ARGOMENTI MODULARI DI MATEMATICA per gli istituti professionali per l'industria e l'artigianato

Transcript

1 N. DODERO - P. BARONCINI - R. MANFREDI IPIA ARGOMENTI MODULARI DI MATEMATICA per gli istituti professionali per l'industria e l'artigianato Logaritmi Progressioni Trigonometria Numeri complessi G

2 N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi ARGOMENTI MODULARI DI MATEMATICA per gli istituti professionali per l industria e l artigianato G Logaritmi - Progressioni Trigonometria Numeri complessi Ghisetti e Corvi Editori

3 Turbo Pascal è un marchio registrato da Borland International. Lotus è un marchio registrato da Lotus Development. MS-Dos, Excel sono marchi registrati da Microsoft Corporation. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del % di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, comma, della legge aprile 9 n. 6 ovvero dall accordo stipulato tra SIAE, AIE, SNS e CNA, CONFARTIGIANATO, CASA, CLAAI, CONFCOMMERCIO, CONFESERCENTI il 8 dicembre 000. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al % del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, via delle Erbe, n. 0 Milano, segreteria@aidro.org Ristampa riveduta e corretta F Copyright 999 by spa Ghisetti e Corvi EditoriH 09 Milano, Corso Concordia, 7 Proprietà riservata Fotocomposizione: La Pulce s.n.c., Vigevano (PV) Stampa: Litolega, Nova Milanese (MI), 006 Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

4 Indice G Equazioni esponenziali. Logaritmi Equazioni esponenziali in forma canonica,. Logaritmi, 8. Logaritmi decimali e logaritmi naturali,. Proprietà dei logaritmi,. Cambiamento di base, 7. Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi, 9. Equazioni logaritmiche,. Esercizi,. G Progressioni aritmetiche e geometriche Premessa,. Progressioni aritmetiche,. Somma dei termini di una progressione aritmetica finita, 7. Applicazioni, 8. Progressioni geometriche, 0. Progressioni geometriche a termini positivi,. Progressioni geometriche a termini di segno qualsiasi,. Somma dei termini di una progressione geometrica finita,. Esercizi, 8. G Funzioni goniometriche 7 Misura degli angoli, 7. Sistema sessagesimale, 7. Radianti, 7. Angoli orientati, 7. Circonferenza goniometrica, 7. Seno e coseno di un angolo, 76. Variazioni e periodicità del seno e del coseno, 77. Tangente di un angolo, 78. Variazione della tangente, 79. Funzioni goniometriche di angoli particolari, 80. Angolo di o, 80. Angoli di 0 o edi60 o, 8. Rappresentazione grafica della variazione del seno, del coseno e della tangente, 8. Cotangente di un angolo, 8. Funzioni goniometriche inverse, 8. Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche, 8. Angoli associati, 88. Angoli opposti, 89. Angoli complementari, 90. Riduzione al primo quadrante, 9. Formule goniometriche, 9. Formule di addizione e sottrazione, 9. Formule di duplicazione, 97. Formule parametriche, 99. Formule di bisezione, 00. Formule di prostaferesi, 0. Formule di Werner, 0. Equazioni goniometriche, 0. Equazioni elementari, 0. Angoli aventi un dato seno, 0. Angoli aventi un dato coseno, 08. Angoli aventi una data tangente, 0. Equazioni riducibili a equazioni elementari,. Equazioni riconducibili alle elementari mediante formule goniometriche,. Equazioni lineari in seno e coseno,. Equazioni omogenee di o grado in seno e coseno, 0. Esercizi,. G Trigonometria 69 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo, 69. Oggetto della trigonometria, 69. Teoremi sui triangoli rettangoli, 70. Risoluzione dei triangoli rettangoli, 7. Applicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli, 7. Area di un triangolo, 7. Teoremi sui triangoli qualsiasi, 7. Teorema del coseno o di Carnot, 7. Teorema dei seni, 76. Risoluzione dei triangoli qualsiasi, 77. Applicazioni in fisica, 8. Lavoro di una forza, 8. Moto armonico, 8. Risultante di due forze, 8. Esercizi, 8. Indice G Numeri complessi 00 Numeri immaginari, 00. Numeri complessi, 0. Risoluzione di equazioni di secondo grado nell insieme dei numeri complessi, 06. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi, 07. Corrispondenza tra vettori e numeri complessi, 08. Numeri complessi e vettori, 09. Modulo e argomento di un numero complesso, 0. Coordinate polari,. Radici n-esime dell unità,. Esercizi, 7. Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

5 G Equazioni esponenziali Logaritmi Equazioni esponenziali in forma canonica Logaritmi e loro proprietà Equazioni esponenziali risolubili coi logaritmi Equazioni logaritmiche Equazioni esponenziali in forma canonica D Si chiamano equazioni esponenziali le equazioni in cui l incognita figura nell esponente di qualche potenza. Studieremo in questo capitolo le equazioni esponenziali che si possono ridurre alla forma a f ðxþ ¼ a gðxþ con a > 0 ^ a 6¼ () che chiameremo forma canonica delle equazioni esponenziali. Una tale equazione risulta equivalente all equazione f ðxþ ¼gðxÞ; pertanto un equazione i cui due membri sono potenze della stessa base, equivale a un equazione i cui due membri sono gli esponenti di tali potenze. Quindi, se è a > 0ea 6¼, è sempre lecito il passaggio algebrico (*) a f ðxþ ¼ a gðxþ! f ðxþ ¼gðxÞ () Si noti che, essendo a > 0, è sempre a x > 0, qualsiasi x R. Avvertiamo lo studente che non tutte le equazioni esponenziali si possono ridurre alla forma canonica (). Vedremo nel prossimo paragrafo n. la risoluzione di altri tipi di equazioni esponenziali che non si possono ridurre alla forma canonica (). Risolveremo ora insieme alcuni semplici esercizi da cui si potrà apprendere come si possono risolvere le equazioni esponenziali che si presentano in forma canonica. Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO (*) Negli studi successivi si studieranno la funzione esponenziale, di equazione y ¼ a x (con a > 0, a 6¼ ). Come vedremo tale funzione è biunivoca, ossia x ¼ x () a x ¼ a x ; tale proprietà giustifica la (). Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

6 6 L equazione x ¼ 9 può essere posta in forma canonica scrivendola nel seguente modo x ¼ : ðþ Per la (), del n., tale equazione equivale alla seguente: x ¼ ðþ che ne esprime la soluzione. Si dice anche che la () è ottenuta dalla () passando agli esponenti. In modo del tutto analogo si risolve l equazione x ¼ : Basta ricordare che è ¼ e scrivere l equazione nella seguente forma x ¼! x ¼ : MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Anche l equazione 0 x ¼ può essere posta in forma canonica, ricordando che è ¼ 0 0, 0 x ¼ 0 0! x ¼ 0: E così pure x ¼ 8 8! Risolvere l equazione x ¼ 8! x ¼ : 8 x ¼ 8: Tale equazione si può scrivere nella seguente forma: Risolvere l equazione ð Þ x ¼! x ¼! x ¼! x ¼ : x ¼ x : 0 Trasformiamo entrambi i membri in potenze di 0: 0 x ¼ 0 0 x! 0 x ¼ 0 þ x! x ¼ x! x ¼ : Sia da risolvere l equazione 8 x ¼ 9 xþ : Poiché 9 ¼, possiamo scrivere l equazione data nella forma 8 x ¼ð Þ xþ! 8 x ¼ 6 xþ da cui si deduce che deve essere, passando agli esponenti, 8x ¼ 6x þ! x ¼ 0! x ¼ 0: Sia da risolvere l equazione x xþ ¼ x 6: Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

7 7 Essa equivale all equazione x xþ x ¼ 6, che a sua volta, ricordando le proprietà delle potenze, equivale a x x x ¼ 6; o anche x ¼ 6! x ¼ 6: Moltiplicando entrambi i membri per, si ottiene x ¼ 6! x ¼! x ¼! x ¼! x ¼ : 6 Si risolva l equazione 9 x ¼ 6 þ x : Poiché 9 ¼, tale equazione si può così scrivere ð Þ x ¼ 6 þ x! x ¼ 6 þ x : Poniamo y ¼ x,dacuiy ¼ð x Þ ¼ x, e sostituiamo: y ¼ 6 þ y! y y 6 ¼ 0: Quest ultima è un equazione di secondo grado nell incognita y; risolvendola, si ha y ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ! y ¼ _ y ¼ : Da y ¼, ricordando che è y ¼ x,siha Da y ¼ si ottiene invece x ¼! x ¼! x ¼ : x ¼ ; questa equazione è impossibile perché per qualunque valore reale di x la potenza x è positiva e pertanto non può mai essere eguale a. Concludiamo che l unica soluzione dell equazione proposta è x ¼. 7 Risolvere l equazione p ffiffi x þ þ ffiffi p x ¼ 7: ðþ Notiamo subito che dovranno accettarsi solo valori positivi o nulli di x, cioè deve essere x 0; la () si può scrivere: p ffiffi x þ ffiffi p x p ponendo ffiffi x ¼ y > 0, si ha poi ¼ 7! ffiffi x p þ p ffiffi ¼ 7; x Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO y þ y ¼ 7! y 7y þ ¼ 0! y ¼ _ y ¼ : Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

8 8 Per la posizione fatta, si hanno così le due equazioni esponenziali p ffiffi pffiffi x ¼ e x ¼ : p Risolviamo la prima: ffiffi x ¼ p! ffiffiffi x ¼! x ¼ : Risolviamo la seconda: pffiffi x ¼! p ffiffiffi x ¼ : equazione impossibile. La () è pertanto verificata solo da x ¼. 8 Risolvere l equazione Tale equazione si può scrivere: xþ x ¼ xþ : ¼ x! x ¼ x : MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G In quest ultima equazione l incognita compare come esponente di potenze con basi diverse. Per poter ridurre l equazione a forma canonica, isoliamo al primo membro le potenze contenenti l incognita nell esponente. Ciò si può fare moltiplicando entrambi i membri per e poi dividendoli entrambi per x (il che è possibile essendo x 6¼ 0 per qualsiasi valore di x ): x ¼ 9 x! x x ¼ 9! x ¼ 9 Vogliamo ora risolvere il sistema Esso si può scrivere xþy ¼! 7 xy ¼ 7 Logaritmi! xþy ¼ 7 xy ¼ 9: x þ y ¼ xy ¼! x ¼ x ¼ y ¼! x ¼ : _ x ¼ y ¼ : Come già si è detto, non tutte le equazioni esponenziali possono essere ridotte alla forma canonica. Un esempio è la seguente semplice equazione x ¼ : ðþ È evidente che, in base alle conoscenze fin qui acquisite, il secondo membro di tale equazione non può essere scritto come potenza di con esponente razionale. Eppure, anche l equazione (), come si potrebbe verificare, ammette una ed una soluzione. Osservando che si ha < ; > ; si può dedurre che rappresenta un approssimazione per difetto e un approssimazione per eccesso, della soluzione della (), e quindi è x ¼,...; ma si Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

9 9 ha anche e quindi Si ha poi e perciò ; ¼ ; 887::: < e ;6 ¼ ; 0::: > x ¼ ; ::: ;8 ¼ ; < e ;9 ¼ ; 009::: > x ¼ ; 8::: Proseguendo così, si potranno determinare tutte le cifre decimali che si desiderano della soluzione della (). Generalizzando, consideriamo l equazione esponenziale, che chiameremo equazione esponenziale elementare, a x ¼ b ðþ con a > 0ea 6¼ ; in tali ipotesi se è b 0, la () è impossibile (infatti la potenza di un numero a > 0 non può essere né minore né uguale a zero). Invece, se è b > 0, l equazione () ha una ed una sola soluzione. (*) In quest ultimo caso, l unica soluzione dell equazione () si chiama logaritmo in base a del numero b e si indica scrivendo log a b: In tale espressione a è detto base del logaritmo, mentre b è detto argomento del logaritmo. Dunque, se a > 0, a 6¼ eb > 0 si ha, per definizione, x ¼ log a b () a x ¼ b a > 0; a 6¼ ; b > 0 () Avremo quindi la seguente definizione. D Il logaritmo in base a del numero b è l esponente da attribuire alla base a per ottenere una potenza uguale all argomento b. Come già sièosservato, la base a di un logaritmo deve essere positiva e diversa da e l argomento b deve essere positivo; pertanto non esiste il logaritmo di un numero negativo. Dalla definizione derivano le seguenti proprietà fondamentali dei logaritmi: a log ab ¼ b a > 0; a 6¼ ; b > 0 () Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO (*) Tale affermazione sarà giustificata quando si considererà la funzione esponenziale e si vedrà che essa è biunivoca. Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

10 0 infatti log a b è l esponente che occorre attribuire alla base a per ottenere b; log a a c ¼ c a > 0; a 6¼ () infatti l esponente da attribuire ad a per ottenere a c è proprio c. In particolare, dalla proprietà espressa dalla () e dall eguaglianza a 0 ¼, deriva che, qualsiasi sia il numero positivo a 6¼, si ha Analogamente, poiché èa ¼ a, siha log a ¼ 0 a > 0; a 6¼ log a a ¼ a > 0; a 6¼ MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Si può quindi affermare che qualunque sia la base, purché positiva e diversa da, il logaritmo di è uguale a zero e il logaritmo della base è uguale a. Dalla definizione di logaritmo espressa dalla (), segue che l uguaglianza ¼ 8 può trasformarsi nell uguaglianza ¼ log 8, passando così dalla forma esponenziale alla forma logaritmica. Viceversa, scrivere, per esempio, che ¼ log 9 E così, analogamente, si ha equivale a scrivere ¼ 9 : log ¼ () 0 ¼ 000; m ¼ log n p () n m ¼ p : rffiffiffiffiffi ffiffiffi a ¼ p a () ¼ log p ffiffiffi a a ; ¼ () rffiffiffiffiffi 8 ¼ log : 8 Il calcolo di log a b in base alla definizione di logaritmo è particolarmente semplice se si riesce ad esprimere sia a sia b come potenza di un unica base: basta poi applicare la proprietà espressa dalla () del paragrafo precedente. In caso contrario, si ricorrerà all uso di una calcolatrice scientifica: se ne riparlerà nel n. 6 e nel n.. Avremo quindi aþ log 9 ¼ log ¼ ; log bþ log 7 ¼ log ¼ ; log 7 cþ log 6 ¼ log ¼ ; log dþ log ¼ log ¼ ; log 9 8 ¼ log ¼. 9 ¼ log ¼ log 8 ¼ log 9 ¼. 7 ¼. ¼. 9 Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

11 Dagli esempi precedenti si può osservare che si ha log a b > 0 se a > eb >! esempi aþ se a < eb <! esempi bþ log a b < 0 se a > eb <! esempi cþ se a < eb >! esempi dþ: Abbiamo dunque visto che la definizione di logaritmo si esprime simbolicamente scrivendo log a b ¼ c () a c ¼ b a > 0; a 6¼ ; b > 0: ðþ La (), che è una relazione fra i tre numeri a (base), b (argomento), c (logaritmo), permette di determinare uno dei tre numeri, essendo noti gli altri due. Determinazione del logaritmo, noti base e argomento. Calcoliamo x ¼ log pffiffi p ffiffiffiffiffi 8. Per definizione si ha Si ha dunque p ð ffiffiffi Þ x ¼ p ffiffiffiffiffi 8! ð p Þ x ¼ ffiffiffiffiffi! ðþ Þx ¼ð Þ!! x ¼! x ¼! x ¼ 8 9 : log pffiffi p ffiffiffiffiffi 8 8 ¼ 9 : Determinazione dell argomento, noti base e logaritmo. Qual è il numero il cui logaritmo in base 9 è 0,? Detto x il numero richiesto, si deve avere log 9 x ¼ 0; e, quindi, per definizione si ha 0; ¼ x! x ¼ rffiffiffiffiffi! x ¼! x ¼ : Determinazione della base, noti argomento e logaritmo. 6 Si sa che il logaritmo di, in una certa base, è ; determiniamo la base, che indichiamo con x. 7 6 Si deve avere log x ¼ e, quindi, per definizione, deve essere 7 x ¼ 6 rffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7! x ¼ 6 ¼ ¼ 7 : Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

12 Logaritmi decimali e logaritmi naturali 6 I sistemi di logaritmi di uso comune sono due, entrambi di base maggiore di. ) I logaritmi naturali o neperiani (*), la cui base è un numero irrazionale, indicato con e, il cui valore approssimato è, ) I logaritmi volgari, o decimali o di Briggs (**), dal nome di colui che per primo ne suggerì l uso, a base 0, che sono quelli che si adoperano nelle applicazioni pratiche. Di solito si scrive logn (omettendo la base e scrivendo la l minuscola) per indicare il logaritmo neperiano log e N, mentre si scrive LogN (senza base e con la L maiuscola) per indicare il logaritmo decimale log 0 N. Si noti che è invalso anche l uso di indicare il logaritmo naturale in base e con il simbolo ln. Si ha così log e N ¼ logn ¼ lnn log 0 N ¼ LogN MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Le calcolatrici scientifiche consentono il calcolo sia dei logaritmi naturali sia dei logaritmi decimali. A tale proposito occorre ricordare che, conformemente alla notazione anglosassone, sulle calcolatrici scientifiche i logaritmi naturali sono solitamente denotati con il simbolo ln, mentre i logaritmi decimali sono denotati con il simbolo log. Proprietà dei logaritmi 7 Qualunque sia la base, i logaritmi godono di importanti proprietà che derivano dalle proprietà delle potenze. T Il logaritmo di un prodotto di due o più numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori. Si deve dimostrare (limitandoci, per semplicità, al caso di due soli fattori) che, log a ðm nþ ¼log a m þ log a n a R þ ; a 6¼ ; m R þ ; n R þ () Infatti log a m, per definizione, è l esponente che si deve attribuire alla base a per ottenere una potenza eguale a m: a log a m ¼ m; ðþ analogamente è a log a n ¼ n: ðþ (*) Sono detti neperiani per ricordare il matematico inglese John Napier, conosciuto come Giovanni Nepero (0-67) che scrisse importanti trattati sui logaritmi, da lui ideati. Il numero e, base dei logaritmi naturali, verrà meglio definito in seguito. I logaritmi in base e, come pure la funzione esponenziale in base e, sono particolarmente importanti nell analisi infinitesimale che verrà studiata in seguito. (**) Henry Briggs (6-6), matematico inglese che calcolò per primo i logaritmi in base 0 dei numeri da a e da a con quattordici cifre decimali. Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

13 Moltiplicando membro a membro la () e la () e ricordando le proprietà delle potenze, si ottiene a log a m a log a n ¼ mn! a log a mþlog a n ¼ mn: Quindi il numero log a m þ log a n è l esponente che si deve dare ad a per ottenere mn: in altre parole tale numero è il logaritmo in base a di mn. Si ha quindi cioè la (). log a m þ log a n ¼ log a ðmnþ c.v.d. Sappiamo che è p log ð ffiffiffi Þ¼log ð Þ¼log þ ¼ þ ¼ ; si ha anche, applicando il teorema ora visto, p log ð ffiffiffi pffiffiffi Þ¼log þ log ¼ log þ log ¼ þ ¼ : Osservazione. Nel teorema ora visto è essenziale l ipotesi che i due fattori siano positivi. Infatti, per esempio, è log ½ð Þð ÞŠ 6¼ log ð Þþlog ð Þ; perché il primo membro esiste ed è log ðþ8þ ¼, mentre il secondo membro non ha significato, non esistendo i logaritmi di numeri negativi. 8 T Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore, cioè Infatti è log a m n ¼ log am log a n a R þ ; a 6¼ ; m R þ ; n R þ () a log am ¼ m; a log an ¼ n: Dividendo membro a membro queste due eguaglianze e ricordando le proprietà delle potenze, si ottiene a log a m ¼ m a log a n n! a log a m log a m ¼ m n : Quindi il numero log a m log a n è l esponente che occorre attribuire alla base a per ottenere una potenza eguale a m n, ossia tale numero è il logaritmo in base a di m n : m log a m log a n ¼ log a n : c.v.d. Un caso particolarmente notevole della () si ha quando è m ¼ : allora, tenendo presente che si ha log a ¼ 0, si ottiene log a n ¼ log a log a n ¼ 0 log a n Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

14 ossia log a n ¼ log an n R þ : ðþ cioè il logaritmo del reciproco di un numero positivo è l opposto del suo logaritmo. Sappiamo che è log 8 p ffiffiffi ¼ log ¼ log ¼ ¼ 7 ; si ottiene lo stesso risultato applicando il teorema ora visto: infatti, per la (), si ha 8 pffiffiffi log p ffiffiffi ¼ log 8 log ¼ log log ¼ ¼ 7 : MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Risulta log ¼ log ¼ : Osservazione. Anche nel teorema ora visto, così come in quello del paragrafo precedente, è essenziale l ipotesi che i due termini del quoziente siano positivi. Infatti, ad esempio è 9 log 6¼ log ð 9Þ log ð Þ; perché il primo membro esiste ed è log ðþþ ¼, mentre il secondo membro non ha significato. 9 T Il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell esponente per il logaritmo del numero, cioè Infatti si ha log a b m ¼ m log a b a R þ ; a 6¼ ; m R; b R þ : ð6þ a log a b ¼ b ed elevando all esponente m entrambi i membri, si ottiene ða log ab Þ m ¼ b m! a m log ab ¼ b m ossia m log a b è l esponente da dare alla base a per ottenere b m ; quindi mlog a b è il logaritmo, in base a, dib m : m log a b ¼ log a b m ; che è l eguaglianza che si voleva dimostrare. Osservazione. È essenziale, nel teorema ora visto, l ipotesi che la base della potenza sia positiva. Infatti, per esempio, è log ð Þ 6¼ log ð Þ Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

15 perché dal primo membro si ha log ð Þ ¼ log 8 ¼ log ¼ ; mentre il secondo membro non ha significato non esistendo il logaritmo di un numero negativo. Sappiamo che è pffiffiffi log ð Þ ¼ log ð Þ ¼ log ¼ ; si ottiene lo stesso risultato applicando il teorema ora visto: infatti, per la (6), si ha pffiffiffi pffiffiffi log ð Þ ¼ log ¼ log ¼ ¼ : 0 Il teorema del n. 9 vale, come abbiamo visto, qualunque sia l esponente della potenza. In particolare vale quando l esponente è un numero razionale. Sia, per esempio, m ¼ n, con n N 0; si avrà log a bn ¼ n log a b; np ffiffi ma bn ¼ b quindi np ffiffi log a b ¼ n log ab n N 0 : ð7þ Si potrà così affermare che il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente tra il logaritmo del radicando e l indice della radice. Sappiamo che è p ffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi log 7 ¼ log ¼ log ¼ ; si ottiene lo stesso risultato applicando la (7): p ffiffiffiffiffi log 7 ¼ log 7 ¼ log ¼ ¼ : Applichiamo i teoremi ora studiati al calcolo dei logaritmi di alcune espressioni. p ffiffiffi Calcolare log p ffiffiffi : p ffiffiffi Si ha log pffiffiffi p ¼ log ð ffiffiffi pffiffiffi p ffiffiffi Þ log ¼ log þ log log ¼ Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO ¼ þ log ¼ þ log ¼ þ ¼ 7 6 : Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

16 6 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi - pffiffi a log a a p ffiffi ¼ a log a a pffiffiffi a p ffiffi ¼ a log a a þ log a a log a log a a ¼ ¼ þ log a ¼ 6 log a ¼ 6log a : 0 Leggendo da destra verso sinistra (cioè per la proprietà simmetrica dell uguaglianza) le uguaglianze espresse dalle formule (), (), (6), (7) dei paragrafi precedenti, le proprietà dei logaritmi ora dimostrate possono enunciarsi anche nel seguente modo. MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G La somma dei logaritmi nella stessa base di due o più numeri positivi è uguale al logaritmo nella stessa base del prodotto dei numeri. La differenza dei logaritmi nella stessa base di due numeri positivi è uguale al logaritmo nella stessa base del rapporto dei due numeri. Il prodotto del numero m per il logaritmo di un numero positivo b è uguale al logaritmo della potenza b m. Il rapporto fra il logaritmo di un numero positivo b e l intero positivo n è uguale al logaritmo della radice ennesima di b. Ridurre ad un unico logaritmo le seguenti espressioni: log a þ log b log pffiffiffi ¼ log a þ log b log ¼ pffiffiffi ¼ log ðab ab Þ log ¼ log p ffiffiffi : log ða bþþ ðlog a log bþ¼log ða bþþ log rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi a a ¼ log ða bþþlog ¼ log ða bþ : b b a b ¼ log aþ log aþ log ðaþbþ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi log aþ log aþlog aþb ¼ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi log a þ log ða a þ bþ ¼ log pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ða a þ bþ ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ log a a ða þ bþ ¼ log a a þ b: Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

17 7 log x þ log x ðlog x log yþ ¼ ¼ log x þ log x 6 log x þ 6 log y ¼ ¼ þ log x þ 6 6 log y ¼ 6 log x þ 6 log y ¼ 6p ffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ log x þ log 6p y ¼ 6 log x y : Cambiamento di base Quando si deve calcolare un logaritmo, si possono presentare due casi. a) L argomento e la base del logaritmo si possono esprimere come potenze, ad esponente razionale, di una stessa base. In questo caso il logaritmo è un numero razionale e il suo calcolo è immediato o si riduce alla risoluzione di una semplice equazione esponenziale, come nell esempio seguente e in tutti gli altri fin qui visti. Calcoliamo x ¼ log ffiffi p p ð7 ffiffiffi Þ: Si deve avere, per definizione di logaritmo, p ffiffiffi p ð Þ x ¼ 7 ffiffiffi! ð Þ x ¼! x ¼ 7! x ¼ 7! x ¼ : Perciò è log ffiffi p p ð7 ffiffiffi Þ¼ : b) L argomento e la base del logaritmo non si possono esprimere come potenze, ad esponente razionale, di una stessa base. In questo caso il logaritmo risulta un numero irrazionale; per determinare la sua rappresentazione decimale si potrebbe procedere come abbiamo accennato nel n.. Poiché però tale metodo è piuttosto macchinoso, è preferibile servirsi di una calcolatrice scientifica. Se la base è 0 o il numero e (vedi n. 6), la calcolatrice scientifica esegue direttamente il calcolo del logaritmo. Se la base invece è un qualunque altro numero, si può procedere nel modo illustrato dal seguente esempio. Si supponga di dover calcolare log : Posto x ¼ log, dovrà essere per definizione x ¼ : Dovranno perciò essere eguali anche i logaritmi, ad esempio in base 0, di x e di : Log x ¼ Log! x Log ¼ Log! x ¼ perciò siha log ¼ Log Log : Log Log ; Abbiamo così espresso un logaritmo in base mediante i logaritmi in base 0; a questo punto Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

18 8 con una calcolatrice scientifica, è facile ottenere log ¼ Log Log ¼ ; 99::: Il procedimento ora esposto si può generalizzare. Supponiamo di voler esprimere log a b mediante i logaritmi in base c. Poniamo x ¼ log a b! a x ¼ b: MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Dovranno perciò essere eguali i logaritmi, in base c, dia x edib: log c a x ¼ log c b! xlog c a ¼ log c b! x ¼ log c b log c a : Si ha perciò, per a > 0; a 6¼ ; b > 0; c > 0; c 6¼ : log a b ¼ log cb log c a Tale formula, detta formula del cambiamento di base, consente, noti i logaritmi in base c, di calcolare i logaritmi in una nuova base a. Tale formula, inoltre, risulta utile nella risoluzione di alcuni tipi di equazioni e può semplificare in qualche caso il calcolo dei logaritmi. Osserviamo infine che, prendendo c ¼ b, dalla formula () del cambiamento di base, si ottiene log a b ¼ log bb log b a ossia, essendo log b b ¼, log a b ¼ log b a a > 0; a 6¼ ; b > 0; b 6¼ : Cioè, scambiando tra loro la base e l argomento di un logaritmo, si ottiene il reciproco del logaritmo dato. Per esempio log 8elog 8 sono due numeri uno reciproco dell altro; infatti: ffiffiffi log 8 ¼ log p ¼ e log 8 ¼ log 8 8 ¼ log8 8 ¼ : Calcolare i seguenti logaritmi, facendo uso di una calcolatrice scientifica. () ðþ log 7 ¼ Log Log 7 ¼ ; ::: 0; 8098::: ¼ ; 86::: log 8 0; 0 ¼ Log 0; 0 Log 8 ¼ ; 687::: ; 9989::: ¼ 0; 890::: Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

19 9 Calcolare i valori (esatti) dei seguenti logaritmi facendo uso della formula del cambiamento di base: log 8 8 ¼ log 8 log 8 ¼ log 7 log ¼ 7 log 7 8 ¼ log 8 log 7 ¼ log log ¼ log p ffiffi 6 ¼ log 6 log p ffiffiffi ¼ log log Applicando la () si ottiene ¼ ¼ 0: log ¼ log ¼ ; Dimostrare la seguente proprietà: log 8 ¼ log 8 ¼ : log a nb n ¼ log a b () Applichiamo la formula del cambiamento di base, esprimendo log a nb n mediante i logaritmi in base a. Siha log a nb n ¼ log ab n log a a n ¼ nlog ab n vale perciò la (), con a > 0, a 6¼, b > 0, n N 0. Dimostrare la seguente proprietà: ¼ log a b; log a b ¼ log a b () con a > 0, a 6¼, b > 0. Applichiamo la (), esprimendo il primo membro della () mediante logaritmi in base a: log a b ¼ log a b log a a come volevamo dimostrare. ¼ log a b log a a ¼ log a b ¼ log a b; Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi Abbiamo già imparato (n. e n. ) a risolvere quelle equazioni esponenziali i cui due membri possono essere espressi come potenze di egual base. Grazie ai logaritmi è possibile risolvere anche quelle equazioni esponenziali i cui due membri siano prodotti e quozienti di basi diverse. Per risolvere tali equazioni è sufficiente considerare i logaritmi di entrambi i membri, come mostrano i prossimi esercizi. Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

20 0 MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Risolvere l equazione x ¼ 7 þx : ðþ Osserviamo che entrambi i membri dell equazione sono positivi per qualunque valore di x (*); è perciò evidente che risultano uguali anche i logaritmi, ad esempio decimali, di entrambi i membri della (). La () è perciò, prendendo i logaritmi, equivalente a Log x ¼ Log 7 þx : ðþ Applicando la proprietà espressa dal teorema del n. 9, la () diviene ðx Þ Log ¼ð þ xþ Log 7! x Log Log ¼ Log 7 þ x Log 7: Come si noterà, l equazione esponenziale () è stata così trasformata in un equazione algebrica di primo grado in x. Trasportiamo al primo membro i termini in cui compare l incognita e al secondo membro i restanti termini: x Log x Log 7 ¼ Log 7 þ Log! x ðlog Log 7Þ ¼Log 7 þ Log! Log 7 þ Log! x ¼ Log Log 7 : Si osservi che, applicando le proprietà dei logaritmi la soluzione può anche essere espressa nella seguente forma Logð7 Þ Log x ¼ Log ¼ Log : 7 7 La () si poteva anche risolvere nel modo seguente: x ¼ 7 þx! x ¼ 7 7 x! x ¼ 7 7 x : Moltiplicando entrambi i membri per e dividendoli per 7 x, si ottiene x x ¼! ¼ : 7 x 7 La soluzione di quest ultima equazione, per definizione di logaritmo, è x ¼ log 7 : La soluzione così ottenuta coincide con quella precedentemente determinata. Infatti, per la formula del cambiamento di base, si ha Log log 7 ¼ Log : 7 La rappresentazione decimale del risultato si può ottenere con una calcolatrice scientifica e si ha così x ¼ ; 98:::: Risolvere l equazione þ x ¼ xþ : (*) Nel seguito lasceremo tale verifica al lettore. Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

21 Si ha þ x ¼ x! ð Þ x 8 x þ ¼ 0! x 8 x þ ¼ 0: Poniamo y ¼ x (da cui y ¼ð x Þ ¼ x Þ e sostituiamo: Da y ¼ siha x ¼! x ¼ log ; da y ¼ siha x ¼! x ¼ log. y 8y þ ¼ 0! y ¼ _ y ¼ : L equazione data ha dunque due soluzioni. Si osservi che le equazioni x ¼ e x ¼ si potevano risolvere anche prendendo i logaritmi decimali di entrambi i membri: x ¼! Log x ¼ Log! x Log ¼ Log! x ¼ Log Log x ¼! Log x ¼ Log! x Log ¼ Log! x ¼ Log Log : L identità tra tali soluzioni e quelle precedentemente ottenute è garantita dalla formula del cambiamento di base. Equazioni logaritmiche D Si chiamano equazioni logaritmiche quelle equazioni in cui l incognita figura nell argomento di uno o più logaritmi. Ricordiamo che il dominio di un equazione è l insieme dei valori di x per i quali l equazione data ha significato. Per determinare il dominio di un equazione logaritmica occorre tener presente che gli argomenti di tutti i logaritmi che figurano nell equazione data devono essere positivi. I valori di x appartenenti al dominio esprimono, come si ricorderà, la condizione di accettabilità delle soluzioni. Sotto tali condizioni, mediante un accorto uso delle proprietà dei logaritmi ed eventualmente operando opportune sostituzioni e scomposizioni, si cercherà di porre l equazione data nella forma canonica log a f ðxþ ¼log a gðxþ () L equazione (), nel suo dominio, è equivalente all equazione f ðxþ ¼gðxÞ: La () può perciò essere risolta passando agli argomenti, ossia eseguendo il passaggio algebrico (*) log a f ðxþ ¼log a gðxþ!f ðxþ ¼gðxÞ ðþ Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO (*) Tale passaggio è giustificato dalla biunivocità della funzione logaritmica, che s incontrerà negli studi successivi. Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

22 Nel caso particolare in cui l equazione si presenti nella forma log a f ðxþ ¼b, basterà ricordare la definizione di logaritmo: log a f ðxþ ¼b! f ðxþ ¼a b : Trovate le soluzioni della () occorre poi accertarsi se esse appartengono al dominio dell equazione logaritmica inizialmente data, cioè se soddisfano le condizioni di accettabilità. Gli esempi che seguono illustrano i diversi procedimenti da seguire. Risolvere l equazione ðþ MODULO Equazioni esponenziali. Logaritmi G Logðx þ 8Þþ Log x ¼ Log : ðþ Determiniamo il dominio dell equazione prima di trasformarla: affinché la () abbia senso, dovrà essere n x þ 8 > 0 x > 0 n! x > 8 x > 0! x > 0: Il dominio della () è quindi l insieme R þ dei numeri reali positivi: D ¼ R þ : Procediamo alla risoluzione, applicando anche le opportune proprietà dei logaritmi: Log ðx þ 8Þþ Log x ¼ Log! Logðx þ 8ÞþLog x ¼ Log!! Log½ðx þ 8ÞxŠ ¼Log! x þ 8x ¼ 9!! x þ 8 x 9 ¼ 0! x ¼ 9 _ x ¼ : Il valore 9 non appartiene al dominio e quindi non è soluzione della (), mentre il valore è soluzione della (), essendo D. La () ammette quindi come unica soluzione. Risolvere l equazione log ðx þ Þ ¼: Determiniamo dapprima le condizioni di accettabilità dell equazione: x þ > 0! x > : Risolviamo ora la (); per definizione di logaritmo si ha Essendo log ðx þ Þ ¼! x þ ¼! x ¼! x ¼ : >, la soluzione trovata è accettabile. Risolvere l equazione log ðx Þþlog x ¼ log ð9 xþ: Questa volta risolveremo direttamente la (6) verificando a posteriori l accettabilità delle soluzioni. La (6) si può così riscrivere: log ½ðx ÞxŠ ¼log ð9 xþ!ðx Þx ¼ 9 x! x ¼ 9! x ¼: Sostituendo þ al posto di x, gli argomenti dei logaritmi che compaiono nella (6) diventano rispettivamente x ¼ ¼ > 0; x ¼ > 0; 9 x ¼ 9 ¼ > 0: ðþ ð6þ Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

23 La soluzione x ¼þ è quindi accettabile. Sostituendo invece al posto di x, gli argomenti dei logaritmi che compaiono nella (6) divengono x ¼ ¼ < 0; x ¼ < 0; 9 x ¼ 9 ð Þ ¼ > 0: Il valore quindi non è soluzione della (6), perché per x ¼ non esistono log ðx Þ e log x. Concludiamo che l unica soluzione della (6) è x ¼. Risolvere log x þ log x ¼ 0: Nella (7) compaiono logaritmi in basi diverse. Per poter applicare le proprietà dei logaritmi occorre che le basi siano uguali. Trasformiamo perciò la (8) applicando la formula del cambiamento di base dei logaritmi, quindi la (7) diventa, per x > 0, log x ¼ log x log ¼ log x; log x þ log x ¼ 0! log x ¼ 0! log x ¼! x ¼ ¼ 6: Tale soluzione, essendo positiva, è accettabile. ð7þ Equazioni esponenziali. Logaritmi G MODULO Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

24 G Equazioni esponenziali Logaritmi Equazioni esponenziali COMPLETARE... ESERCIZI Equazioni esponenziali. Logaritmi G x ¼ 8! x ¼ :::! x ¼ :::. xþ ¼ 8! xþ ¼ :::! x þ ¼ :::! x ¼ :::. x ¼ 7! x ¼ :::! ::::::. x ¼ 7! x ¼ :::! ::::::; x ¼! ð Þ x ¼! ::::::. x ¼ 6 8! x ¼ :::! ::::::. x 6 ¼ 9! x ¼ :::! ::::::. x 7 ¼ 6! x ¼ :::! ::::::. p ffiffiffiffiffiffi 8 x ¼ x! ð x Þ ¼ x! x ¼ x! ::::::. xþ 9 ¼ 9 þx! xþ ¼ ::: þx! :::::: VERO O FALSO V F V F 0 x ¼! x ¼ ; x þ ¼ 0! impossibile. p x ¼ ffiffi! x ¼ 0; ; 6 x ¼ 6! x ¼ 6. V F V F V F V F x þ x ¼! x ¼ ; x þ x þ8 x ¼ 0! impossibile. V F V F x ¼! x ¼ ; x ¼ 6 x! x ¼. pffiffiffiffi x ¼ 8! x ¼ 6 ; x ¼! x ¼. V F V F Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

25 x x ¼ 0! x ¼ V F V F ; x ¼ 7 x! x ¼ 0: V F V F 6 x þ x ¼ 0! x ¼ 0 ; x þ x ¼! x ¼ 0: Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: 7 x ¼ x ; 9 x ¼ ; x ¼ ; 7 xþ ¼ 9. 8 ¼ x ; 0 x ¼ 0; 0; 7 x ¼ ; 9x ¼ 7. ; ; ; ; ; ; 9 x ¼ ; x ¼ 9 ; ð0; Þ x ¼ 000; 0 x ¼ 0; 000: ½; ; ; Š x 0 ¼ 8 7 ; x ¼ 9 ; ða x Þ ¼ a x : ; ; 0e6 x 9 ¼ xþ x ; ¼ ; ða þx Þ x ¼ a. ; ; x ¼ ; 8 p xþ ¼ ffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ; x ¼ ffiffi ffiffiffiffiffi p ; a ¼ a x : ; ; ; 6 x ¼ 6 x ; þx ¼ 8; x ¼ 8; x ¼ : ; ; ; x þx ¼ ; ð0; Þ x ¼ 000; 8 x ¼ x : e; ; x þx ¼ ; 8 x ¼ xþ ; x ¼ 6: ½0 e ; 0; Š qffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 6 ffiffi ¼ x ; p ffiffi ¼ ffiffiffiffiffi p xþ 8 x ; ¼ : n 8 ; ; 7 ð6 x Þ x ¼ ; 0; 0 x ¼ þx ; ð x Þ x ¼ : e ; ; 0e x þ 8 7 x ¼ xþ ; x ¼ : ½ e; eš x x 9 ð x Þ þx ¼ ; 8 x ¼ x ; a x ¼ ffiffi p a : e0; ; pffiffiffiffiffi x ¼ 9 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; x ¼ 9 x ; x x ¼ 8. ½ e; ; Š xþ x ¼ 6; 6 þ x ¼ x : ½; eš x 9 ¼ 7 x þx ; ffiffiffiffiffiffiffi p x ð xþ Þ x 7 x 9 x ¼ ; ð xþ ¼ : Þ x xþ6 x ¼ : 8 ; e ½; Š Equazioni esponenziali. Logaritmi G ESERCIZI Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

26 6 ESERCIZI Equazioni esponenziali. Logaritmi G x x ¼ : (Ricordare che a n b n ¼ða bþ n :::). ½Š x x ¼ : (Dopo aver ridotto a forma intera, vedi esercizio precedente). x 6 xþ x ¼ xþ : (Ridurre a forma intera! 6 xþ ¼ :::Þ: x x 7 þ ¼ 0 x : Si può ridurre alla forma ¼. ½Š ffiffiffiffiffi 6p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 8 8 x 9 þx f ðxþ ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : Ridurla alla forma ¼! f ðxþ ¼0:::. 8 x 9 9 x þ x þ x ¼ 7: (Scrivere x þ x þ x ¼ :::Þ: ½Š 0 xþ x 9 þ x ¼ : (Raccogliere nel membro x...). ½Š xþ þ x þ x þ xþ ¼ 6: ½Š xþ þ x þ 8 x ¼ : ½Š ffiffi þ p p ffiffi pffiffi x þ þ x x ¼ 99: ½Š x þ xþ ¼ x þ 6: ½Š x þ x þ x þ x 8 þ x ¼ 6: ½Š 6 9 x þ 9 xþ 8 x þ þ 6:98 ¼ 0: 7 x x ¼ x þ xþ : ½Š 8 7 x þ 7 x ¼ 9 xþ þ 9 xþ : (Raccogliere nel membro 7 x, nel secondo 7 x ). ½0Š 9 x þ xþ xþ ¼ x 9 x : (Raccogliere nel membro x e nel secondo x...; oppure porre x ¼ y da cui y ¼ x...). 0 x x 6 ¼ 0: (Porre x ¼ y...). ½Š x x þ ¼ 0; x þ xþ ¼ 0: ½0 ; Š x x ¼ ; 9 x xþ þ 7 ¼ 0: ½ ; eš x 9 x ¼ ; ð x þ Þð x 9Þ ¼0: ½0 ; Š x þ xþ ¼ 0; xþ xþ þ ¼ 0: ½0 ; e Š x 9 xþ xþ ¼ 7 þ x : (Porre x ¼ y:::). xþ 6 6 x ¼ ; 9 xþ ¼ xþ xþ : ½ ; Š 7 xþ þ ¼ 6 xþ þ 6 x : (Dividere entrambi i membri per x...). x 7 ½Š ½Š Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

27 7 8 7 x 7 ¼ p þ ffiffiffiffiffi ; 7 x 6 þ 6 x ¼ 8 x : ½ ; Š 9 x þ þx ¼ ; 00 x 6 0 x ¼ ð0 x Þ: ½0 ; 0eŠ x þ x þ 60 xþ x ¼ ; pffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi x 9 ¼ 8 x : ½ ; 8Š 6 x þ xþ p ¼ 7; ffiffi x þ ffiffi p x ¼ : ½ e ; Š 6 x þ xþ ¼ x þ xþ : (Porre x ¼ y! x ¼ y...). 6 x þ x ¼ x x þ ; 6 x x x þ ¼ x : x þ 8 ¼ x xþ þ 8 ; 8 9 x þ x þ ¼ 0: 6 6 xþ þ 6 x þ 6 x ¼ 6 x : ½0 ; 0Š ; 66 x ¼ x ; ð x Þ xþ ¼ 8 x : ½ e; Š 67 x þ x ¼ x þ x : (Trasformare in xþ ¼ xþ...). [impossibile; perché?] 68 6 x x x þ ¼ 0: (Raccogliendo parzialmente si ottiene ð x Þð x Þ ¼0...). QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 69 x ¼! x ¼ a) ; b) impossibile; c) ; d) ; e). 70 x ¼ 6! x ¼ a) ; b) impossibile; c) ; d) ; e) 8. 7 xþ ¼ 8! x ¼ rffiffi a) ; b) ; c) ; d) ; e) x ¼ 8 x 6 x! x ¼ a) 7 ; b) ; c) 0; d). [0; ] Equazioni esponenziali. Logaritmi G ESERCIZI 7 x þ x þ xþ ¼ 9! x ¼ a) impossibile; b) ; c) ; d). Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

28 p 7 x þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ ¼ 0! x ¼ 8 a) ; b) ; c) impossibile; d). ESERCIZI Equazioni esponenziali. Logaritmi G Risolvere i seguenti sistemi: 8 ( ( x y ¼ xþ 8 y ¼ x ¼ x ¼ >< 7 ; 6 ; xþy ¼ 8 x ¼ y : y ¼ >: y ¼ 7 8 x 8 xþy ( >< ¼ 6 8 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þy 76 >: ¼ ; x 8 x y x ¼ 9 8 ¼ >< x ¼ 8 >< pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 x y p 9 y ¼ : >: y ¼ ; y ¼ 7 >: xþy x 9 8 xþy ¼ 8 >< x y 7 77 ; x : 9 þy x ¼ 8 >< x ¼ 8 ¼ >< 8 6 >: yþx ¼ a xþy : a x y ¼ a : >: y ¼ 7 ; >: y ¼ 7 x y x ¼ 7 8 y m >< x m ¼ m "( ( # >< 78 ; y x ¼ x ¼ 7 >: x y ¼ >: n x ¼ n ; n y : y ¼ y ¼ Logaritmi QUESITI a. Che cosa s intende per logaritmo di un numero in una data base? b. Scrivendo log m n, qual è la base e quale l argomento? c. Perché esista il log a b, come deve essere a? E come dev essere b? d. Quando è a > eb >, il numero log a b è positivo o negativo? e. Se è a > e0< b <, il numero log a b è positivo o negativo? f. Perché èlog a = 0, essendo a > 0ea 6¼? g. Perché non esiste log a 0, con a > 0 ^ a 6¼? Giustificare che non esiste log ð Þ: h. Come si può calcolare il logaritmo di un prodotto di due numeri positivi? E il logaritmo del loro quoziente? i. Giustificare che log a b ¼ log cb log c a e che Log ¼ log log 0. l. Giustificare che Log ¼ log 0. m. Perché log a b ¼ log b a? Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

29 9 QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Se è x > 0; y > 0; log a ðxyþ ¼ a) log a x log a y; b) log a x þ log a y; c) a xy ; d) a xþy. nlog a x ¼ a) log a nx; b) log a ðnxþ; c) log a x n ; d) log na x; e) log a nx n. log ¼ a) ; b) ; c) ; d) non esiste; e). pffiffi log a x ¼ a) log ax; b) log p ffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi a x ; c) log a x; d) log x a x. log a m log a n ¼ m a) log a ðmnþ; b) log a n ; c) log a m log a n ; d) log aðm nþ. VERO O FALSO 6 ¼ 8 6! ¼ log 8 6. rffiffi 7 Le scritture ¼ e rffiffi ¼ log sono equivalenti. 7 ¼ 8 Dall uguaglianza 8 si deduce ¼ log log p ffiffi 9 ¼. 0 Se è a > e0< b <, si ha log a b < 0. Se è 0< a < e0< b < sihalog a b > 0. Da log x 7 ¼ si ricava x ¼. V V V V V V V F F F F F F F Equazioni esponenziali. Logaritmi G ESERCIZI Determinare le cifre decimali, fino alla seconda dopo la virgola, delle soluzioni delle seguenti equazioni: x ¼ ; 0 x ¼ 0: ½0; 68:::; ; 0:::Š x ¼ 0; ; 0; x ¼ 7: ½ ; :::; ; 80:::Š Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

30 0 Determinare le cifre decimali, fino alla seconda dopo la virgola, dei seguenti logaritmi: log 7 ; log ; 6: ½0; 6:::; ; Š 6 log 0 0; log 0; : ½0; 76:::; 0; :::Š Calcolare il valore dei seguenti logaritmi: ESERCIZI Equazioni esponenziali. Logaritmi G log 8; log 7 9; log ; log 6: ½; ; ; Š log 7; log ; log ; log 7: ½ ; ; ; Š log 6 6 ; log 66; log 6 6 ; log 6: ½; ; ; Š 6 7 log 7 ; log ; log 8; log : ½; ; ; Š log 9 ; log 6 8 ; log 6 ; log : ½; ; ; Š 6 log ; log 9 8 ; log 6 6 ; log 9 : ½ ; ; ; Š 6 7 log 7 ; log 0;0; ; log 0; 0; 0; log 0; 000: ½; ; ; Š 8 log ; log 6; log ; log 9 log 8 ; log 8; log 6 ; log : 6: ½; ; ; Š 7; ; ; : 0 log log ; ; log0; 0; 0; log ; ; ; rffiffiffiffiffi p ffiffiffi p ffiffiffiffiffi p ffiffi log 9 ; log ; log 6 7 ; log : ; ; ; p ffiffi log 8 ; log0; 0; ; log 0; 008; log 0; : ; ; ; p ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi p log 8 ; logx x ; loga a ; log np ffiffiffiffi : ; ; ; n rffiffi p ffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi log 8 ; log 6 ; log 9 7 ; log : ; ; ; 7 log ; log 8 ; log 9 ; log 8 : ; ; ; rffiffiffiffiffiffiffi 6 log 8 ; log ; log 9 7; log 8: ; ; ; 7 log 8 ; log ; log ; log : 9 ; ; ; Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

31 8 log 9 ; log 9 ; log ; log : ; ; ; rffiffiffiffiffi 7 9 log 7 ; log 6 9 ; log 6 ; log 6 : 7 ; ; ; rffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi 00 0 log ; log0; 9 ; log p ffiffiffiffiffi 7 ; log : ; ; ; log 0; 000; log 9 7; log 8 7; log 6 8: ; ; ; log 6 6; log 8; log 6 8 ; log p ffiffi 9 : ; ; ; rffiffi 0 log p ffiffi ; log 6 ; log 6 ; log 0;09 0; : ; 6 ; 6; p ffiffiffiffiffi log 6 ; log 9 7 ; log p ffiffiffi 7 ; log p ffiffi 8 : ; ; ; 9 Dato il logaritmo e la base, determinare il numero x, argomento del logaritmo: log x ¼ ; log 9 x ¼ ; log x ¼ : ; ; 6 log x ¼ ; log x ¼ ; log x ¼ 7 : 8 ; pffiffi 9 ; 7 log 7 x ¼ ; log x ¼ rffiffi 9 ; log 9 x ¼ : 9 ; ; 9 8 log 7 x ¼ ; log x ¼ ; log ax ¼ rffiffiffiffi : ffiffiffiffiffi 9 ; p 8 ; a 9 log p ffiffi x ¼ ; log p ffiffi x ¼ ; log p ffiffi ffiffiffiffiffi x ¼ : ; 8p 7 ; 0 log 0; x ¼ ; log 0; x ¼ ; log 0; x ¼ : ; ; log ; x ¼ ; log p ffiffi x ¼ ; logp ffi 9 x ¼ : ; 9; p ffiffi log 0;0 x ¼ ; log 0;6 x ¼ ; log 0;8x ¼ 0 : 6 8 ; ; p ffiffi log 8 7 x ¼ ; log 6 x ¼ ; log 6 8 x ¼ 8 : ; ; 8 7 log x ¼ ; log x ¼ ; log 8 x ¼ : ; 6 6 ; log x ¼ rffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi ; log x ¼ ; log x ¼ : 8 9 ; 6 ; log 7 x ¼ ; log 6x ¼ rffiffiffiffiffiffiffi ; log 9 x ¼ : 8 ; ; Equazioni esponenziali. Logaritmi G ESERCIZI Argomenti modulari di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara