SOTTOSPAZI INVARIANTI

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1 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 1 SOTTOSPAZI INVARIANTI Riduzione di un operatore a un sottospazio Se A è un qualunque operatore lineare, H un sottospazio di H e P il proiettore su H, l operatore PAP può dirsi la riduzione di A al sottospazio H. La riduzione PAP è sia un operatore di H sia un operatore di H. La relazione g, PAP f = PA P g, f vale ovviamente per g, f H come vale per g, f qualsiasi in H, e pertanto PA P è il coniugato hermitiano sia di PAP operatore di H sia di PAP operatore di H. Se A è un operatore hermitiano, anche la sua riduzione PAP è hermitiana, sia come operatore di H sia come operatore di H. Sottospazi invarianti Un sottospazio H di H si dice invariante per l applicazione di un operatore lineare A se per ogni u H è anche Au H. I sottospazi impropri H = [0] e H = H sono invarianti per l applicazione di qualsiasi operatore lineare. I sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori di un operatore A, cioè gli autospazi, i loro sottospazi e le somme dirette di quelli e questi, sono invarianti per A. Se due operatori A e B commutano ogni autospazio (ma non ogni sottospazio invariante) di uno è invariante per l altro. Infatti, se H è autospazio di A corrispondente all autovalore ā, cioè se A ū = ā ū per tutti e soli gli ū H, allora A(Bū) = BAū = ā(bū) e quindi Bū H. L invarianza di H per un operatore A equivale alla relazione (1) AP = PAP. Se H = H H è il complemento ortogonale di H in H, indicando con P il proiettore su H (con le proprietà P + P = 1, PP = PP = 0), la (1) è equivalente a (2) PAP = 0. La coniugata di questa relazione è (3) PA P = 0, e quindi, se H è invariante per A, H è invariante per il suo coniugato A.

2 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 2 Sottospazi invarianti di un operatore hermitiano o unitario Teorema Sia H un sottospazio invariante di un operatore A hermitiano o unitario in H (finitodimensionale). Allora anche il suo complemento ortogonale H = H H è invariante per A. Dimostrazione Se A è hermitiano, A = A, la (3) diventa (4) PAP = 0 e quindi anche H è invariante per A. Se A è unitario e quindi isometrico e H un suo sottospazio invariante, osserviamo innanzitutto che anche la sua riduzione PAP è isometrica come operatore di H (non è isometrica come operatore di H ), PA P PAP = P. Essendo H finitodimensionale, PAP è anche unitario in H e quindi (5) PAP PA P = P. Applicando P a sinistra e P a destra alla relazione di isometria di A, A A = 1, otteniamo PA P PAP + PA P PAP = 0 cioè, per la (3), PA P PAP = 0 Moltiplicando questa a sinistra per PAP e facendo uso della (5) otteniamo di nuovo la (4) e quindi di nuovo H è invariante per A. Le relazioni (2) e (4) mostrano congiuntamente che (6) A = PAP + PAP, cioè A è uguale alla somma delle sue riduzioni a H e H. Dalla (6) segue immediatamente che A commuta con i due proiettori P e P.

3 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 3 PROBLEMI AGLI AUTOVALORI Esistenza di almeno un autovettore Sia L un operatore lineare in H n. La sua equazione agli autovalori è L u = l u (u 0). Scelta una base ortonormale {e i } in H n questa si scrive L iju j = l u i, (dove u i = e i, u, L ij = e i, L e j ), j cioè (7) (L ij l δ ij ) u j = 0. j Per un qualsiasi l la (7) è un sistema di n equazioni lineari omogenee nelle n incognite u j. La condizione di esistenza di una soluzione {u j } non nulla è L 11 l L L 1n L 21 L 22 l... L 2n det(l ij l δ ij ) = 0, cioè per disteso..... = 0.. L n1 L n2... L nn l Questa è un equazione algebrica di grado n in l che si dice equazione secolare. Gli autovalori sono le radici dell equazione secolare. Poiché un equazione algebrica di grado n ha sempre n radici eventualmente in tutto o in parte coincidenti, esiste sempre almeno un autovalore e un corrispondente autovettore.

4 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 4 Completezza degli autovettori di un operatore hermitiano o unitario Sia A un operatore hermitiano o unitario in H n. Se l equazione secolare ha n radici distinte i corrispondenti autovettori sono mutuamente ortogonali e pertanto sono un sistema completo in H n Se le radici dell equazione secolare non sono tutte distinte procediamo nel modo seguente. L operatore A ha certamente un autovalore a 1 e un corrispondente autovettore u 1. Il sottospazio unidimensionale H 1 generato da u 1 è un sottospazio invariante di A come pure H 1 = H n H 1. L operatore P 1 AP 1 ha certamente in H 1 un autovalore a 2 (eventualmente uguale a a 1 ) e un corrispondente autovettore u 2 che è anche autovettore di A e in H n è ortogonale a u 1. Il sottospazio unidimensionale H 2 generato da u 2 è un sottospazio invariante di P 1 AP 1 come pure H 2 = H 1 H 2. L operatore P 2 P 1 AP 1 P 2 = P 2 AP 2 ha certamente in H 2 un autovalore a 3 (eventualmente uguale a a 2 o a a 1 o a entrambi) e un corrispondente autovettore u 3 che è anche autovettore di A e in H n è ortogonale a u 2 e u 1. E così via. In questo modo costruiamo un sistema di n autovettori di A che sono mutuamente ortogonali e pertanto sono un sistema completo in H n. Natura dei sottospazi invarianti Abbiamo già osservato che i sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori di un operatore A, sono invarianti per A. Se A è hermitiano o unitario tali sottospazi sono tutti i sottospazi invarianti. Infatti, se H è invariante per A, PAP è hermitiano o unitario in H, gli autovettori ū di PAP in H sono ivi un sistema completo e H è da essi generato. Per la (6) gli autovettori ū sono anche autovettori di A.

5 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 5 Controesempi banali ( ) 0 1 L operatore in l cui corrisponde l unico autospazio ha il solo autovalore 0 ( a 0 ), unidimensionale. ( ) 1 1 L operatore in l 2 ha gli autovalori 1 e cui corrispondono rispettivamente gli autovettori linearmente indipendenti ma non ortogonali. ( ) ( ) a b e, 0 b ( ) 1 0 L operatore (normale) in l 2 ha gli autovalori 1 e i non tutti reali 0 i ( ) ( ) a 0 cui corrispondono rispettivamente gli autovettori e, ortogonali. 0 b ( ) 1 i L operatore (normale) in l 2 ha gli autovalori 1 + i e 1 i complessi i 1 ( ) ( ) a a cui corrispondono rispettivamente gli autovettori e, ortogonali. a a L operatore in l ha il sottospazio invariante dei vettori a b, ma in questo ha solo gli autovettori a 0. 0

6 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 6 Diagonalizzazione simultanea di più operatori Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché gli operatori hermitiani o unitari A, B, C,... abbiano un sistema completo di autovettori comuni è che gli operatori commutino a due a due. Infatti, sia Allora A u ijk...d = a i u ijk...d, B u ijk...d = b j u ijk...d, C u ijk...d = c k u ijk...d, BA u ijk...d = a i B u ijk...d = a i b j u ijk...d = AB u ijk...d e quindi, per la completezza del set u ijk...d, BA = AB. Analogamente per ogni altra coppia di operatori del set. Viceversa, siano A e B hermitiani o unitari con AB = BA. Sia H i l autospazio di A corrispondente all autovalore a i e P i il proiettore su H i. Poiché A e B commutano H i è invariante per l azione di B. Allora P i BP i è hermitiano o unitario in H i e possiede in H i un sistema completo di autovettori che possiamo indicare con u ijd. Evidentemente, al variare di i, j, d, gli u ijd sono un sistema completo in H n. Se poi esiste un terzo operatore hermitiano o unitario C che commuta con A e con B consideriamo il sottospazio H ij......

7 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 7 Funzioni di un sistema di operatori commutanti Conosciamo finora le funzioni di un sistema di operatori che si possono costruire con l algebra degli operatori. Nel caso di un sistema di operatori (hermitiani o unitari) commutanti il concetto di funzione può essere esteso a una funzione arbitraria. Sia A u ijkd = a i u ijkd, B u ijkd = b j u ijkd, C u ijkd = c k u ijkd. Allora, considerata una funzione arbitraria di tre variabili f(a, b, c), definiamo f(a, B, C) come l operatore lineare tale che f(a, B, C) u ijkd = f(a i, b j, c k ) u ijkd. È facile mostrare che, se f(a, b, c) è una funzione algebrica, il concetto di funzione ora introdotto coincide con quello che proviene dall algebra degli operatori. Esponenziazione di un operatore hermitiano Sia S un operatore hermitiano e sia f(s) = exp(ics) con c numero reale non nullo. Allora l operatore f(s) = exp(ics) è un operatore unitario.

8 2/2 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI 08/09 8 Sistemi esaurienti di operatori commutanti Diciamo che un sistema di operatori A, B, C,... (hermitiani o unitari) commutanti è esauriente se in corrispondenza di ogni sistema di autovalori esiste un solo autovettore linearmente indipendente, cioè se il problema agli autovalori simultaneo del sistema di operatori non presenta degenerazione. Terminologia Il termine più comunemente usato è completo invece di esauriente. Aggiunta a un sistema esauriente di operatori commutanti Sia A, B, C un sistema esauriente di operatori (hermitiani o unitari) commutanti, A u ijk = a i u ijk, B u ijk = b j u ijk, C u ijk = c k u ijk. Se G è un ulteriore operatore (hermitiano o unitario) che commuta con A, B e C, gli operatori A, B, C, G hanno un sistema completo di autovettori comuni e gli autovettori di G sono necessariamente i vettori u ijk. Sia G u ijk = g ijk u ijk. Allora, posto è f(a i, b j, c k ) = g ijk, G = f(a, B, C) cioè G è funzione di A, B, C.