1) Consideriamo una sfera di raggio R, con densita` di carica uniforme positiva. Alla distanza Re

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1 1) Consideiamo una sfea di aggio, con densita` di caica unifome positiva Alla distanza e k dal cento si tova un elettone, inizialmente femo Calcolae: a) la velocita` dell elettone, lasciato libeo, nel cento della sfea; b) l acceleazione massima dell elettone; c) la divegenza del campo elettostatico della sfea nell oigine e k e a) Applicando la legge di Gauss all inteno e all esteno della sfea otteniamo l andamento del campo elettico geneato dalla sfea: E ( ) 1 Pe la consevazione dell enegia (i campi sono consevativi): 1 e V ( k) V () ev ( e ) mv ev () v m

2 Pe abbiamo V( ) 1 1, pe cui V ( k) k k 1 Pe calcoliamo V ( ) V ( ) E( ) d d che, pe = vale: V (), dalle quali otteniamo: Finalmente: 1 1 V ( k) V () k k e V ( k ) V () e 1 1 e 1 1 v m m k m k b) Il campo vaia lineamente da zeo alla supeficie della sfea e poi decesce coulombianamente all esteno Petanto l acceleazione e` massima sulla supeficie della sfea, e vale: a max ee( ) e a( ) m m c) E ovunque ento la sfea

3 ) Una sbaetta omogenea ha momento di dipolo p e viene posta in un campo elettostatico unifome E e fatta uotae a velocita` angolae costante ad s -1 Calcolae la potenza P(t) necessaia pe mantenee il moto otatoio se l asse di otazione e` paallelo oppue otogonale al campo elettico Nel caso in cui l asse di otazione sia paallelo al campo elettico, il momento della foza e` nullo (la coppia di foze e` pependicolae al piano del moto), pe cui non viene compiuto lavoo Nel caso in cui l asse di otazione sia paallelo al campo elettico, la potenza delle foze elettiche (opposta a quella che cechiamo) e` data da: P( t) M ( p E) Dato che siamo in un campo consevativo, possiamo anche die che la potenza e`: dw du d d P( t) ( p E) ( pe cos ) pe sin dt dt dt dt Dato che costante abbiamo () t t e la potenza cecata e`: P( t) pet sint

4 ) Una caica q> con massa m cade veticalmente nel vuoto sotto l azione della foza di gavita` All istante di tempo t= enta con velocita` v in una zona in cui e` pesente un campo elettostatico unifome dietto veso l alto La zona in cui e` pesente il campo si estende pe una egione di altezza h Calcolae il valoe minimo di tale campo elettostatico affinche` la caica non esca dalla egione in cui e` pesente il campo Il valoe minimo del campo elettostatico e` quello pe il quale la velocita` della caica all uscita della egione h e` nulla Pendendo l asse z dietto veso il basso, sulla caica agisce la foza F mg qe, a cui coisponde l acceleazione costante: q a g E m Il moto e` unifomemente acceleato e la velocita` e la coodinata z in funzione del tempo sono ispettivamente date da: v() t v at 1 z() t vt at La condizione che cechiamo e` che al tempo t h la velocita` sia nulla e la distanza v pecosa z( th) h Dalla condizione v( th) v ath toviamo th, che a 1 v 1 v v sostituita nella seconda ci da : h vth ath v( ) a( ) Da a a a quest ultima elazione toviamo: v m v a E g h q h Molto piu` velocemente il poblema puo` essee isolto applicando il teoema dell enegia cinetica (o delle foze vive), vale a die consideando che la vaiazione di enegia cinetica ta lo stato finale e lo stato iniziale deve essee uguale al lavoo W=Fh compiuto dalla foza che agisce sulla nosta massa Petanto: 1 mv m v W Fh ( mg qe) h Tf- Ti=- mv ( mg qe) h E g q h

5 Infine, in modo equivalente al pecedente, possiamo applicae la consevazione dell enegia totale Indicando con T l enegia cinetica e con U l enegia potenziale della massa m, abbiamo: TF UF TI UI, dove F e I indicano ispettivamente lo stato finale e iniziale Poiche` T F = abbiamo: mv m v TI UF U I mgh qeh E g q h (icodae che F=-dV/dz, pe cui V=-Fz+C=-(mgz-qEz)+C)

6 ) Una sfea di aggio e` unifomemente caica con caica totale Q< Un elettone pate con velocita` iniziale nulla dalla distanza d dal cento C della sfea e si muove adialmente veso l esteno sotto l azione del campo elettico inteno alla sfea Quanto vale la velocita` dell elettone in un punto P a distanza d P dalla supeficie della sfea? Applichiamo la consevazione dell enegia e sciviamo: 1 ev ( d) ev ( dp ) mv da cui: e v V ( d) V ( d P ) m (1) Applicando la legge di Gauss all inteno della sfea toviamo il campo elettico: Petanto: ( ) q( ) 1 q q E d d P P q q ( d P ) d V ( d) V ( d P ) E( ) d d d d che, sostituita nella (1) isolve il poblema

7 5) Una sfea di aggio e` eletticamente caica ed ha un campo elettostatico inteno adiale che segue la legge E( ) k (k>) Calcolae: a) la caica totale Q nella sfea e il suo segno; b) la densita` di caica; c) il potenziale nel cento V(); d) la velocita` di un elettone nel cento della sfea se inizialmente ea in quiete sulla supeficie della sfea a) Dalla supeficie della sfea veso l esteno, il campo elettico e` quello di una caica puntifome Q concentata nell oigine, dove Q e` la caica totale cecata Possiamo quindi scivee: E Q ( ) k, da cui icaviamo: Q k (poiche` k ) b) Il modo piu` veloce pe deteminae la densita` di caica e` quello di utilizzae la legge di Maxwell E, pe cui E La simmetia sfeica induce ad usae le coodiate polai In coodinate polai la divegenza si scive: 1 1 E E E E ( ) (sin ) Nel nosto caso il campo ha solo la componente adiale (e` un campo centale), ossia E E La divegenza e` petanto: 1 1 k k E ( E ) ( ) ( ) k k Altenativamente (se non ci icodassimo l espessione della divegenza in coodinate polai):

8 E ( k e) ( k ) ( k ) k k e k Quindi la densita` di caica e` data da: ( ) E k Possiamo veificae il isultato che abbiamo ottenuto al punto a) pe la caica totale integando la densita` di caica tovata su tutto il volume della sfea: Q dv SFEA In coodinate polai l elemento di volume e` dato da: dv sin dd d Poiche` Dipende solo da e non dagli angoli polai, si puo` integae su e L elemento sind d coisponde all elemento di angolo solido; integato in ta e e in ta e fonisce (cioe` l angolo solido totale) L elemento di volume sul quale effettuae l integazione e` petanto: dv d Coisponde al volume del settoe sfeico di spessoe d ta e +d In definitiva:, Q dv ( ) d 16 k d 16 k k SFEA che e` lo stesso isultato ottenuto in a) Ossevazione E` impotante ossevae che Q dv V SFEA SFEA! L uguaglianza vale solo nel caso in cui la caica sia distibuita unifomemente nella sfea, ossia costante In questo caso (densita` volumetica costante): Q dv dv VSFEA SFEA SFEA Ecco un alto modo equivalente pe ottenee la densita` di caica All inteno della sfea, applicando Gauss ad una sfea concentica di aggio < abbiamo: Q ( ) E( ) k Q( ) k (1) Dato che dq( ) ( ) dv ( ) d, e che dalla (1) abbiamo uguagliando le due espessioni toviamo: ( ) k dq( ) 16,

9 c) () ( ) int( ) ext( ) con Q k k ext ( ), pe cui: V E d E d E d E E ( ) k int e k V () k k d) Dalla consevazione dell enegia, indicando con m la massa dell elettone: mv e V ( ) V () Infatti l enegia dell elettone nello stato iniziale e` tutta potenziale e vale ev(), mente nello stato finale e` data dalla somma dell enegia cinetica acquisita piu` l enegia potenziale nell oigine ev() La diffeenza di potenziale V()-V() si calcola attaveso l integale di linea del campo elettostatico: k V ( ) V () E d E( ) d k d, da cui segue che: e v V ( ) V () ek e k m m m