ogni g C(X, R), g 0, si ha che supp(g µ) = {x supp(µ) g(x) 0} supp(g) supp(µ). Dimostrazione. (1). Sia x 0 supp(µ + ν). Allora, per ogni V intorno di x 0 risulta che (µ + ν)(v ) 0; da ciò segue che µ(v ) + ν(v ) 0 e, quindi, µ(v ) 0 oppure ν(v ) 0. Per l Osservazione 1.3.1, dunque, x 0 supp(µ) supp(ν). Viceversa, se x 0 supp(µ+ν), esiste V intorno di x 0 tale che (µ+ν)(v ) = 0; dunque, µ(v ) = 0 e ν(v ) = 0. Allora, in grazie all Osservazione 1.3.1, segue che x 0 supp(µ) supp(ν). (2). Per ogni n 1, si ponga { A n := x X f(x) 1 }. n Si osservi che, poiché f è continua, A n è un chiuso in X per ogni n 1 e, dunque, A n B X per ogni n 1. Inoltre, per ogni n 1 si ha che A n A n+1 e µ(a n ) = 0. Infatti, se, per assurdo, esistesse m 1 tale che µ(a m ) > 0, allora 0 < 1 m µ(a m) f dµ f dµ = 0. A m Sia A := {x X f(x) = 0}; A è un chiuso di X e X \ A = {x X f(x) > 0} = n 1 A n ;

32 24 Capitolo 1. Preliminari allora, µ(x \A) = lim µ(a n) = 0 e, dunque, µ è concentrata su A. Pertanto, n + dalla (1.3.1), segue che supp(µ) {x X f(x) = 0}. (3). Sia µ M + (X) tale che supp(µ) è compatto; per definizione, quindi, esiste K compatto di X tale che µ(x \ K) = 0. Si fissi, ora, f C(X, R); posto, quindi, α K := sup f(x), si ha che X x K f dµ = K f dµ + f dµ α K µ(k) < + X\K e, da ciò, segue l asserto. (4). Sia µ M + (X) tale che supp(µ) è compatto. Allora µ(x) = 1 dµ = 1 dµ = µ(supp(µ)) < +. X supp(µ) (5). Si dimostra innanzitutto che {x 1,..., x n } supp(µ). Infatti, per ogni i = 1,...n, se V è un intorno di x i, allora µ(v ) = n λ i ɛ xi (V ) > 0; pertanto, dall Osservazione 1.3.1, segue che x i supp(µ). Viceversa, se x X \ {x 1,..., x n }, allora V := X \ {x 1,..., x n } è un intorno aperto di x tale che µ(v ) = 0 e, quindi x supp(µ). Sia, ora, µ M + b (X) tale che supp(µ) = {x 1,..., x n }. Per il lemma di Uryshon, per ogni i = 1,..., n esiste ϕ i C C (X, R), 0 ϕ i 1, tale che ϕ i (x i ) = 1 e ϕ i (x j ) = 0 per ogni j = 1,..., n, i j. Si ponga λ i := ϕ i dµ per ogni i = 1,..., n. Si fissi f C C (X, R); allora f = n f(x i ) ϕ i su supp(µ) e, quindi, f dµ = = n f(x i )ϕ i dµ = i=1 n λ i f(x i ) = i=1 n i=1 i=1 f(x i ) n λ i ɛ xi (f), i=1 i=1 ϕ i dµ = da cui, per il Teorema 1.2.6, segue la tesi. (6). Sia A := {x supp(µ) g(x) 0}. E ovvio verificare che A supp(g) supp(µ). Si passa, quindi, a provare che supp(g µ) = A. Invero, se x / A, esiste un intorno V di x tale che g(y) = 0 per ogni y V supp(µ). Allora (g µ)(v ) = 0; infatti, (g µ)(v ) = g dµ = g dµ + g dµ = 0. V V supp(µ) V \supp(µ)

33 1.3. Supporto di una misura di Borel regolare 25 Allora, per l Osservazione 1.3.1, x supp(g µ). Viceversa, si supponga che x supp(g µ). Per l Osservazione 1.3.1, esiste V intorno di x tale che (g µ)(v ) = 0. Si vuole provare che g(y) = 0 per ogni y V supp(µ). Si supponga per assurdo che esiste y V supp(µ) tale che g(y) > 0; allora, esiste U intorno compatto di y, U V, tale che g(z) > 0 per ogni z U. Si ponga, inoltre, α := min g(z) > 0. Si ha, quindi, che µ(u) = U dµ = z U U 1 g g dµ 1 g dµ = α U = 1 α (g µ)(u) 1 (g µ)(v ) = 0 α e ciò, in grazie all Osservazione 1.3.1, è assurdo, in quanto y supp(µ).

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35 Capitolo 2 Spazi adattati di funzioni continue Sia X uno spazio localmente compatto e separato. Negli anni settanta, H. Bauer (cfr. [17], [18]) e, successivamente, M. W. Grossman (cfr. [28]) hanno individuato una nuova frontiera nello studio di problemi di approssimazione di tipo Korovkin, considerando particolari sottospazi di C(X, R), detti sottospazi adattati. Tali sottospazi, che hanno trovato molteplici applicazioni in vari ambiti dell Analisi Funzionale come, ad esempio, la teoria del potenziale (cfr. [34], [40]), sono stati introdotti da G. Choquet (cfr. [25, Vol. II, p. 274]), al fine di risolvere il cosiddetto problema dei momenti. Sia µ M + (R). Si dice che µ ammette momento di ordine n se la funzione t n, t R, è integrabile rispetto a µ e, in tal caso, M n (µ) := + t n dµ(t) si definisce momento di ordine n per µ. Il problema dei momenti consiste nel determinare condizioni necessarie e sufficienti affinché una successione di numeri reali sia la successione dei momenti di una opportuna misura µ M + (R). Tale problema è stato risolto inizialmente da H. Hamburger negli anni venti (cfr. [29]). Molti autori si sono, poi, cimentati nel determinare dimostrazioni alternative di tale risultato (cfr. per es. [36]). Choquet, in particolare (cfr. [25, Vol. II, Th. 34.9]), ne ha individuata una tra le più eleganti, che si basa su un teorema di rappresentazione integrale, da lui stesso dimostrato, valido nel contesto degli spazi adattati (cfr. [25, Vol.

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