Appunti a cura di Roberto Bringheli e Carmelo Zucco Pagina 16 FORMULE DI ADDIZIONE DI SENO, COSENO E TANGENTE SOTTRAZIONE DEL COSENO

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1 Pagina 6 FORMULE DI ADDIZIONE DI SENO, COSENO E TANGENTE Esistono metodi er determinare le formule di addizione e sottrazione: il metodo vettoriale e quello algebrico, er semlicità ci limiteremo a determinare il metodo vettoriale, la sottrazione del eno e col metodo algebrico le restanti oerazioni. METODO (METODO VETTORIALE) SOTTRAZIONE DEL COSENO Consideriamo una circonferenza goniometrica e i vettori OP e OQ, che hanno il modulo uguale al raggio y Q P x Scrivendo i vettori secondo la raresentazione semicartesiana avremo: P( ;sen ) e Q( ;sen ) Facendo il rodotto otterremo: OP OQ ( ) OP ( i + senj) OP ( i + senj) OP OQ i + senj i + j + sensen Quindi: + sensen ADDIZIONE DEL COSENO METODO (METODO ALGEBRICO) + sensen saiamo che + + sensen [ ]

2 Pagina 7 ( ) ( ) onendo: sen sen avremo: + sensen SOTTRAZIONE DEL SENO Dalla formula di sottrazione del eno si ricava quella del seno, tenendo resente che er ogni arco x, si ha: π π x sen x sen x x quindi: π π π π sen( ) ( ) sen sen + π π sostituendo: sen e sen sen sen sen si otterrà: Saendo che: ( + ) ( + ) ADDIZIONE DELLA TANGENTE sen sen+ sen ( ) sensen dividendo tutto er, si avrà: sen sen + si otterrà: sensen + ( + ) N.B.) Per trovare la formula di sottrazione della tangente si usa lo stesso metodo + dell addizione ottenendo Tg( ). + Esemi Esercizio riguardante le formule di addizione del seno e eno: sin π + π π π π π sin + sin sinsin

3 Pagina 8 π π π π sin + sin + sinsin sin+ + sin sin Esercizio riguardante le formule di addizione e sottrazione del seno e eno: sin π π π π π π sin + sin + sin sin π π π π sin + sin sin sin sin sin 0 Esercizio riguardante le formule di addizione e sottrazione del seno e eno: π π + + c 4 4 π π + c c π π c c 4 4 sin c sin c sin sin sin+ sin+ sin + sin sin sin sin+ sin+ + sin sin sin+ sin+ + 0 sin sin FORMULE DI DUPLICAZIONE DI SENO, COSENO E TANGENTE Dobbiamo artire da questa relazione: sin sin( + ) Sviluando quest ultima otterremo la formula di dulicazione del seno:

4 Pagina 9 sin + sin+ sin Quindi: sin sin Lo stesso metodo si usa er trovare la dulicazione del eno: ( + ) e da questa si otterrà: ( + ) sensen Quindi: sen Se vogliamo averla tutta in seno: ( sin ) sin sin Se vogliamo averla tutta in eno: ( ) Lo stesso metodo si usa er ottenere la dulicazione della tangente: ( + ) + Dalla formula di addizione della tangente saiamo che: ( + ) Quindi sviluando la seguente relazione otterremo: + ( + ) Esemi Esercizio riguardante la dulicazione del eno: sin sin sin + sin sin sin Esercizio riguardante la dulicazione del seno e del eno: ( sin ) + sin+ + sin + sin+ sin sin+ + sin Esercizio riguardante la dulicazione della cotangente e del seno: c sin

5 Pagina 0 c c sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin FORMULE DI BISEZIONE DI SENO E COSENO Per ottenere le formule di bisezione bisogna artire dalle formule di dulicazione del eno, dunque: ) sen (formula di dulicazione del eno esressa in seno) ) (formula di dulicazione del eno esressa in eno) Sostituendo ad, otterremo: ) sen ovvero sen ) ovvero BISEZIONE DEL SENO Partendo dalla ) sen e onendo sen al rimo membro otterremo: sen sen sen sen ±

6 Pagina BISEZIONE DEL COSENO Partendo dalla ) e onendo al rimo membro otterremo: ± Esemi Esercizio riguardante le formule di bisezione del seno e del eno: sin Esercizio riguardante le formule di bisezione della tangente e del seno: sin ( )( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) 4 4 sin ( + ) ( + ) Esercizio riguardante le formule di bisezione della cotangente:

7 Pagina + c sin + + sin FORMULE PARAMETRICHE Per trovare le formule arametriche dobbiamo artire dalle formule di dulicazione del seno e del eno: ) sin sin ) sen ora al osto di dobbiamo sostituire : (Per il momento consideriamo la rima esressione erché dobbiamo trovare la arametrica del seno) sin sin A questo unto dividiamo tutto er e nel assaggio successivo al numero sostituiamo sin + : sin sin sin sin sin + Adesso dividiamo tutto er π erché: ed π quindi π+ κπ ed otterremo: sin sin sin + +

8 Pagina 3 quindi: sin se oniamo t + sin t + t Per trovare la formula arametrica del eno, dobbiamo tenere in considerazione la formula di dulicazione del eno: sen sostituendo ad il valore otterremo: sen Adesso dividendo tutto er e al osto di sostituiamo sin + : sin sin sin + dividendo tutto er otterremo: sin Quindi + t + t sin + + sostituendo a t

9 Pagina 4 FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DEL SENO, COSENO, TANGENTE E COTANGENTE + sensen + sensen sen + sen + sen sen sen sen + ( + ) ( ) + c c c( + ) c+ c c c+ c( + ) c c FORMULE DI DUPLICAZIONE DEL SENO, COSENO, TANGENTE E COTANGENTE sin sin sen c c c FORMULE DI BISEZIONE DEL SENO, COSENO, TANGENTE E COTANGENTE sen ± + ± ± + c + ± FORMULE PARAMETRICHE

10 Pagina 5 sin + t + t + t + t FORMULE DI WERNER E PROSTAFERESI Per trovare la rima e la seconda formula di Werner e di Prostaferesi bisogna considerare le formule di addizione e sottrazione del seno: sen + sen + sen sen sen sen er la rima formula si deve sommare membro a membro le sue esressioni: sen( + ) + sen( ) sen sin [ sin( + ) + sin( ) ] ( formula di Werner) + q + Ponendo: q cioè q Ponendo queste condizioni otterremo la rima formula di Prostaferesi: sin sinq sin + + q q ( formula di Prostaferesi) Per la seconda formula di Werner e di Prostaferesi si deve sottrarre membro a membro le due formule di addizione e sottrazione del seno, e otterremo: sen + sen sen sin [ sin( + ) sin( )] + q + Ponendo: q cioè q Ponendo queste condizioni otterremo la seconda formula di Prostaferesi: + q q sin sinq sin ( formula di Prostaferesi) Per trovare la terza e quarta formula di Werner e di Prostaferesi bisogna considerare le formule di addizione e sottrazione del eno: + sinsin

11 Pagina 6 +sinsin Per la terza formula si deve sommare membro a membro le due esressioni: ( + ) ( ) [ ( + ) ( ) ] (3 formula di Werner) + q + Ponendo: q cioè q Ponendo queste condizioni otterremo la terza formula di Prostaferesi: + q q q (3 formula di Prostaferesi) Per la quarta regola di Werner e Prostaferesi si sottrarre membro a membro le due esressioni, e otterremo: ( + ) ( ) sinsin sinsin [ ( ) ( + ) ] (4 formula di Werner) + q + Ponendo: q cioè q Ponendo queste condizioni otterremo la quarta formula di Prostaferesi: q sin + q sin q (4 formula di Prostaferesi) FORMULE DI PROSTAFERESI RIGUARDANTI LA TANGENTE E LA COTANGENTE sin ( + ) + sin ( ) sin + c+ c sinsin sin c c sinsin Le seguenti formule di addizione e sottrazione: sen + + sen sen sin + sin sin

12 Pagina sinsin che ossono essere scritte analogamente sotto la forma: sin [ sin( + ) + sin( ) ] sin [ sin( + ) sin( ) ] [ ( + ) ( ) ] sinsin [ ( ) ( + ) ] Prendono il nome di Formule di Werner. + q + Ponendo: q cioè q Si otterranno le seguenti formule: sin sinq sin + + q q + q q sin sinq sin + q q q q sin + q sin q che rendono il nome di Formule di Prostaferesi.