Esercitazioni di Geometria II

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1 Esercitazioni di Geometria II Letizia Pernigotti - pernigotti@science.unitn.it 5 aprile 0 Esercizio. [dagli esercizi online della prof.ssa Carrara] Sia E R il piano euclideo numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y). Definiamo la conica C di E R come Si risponda ai seguenti quesiti C : 5x + 5y 6xy + 6 x + 38 = 0 () Si calcoli la forma canonica D di C, determinando un isometria diretta di E diretta S : E E tale che S(C) = D. () Si calcolino gli eventuali assi di simmetria di C. (3) Si calcolino gli eventuali punti impropri. Esercizio. () Consideriamo le matrici associate alla conica C date da A = 8 ( ) , A 0 = Calcolando i determinanti si vede che det A = 3 0, det A 0 = 6 > 0. La conica C è dunque un ellisse non degenere. Essendo una conica a centro, possiamo calcolarne il centro attraverso le equazioni: 5x 3y + 8 = 0 3x + 5y = 0 Il centro ha dunque coordinate ( C = 5 ) 3,. x = 5 y = 3 Per ridurre a forma canonica dobbiamo eseguire due passaggi: rotazione e traslazione. ROTAZIONE Gli autovalori ed autovettori della matrice A sono: ( ( λ = 8 v =, λ ) = v =. )

2 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II TRASLAZIONE Gli autovettori servono per calcolare la matrice di cambiamento di base M. Per ottenerla devo normalizzare gli autovettori ed imporre che det M > 0. Considero quindi ( ) ( ) v =, v =. Per avere det M > 0 definisco M come M = v v ( = La matrice M mi dà il cambiamento di base dalla base B = (v, v ) alla base canonica. La rotazione indotta da M è ( ) ( ( ) ( ) x x x x + R : = M = y y) y y y x quindi B E x = (x + y ) y = (y x ) Operiamo questa sostituzione nell equazione di C: 5 (x + y ) + 5 (y x ) 6 (x + y )(y x )+ +6(x + y ) + 38 = 8x + y + 6x + 6y + 38 Chiamiamo C la conica C : 8x + y + 6x + 6y + 38 = 0 Osserviamo che, per costruzione, se R(w) C allora w C. Ciò significa che C = R (C). Posso usare due modi MODO : completamento del quadrato ). 8x + y +6x + 6y + 38 = 8(x + ) 8+y + 6y + 38 = Sia C la conica = 8(x + ) + (y + 4) la quale corrisponde a C : 8x + y = 0 C : 4x + y = Si vede dall ultima espressione che C = D è esattamente la forma canonica cercata. Definiamo la traslazione T : R R come ( ) ( ) ( ) x x x + T : = y + 4 y In questo caso si ha y D = T (C ). perché, per costruzione, se w C allora T (w) D.

3 5 APRILE 0 3 MODO : utilizzo del centro Sappiamo che il centro ha coordinate x = 5 C E : y = 3 Le nuove coordinate del centro saranno date da ( ) ( ) x = M x = ( ) x y y x + y e dunque da y C B : x = (x y) = y = (x + y) = 4 Di conseguenza, le coordinate (x, y ) rispetto alle quali il centro si trova nell origine sono date da x = x + y = y + 4 e ritroviamo quindi le trasformazione del caso precedente. Mettendo insieme i pezzi, si vede come D = T R (C) = (T R )(C) Osserviamo che R : R R è data da ( ) ( ) ( ) R x x : = M t x = ( ) x y y y x + y E y B In conclusione, la trasformazione cercata S = (T R ) è data da ( ( ) ( ) x x x S : = y) y + y x +. y + 4. () Poiché gli assi di simmetria di D sono dati dalle rette x = 0 e y = 0, gli assi di simmetria di C sono dati dalle equazioni x y + = 0, x + y + 4 = 0 le quali, semplificando leggermente, diventano x y + = 0, x + y + 4 = 0. (3) Consideriamo la chiusura proiettiva di C, data da C : 5x + 5x 6x x + 6 x x x 0 = 0. I punti all infinito in P R sono dati dalle soluzioni del sistema 5x + 5x 6x x + 6 x x x 0 = 0 x 0 = 0 e cioè dalle soluzioni dell equazione 5x + 5x 6x x = 0

4 4 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II Essendo C un ellisse non dobbiamo trovare soluzioni. Ricordando le sostituzioni di prima e ponendo w = (x y), w = (x + y) si ottiene 5x + 5x 6x x = 8w + w il quale non può mai essere uguale a zero. La conica C non ha dunque punti all infinito.

5 5 APRILE 0 5 Esercizio. Sia A 3 R lo spazio affine numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y, z). Definiamo la quadrica Q di A 3 R come Si risponda ai seguenti quesiti Q : 3x 4y + 3z + 0xz + 8y = 0 () Si calcoli la forma canonica D di Q, () Si determini un affinità S : A 3 A 3 tale che S(Q) = D. Esercizio. () Consideriamo le matrici associate alla conica Q date da A = , A 0 = Calcolando i determinanti si vede che det A = 5 0, det A 0 = 64. Il fatto che det A 0 ci dice che la quadrica è non degenere. In particolare, poiché det A 0 0, la quadrica sarà un iperboloide oppure un ellissoide, con forma canonica del tipo x ± y ± z ± = 0. Per determinare esattamente la forma canonica guardiamo gli autovalori di A 0, i quali sono λ = 8, λ = 4, λ 3 =. Poiché det A < 0, la forma canonica D sarà data da: D : x y z = 0, la quale corrisponde a un iperboloide ellittico (a due falde). () Per determinare la trasformazione S si può procedere in due modi: utilizzando direttamente il completamento dei quadrati (siamo nel caso affine, questa sarebbe la strada più naturale) oppure calcolando autovalori e autovettori di A 0 (come nell Esercizio ). MODO : completamento dei quadrati Consideriamo l equazione di Q: 3x 4y + 3z + 0xz + 8y = ( ) 3x 5 = + 3 z 5 3 z + 3z 4y + 8y = ( 3x ( 5 4 = + 3 z) 3 z) (y ) 8 = [ = 8 8 ( ) 3x z 8 [ ( 3 = 8 x z ) ( ) 4 3 z ] 8 (y ) ( 3 z) ( y ) ]

6 6 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II Definiamo la trasformazione S : A 3 A 3 come x x 6 4 S : y y x z = y z z 6 Osserviamo, che, per costruzione, si ha ( ) 3x 4y + 3z + 0xz + 8y = 8 S(x) S(y) S(z) e dunque w Q S(w) D. Ciò significa che S(Q) = D e che S : A 3 A 3 è la trasformazione cercata. MODO : autovalori e autovettori 3 z Gli autovalori ed autovettori (già normalizzati) di A 0 sono λ = 8 v = 0, 0 λ = = 4 v =, 0 λ 3 = = v 3 = 0. Definisco M come 0 M = v v v 3 = Si ha det M = > 0 e dunque B = (v, v, v 3 ) è la base cercata. La rotazione indotta da M è R : x y x y = M x y = x y z z z z x + z quindi B E x = (x z ) R : y = y z = (x + z ) L equazione di R (Q) è data dunque da: 3 (x z ) 4y + 3 (x + z ) + 5(x z ) + 8y = 8x 4y z + 8y che, completando i quadrati, diventa: ovvero R (Q) : ( x ) (y ) ( z ) 8 = 0 R (Q) : ( x y ) ( ) z = 0

7 5 APRILE 0 7 Definendo T : A 3 A 3 come T : x y x = z si ha In altre parole, y z x y z R (Q) : T (x ) T (y ) T (z ) = 0 w R (Q) T (w) D cioè T (R (Q)) = D. La trasformazione cercata è dunque S = T R. Calcoliamo R. Poiché si ha R : x y z E M = x y z B x x + z = M y = y z x + z In conclusione, la trasformazione cercata è: S : x y x + z y z 4 x + 4 z

8 8 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II Esercizio 3. Sia A R il piano affine dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y). Definiamo la conica C(k) di A R come Si risponda ai seguenti quesiti C(k) : x + k y + (4 k)xy + 6x + k = 0 () Determinare per quali valori del parametro reale k R la conica è non degenere. () Determinare la forma canonica D di C(k) al variare del parametro k. Esercizio 3. () Consideriamo le matrici associate alla conica C(k) date da k 3 0 ( ) A(k) = 3 k k, A 0 (k) = 0 k k k k Calcolando i determinanti si vede che det A(k) = k(5k + 4), det A 0 (k) = 4(k ). Di conseguenza, la conica C è non degenere se e solo se k 0, 4 5. () Studiamo il segno del determinante di A(k) e di A 0 (k): det A(k) > 0 k ( 45 ), 0 det A 0 (k) > 0 k (, ). Cerco la matrice completa corrispondente alla forma canonica. Guardando il segno degli autovalori trovo: per k < 4 5, per 4 5 < k < 0, per 0 < k <, per k >. 0 0 Per k = si ha det A 0 () = 0 e det A() = 9 0 e dunque la conica C rappresenta una parabola. Di conseguenza la forma canonica di C è data, nel caso non degenere, da: (Iperbole) x y =, x y = (sono equivalenti, la forma canonica è la seconda), per k < < k < 0 0 < k <, (Parabola) y x = 0 per k =, (Ellisse) x + y = per k >. Studiamo ora i casi degeneri. Per k = 0, 4 5 si ha una conica degenere. Per capire quale, si osservi che il rango di A 0 (k) vale per ambedue i valori del parametro e dunque la forma canonica è del tipo x ± y = 0. Dal momento che det A 0 (k) < 0 per ambedue i valori del parametro, per il ragionamento fatto prima la forma canonica deve essere x y = 0.

9 5 APRILE 0 9 Alternativamente si poteva sostituire nell equazione di C i due valori: C(0) : x + 4xy + 6x = 0 la quale, dopo un po di passaggi, diventa x + 4xy + 6x = (x + y) 4y + 6x = x 4y + 6x y = = (x + 3) (y + 3) = x y con x = x + y + 3 e y = y + 3. La conica C(0) è dunque un iperbole degenere con forma canonica D(0) : x y = 0. Analogamente, la forma canonica nel caso k = 4 5 corrisponde sempre all iperbole degenere: ( D 4 ) : x y = 0. 5 Per curiosità, determiniamo le due rette che formano la conica C(0). Si ha (x + y + 3) (y + 3) = (x + y y + 3)(x + y + 3 y 3) = = (x + 3y + 6)(x + y) La conica C(0) è dunque formata dalle rette x + 3y + 6 = 0, x + y = 0.