Risposta in frequenza

Transcript

1 Rsposta n frequenza (versone del 6--6 Dagramm d Bode Le funzon d trasfermento (f.d.t de crcut lnear tempo nvarant sono funzon razonal (coè rapport tra due polnom a coeffcent real della varable S può dmostrare che per un sstema fscamente realzzable m n L andamento d vene rappresentato medante due grafc (dagramm d Bode che rportano l modulo (n db rsposta n ampezza l argomento (n grad o radant rsposta n fase n funzone della pulsazone o della frequenza (n scala logartmca ( ( ( ( ( ( ( ( ( a a a a b b b b n n m m D N H

2 Note Nella rappresentazone della frequenza (o della pulsazone n scala logartmca s mettono n evdenza ntervall d frequenza caratterzzat da un rapporto costante tra la frequenza superore f e la frequenza nferore f In partcolare s chama decade un ntervallo per cu f f s chama ottava un ntervallo per cu f f Normalmente le fas vengono rappresentate nell ntervallo oppure 3 Pol e zer Per studare le propretà delle funzone d trasfermento è convenente scrvere polnom n forma fattorzzata A tale fne, convene sostture la varable con una varable complessa s (frequenza complessa m N( s bms bs bs b s n D( s a s a s a s a I valor d s per cu s annulla l polnomo N(s sono dett zer della f.d.t. I valor d s per cu s annulla l polnomo D(s sono dett pol della f.d.t. Se s ndcano con z (,..., m gl zer e con p (,..., n pol, è possble scrvere la f.d.t. nella forma b s a m n m n n ( s z ( s p

3 Ordne della funzone d trasfermento L ordne d una funzone d trasfermento corrsponde al numero de pol, qund al grado n del denomnatore L ordne corrsponde al numero d component dnamc ndpendent (che è uguale al numero d condensator le cu tenson sono ndpendent, coè non legate tra loro dalle equazon del crcuto, pù l numero d nduttor le cu corrent sono ndpendent Nella maggor parte de cas d nteresse pratco l ordne corrsponde al numero totale de component dnamc, ma n alcun cas partcolar (crcut degener può rsultare nferore 5 Pol e zer real Dato che N(s e D(s sono polnom a coeffcent real, s possono avere pol e zer real e coppe d pol e d zer compless conugat Se z o p fattor corrspondent s rducono a s Per z o p reale fattor corrspondent possono essere post nella forma ( s z ( sz ( s dove z p z z p ( s p p p (costant d tempo 6

4 Pol e zer compless conugat I termn corrspondent a due zer compless conugat, z, z z *, possono essere post nella forma ( s z dove z z ( s z * ( s z z ( s z Re z s z z s s Analogamente termn corrspondent a due pol compless conugat possono essere post nella forma * s s ( s p ( s p p p p p z s (pulsazone naturale (fattore d merto 7 Nota S può notare che, affnché un termne quadratco del tpo s s corrsponda a una coppa d pol o zer compless conugat, occorre che sa negatvo l dscrmnante und deve essere soddsfatta la condzone 8

5 Fattorzzazone della funzone d trasfermento Complessvamente la f.d.t. può essere posta nella forma s s s s z zer null zer real zer compless zz s K s s s s p pol null pol real pol compless p p La rsposta n frequenza può essere rottenuta sosttuendo s con z zer null zer real zer compless z zz K p pol null pol real pol compless p p p z p 9 Funzon elementar La forma fattorzzata della funzone d trasfermento rende agevole la costruzone de dagramm d Bode, nfatt Il valore n db del modulo d H è dato dalla dfferenza tra le sommatore de valor n db de modul de fattor del numeratore (ncluso K e de fattor del denomnatore L argomento H è dato dalla dfferenza tra le sommatore degl argoment de fattor del numeratore (ncluso K e de fattor del denomnatore I dagramm possono essere ottenut sommando contrbut d termn corrspondent alle funzon elementar K

6 Nota Per semplctà n seguto s assumerà sa pol che gl abbano parte reale non postva e, qund, che le costant e sano tutte postve per quanto rguarda pol questa condzone è sempre verfcata se l crcuto è stable per gl zer la condzone è verfcata nella maggor parte de cas d nteresse pratco Nel caso d zer (o pol con parte reale postva dagramm delle ampezze sono dentc a quell per gl zer (o pol con parte reale postva, a parte la sosttuzone d con e con dagramm delle fas s possono ottenere rbaltando attorno all asse delle ascsse quell corrspondent a o postvo Fattore costante K log( K arg db 8 per per K K H arg (

7 Zero nell orgne log( db H ( db db arg 9 + db/decade (db arg 3 Polo nell orgne log( db H ( db db arg 9 db/decade (db arg

8 Nota Le rette che rappresentano l modulo del termne relatvo a uno zero o un polo nell orgne ntersecano l asse delle ascsse per rad/s Se sull asse delle ascsse vene rportata la frequenza f /(, l attraversamento avvene per f.59 Hz und per f Hz l valore del modulo è nel caso dello zero nell orgne log( 6dB nel caso del polo nell orgne log( 6dB 5 Zero reale - ampezza H ( log db Posto, s possono ndvduare due asntot log db retta orzzontale con ordnata nulla ( H log log db log retta con pendenza + db/decade (= +6 db/ottava che nterseca l asse delle ascsse per 6

9 Zero reale - ampezza L andamento del modulo d H può essere approssmato con un dagramma formato da due semrette che s ncontrano per (approssmazone asntotca Per l modulo d H vale H ( db log 3dB uesto valore rappresenta anche l massmo errore ntrodotto dalla rappresentazone asntotca 7 Zero reale - ampezza + db/decade (db 8

10 Zero reale - fase arg arctg und rsulta lm arctg( lm arctg( 9 arctg( 5 In questo caso s hanno due asntot orzzontal L andamento della fase può essere approssmato medante una spezzata formata da due semrette orzzontal, corrspondent agl asntot, e da un segmento oblquo 9 Zero reale - fase Per traccare l segmento oblquo s possono utlzzare var crter Approssmazone : S collegano due asntot medante la retta tangente alla curva nel punto S può verfcare che le ntersezon d questa retta con gl asntot s trovano n corrspondenza delle pulsazon e e. 8.8 Approssmazone : S collegano gl asntot medante la retta che l nterseca per. In questo modo l massmo scostamento rsulta d crca 5.8 ed è nferore al massmo errore che s ottene con l approssmazone

11 Zero reale - fase approssmazone arg approssmazone Polo reale Dato che log log arg arg dagramm del modulo e dell argomento d questa funzone s ottengono rbaltando attorno all asse delle ascsse dagramm corrspondent alla funzone

12 Polo reale - ampezza (db db/decade 3 Polo reale - fase approssmazone arg approssmazone

13 5 Zer compless conugat - ampezza S ndvduano due asntot retta orzzontale con ordnata nulla retta con pendenza + db/decade (+ db/ottava che nterseca l asse delle ascsse per ( H db log ( H log ( db H db log log log ( H 6 Zer compless conugat - ampezza In questo caso, n prossmtà della pulsazone l andamento del modulo d H può dscostars sensblmente dal dagramma asntotco In partcolare la curva può presentare un mnmo se esste un valore reale M della pulsazone per cu s annulla la dervata d H uesto avvene se In questo caso s ha anche M d d M ( H

14 Zer compless conugat - ampezza + db/decade (db 7 Zer compless conugat - fase arg und lm arg arctg ( 9 arctg ( lm arg arg per per per Anche n questo caso s hanno due asntot orzzontal 8

15 Zer compless conugat - fase S può approssmare l andamento della fase medante una spezzata formata collegando due asntot con un segmento oblquo, che può essere traccato n pù mod Per esempo s può utlzzare la retta tangente alla curva per S può dmostrare che questa retta nterseca gl asntot per e.8 e. 8 9 Zer compless conugat - fase arg 3

16 Pol compless conugat I dagramm del modulo e della fase d possono essere ottenut rbaltando attorno all asse delle ascsse grafc ottenut per la funzone precedente 3 Pol compless conugat - ampezza (db db/decade 3

17 Pol compless conugat - fase arg 33 Esempo Traccare dagramm d Bode della f.d.t. s s 8 s. s La f.d.t. ha uno zero nell orgne e due pol 6 p, p S rscrve la funzone n forma canonca 8 s s ( s ( s 8 s s s s s s S traccano dagramm asntotc de modul e delle fas delle funzon 5,,, e s sommano loro contrbut 5 3

18 Esempo dagramma del modulo 35 Esempo dagramma della fase 36

19 Esempo confronto con dagramm esatt 37 Esempo Traccare dagramm d Bode della f.d.t. s s s s 5 La f.d.t ha uno zero per s, un polo semplce per s e un polo doppo per s 5 S traccano dagramm asntotc de modul e delle fas delle funzon, +5, e s sommano contrbut I grafc d 5 s ottengono moltplcando per l modulo e l argomento d 5 38

20 Esempo dagramma del modulo 39 Esempo dagramma della fase

21 Esempo confronto con dagramm esatt Fltr Un fltro è una rete a due porte n grado d trasferre n uscta segnal con frequenze comprese all nterno d predetermnat ntervall d frequenze (bande passant e d elmnare segnal alle altre frequenze (bande oscure Esstono quattro tp prncpal d fltr Fltro passa-basso: elmna segnal avent frequenza maggore d una frequenza d taglo f t t Fltro passa-alto: elmna segnal avent frequenza mnore d una frequenza d taglo f t t Fltro passa-banda: elmna segnal avent frequenza all esterno dell ntervallo compreso tra le frequenze f t t e f t t Fltro elmna-banda: elmna segnal avent frequenza all nterno dell ntervallo compreso tra le frequenze f t t e f t t

22 Fltr deal Passa-basso Passa-alto Passa-banda Elmna-banda 3 Fltr realzzabl Un fltro deale dovrebbe avere guadagno costante nelle bande passant e guadagno nullo nelle bande oscure, qund la rsposta n frequenza dovrebbe avere un andamento a gradn Funzon d trasfermento d questo tpo però non sono fscamente realzzabl In un fltro fscamente realzzable La transzone tra banda passante e banda oscura non può essere a gradno, ma s deve ammettere che avvenga n un ntervallo d ampezza (banda d transzone Non s può ottenere un guadagno costante n tutta la banda passante, ma s deve ammettere una devazone Pmax (massma attenuazone n banda passante Analogamente, non s può ottenere un guadagno dentcamente nullo n tutta la banda oscura, ma s deve accettare che l attenuazone non scenda al d sotto d un valore fnto Smn (mnma attenuazone n banda oscura

23 Fltr realzzabl 5 Fltr del prmo e del secondo ordne D seguto verranno prese n esame le funzon d trasfermento de fltr pù semplc, coè le funzon del prmo e del secondo ordne Nel caso d funzon del prmo ordne, coè con un solo polo, s comportamento d tpo passa-basso se la f.d.t non ha zer passa-alto se la f.d.t ha uno zero nell orgne Nel caso d una f.d.t del secondo ordne con pol compless conugat s ha un comportamento d tpo passa-basso se la f.d.t. non ha zer passa-banda se la f.d.t ha uno zero nell orgne passa-alto se la f.d.t ha due zer nell orgne elmna-banda se la f.d.t. ha due zer mmagnar conugat (con pulsazone uguale a quella de pol Un fltro d ordne n > può essere ottenuto collegando n cascata n/ fltr del secondo ordne se n è par un fltro del prmo ordne e n/ fltr del secondo ordne se n è dspar 6

24 Fltro passa-basso del prmo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K coè con un polo e prva d zer, corrsponde a un fltro passa-basso Il dagramma asntotco d è costtuto da un asntoto orzzontale d ordnata log K (che rappresenta l guadagno n contnua e da un asntoto con pendenza db/decade a partre da / Per l modulo della f.d.t. vale H ( K e qund è nferore d 3 db al guadagno n contnua La pulsazone è assunta convenzonalmente come pulsazone d taglo del fltro 7 Fltro passa-basso del prmo ordne db log K 3dB db/decade log 8

25 Esemp d fltr passa-basso del prmo ordne La f.d.t. del crcuto RC è V V o dove C R C RC ( K La f.d.t. del crcuto RL è Vo R V R L dove R ( K L Per entramb crcut l guadagno n contnua è K ( db 9 Fltro passa-alto del prmo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K coè con un polo e uno zero, corrsponde a un fltro passa-alto Il dagramma asntotco d è costtuto da un asntoto con pendenza db/decade e da un asntoto orzzontale d ordnata log (K (che rappresenta l guadagno n ad alta frequenza a partre da / Per l modulo della f.d.t. vale K H ( e qund è nferore d 3 db al guadagno ad alta frequenza La pulsazone è assunta convenzonalmente come pulsazone d taglo del fltro 5

26 Fltro passa-alto del prmo ordne db log K 3dB + db/decade log 5 Esemp d fltr passa-alto del prmo ordne La f.d.t. del crcuto RL è Vo L K V R L dove L R K L R La f.d.t. del crcuto RC è Vo R K V R C dove RC K RC Per entramb crcut l guadagno ad alta frequenza è K ( db 5

27 Fltro passa-basso del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K coè con due pol compless conugat e prva d zer, corrsponde a un fltro passa-basso Il dagramma asntotco d è costtuto da un asntoto orzzontale d ordnata log K (che rappresenta l guadagno n contnua e da un asntoto con pendenza db/decade a partre da Per s ha K, qund, n partcolare, per / (coè quando pol dventano real concdent l guadagno per è nferore d 6 db al guadagno n contnua per / l guadagno per è nferore d 3 db al guadagno n contnua 53 Fltro passa-basso del secondo ordne Per / pulsazone l modulo della f.d.t. ha un pcco n corrspondenza della M l cu valore è H M M K 5

28 Fltro passa-basso del secondo ordne log H log K M log K db db/decade H M K M log 55 Esempo d fltro passa-basso del secondo ordne La funzone d trasfermento è Vo C V R L RC LC C dove L L ( K LC R C R Il guadagno n contnua è K ( db 56

29 Fltro passa-alto del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K coè con due pol compless conugat e due zer nell orgne, corrsponde a un fltro passa-alto Il dagramma asntotco d è costtuto da un asntoto con pendenza db/decade e da un asntoto orzzontale d ordnata log (K (che rappresenta l guadagno ad alta frequenza a partre da Per s ha K, qund, n partcolare, per / l guadagno per è nferore d 6 db al guadagno ad alta frequenza per / l guadagno per è nferore d 3 db al guadagno ad alta frequenza 57 Fltro passa-alto del secondo ordne Per / l modulo della f.d.t. ha un pcco n corrspondenza della pulsazone M l cu valore è H M M K 58

30 59 Fltro passa-alto del secondo ordne + db/decade M db ( H log M K H log K log K M log H 6 Esempo d fltro passa-alto del secondo ordne La funzone d trasfermento è dove Il guadagno n contnua è K ( db o ( ( K LC RC LC C L R L V V LC K R L C L R LC

31 Fltro passa-banda del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K coè con due pol compless conugat e uno zero nell orgne, corrsponde a un fltro passa-banda Il modulo della f.d.t. ha un massmo per (pulsazone d centro banda che vale K Il dagramma asntotco d è costtuto da un asntoto con pendenza db/decade e da uno con pendenza db/decade che s ncontrano nel punto, log (K 6 Fltro passa-banda del secondo ordne L andamento del modulo ha smmetra geometrca rspetto a, coè, date due frequenze a e b tal che a b (e qund / a b / s ha a b D conseguenza, se la frequenza è rportata n scala logartmca, l grafco ha un andamento smmetrco rspetto a uesta propretà può essere messa rscrvendo l espressone della f.d.t. nella forma K K che s ottene moltplcando numeratore e denomnatore per 6

32 Fltro passa-banda del secondo ordne La banda passante del fltro vene defnta convenzonalmente come ntervallo compreso tra le pulsazon e per cu l guadagno rsulta nferore d 3 db al guadagno d centro-banda und le pulsazon d taglo possono essere determnate mponendo K uesto rchede che sa Le soluzon postve d questa equazone sono, D conseguenza la larghezza d banda è B 63 Fltro passa-banda del secondo ordne log K 3dB db log K + db/decade db/decade log 6

33 Esempo d fltro passa-banda del secondo ordne La funzone d trasfermento è V V o dove R R L LC C R RC K RC LC L C L R K RC Il guadagno d centro banda è K ( db R La larghezza d banda è L 65 Fltro elmna-banda del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K coè con due pol compless conugat e con due zer mmagnar conugat, con pulsazone uguale a quella de pol, corrsponde a un fltro elmna-banda Il modulo della f.d.t. s annulla per (detta, anche n questo caso, pulsazone d centro banda Il dagramma asntotco d s rduce a una retta orzzontale con ascssa par a log K, che rappresenta l valore del guadagno n contnua e ad alta frequenza 66

34 Fltro elmna-banda del secondo ordne Anche n questo caso l andamento del modulo ha smmetra geometrca rspetto a, come rsulta evdente se s rscrve l espressone della f.d.t. nella forma K Procedendo come nel caso del fltro passa-banda s trova che le pulsazon d taglo sono date ancora della relazon, e qund la larghezza d banda è B 67 Fltro elmna-banda del secondo ordne log K 3dB db log 68

35 69 Esempo d fltro elmna-banda del secondo ordne La funzone d trasfermento è dove Il guadagno d centro banda è K ( db La larghezza d banda è o C C LC RC LC L R L V V ( K R L C L R LC L R