MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE GLM

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1 MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE GLM S possono consderare GLM con dstrbuzone specfcata o modell con quas-verosmglanza, quest ultm sono modell d tpo semparametrco. Illustramo l loro uso come: strumento d stma e controllo dell adattamento, per ottenere un modello adeguato a descrvere l fenomeno, sulla base de dat, e per rcavare le stme; strumento d prevsone e d valutazone della dspersone, per ottenere dal modello stmato prevson e valutazon d rschostà (n partcolare, a fn d arrvare al calcolo d margn per l rscho e captal d rscho). I GLM sono una classe flessble d modell con cu s studa l nfluenza d un nseme d varabl esplcatve sulla dstrbuzone d una varable rsposta (modell d regressone). In ambto asscuratvo sono largamente utlzzat nella tarffazone a pror, ma anche per trattare altr problem, ncluso quello della valutazone delle rserve. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 1 I GLM sono uno strumento operatvo. Sono dsponbl dvers software statstc (SAS, R, S-Plus, GLIM, EMBLEM, ) che fornscono le stme e le anals sulla bontà de modell. Possono essere uno strumento alternatvo per ottenere le stesse valutazon fornte da dvers metod tradzonal d stma delle rserve. Molt metod stocastc d stma delle rserve snstr propost n letteratura, possono essere vst come partcolar GLM. I GLM sono applcabl a dat ndvdual, coè a nformazon a lvello d sngolo snstro consentendo d utlzzare al meglo l nformazone dsponble. Il rcorso a dat raggruppat (per perodo d orgne del snstro e per perodo d dffermento del pagamento) non è necessaro. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 2

2 IPOTESI DEI GLM RICHIAMI SUI MODELLI LINEARI GENERALIZZATI (GLM) Modell d regressone che generalzzano lnear. Con rfermento a n untà statstche, s dspone d un nseme d osservazon {(y,x ), = 1,...,n }, y valore d una grandezza d nteresse, x vettore delle determnazon assunte da un nseme d varabl esplcatve. Il vettore de valor y = (y 1,..., y n )' è vsto come valore osservato del vettore aleatoro delle varable rsposta. Y = (Y 1,...,Y n )' Per l vettore delle varabl rsposta Y = (Y 1,...,Y n )' è formulata una potes probablstca che mette n relazone la dstrbuzone d Y con vettor delle determnazon delle varabl esplcatve. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 3 In sntes, un GLM è defnto dalle seguent potes. Ipotes probablstche. Le varabl rsposta Y 1,...,Y n sono stocastcamente ndpendent, con dstrbuzon appartenent ad una medesma famgla esponenzale lneare. Ipotes struttural. Il legame tra la speranza matematca µ della varable rsposta Y ed l vettore x delle determnazon delle varabl esplcatve, relatv all -esma osservazone, è g ( µ ) = x' β, dove β è un vettore d parametr e g una funzone d collegamento, nvertble. S ha qund S ha noltre 1 E( Y ) = µ = g ( x' β ). var(y ) = φ V(µ ), ω dove φ è un parametro d dspersone e V una funzone che caratterzza la famgla delle dstrbuzon delle varabl rsposta, detta funzone d varanza. Da dat che sono le determnazon y delle varabl rsposta ed vettor x delle determnazon delle varabl esplcatve, s stmano l vettore β de parametr d regressone ed l parametro d dspersone φ. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 4

3 Consderamo pù n dettaglo gl element del modello. Dstrbuzone del vettore delle varabl rsposta Y 1,...,Y n sono stocastcamente ndpendent, con dstrbuzon appartenent ad una medesma famgla esponenzale lneare, Y ha dstrbuzone del tpo f(y;θ,φ,ω ) = exp ω φ yθ [ b(θ )] c(y,φ,ω ) dove θ 1,K,θ n,φ sono parametr, ω > 0 è un peso assegnato. Inoltre, support delle dstrbuzon d Y 1,...,Y n non dpendono da parametr. S not che la funzone cumulante b e l parametro d dspersone φ non dpendono da, dpendono, n generale da, l parametro canonco θ e l peso ω. La funzone cumulante b ndvdua la famgla esponenzale. Le dstrbuzon delle varabl Y sono tutte della stessa famgla, per esempo tutte Posson oppure tutte gamma. Il parametro canonco è collegato con la speranza matematca della dstrbuzone: E(Y ) = µ = b'(θ ). MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 5 La famgla esponenzale lneare s può ndvduare anche con la funzone d varanza V(µ) = b"(b' 1 (µ)). Famgle esponenzal d dstrbuzon, tra le pù usate n ambto attuarale, sono cas partcolar d famgle con funzon d varanza d tpo potenza, ovvero del tpo V(µ ) = µ p. In partcolare, le famgle normale, Posson, gamma, gaussana nversa, corrspondono a p = 0, 1, 2, 3, rspettvamente. Sussste l seguente legame tra speranza matematca e varanza, var(y ) = φ ω b"(θ ) = φ ω V(µ ). Pertanto, la specfcazone d una partcolare struttura per la speranza matematca, µ = g 1 (x' β ), mplca una struttura anche per la varanza. Con rfermento a pes, a partà d φ e V(µ ), var(y ) è tanto maggore quanto mnore è ω. I pes possono allora essere utlzzat per ncorporare nel modello nformazon sull affdabltà delle sngole osservazon. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 6

4 Le varabl esplcatve Per le n untà statstche sono dsponbl un nseme d caratterstche osservabl a pror, gudcate nfluent sulle dstrbuzon delle varabl rsposta. Tal caratterstche possono essere varabl numerche oppure varabl qualtatve o numerche con determnazon n lvell, dette varabl d classfcazone o fattor. Una varable C d classfcazone con l lvell o modaltà, c 1,K,c l, può essere codfcata con le varabl 0-1, X = 1 se C = c, = 1,K,l. 0 altrment Resce C = c X = 1 e X = 0, per Le varabl X 1,K,X l sono le varabl ndcatrc de lvell. Poché l X =1 = 1 sono suffcent l 1 varabl ndcatrc per descrvere C: la rmanente s ottene per complemento a uno. S ottengono così le varabl esplcatve del modello. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 7 La matrce d regressone A codfcazone avvenuta, sa m l numero delle varabl esplcatve del modello; X 1,..., X m. E detta matrce d regressone (desgn matrx) la matrce X n cu per l osservazone -esma, s ha un vettore rga con x 0 = 1, e x 1,..., x m determnazon delle varabl esplcatve X = 1 M 1 M 1 x x x 11 M 1 M n1 K K K x1 m M xm M x nm X ha n rghe e m1 colonne. Indchamo con p l numero delle colonne. Supponamo che n > p e che le p colonne sano lnearmente ndpendent. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 8

5 Il prevsore lneare Il vettore x' = (1,x 1,K,x m ) delle determnazon delle varabl esplcatve nflusce sulla dstrbuzone d Y tramte l prevsore lneare relatvo all -esma untà statstca η = β 0 x 1 β 1 K x m β m = x' β dove β = (β 0,β 1,K,β m )' è un vettore d parametr, comun a tutte le untà statstche. I parametr d regressone β sono consderat cert, ma non not. La componente β 0 è detto ntercetta. Il vettore η = Xβ, d component η 1,...,η n è detto prevsore lneare e rappresenta la componente sstematca del modello. E funzone lneare de parametr β 0,β 1,K,β m. In alcun cas, può essere opportuno non consderare n X la prma colonna d termn untar. Allora nell espressone d η non compare l addendo β 0. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 9 La funzone d collegamento E una funzone g : D R R strettamente monotona e dervable che mette n relazone le component del prevsore lneare con le speranze matematche delle varabl rsposta η = g(µ ). Segue che µ = g 1 (η ) = g 1 (x' β ). Il domno D deve essere tale che g 1 (x' β ) da valor ammssbl per µ. Funzone d collegamento dentca, g(µ) = µ, µ = x' β = =0 x β modello addtvo per le speranze matematche delle varabl rsposta. Funzone d collegamento logartmca, g ( µ ) = log( µ ), µ = e x' β x = e β modello moltplcatvo per le speranze matematche delle varabl rsposta. Funzone d collegamento potenza, g(µ) = µ γ γ 0 logµ γ = 0. m m =0 Funzone canonca d collegamento, g(µ) = b' 1 (µ), η = g(µ ) = θ mette drettamente n collegamento l prevsore lneare con l parametro canonco. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 10

6 STIMA DEI PARAMETRI NEI GLM I parametr delle dstrbuzon delle varabl rsposta sono parametr canonc θ 1,K,θ n, l parametro d dspersone φ. In alcun cas φ è noto, per esempo nella dstrbuzone d Posson φ = 1. Ne GLM, la stma de parametr θ 1,K,θ n s ottene stmando l vettore de parametr d regressone β. Dato β, rmangono determnat parametr canonc: dal vettore de parametr β, data la matrce X, η = x' β da η, data la funzone d collegamento g( ) µ = g 1 (η ) da µ, data la funzone cumulante b( ) θ ' 1 = b ( µ ) qund θ = b' 1 (g 1 (x' β )), = 1,, n. Il parametro vettorale β è usualmente stmato con l metodo della massma verosmglanza (ML). Motvo: propretà de corrspondent stmator, da cu dscendono alcun rsultat sulle dstrbuzon delle statstche che sono utlzzate per l'nferenza. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 11 Per y 1,K,y n valor osservat delle varabl rsposta Y 1,K,Y n, la log-verosmglanza è n ω l(θ,φ; y) = logl(θ,φ; y) = φ y [ θ b(θ )] logc(y,φ,ω ) =1 n = l (θ,φ; y) =1 Indcata con l(β ) la log-verosmglanza vsta come funzone d β, le stme d ML s ottengono rsolvendo le equazon d verosmglanza o equazon score l(β ) n l = (β ) = 0, = 0,K,m, β =1 β che, n funzone d µ = (µ 1,K,µ n ), sono n ω x φ (y 1 µ ) = 0, = 0,, m, g'(µ )V (µ ) =1 µ = g 1 (x' β ). Osservazone mportante: la stma d β non dpende da φ. La soluzone de sstem avvene per va numerca, con metod d Newton-Raphson o scorng d Fsher, ed è fornta da software statstc. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 12

7 Dstrbuzone asntotca Dalle propretà asntotche degl stmator d ML, se n è suffcentemente grande, s può supporre che lo stmatore d massma verosmglanza d β abba dstrbuzone normale 1 β N ( ˆ, β [\ ( ˆ) β ] ), dove \(β) = 2 l E β β h, h, matrce d nformazone d Fsher, o anche 1 β N ( ˆ, β [ H( ˆ) β ] ), dove H(β) = 2 l β β h, h, matrce hessana. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 13 GLM PER LE RISERVE Varabl rsposta n un GLM per le rserve Se dat sono relatv alle osservazon rassunte n un trangolo run-off, è naturale ndcare con Y la varable rsposta relatva all osservazone nella cella (, ) e può essere - l pagamento ncrementale relatvo alla cella: pagament per snstr d orgne effettuat con dffermento F, P ; pagament per snstr d orgne chus con dffermento, P ; pagament ncremental espress * n untà monetare dell anno d rfermento, P, - l pagamento ncrementale relatvo ad una cella, rapportato ad una msura d esposzone, P / ω, - l numero d pagament N, - l numero d snstr denuncat D. Se dat sono ndvdual, nformazon a lvello d sngolo snstro, la varable rsposta Y può essere - l costo ultmo d un snstro, - l ndcatore dell evento l snstro è chuso senza seguto. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 14

8 Varabl esplcatve n un GLM per le rserve Se dat sono relatv alle osservazon rassunte n un trangolo run-off, s possono consderare come varabl esplcatve l anno d orgne, l anno d dffermento, l anno d pagamento. L anno d dffermento è una varable numerca. L anno d orgne e d pagamento sono codfcate con valor numerc 0, 1,..., t; 0,1,, 2t. Se dat sono ndvdual, con rfermento al costo ultmo d un snstro, s possono consderare come varabl esplcatve, le caratterstche tarffare dell asscurato, l tpo d danno (cose, persone), l dffermento nella denunca del snstro, l dffermento nella lqudazone del snstro, per leson a persone, l tpo d ferte rportate, le età de fert, l rcorso o meno alla ospedalzzazone, l luogo dell ncdente, tp d trattament... MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 15 ESEMPIO. Illustramo ora alcune elaborazon numerche realzzate n SAS su dat d un portafoglo d una Compagna talana. I dat comprendono l trangolo run-off de pagament ncremental P relatv agl ann d orgne (qu ann d accadmento) dal 1990 al 2003, per ogn anno d orgne, l numero d snstr denuncat nell anno ω. Consderamo come varabl esplcatve l anno d accadmento e l anno d dffermento, entrambe come varabl d classfcazone. Per la struttura d regressone s ha Parametr d regressone: µ ntercetta, α 0,...,α t per gl ann d orgne, β 0,..., β t per gl ann d dffermento, β = (µ,α 0,α 1,K,α t,β 0,β 1,K,β t )', Matrce d regressone: X, con 1 (t 1) (t 1) colonne e n = (t 1)(t 2) 2 rghe. Il rango d X è p = 1 2t. Per evtare problem d ndetermnatezza de parametr, s deve porre un vncolo, per esempo α 0 = β 0 = 0: s scelgono così l anno d orgne 0 e l anno d dffermento 0 come lvell d rfermento. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 16

9 Prevsor lnear: η = x ' β = µ α β. Funzone d collegamento, sceglamo g = log. Segue E(Y ) = µ = e η = e µ e α e β = Ka b, un modello moltplcatvo con un fattore, a,che dpende solo dall anno d accadmento e un fattore, b, che dpende solo dall anno d dffermento. Modello Posson-logartmo per le rserve varabl rsposta: Y = P, con dstrbuzon d Posson varabl esplcatve: anno d accadmento (annoacc), anno d dffermento (annodff), η = x ' β = µ α β, funzone d collegamento: g = log. Nell output d SAS s hanno: - nformazon sul modello - nformazon sull accostamento a dat - stme de parametr e anals delle stme MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 17 The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set WORK.DATIV Dstrbuton Posson Lnk Functon Log Dependent Varable pagament Observatons Used 105 Class Level Informaton Class Levels V alues annoacc annodff Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value V alue/df Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 18

10 Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate E rror Lmts Square Pr > ChSq Intercept E9 <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc E7 <.0001 annoacc E7 <.0001 annoacc E7 <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc annodff <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff E7 <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff Scale NOTE: The scale parameter was held fxed. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 19 Tendenzalmente, parametr legat agl ann d orgne hanno andamento crescente, parametr legat al dffermento hanno andamento decrescente. In questo modello, s ha E(P ) = exp(µ α )exp(β ). Posto B = B exp(µ α ) costo complessvo atteso de snstr dell anno d orgne, exp(β )/ B alquota d tale costo che vene pagata con dffermento. t =0 e β, s può nterpretare La crescenza degl α comporta crescenza de cost complessv al crescere dell anno d orgne. La decrescenza de β comporta che è decrescente, come è naturale, l alquota del costo totale che è pagata ne dvers ann d dffermento. Il GLM produce le stme del metodo della catena. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 20

11 BONTA DI ADATTAMENTO AI DATI Indcazon d tpo globale. INFERENZA STATISTICA PER I GLM S basano sul confronto tra l modello corrente c e l modello saturo f, che ha un numero d parametr par al numero d osservazon e che fornsce come valor stmat Supponamo dapprma φ noto. Devanza scalata o statstca del log-rapporto d verosmglanza * µ valor osservat y. S confrontano le massme verosmglanze ottenbl con l modello corrente c e con l modello saturo f. Intutvamente, l modello c spega bene dat se la corrspondente ML non è molto dversa da quella ottenble con l modello f. Indcate con ˆ β e β * le stme d ML del parametro d regressone per modell c ed f, che s può scrvere S(c, f ) = 2log(L c ( ˆ β )/ L f (β * )) = 2(log L c ( ˆ β ) log L f (β * )) = 2(l c ( ˆ β ) l f (β * )) n ω y s S( c, f ) = S( ˆ; µ y) = 2 ds. φ V ( s = 1 y ) MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 21 µ Devanza D( c, f ) = φs( c, f ) n µ y = 1 y V ( s) = D( ˆ; µ y ) = φs( ˆ; µ y) = 2 ω s ds La devanza scalata è proporzonale a 1/φ, la devanza non dpende da φ. Statstca ch-quadrato d Pearson E un altra msura dello scostamento tra modello corrente e modello saturo, defnta dalla X 2 n (y = ω ˆ µ ) 2. =1 V( ˆ µ ) Anche d questa statstca s consdera una versone scalata, d valore X 2 φ = n (y ˆ µ ) 2. =1 φ V( ˆ µ ) ω MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 22

12 Nel modello d regressone lneare normale, sotto le potes del modello corrente, le precedent statstche hanno dstrbuzone χ 2 (n p), per ogn n. S possono allora effettuare test formal d verfche d potes. Per GLM dvers dal modello lneare normale non s hanno, n generale, rsultat esatt sulle dstrbuzon delle due statstche. Basandos su propretà asntotche s assume che per n elevato, nelle potes del modello corrente, valga l approssmazone χ 2 (n p). L approssmazone n generale non è buona. Una regola pratca per avere ndcazon d bontà dell adattamento realzzato dal modello: S(c, f ) n p X 2 /φ n p se sono molto maggor d 1 possono ndcare un adattamento non soddsfacente. Se φ non è noto è sosttuto con una sua stma ottenuta con uno stmatore consstente. La stma del parametro φ La stma d φ, quando non è noto, s può ottenere, oltre che con l metodo della massma verosmglanza, anche rcorrendo a stmator consstent: ˆ φ = D(c, f ) n p ˆ φ = X 2 n p. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 23 Esempo. Anals sull adattamento del Modello d Posson Una prma ndcazone sulla bontà dell adattamento a dat realzzato dal modello s ottene guardando alla tabella seguente tratta dall output d SAS Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Consderando per le statstche Scaled Devance e Scaled Pearson X2 la determnazone d Value/DF, s osserva che molto maggore d 1, può essere una ndcazone d un cattvo adattamento del modello. E quanto accade nel nostro caso: ndcazone d sovradspersone. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 24

13 CONTROLLO DEL MODELLO STIMATO Anals nformal medante resdu possono evdenzare scostament sstematc tra valor stmat e osservat e qund essere utlzzate per esplorare l adeguatezza della funzone d varanza, della funzone d collegamento, delle varabl esplcatve present nel prevsore lneare, evdenzare sngole osservazon che s dscostno dalla maggor parte delle rmanent. Resdu ordnar (raw resduals) Resdu d Pearson r P = r = y ˆ µ. y ˆ µ. V( ˆ µ )/ ω Il resduo fornsce ndcazone sull mpatto dell osservazone -esma sul valore della statstca ch-quadrato d Pearson: n 2 r P =1 = X 2 MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 25 Resdu della devanza (devance resduals) r D = sgn(y ˆ µ ) d, dove d è l addendo -esmo nell espressone della devanza e sgn(y ˆ µ ) = 1 se y ˆ µ 0 1 se y ˆ µ < 0. Il resduo r D ha lo stesso segno d y ˆ µ e fornsce ndcazone sull mpatto dell osservazone -esma nell anals della devanza n 2 r D =1 = D(c, f ). S consderano anche verson standardzzate de precedent due tp d resdu. Resdu d Pearson studentzzat (s) r P = y ˆ µ ˆ φ V( ˆ µ )(1 h ) ω Resdu della devanza studentzzat d (s) r D = sgn(y ˆ µ ) ˆ φ (1 h ) dove h elemento dagonale della matrce hat. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 26

14 Da propretà asntotche degl stmator d ML (valde nel caso d dat raggruppat) se l modello è adeguato, se dat sono raggruppat e se nell ambto d cascun gruppo c è un numero suffcentemente elevato d osservazon, resdu dovrebbero mostrare un andamento analogo a quello d osservazon d numer aleator con dstrbuzone approssmatvamente normale d meda nulla e varanza costante, untara per le verson standardzzate. Anals grafche medante resdu Per evdenzare scostament sstematc tra valor osservat e valor stmat: grafc de resdu al varare de valor attes stmat, per es. l grafco delle coppe ( ˆ µ, r (s) ), ; D = 1,..., n per (s) una mglore vsualzzazone ( f( ˆ µ ), r D ), es. f(µ) = 2 µ per Posson, f(µ) = 2log µ per gamma; grafc de resdu al varare de valor stmat del prevsore lneare, per es. l grafco delle coppe ( ˆ η,r (s) ), ; D = 1,..., n grafc de resdu al varare delle possbl determnazon d una varable esplcatva, per ogn varable. Se l modello è adeguato punt del grafco dovrebbero dspors n una banda orzzontale attorno all asse delle ascsse. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 27 Devazon sstematche tpche: una curvatura nella meda può ndcare una scelta non adeguata della funzone d collegamento, che potrebbe non essere stata nserta qualche varable esplcatva rlevante, che potrebbe essere opportuno trasformare varabl esplcatve (es. log o quadratche), varazon sstematche della banda de valor de resdu al varare de valor stmat, può ndcare nadeguatezza della funzone d varanza. I grafc sono poco ndcatv se le varabl rsposta hanno poche determnazon. Per verfcare l adeguatezza della funzone d varanza: (s) grafco delle coppe ( ˆ µ, r D ), = 1,..., n. Se l modello è adeguato l grafco non dovrebbe evdenzare andament tendenzal. La presenza d un trend può essere ndcatva d una scelta non adeguata della funzone d varanza. Un trend crescente può ndcare che la funzone d varanza cresce troppo lentamente rspetto alla meda, vceversa un trend decrescente. Per modell con funzone d varanza d tpo potenza V(µ) = µ p, s può analzzare la bontà dell adattamento, al varare d p. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 28

15 Per verfcare l adeguatezza della funzone d collegamento, grafco delle coppe ( ˆ η, ˆ z * ), = 1,..., n, con ˆ z * = g( ˆ µ ) g ( ˆ µ )(y ˆ µ ). ˆ z * è l valore n y dell approssmante lneare d g, relatvamente a ˆ µ (pseudodat). Se l modello è adeguato, l grafco dovrebbe mostrare un andamento approssmatvamente lneare. Grafc che evdenzno andament che s dscostno n modo sstematco da un andamento lneare, suggerscono d modfcare la scelta della funzone d collegamento. Per modell con funzone collegamento d tpo potenza, g(µ) = µ γ seγ 0 logµ seγ = 0 s può analzzare la bontà dell adattamento, al varare d γ. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 29 Per evdenzare la presenza d osservazon anomale, cosddett outlers, (s) grafc de resdu al varare dell ndce dell osservazone, es. (, r D ), = 1,, n, l grafco delle coppe ( ˆ µ, y ), = 1,, n. L effetto dell nsermento o meno d alcun tp d osservazon, n partcolare d quelle evdenzate come anomale da grafc precedent, può essere tratta stmando l modello con l osservazone e senza l osservazone e verfcando l effetto sulla stma dell ntercetta e degl altr parametr d regressone. Esempo. I resdu studentzzat della devanza e d Pearson per l ModelloPosson sono rportat ne grafc seguent MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 30

16 Resdu della devanza studentzzat Modello Posson Valor attes stmat Resdu d Pearson studentzzat Modello Posson Valor attes stmat MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 31 E evdente che resdu osservat non corrspondono alle determnazon d un campone casuale d varabl d meda 0 e scarto quadratco medo 1. S hanno ndcazon che l modello non è adatto a descrvere la dspersone de dat. Esempo. Modello gamma-logartmo per le rserve varabl rsposta Y = P, con dstrbuzon gamma, varabl esplcatve: anno d accadmento (annoacc), anno d dffermento (annodff), η = x ' β = µ α β, funzone d collegamento: g = log. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 32

17 The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set WORK.DATIV Dstrbuton Gamma Lnk Functon Log Dependent Varable pagament Observatons Used 105 Class Level Informaton Class Levels V alues annoacc annodff Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 33 Analyss Of Paremeter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > Ch Intercept <.0001 annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annodff annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff Scale NOTE: The Gamma scale parameter was estmated by DOF/Pearson's Ch-Square Sull andamento de parametr valgono consderazon analoghe a quelle fatte per l modello Posson-logartmo. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 34

18 Resdu della devanza studentzzat Modello gamma Valor attes stmat Valor assolut resdu della devanza studentzzat Modello gamma 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Valor attes stmat MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 35 S ha una ndcazone che la funzone d varanza cresce troppo rapdamente rspetto alla meda. Grafco degl pseudo-dat per ndcazon sulla funzone d collegamento Pseudo-dat Modello gamma Valor attes stmat MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 36

19 Stme delle rserve Anno Rserva stmata Posson Rserva stmata Gamma n % , , , , , , , , , , , , ,040 Totale ,068 MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 37 VERIFICHE DI IPOTESI E CONFRONTO TRA MODELLI Problema. Consderamo l confronto tra due modell, M 0 e M 1, con dstrbuzon delle varabl rsposta appartenent alla medesma famgla esponenzale lneare, la medesma funzone d collegamento, dversa struttura d regressone: l modello M 1 con p parametr; l modello vncolato M 0 con p s parametr, un sottovettore del vettore de parametr del modello M 1. Rspetto a M 1, M 0 è detto modello rdotto o anndato o sottomodello. Obettvo del confronto: valutare la sgnfcatvtà delle varabl che compaono nel modello M 1 e non nel modello M 0, tenuto conto delle varabl che compaono nel modello M 0. S può effettuare una verfca d potes: H 0 contro H 1 : non H 0. Esemp. (1) Per valutare la sgnfcatvtà d un unca varable numerca, la condzone espressa dall potes nulla rguarda un unco parametro H 0 : β k = 0. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 38

20 (2) Per valutare globalmente la sgnfcatvtà d alcune varabl corrspondent a parametr β 1,K,β s, s formula l potes nulla H 0 : β 1 = 0,K,β s = 0. Rentra n quest ultmo esempo l confronto tra modello corrente e modello saturo, n cu M 0 è l modello corrente e M 1 l modello saturo. Problema. Rdscutere la suddvsone n lvell delle varabl esplcatve d classfcazone. Esempo. (3) Consderamo una varable d classfcazone C k, codfcata medante un vettore d varabl ndcatrc. Per valutare se mantenere separat due lvell h, g, s formula l potes nulla (k ) (k) H 0 : β h = β g. Gl esemp sono cas partcolar d verfche d potes n cu l potes nulla esprme un vncolo lneare per l vettore de parametr d regressone. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 39 Pù n generale, possamo consderare verfche d potes per β del tpo dove L è una matrce s p, con s p, d rango peno s. Negl esemp, ξ è l vettore nullo e la matrce L (1) H 0 : β k = 0 (2) H 0 : β 1 = 0,K, β s = 0 H 0 : Lβ = ξ contro H 1 : Lβ ξ, β k L = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), (k ) (k) (3) H 0 : β h = β g β 1 β 2 β s L = ( k) β h MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 40 (k) β g L = (0,..., 0, 1, 0,..., 0, 1, 0,..., 0),

21 Per test s consderano le seguent statstche. La statstca del log-rapporto d verosmglanza, d valore dove l è la log-verosmglanza del modello M 1, ˆ β è l punto d massmo d l, λ = 2(l( ˆ β ( 0) ) l( ˆ β )), ˆ β (0) l punto d massmo d l, vncolato dalla condzone Lβ = ξ. Intutvamente, se la massma log-verosmglanza non vncolata l( ˆ β ) è sgnfcatvamente maggore d quella vncolata l( ˆ β (0) ), e qund λ è grande, s rfuta l potes H 0, se λ è pccolo, s accetta l potes H 0. Da rsultat asntotc sulle stme d massma verosmglanza, s ha sub H 0 a λ χ 2 (s). con s rango della matrce L. Nel caso de modell anndat, s = df 0 df 1, dfferenza tra numer d grad d lbertà del sottomodello M 0 e del modello M 1. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 41 La statstca d Wald, d valore 1 1 ( L[\ ( ˆ) β L' ) ( L ˆ β ξ ) w = ( L ˆ β ξ )' ], dove \ (βˆ ) è la matrce d nformazone d Fsher calcolata n ˆ β. Il valore w è una msura della dstanza tra L ˆ β, stma non vncolata del vettore Lβ, ξ valore vncolato d Lβ. Intutvamente, se la dstanza tra L ˆ β e ξ è elevata, e qund se w è grande, s rfuta l potes H 0, se w è pccolo, s accetta l potes H 0. Da rsultat asntotc sulle stme d massma verosmglanza, resce con s rango della matrce L. sub H 0 a w χ 2 (s). MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 42

22 Esempo (1) Nel test con H 0 : β k = 0, L[ \ ( ˆ) β ] 1 L' = v kk è l elemento d posto (k,k) dell nversa della matrce d nformazone d Fsher calcolata n ˆ β. v kk è una stma della varanza asntotca d β k. Per w s ha ( ˆ ) 2 w = β k v kk. Da rsultat asntotc sulle stme d massma verosmglanza, resce sub H 0 a w χ 2 (1). MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 43 Esempo. Rprendamo l output per l modello con dstrbuzon gamma. Analyss Of Paremeter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > Ch Intercept <.0001 annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc annodff annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff Scale NOTE: The Gamma scale parameter was estmated by DOF/Pearson's Ch-Square MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 44

23 Molt parametr non sono sgnfcatvamente dvers da zero. E effettuata la verfca d potes H 0 : β = 0 contro H 1 : β 0, con la statstca d Wald, per verfcare la sgnfcatvtà del parametro β un valore basso della statstca (Ch-Square) rspetto ad un valore crtco della dstrbuzone χ 2 (1), un valore elevato del p-value (Pr>ChSq), porterebbero a gudcare statstcamente non sgnfcatvo mantenere β 0. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 45 ULTERIORI ANALISI PER IL CONTROLLO DI UN MODELLO Accennamo ad altr element che possono essere consderat per effettuare anals su - sngol parametr, - prevsore lneare, - l modello nel suo complesso. Quest element s possono ottenere come output de software statstc. Anals su sngol parametr Per ogn parametro stmato ˆ β k, ndcazon sulla sua sgnfcatvtà s possono rcavare da: Standard error: ˆ σ k = v kk dove v kk = vˆ a r( β k ) è l elemento d posto (k,k) d 1 \ ( ˆ) β. Un valore elevato d ˆ σ k può ndcare non affdabltà della stma ˆ β k. Intervallo d confdenza per β k con lvello 1 α: dove z 1 α/ 2 è l quantle d ordne 1 α / 2 della N(0,1). ˆ β k ± z 1 α/ 2 ˆ σ k Un ntervallo ampo può ndcare non attendbltà della stma. Un ntervallo che contenga lo zero può ndcare non sgnfcatvtà della varable corrspondente a β k. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 46

24 Anals sul prevsore lneare Per effettuare anals sul valore stmato del prevsore lneare ˆ η = x' ˆ β relatvo all osservazone -esma: Standard error: 1 ˆ σ = x' \ ( ˆ) β x. Stma dello scarto quadratco medo dello stmatore d η. η Intervallo d confdenza per η con lvello 1 α: ˆ η ± z 1 α/ 2 ˆ σ η, dove z 1 α/ 2 è l quantle d ordne 1 α / 2 della N(0,1). Intervallo d confdenza per µ : g 1 ( ˆ η ± z 1 α/ 2 ˆ σ η ), per la monotona della funzone d collegamento, se gl estrem dell ntervallo, ˆ η ± z 1 α/ 2 ˆ σ η, appartengono al domno d g 1. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 47 MODELLI CON QUASI-VEROSIMIGLIANZA La classe de GLM e le relatve tecnche per l nferenza statstca sono state estese n dvers mod per aumentare ulterormente la flessbltà e l applcabltà de modell. I modell con quas-verosmglanza (QL), sono modell semparametrc, ne qual s specfcano solamente le strutture de prm due moment delle dstrbuzon delle varabl rsposta e non anche una partcolare forma d dstrbuzone. In questo caso s ottengono stme del valore atteso e della varanza delle varabl rsposta, ma s perde, n generale, la possbltà d ottenere una dstrbuzone stmata. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 48

25 Ipotes d un modello QL o GLM semparametrco o quas-glm Ipotes probablstche. Le varabl rsposta Y 1,...,Y n sono stocastcamente ndpendent e dove var(y ) = φ ω V(µ ), = 1,..., n, E(Y ) = µ, V è una funzone della speranza matematca, detta funzone d varanza, φ > 0 è un parametro d dspersone, ω > 0 è un peso assegnato. Ipotes struttural. Il legame tra la speranza matematca µ della varable rsposta Y ed l vettore x dove delle determnazon delle varabl esplcatve, è β vettore d parametr, g funzone d collegamento. µ = g 1 (x' β ), = 1,..., n, La struttura de prm due moment è analoga a quella de GLM, ma c s svncola dall potes che le dstrbuzon sano specfcate ed appartengano ad una famgla esponenzale lneare. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 49 Stma del parametro β S rsolve l sstema d Wedderburn o d quas-verosmglanza, n ω x φ (y 1 µ ) = 0, = 0,..., m, g'(µ )V (µ ) =1 formalmente uguale al sstema delle equazon d verosmglanza n un GLM. E l sstema delle condzon del prmo ordne per la funzone Q(µ,φ; y) = n ω =1 µ y s φv (s) ds, con µ = g 1 (x' β ), y detta quas-(log)-verosmglanza. E un sstema d equazon d verosmglanza solo se esste una dstrbuzone della famgla esponenzale lneare con funzone d varanza V, e s decde d sceglere tal dstrbuzon per le varabl rsposta. Le stme che s ottengono rsolvendo l sstema sono dette stme d massma quas-verosmglanza e s prova che soddsfano propretà, come la consstenza e la normaltà asntotca, analoghe a quelle delle stme d massma verosmglanza. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 50

26 Adattamento a dat Nell approcco della quas-verosmglanza, ndcazon sulla bontà dell adattamento a dat s rcavano dalla statstca ch-quadrato d Pearson e dalla quas-devanza la cu espressone è la seguente n µ y d( ˆ µ, y) = 2 ω s V(s) ds. =1 Per l suo calcolo basta conoscere la speranza matematca e la funzone d varanza. Stma del parametro φ S usa lo stmatore d Pearson ˆ φ = X 2 n p = 1 n p y n (y ω ˆ µ ) 2, =1 V ( ˆ µ ) oppure lo stmatore che s ottene sosttuendo alla devanza la quas-devanza ˆ φ = d( ˆ µ, y) n p. Verfche d potes S può usare la statstca d Wald 1 1 ( L[\ ( ˆ) β L' ) ( L ˆ β ξ ) w = ( L ˆ β ξ )' ]. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 51 Esempo. Modello d Posson con sovradspersone-logartmo E un modello GLM d tpo semparametrco. varabl rsposta Y = P, Posson con sovradspersone, S rchede l ndpendenza delle varabl rsposta e s pongono le condzon E(Y ) = µ = exp(µ α β ), var(y ) = φv (µ ) = φµ, φ > 1. varabl esplcatve: anno d accadmento (annoacc), anno d dffermento (annodff), η = x ' β = µ α β, funzone d collegamento: g = log. Il modello fornsce le stesse stme de parametr d regressone del modello Posson (e qund le stesse stme delle rserve del metodo della catena). Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood L ndcatore sntetco d accettabltà del modello, Value/DF, fornsce ora valor vcno a 1. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 52

27 Le stme de parametr sono quelle del Modello d Posson, cambano le altre colonne. Analyss Of Parameter Estmates Standard W ald 95% Confdence C h- Parameter D F Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 annoacc annoacc annoacc annoacc annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc <.0001 annoacc annodff annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff <.0001 annodff Scale NOTE: The scale parameter was estmated by the square root of Pearson's Ch-Square/DOF. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 53 Le stme de parametr d regressone sono ora meno precse. Quas tutt parametr rsultano sgnfcatv al 5%. I resdu standardzzat d Pearson non segnalano problem nell adattamento. Resdu della devanza studentzzat Modello Posson con sovradspersone Valor attes stmat MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 54

28 Dsponendo de dat relatv ad una grandezza che fornsca una msura d esposzone, s possono consderare modell ne qual le varabl rsposta sono grandezze rapportate a tale msura. Modello d Posson con sovradspersone-logartmo per pagament rapportat ad una msura d esposzone varabl rsposta: rapport Y = P / w, w numero d snstr dell anno d orgne, denuncat nell anno, modello d Posson con sovra-dspersone, con pes numer d snstr denuncat ω = w, varabl esplcatve: anno d accadmento (annoacc), anno d dffermento (annodff), η = x ' β = µ α β, funzone d collegamento: g = log. Resdu devanza studentzzat Sere MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 55 E naturale descrvere pagament ncremental P come somma de pagament per snstr trattat con dffermento, dove N è l numero d pagament della cella (,), (h) Z è l mporto del pagamento h-esmo. P = N ( h) Z h=1, Se s assegna a P una dstrbuzone Posson-composta con dstrbuzone de pagament d tpo gamma, allora numer aleator Y = P / ω hanno dstrbuzone appartenente ad una famgla esponenzale lneare con pes ω e funzone d varanza d tpo potenza p V ( µ ) = µ, 1 < p < 2, dove p è legato al parametro d forma della dstrbuzone gamma (Jorgensen, de Suoza (1994)). MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 56

29 Modello d Posson-composto-logartmo per pagament rapportat ad una msura d esposzone varabl rsposta: rapport Y = P / w, w numero d snstr dell anno d orgne, denuncat nell anno, modello d Posson composta, con pes numer d snstr denuncat ω = w : famgla esponenzale lneare con funzone d varanza d tpo potenza, ponamo p =1, varabl esplcatve: anno d accadmento (annoacc), anno d dffermento (annodff), η = x ' β = µ α β, funzone d collegamento: g = log. Resdu devanza studentzzat Sere MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 57 PROCEDIMENTI DI SELEZIONE DELLE VARIABILI I modell d regressone sono spesso utlzzat n stuazon n cu c sono numerose varabl esplcatve potenzalmente nfluent sulla valutazone probablstca delle varabl rsposta. Un modello con molte varabl ha molt parametr. Ma un mportate propretà d ogn modello statstco è quella della parsmona nel numero de parametr. I procedment d selezone delle varabl hanno l obettvo d determnare un sottonseme d varabl esplcatve sgnfcatve, n modo che l modello stmato realzz un buon adattamento a valor osservat, ma che dpenda da un numero relatvamente basso d parametr. I procedment automatc d selezone hanno un duplce obettvo: rdurre l numero d modell da analzzare, gudare nella selezone. I pù dffus sono procedment teratv d tpo forward, backward e stepwse. S basano sul confronto tra modell, uno anndato nell'altro. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 58

30 Procedmento forward S parte dal modello nullo che ha come unco parametro l ntercetta β 0. S nsersce nel modello per prma la varable maggormente sgnfcatva: quella tra le sgnfcatve (con p-value < α) alla quale corrsponde l p-value pù pccolo. Al secondo passo, s confronta l modello così ottenuto con tutt modell che contengono, oltre alla varable selezonata al passo precedente, una nuova varable e s procede come sopra. Il procedmento termna quando non c sono pù varabl sgnfcatve, coè quando a partre da un modello selezonato l ntroduzone d una ulterore varable, qualunque essa sa, comporta un p-value maggore o uguale del fssato lvello α, oppure quando s è raggunto un numero prefssato d varabl. Spesso è usata la statstca λ, ne modell con quas-verosmglanza la statstca d Wald w. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 59 Procedmento backward S parte dal modello completo con tutte le varabl nserte. S togle dal modello per prma la varable meno sgnfcatva: quella tra le non sgnfcatve (con p- value α) alla quale corrsponde l p-value pù elevato. Al secondo passo, s confronta l modello così ottenuto con tutt modell che s ottengono elmnando un ulterore varable esplcatva, procedendo come sopra. Il procedmento termna quando, a partre da un modello, l elmnazone d una varable, qualunque essa sa, comporta un p-value mnore d α. Procedmento stepwse Combna l procedmento forward con l procedmento backward. Con rfermento al generco passo, s consdera un passo forward che conduce ad ntrodurre nel modello una nuova varable. A questo punto, s attua un passo backward per verfcare se la varable appena nserta renda superflua qualcuna delle varabl precedentemente nserte nel modello. Il procedmento termna quando s trova un modello uguale ad uno gà ottenuto. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 60

31 STRUTTURE DI REGRESSIONE Con dat usualmente dsponbl, le varabl esplcatve anno d orgne, anno d dffermento o svluppo, anno d pagamento consentono d tenere conto d dvers aspett del problema. Se sono trattate come varabl d classfcazone, parametr d regressone sono: l ntercetta µ, α 0,...,α t per gl ann d orgne, β 0,..., β t per gl ann d svluppo, γ 0,...,γ t per gl ann d pagamento: β = (µ,α 0,α 1,K,α t,β 0,β 1,K,β t,γ 0,γ 1,K,γ t )'. La matrce del modello X ha n = (t 1)(t 2)/ 2 rghe, par al numero d osservazon (d celle), 1 3(t 1) colonne d cu solo p = 3t sono lnearmente ndpendent. Il rango d X, par a p, è l numero d parametr da stmare. Per evtare problem d ndetermnatezza, s può fssare, per esempo par a zero, l valore de parametr corrspondent alle colonne d X combnazon lnear delle altre e calcolare le stme de rmanent: p numero de parametr del modello n p numero de grad d lbertà. In partcolare, s può porre α 0 = 0, β 0 = 0, γ 0 = 0 ed ancora, per esempo, γ t = 0. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 61 Se la funzone d collegamento è l logartmo, s ha un modello moltplcatvo per la speranza matematca delle varabl rsposta, E(Y ) = µ = exp(µ α β γ ) = Ka b c, dove K = exp(µ), a = exp(α ), b = exp(β ) e c k = exp(γ k ). Dalle α 0 = β 0 = γ 0 = 0, segue che K è l valore atteso della varable rsposta corrspondente al prmo anno d orgne e al dffermento nullo. Poché la varable anno d pagamento è d classfcazone, s hanno le stme de parametr γ k solo per k = 1,K,t. A fn della prevsone occorre dsporre delle stme de parametr per gl ann futur. In tal caso, s consderano stme ˆ γ k, k = t 1,K, 2t, ottenute per estrapolazone da valor stmat, ˆ γ 1,K, ˆ γ t. Il problema non s pone se la varable è trattata come numerca. L uso delle tre varabl esplcatve come varabl d classfcazone può portare a problem d sovraparametrzzazone. Per esempo: per t = 13, n = 105 osservazon e p = 39 parametr da stmare. La scelta della struttura d regressone è un aspetto delcato della scelta d un modello. Può essere suggerta da anals prelmnar svluppate su dat ed anche da anals nferenzal d confronto tra modell, basate su ndcator della bontà dell accostamento a dat e su anals de resdu. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 62

32 Altre strutture d regressone Consderamo alcune strutture d regressone e l effetto sulla speranza matematca delle varabl rsposta, nell potes che la funzone d collegamento sa l logartmo. Due varabl d classfcazone Il numero de parametr del modello è p = 1 2t. Anno d orgne e anno d dffermento E(Y ) = exp(µ α β ) = Ka b. Anno d dffermento e anno d pagamento E(Y ) = exp(µ β γ ) = Kb c. Con la prma struttura d regressone s rtrova l potes alla base del metodo della catena. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 63 Una varable d classfcazone e una numerca Il modello ha p = 2 t parametr. Anno d orgne d classfcazone e anno d dffermento numerca E(Y ) = exp(µ α β ) = Ka b, dove b = exp(β ). Il modello traduce l potes che, n termn attes, la quota dell mporto totale d rsarcment per snstr dell anno d orgne, pagata d anno n anno, decresca d una fssata percentuale b. Anno d orgne d classfcazone e anno d pagamento numerca E(Y ) = exp(µ α γ ( )) = Ka c, dove c = exp(γ ). Interpretando l effetto dovuto all anno d pagamento come effetto nflazonstco, l modello traduce l potes che l tasso annuo d nflazone de cost de snstr sa costante. I due modell fornscono la stessa stma del valore atteso delle varabl rsposta. Dal secondo s ha nfatt E(Y ) = Ka c = K(a c )c = K A B, dove A = a c e B = c. La struttura a ultmo membro concde con quella del prmo modello. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 64

33 Partcolar andament dell nflazone possono suggerre scelte dverse rspetto alla E(Y ) = exp(µ α γ ( )) = Ka c. Per esempo, se s osservano andament dvers negl ann d pagamento da 0 a T e da T n po, s può ntrodurre nel prevsore lneare una componente del tpo (Taylor (2000)) γ 1 ( )γ 2 max(0, T). Cò equvale a consderare come varabl esplcatve numerche l anno d pagamento e la sua trasformata max(0, T). Anno d orgne numerca e anno d dffermento d classfcazone E(Y ) = exp(µ α β ) = Ka b, dove a = exp(α). Il modello traduce l potes che, n termn attes, rsarcment total per anno d orgne s ncrementno o s rducano d una fssata percentuale n ogn anno, per esempo per effetto d espanson o contrazon d portafoglo. Anno d dffermento d classfcazone e anno d pagamento numerca E(Y ) = µ = exp(µ β γ( )) = Kb c. Gl ultm due modell fornscono la stessa stma per la speranza matematca delle varabl rsposta. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 65 Due varabl numerche I parametr del modello sono tre. Anno d orgne e anno d dffermento E(Y ) = exp(µ α β ) = Ka b. Anno d dffermento e anno d pagamento E(Y ) = exp(µ β γ( )) = Kb c. I due modell fornscono le stesse stme delle speranze matematche µ. MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE DEI GLM 66