ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5. Indice. 2. Esercizi 5

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1 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 Indice 1. Principali definizioni 1 2. Esercizi 5 Operazioni con le matrici 1. Principali definizioni Ricordiamo le principali definizioni legate alle matrici a coefficienti in un campo K = (K, +, ). Indichiamo con 0 élemento neutro del gruppo commutativo (K, +) e con 1 l elemento neutro del gruppo commutativo (K = K \ {0}, ). Possiamo senz altro pensare K = Q, R, C. Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti reali è una tabella di numeri reali disposti in n righe e m colonne. Esempio 1. Alcuni esempi di matrici a coefficienti in C i) 5i e 4 + i π è una matrice 1 4; ii) 5 e 4 è una matrice 4 1; π iii) + 7i 21 9i 10 5 e le cui colonne sono è una matrice 2 le cui righe sono + 7i 21 9i i + 7i Osservazione 2. Nei casi i), ii) si parla rispettivamente di vettore riga e vettore colonna. Definizione. Dati n, m N = N \ {0}, l insieme delle matrici n m a coefficienti reali è denotato con M n,m (K). Se n = m si parla di matrici quadrate di ordine n e si scrive M n (K). Se m = 1 si scrive K n. 1

2 2 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 Notazione. Sia A M n,m (R). Il generico elemento di A è denotato con a ij R dove l indice di riga i varia in {1,, n} e l indice di colonna j varia in {1,, m}. Si usa scrivere A = a ij i = 1,, n j = 1,, m e, quando è chiaro l insieme di variabilità degli indici si scrive semplicemente In forma espansa, questa scrittura significa A = a ij. a 11 a 12 a 1 a 1m a 21 a 22 a 2 a 2m a n1 a n2 a n a nm Se la matrice A è quadrata di ordine n allora gli elementi a ii con i = 1,..., n costituiscono la diagonale (principale). Esempio 2. Esempi di matrici notevoli : (1) La matrice nulla O M n,m (K) è la matrice di coefficienti tutti nulli: O = o ij con o ij = 0. (2) Una matrice quadrata A M n (K) nella quale tutti gli elementi fuori dalla diagonale sono nulli viene detta matrice diagonale. In modo formale, A = a ij è diagonale se a ij = 0 quando i j. Ad esempio π È comune usare la notazione compatta diag(λ 1, λ 2,, λ n ) = λ λ λ n () Tra le matrici diagonali in M n (K) una di speciale interesse è la matrice identità di ordine n denotata con I n e caratterizzata dal fatto che sulla diagonale i coefficienti sono tutti uguali a 1: I n = diag(1, 1,, 1). Si usa anche scrivere I n = δ ij dove δ ij è il simbolo di Kronecker: { 0 se i j δ ij = 1 se i = j..

3 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 Le matrici si sommano (a patto che abbiano lo stesso numero di righe e di colonne) e si moltiplicano per uno scalare componente per componente dando luogo ad una struttura naturale di spazio vettoriale. Precisamente: Definizione 4. La somma di matrici è l operazione interna binaria + : M n,m (K) M n,m (K) M n,m (K) così definita. Date A = a ij, B = b ij M n,m (K), la somma A + B è la matrice C = c ij M n,m (K) dove c ij = a ij + b ij. Esempio. 4 5 π π 0 2 = Definizione 5. Il prodotto di una matrice per uno scalare è l operazione : K M n,m (K) M n,m (K) definita nel seguente modo. Dati A = a ij M n,m (K) e λ K, si definisce λ A come la matrice B = b ij M n,m (K) dove b ij = λa ij. Esempio π 2 0 = π 4 0 Proposizione 6. (M n,m (K), +, ) è uno spazio vettoriale su K. Se identifichiamo K = M 1,1 (K), si può pensare di estendere il prodotto di uno scalare per una matrice al prodotto di due matrici nel seguente modo. Definizione 7. Il prodotto (righe colonne) è una funzione : M n,m (K) M m,k (K) M n,k (K) che associa ad ogni A = a ij M n,m (K) e B = b jα M m,k (rr) la matrice C = A B = c iα M n,k (K) tale che m c iα = a ij b jα. Graficamente Esempio j=1 = =

4 4 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 Osservazione 8. L operazione di prodotto di matrici è ben definita ed interna all insieme M n (K) delle matrici quadrate di ordine n. Tale operazione non è commutativa e non rende M n(k) = M n (K) \ {O} un gruppo. Definizione 9. La matrice A M n (K) è detta invertibile se esiste Ā M n(k) tale che A Ā = Ā A = I n. La matrice Ā, se esiste, è chiamata inversa di A ed è denotata con A 1. Esempio 6. Si può verificare con un calcoli diretti che: (1) La matrice identità I n M n (K) è invertibile con inversa In 1 = I n. 1 + i 2i + i (2) La matrice A = M 2 2i 2 (C) ha inversa A = M 2 (C). Definizione 10. L insieme di tutte e sole le matrici invertibili di M n (K) è denotato con Gl n (K) ed è chiamato gruppo lineare generale a coefficienti in K. Osservazione 11. Una caratterizzazione operativa dell invertibilità di una matrice quadrata verrà data più avanti attraverso l uso del determinante. Il calcolo dell inversa può essere eseguito mediante il metodo di riduzione a scala (confronta Esercitazioni) oppure, nuovamente, con i determinanti. C è una operazione naturale che consente di scambiare le righe con le colonne di una matrice e, quindi di passare da matrici n m a matrici m n preservando la struttura lineare di questi spazi. Definizione 12. La trasposizione è l operazione di scambio delle righe con le colonne di una matrice. Precisamente, si tratta della funzione : M n,m (K) M m,n (K) che associa ad ogni matrice A = a iα M n,m (K) la matrice A = b αi M m,n (K) tale che b αi = a iα. La matrice A è chiamata la trasposta di A. Notazione. Può essere utile usare la notazione (A) iα per indicare l elemento a iα della matrice A. Con questa convenzione si ha (A ) αi = (A) iα e la deduzione delle proprietà della trasposizione (vedi i prossimi Esercizi) può risultare più agevole. Esempio =

5 Esercizio 1. Si verifichi che: ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI Esercizi (1) Il prodotto di matrici è associativo: date A M n,m (K), B M m,k (K), C M k,r (K), si ha A (B C) = (A B) C. (2) Il prodotto di matrici è distributivo: date A M n,m (K), B, C M m,k (K) si ha A (B + C) = A B + A C date A, B M n,m (K), C M m,k (K) si ha (A + B) C = A C + A B. () Il gruppo lineare generale Gl n (K) è un gruppo rispetto al prodotto righe colonne, con elemento neutro I n. Esercizio 2. Mostrare, attraverso un esempio esplicito, che il prodotto di matrici in M n (K) non è in generale commutativo. Ad esempio, trovare A, B M 2 (R) tali che A B B A. Esercizio. Si consideri la generica matrice diagonale A M (R): A = a b c Per induzione su k N = N \ {0}, si verifichi che A k = A A = ak b k c k Esercizio 4. Siano A = D = B = 1 0 E = Calcolare, dove è possibile, le seguenti espressioni: (1) E A B; (2) D A ; () E B A; (4) A + B; (5) C k = C C, al variare di k N. Esercizio 5. Si verifichi che, per ogni X, Y R m : C = (1) X Y e Y X sono ben definiti e coincidono; (2) X X 0 e l uguaglianza è verificata se e soltanto se X =

6 6 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 Esercizio 6. Si considerino le matrici 2 A = B = 4 6 Si verifichi che, nonostante B C, A B = A C. C = In altri termini, in generale, non vale la legge di annullamento del prodotto. Questo è sufficiente a garantire che M 2(R) non è un gruppo rispetto al prodotto. Perchè? Esercizio 7. Sia X M 2 (R) il sottoinsieme definito da X = {A M 2 (R) : A 2 = O}. (1) Si trovino almeno due matrici distinte A, B O in X. (2) Si mostri che X non è un sottospazio vettoriale di M 2 (R). Esercizio 8. Una matrice A M n (R) si dice simmetrica se A = A. Ad esempio A = 2 e 2 0 2π M 4(R) 7 2π 1 6 è simmetrica (in neretto sono stati evidenziati gli elementi della diagonale). Si denoti con Sim n (K) l insieme di tutte le matrici simmetriche di ordine n. (1) Si dimostri che Sim n (K) è un sottospazio vettoriale di M n (K). (2) Per ogni i j si consideri la matrice S ij Sim n (K) definita da { E ij + E ji i > j S ij = E ii i = j. dove {E ij : i, j = 1., n} è la base standard di M n (K). Si provi che le n(n+1) 2 matrici {S ij } i j sono una base di Sim n (K). Esercizio 9. Una matrice A M n (R) si dice antisimmetrica se A = A. Ad esempio A = π M 4(R) 7 2π 1 0 è antisimmetrica (in neretto sono stati evidenziati gli elementi della diagonale). Si denoti con ASim n (R) l insieme delle matrici antisimmetriche di ordine n. (1) Si dimostri che ASim n (R) è un sottospazio vettoriale di M n (R). (2) Si trovi una base di ASim n (R)..

7 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 7 Esercizio 10. Si consideri l operazione di trasposizione f : M n,m (K) M m,n (K), f(a) = A. Si dimostri che: (1) f f = Id Mn,m(K); (2) f è un isomorfismo di spazi vettoriali. L inversa di f è f 1 = f. () Nel caso di matrici quadrate n = m, f(a B) = f(b) f(a). Esercizio 11. Sia f : M n (R) M n (R) l applicazione definita da: (1) Si dimostri che f è lineare. (2) Si calcoli dim ker(f) e dim Im(f). () Si determini una base di ker(f). f(a) = ( 1) n A + ( 1) n+1 A. Esercizio 12. Per ogni h R fissato, si consideri la matrice 1 h A h = M h 1 2 (R) e l applicazione f h : M 2 (R) M 2 (R) definita da f h (X) = A h X. (1) Si dimostri che f h è lineare. (2) Si calcoli dim ker(f h ) e dim Im(f h ), al variare di h R. () Si determini una base di ker(f h ) e di Im(f h ), al variare di h R.

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