ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/ Esercizi 4

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/ Esercizi 4 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un debito di 1000e viene rimborsato a tasso annuo i = 10% in 5 anni, ma con sole 3 rate costanti pari a R, alle epoche t = 1, 3, 5. Stilare il piano di ammortamento in 2 modi: nel primo, visualizzate le voci fondamentali (quota capitale, quota interesse, rata e debito residuo) solo relativamente alle epoche t = 0, 1, 3, 5, mentre nel secondo, visualizzate le voci fondamentali relative a tutte le epoche, con il vincolo che le rate, alle epoche t = 1, 3, 5, siano sempre pari a R. Attenzione: almeno un tipo di piano va stilato in funzione di R. Soluzione. Nel primo modo, la prima riga del piano è assolutamente standard, sapendo che I 1 = 100 e la rata è R, quindi C 1 = R 100 e D 1 = 1100 R. Per le altre due righe, relative alle epoche t = 3 e t = 5, le formule relative alla rata e al debito residuo sono le stesse, mentre per la quota interesse bisogna usare quella col salto di epoche, che, in questo caso, in cui il salto è sempre di due anni, è data da I 3 = D 1 [(1 + i) 2 1] = 0, 21 D 1 e, allo stesso modo, I 5 = 0, 21 D 3. Dunque, partendo alla seconda e terza riga sempre dalla quota interesse, e, ricordando che la rata è sempre R, passando poi alla quota capitale e infine al debito residuo, si trova il seguente piano: k C k I k R k D k R R 1100 R 3 1, 21R , 21R R , 21R , 21R 3, 21R 1331 R 0 Dall equazione (dovuta al fatto che devo imporre che l ultimo debito residuo sia nullo) D 5 = D 3 (1 + i) 2 R = 0, 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA ricavo che da cui R 438, 341. R = 1610, 51 2, 6741 R Nel secondo modo, si scrivono le voci relative a tutte le epoche, con le formule standard, ma alle epoche t = 2, 4 la voce relativa alle rate è nulla. In tal modo, il piano è automatico: la prima riga è uguale a quella precedente, k C k I k R k D k R R 1100 R 2 0, 1R , 1R , 1R 3 1, 11R , 11R R , 21R 4 0, 221R 133, 1 133, 1 0, 221R , 1 2, 431R 5 1, 2431R 146, , 41 0, 2431R R 0 poi si va sempre avanti prima con la quota interesse, poi la rata (o zero o R), poi la quota capitale, infine il debito residuo. Alla fine il piano risulta come sopra. Dall equazione (dovuta al fatto che devo imporre che lultimo debito residuo sia nullo) D 4 = C 5 ricavo che da cui R 438, , 1 2, 431R = 1, 2431R 146, 41 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 2. Un investimento è descritto dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a 0 = 90 a 1 = 15 a 2 = 180 a) Determinare il TIR; b) trovare il VAN al costo opportunità di i = 10%, stabilendone così l eventuale convenienza. Soluzione.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 a) Abbiamo che DCF(x) = x + 180, per x > 1, quindi poniamo DCF(x) = 0, per trovare nella variabile v = x, finanziariamente (1 + x) 2 significativa per v > 0, l equazione (dividendo entrambi i membri per 15) 12 v 2 v 6 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 18, dunque il TIR è 24 x = 1 v 1 = 0, 3, ossia x = 33%. b) VAN(10%) = , (1, 1) 2 = 45, 12 > 0, il che significa che, avendo un sovraprofitto di circa 45 euro, conviene aderire a tale offerta con quel tasso di mercato. Esercizio 3. Un operazione finanziaria è descritta dal seguente cash-flow, con R > 0: Scadenze Importi R 2160 a) Si scriva l espressione analitica del DCF G(x) in funzione del tasso annuo x > 1 e si individui l importo R per il quale il TIR è 0, 08. b) Si stabilisca la quantitá comune da sottrarre agli importi relativi alle scadenze 1 e 3 affinché il TIR diminuisca di un punto percentuale. Soluzione. a) Abbiamo che G(x) = x + R (1 + x) (1 + x) 3. Poiché x = 8% è il TIR dell investimento, abbiamo che G(0, 08) = 0, ossia , 08 + R (1, 08) (1, 08) 3 = (1, 08) (1, 08) 2 + R (1, 0, 8) (1, 08) 3 = , , , 08 R = 0, da cui R = 5560e. Dunque il cash-flow dell investimento è

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Scadenze Importi c) Sia y > 0 la quantità di cui devono diminuire i movimenti di cassa alle scadenze 1 e 3 affinché il TIR sia pari al 7%. Consideriamo il nuovo cashflow: con DCF: (a 0, a 1, a 2, a 3 ) = ( 10000, 3800 y, 5560, 2160 y) G 1 (x) = y 1 + x (1 + x) y (1 + x) 3. Poiché x = 0, 07 è il TIR dell operazione finanziaria, abbiamo che G 1 (0, 07) = 0, dunque da cui si ricava y 1, (1, 07) y (1, 07) 3 = , , 62 2, 1449 y , y = 0 y = 97, 62e. Possiamo concludere che, affinché il TIR sia pari al 7%, i movimenti di cassa alle scadenze 1 e 3 devono diminuire entrambi di 97, 62e. Esercizio 4. Un prestito di 40000e viene rimborsato in 60 mesi a rata costante al tasso mensile i m = 0, 3675%. Dopo 30 mesi, si decide una proroga del rimborso per una durata complessiva pari a 120 mesi. a) Determinare la rata R pagata nei primi 30 mesi; b) determinare la rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga é a costo nullo; c) determinare la rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga comporta una penale dell 1% sul debito residuo; d) tornando al caso (b), dimostrare che il tasso mensile effettivo, inteso come TIR del cash-flow dell intera operazione finanziaria, si é abbassato rispetto a i m, ma é maggiore dello 0, 35%. Soluzione. a) Sia D 0 = 40000e. La rata nei primi 30 mesi corrisponde alla rata mensile costante del rimborso del prestito in 60 mesi, ossia senza la proroga, quindi R = D 0 i m 1 (1 + i m ) 60 = , (1, ) 60 = 744, 085e.

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 b) Calcoliamo il debito residuo dopo 30 mesi, abbiamo che D 30 = D 0 1 (1 + i m) (1, ) 30 1 (1 + i m ) 60 = (1, ) 60 = 21099, 36978e. Allora, la rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga é a costo nullo, è pari a R = D 30 i m 1 (1 + i m ) 90 = 21099, , (1, ) 90 = 275, 767e. c) La rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga comporta una penale dell 1% sul debito residuo, è pari a R i m = (D , 01 D 30 ) 1 (1 + i m ) 90 = i m = 1, 01 D 30 1 (1 + i m ) 90 = 1, 01 R = 278, 525e. d) Sia x m il tasso mensile effettivo nel caso in cui la proroga sia a costo nullo. Questo significa che x m è il corrispettivo mensile del TIR associato al discounted cash-flow dell intera operazione finanziaria, ossia x m é l unica soluzione appartenente al dominio finanziariamente significativo ] 1, + [ dell equazione G(x m ) = 0, ove G(x m ) = R 1 (1 + x m) 30 x m + R 1 (1 + x m) 90 x m (1 + x m ) 30. (1) Si ricordi anche come la funzione G(x m ) sia monotona strettamente decrescente sul suo dominio e, come detto, si annulli solo per x m = x m. Pertanto, il fatto che, sostituendo nella formula (1) x m con i m = 0, 3675%, otteniamo G(i m ) = R 1 (1, ) 30 1 (1, ) 90 +R 0, , ci permette di dedurre immediatamente che i m > x m. Sostituendo invece nella formula (1) x m con 0, 35% otteniamo G(x) = R 1 (1, 0035) 30 0, R 1 (1, 0035) 90 0, 0035 (1, ) 30 < 0, (1, 0035) 30 > 0, quindi x m > 0, 35%. Possiamo concludere dunque che x m ]0, 35%; 0, 3675%[. Esercizio 5. Un esercente vende computer, ciascuno di valore 719, e, a rate trimestrali costanti pari a 100e, su 2 anni con TAEG pari al 10%. Dire se il TAEG esposto è attendibile oppure no.

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. Il cash-flow dell operazione, relativo ai primi 8 trimestri, è il seguente: Pertanto, si ha che ( 719, ; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100). DCF(x t ) = a s=1 100 (1 + x t ) s, ove a 0 = 719, , mentre x t è l incognita espressa in termini di tasso trimestrale, perché le nostre epoche sono trimestri e non anni. Dall equazione DCF(x t ) = 0, abbiamo che 719, = 8 s=1 100 (1 + x t ) s. Usando la formula compatta dell ammortamento alla francese, si ottiene , = (1 + x t ) s = (1 + x t) 8. x t s=1 Dalla solita conversione temporale dal tasso trimestrale a quello annuo, ossia risulta dunque che x t = x 1 = (1 + x) 1 4 1, 719, = ((1 + x) 1 4 ) 8 (1 + x) = (1 + x) 2 (1 + x) Il TAEG esposto è attendibile se, sostituendo a x il valore 0, 1 nell equazione 1 (1 + x) 2 719, = 100 (1 + x) otteniamo un identità. Sostituendo otteniamo che: 1 (1 + x) (1 + x) quindi il TAEG esposto è attendibile. = (1, 1) 2 (1, 1) , , Esercizio 6. Il progetto finanziario A è descritto dal seguente cash-flow: Scadenze Importi Il progetto finanziario B è descritto dal seguente cash-flow:

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 Scadenze Importi a) Si stabilisca un ordine di preferenza tra i due progetti nell ipotesi che il costo opportunità sia 8%. b) Dimostrare che per qualunque costo opportunità i 10% i criteri del TIR e del VAN, utilizzati per valutare i progetti, sono contrastanti. Soluzione. a) I VAN al costo opportunità pari all 8% sono i seguenti: G A (0, 08) = , 74 (1, 08) 2 e G B (0, 08) = , , 57 (1, 08) 2 quindi G A (0, 08) > G B (0, 08), ossia, nell ipotesi che il costo opportunità sia 8%, è preferibile il progetto A. b) Osserviamo che entrambi i progetti hanno TIR x = 10%, infatti: G A (x) = (1 + x) 2 = 0 x = 0, 1 e G B (x) = x (1 + x) 2 = 0 x = 0, 1 dunque, utilizzando il criterio del TIR, i due progetti sono equivalenti. Per dimostrare che per qualunque costo opportunità i < 10% i criteri del TIR e del VAN sono contrastanti, basta provare che G A (i) > G B (i), per ogni i < 10%. Abbiamo che G A (i) > G B (i) se e solo se G A (i) G B (i) > 0, ossia G A B (i) > 0, dunque basta considerare il progetto A B e studiare il segno della funzione G A B (i). Il progetto finanziario A B è descritto dal seguente cash-flow: quindi Abbiamo che Scadenze Importi G A B (i) = i + 11 (1 + i) 2 = 1 10 i (1 + i) 2. G A B (i) > i > i > 0 i < 0, 1, (1 + i) 2

8 8 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA allora, utilizzando il criterio del VAN, il progetto A è preferibile rispetto a B per ogni i < 10%, ossia per ogni i < 10% i criteri del TIR e del VAN sono contrastanti. Osserviamo che per ogni i > 10%, utilizzando il criterio del VAN, il progetto B è preferibile rispetto a A, perché G A B (i) < 0, dunque possiamo concludere che i criteri del TIR e del VAN sono contrastanti per ogni costo opportunità i 10%.

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