MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 28 gennaio 2002

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 28 gennaio 2002 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo ottiene in prestito al tempo zero una somma di S lire; restituirà in seguito in unica soluzione S + I lire, dove I è l interesse calcolato secondo una legge di capitalizzazione lineare (interessi semplici), di tasso annuo i = 11%. Si calcoli dopo quanti anni t l interesse I arriva ad essere un terzo del prestito iniziale. Si determini quindi il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione di prestito. Si supponga infine che all individuo sia richiesto di rimborsare il prestito, anziché in unica soluzione dopo t anni, in due rate uguali, di importo R lire, pagabili al tempo t 1 = 1 anno e al tempo t 2 = 2 anni. Si determini, nel caso di S = euro, l importo della rata, affinché l operazione finanziaria sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i precedentemente determinato. Motivare le risposte! t = anni i = % R = lire Esercizio 2. Sia dato un titolo a cedola fissa trimestrale del 6.5% nominale annuo, vita a scadenza di 10 anni e capitale di rimborso 100 euro. Si determini il tasso interno di rendimento su base annua i in caso di aggiudicazione del titolo alla pari. Sapendo inoltre che le cedole di tale titolo sono gravate di una ritenuta fiscale del 12.5%, calcolarne il t.i.r. su base annua al netto della ritenuta fiscale i netto. Determinare infine con quale prezzo di aggiudicazione P si ottiene un t.i.r. (lordo) del 10% su base annua. i = % i netto = % P = euro

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento (non standard) all 8% annuo in 4 rate anuali posticipate, di cui la prima di euro, la seconda e la terza di euro l una. Si completi il piano, giustificando gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t 0 = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = α + 1 βs, s > 0, 2 dove il tempo è espresso in anni, α = e β = In riferimento allo scadenzario t = {t 1, t 2, t 3, t 4 } = {0.5, 1, 1.5, 2} anni, calcolare le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dell intensità istantanea di interesse, esprimendo tutte le grandezze in base annua ed i tassi in forma percentuale. i(t 0, t 1 ) = % i(t 0, t 0, t 1 ) = % δ(t 0, t 1 ) = i(t 0, t 2 ) = % i(t 0, t 1, t 2 ) = % δ(t 0, t 2 ) = i(t 0, t 3 ) = % i(t 0, t 2, t 3 ) = % δ(t 0, t 3 ) = i(t 0, t 4 ) = % i(t 0, t 3, t 4 ) = % δ(t 0, t 4 ) = Esercizio 5. Sia dato la tempo t = 0 un titolo a cedola fissa x, di valore nominale 100 euro, cedola semestrale del 4.5% nominale annuo e vita a scadenza di trenta anni. Si assuma che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello 5% in base annua e si determini il valore attuale V e la durata media finanziaria D del contratto, esprimendo il valore in euro e la durata media finanziaria in anni. Si assuma quindi che sia possibile l acquisto di un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato y, di durata 10 anni, cedola semestrale e capitale nominale 100 euro. Un investitore ha a disposione una somma di 6000 euro e vuole investirla tutta nei due titoli, in modo che il portafoglio risultante abbia durata media finanziaria di dieci anni. Si determini di quante quote α del titolo x e di quante quote β del titolo y deve essere composto il portafoglio. V = euro D = anni α = β =

4 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato in cui: il titolo a cedola fissa, con cedola annuale del 6.4% e durata 10 anni è quotato alla pari; il titolo a cedola nulla che rimborsa 100 euro a 10 anni ha prezzo 45 euro. Si determini anzitutto il tasso swap a dieci anni i sw (0; 10), del tipo fisso a un anno contro variabile a un anno, ed il tasso interno di rendimento i del titolo a cedola fissa, esprimendo entrambi in forma percentuale ed in base annua. Si calcoli quindi il prezzo di mercato del titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato x, che ha cedola annuale, durata 10 anni e nominale 100 euro. Si consideri quindi il titolo a tasso variabile y, con cedola annuale, durata 10 anni, nominale 100 euro e spread di 1 euro su ogni cedola e se ne calcoli il prezzo di mercato. Motivare tutte le risposte: altrimenti non verranno considerate valide. i sw (0; 10) = % i = % V (0, x) = euro V (0, y) = euro

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 28 gennaio 2002 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo ottiene in prestito al tempo zero una somma di S lire; restituirà in seguito in unica soluzione S + I lire, dove I è l interesse calcolato secondo una legge di capitalizzazione lineare (interessi semplici), di tasso annuo i = 12%. Si calcoli dopo quanti anni t l interesse I arriva ad essere un terzo del prestito iniziale. Si determini quindi il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione di prestito. Si supponga infine che all individuo sia richiesto di rimborsare il prestito, anziché in unica soluzione dopo t anni, in due rate uguali, di importo R lire, pagabili al tempo t 1 = 1 anno e al tempo t 2 = 2 anni. Si determini, nel caso di S = euro, l importo della rata, affinché l operazione finanziaria sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i precedentemente determinato. Motivare le risposte! t = anni i = % R = lire Esercizio 2. Sia dato un titolo a cedola fissa trimestrale del 7.25% nominale annuo, vita a scadenza di 10 anni e capitale di rimborso 100 euro. Si determini il tasso interno di rendimento su base annua i in caso di aggiudicazione del titolo alla pari. Sapendo inoltre che le cedole di tale titolo sono gravate di una ritenuta fiscale del 12.5%, calcolarne il t.i.r. su base annua al netto della ritenuta fiscale i netto. Determinare infine con quale prezzo di aggiudicazione P si ottiene un t.i.r. (lordo) del 10% su base annua. i = % i netto = % P = euro

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento (non standard) al 7% annuo in 4 rate anuali posticipate, di cui la prima di euro, la seconda e la terza di euro l una. Si completi il piano, giustificando gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t 0 = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = α + 1 βs, s > 0, 2 dove il tempo è espresso in anni, α = e β = In riferimento allo scadenzario t = {t 1, t 2, t 3, t 4 } = {0.5, 1, 1.5, 2} anni, calcolare le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dell intensità istantanea di interesse, esprimendo tutte le grandezze in base annua ed i tassi in forma percentuale. i(t 0, t 1 ) = % i(t 0, t 0, t 1 ) = % δ(t 0, t 1 ) = i(t 0, t 2 ) = % i(t 0, t 1, t 2 ) = % δ(t 0, t 2 ) = i(t 0, t 3 ) = % i(t 0, t 2, t 3 ) = % δ(t 0, t 3 ) = i(t 0, t 4 ) = % i(t 0, t 3, t 4 ) = % δ(t 0, t 4 ) = Esercizio 5. Sia dato la tempo t = 0 un titolo a cedola fissa x, di valore nominale 100 euro, cedola semestrale del 4% nominale annuo e vita a scadenza di trenta anni. Si assuma che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello 4.5% in base annua e si determini il valore attuale V e la durata media finanziaria D del contratto, esprimendo il valore in euro e la durata media finanziaria in anni. Si assuma quindi che sia possibile l acquisto di un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato y, di durata 10 anni, cedola semestrale e capitale nominale 100 euro. Un investitore ha a disposione una somma di 7000 euro e vuole investirla tutta nei due titoli, in modo che il portafoglio risultante abbia durata media finanziaria di dieci anni. Si determini di quante quote α del titolo x e di quante quote β del titolo y deve essere composto il portafoglio. V = euro D = anni α = β =

8 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato in cui: il titolo a cedola fissa, con cedola annuale del 6.5% e durata 10 anni è quotato alla pari; il titolo a cedola nulla che rimborsa 100 euro a 10 anni ha prezzo 46 euro. Si determini anzitutto il tasso swap a dieci anni i sw (0; 10), del tipo fisso a un anno contro variabile a un anno, ed il tasso interno di rendimento i del titolo a cedola fissa, esprimendo entrambi in forma percentuale ed in base annua. Si calcoli quindi il prezzo di mercato del titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato x, che ha cedola annuale, durata 10 anni e nominale 100 euro. Si consideri quindi il titolo a tasso variabile y, con cedola annuale, durata 10 anni, nominale 100 euro e spread di 1 euro su ogni cedola e se ne calcoli il prezzo di mercato. Motivare tutte le risposte: altrimenti non verranno considerate valide. i sw (0; 10) = % i = % V (0, x) = euro V (0, y) = euro

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