Alcuni complementi di teoria dell integrazione.

Transcript

1 Alcuni complementi di teoria dell integrazione. In ciò che segue si suppone di avere uno spazio di misura (,, µ) 1 Sia f una funzione misurabile su un insieme di misura positiva tale che f 0. Se fdµ = 0 allora f = 0 q.o.. Prima di dimostrare questo risultato, osserviamo la seguente disuguaglianza, nota come disuguaglianza di Chebishev: sia f una funzione sommabile in e, dato un numero reale positivo c, sia A c = {x f(x) > c}. Allora: µa c 1 f dµ. c Tale disuguaglianza segue immediatamente dalle seguenti: c µa c f dµ f dµ. A c Sia ora f la funzione indicata nel testo; per la disuguaglianza di Chebishev, tenendo presente che f è nonnegativa, risulta: n f dµ = 0. µa 1 n ssendo {x f(x) 0} = un insieme di misura nulla. A 1 n=1 n, f può essere diversa da zero solo su 2 (Assoluta continuità dell integrale.) Sia f una funzione sommabile in. Per ogni ε > 0, esiste un δ ε > 0 tale che, per ogni insieme con µ < δ ε risulta ssendo, per definizione, f dµ = f dµ < ε. sup ϕ dµ, 0 ϕ f ϕ semplice 1

2 fissato un ε > 0, esiste una funzione semplice ϕ tale che 0 ϕ f e ϕ dµ > f dµ ε 2. Preso un qualsiasi abbiamo (si noti che f ϕ 0) ( f ϕ) dµ ( f ϕ) dµ < ε 2. (1) D altra parte la ϕ assume solo un numero finito di valori e quindi esiste un M > 0 tale che ϕ(x) M per ogni x. Dalla (1) si trae f dµ < ϕ dµ + ε 2 M µ + ε 2. Assumendo δ ε = ε/(2m), si ha quindi f dµ < ε 2 + ε 2 = ε per ogni tale che µ < δ ε. 3 Sia {f n } una successione di funzioni non negative sommabili definite in e tali che f n f quasi ovunque, con f sommabile; supponiamo inoltre che f n dµ f dµ. Allora per ogni insieme misurabile si ha f n dµ f dµ. Per il lemma di Fatou si ha: f dµ lim inf f n dµ. Inoltre, per le ipotesi fatte, risulta ( lim sup f n dµ = lim sup f n dµ ( ) lim f n dµ + lim sup f n dµ = 2 ) f n dµ = f dµ lim inf f n dµ.

3 e riapplicando il lemma di Fatou: lim sup f n dµ f dµ f dµ = f dµ da cui segue subito la tesi (N.. dove abbiamo sfruttato l ipotesi che f è sommabile?). Si noti che se le f n non sono di segno costante, il precedente risultato è falso. Consideriamo, ad esempio, = R munito della misura di Lebesgue e la successione di funzioni sommabili f n (x) = sin x n χ [0,2nπ](x). La successione {f n } risulta uniformemente convergente a 0 su tutto R ed inoltre f n (x) dx = 1 2nπ sin x dx = 0 f(x) dx = 0. R n 0 R D altra parte, se consideriamo = k=0 [2kπ, (2k + 1)π], si ha f n dx = 1 n n 1 (2k+1)π k=0 che, ovviamente, non converge a 0. 2kπ sin x dx = 2 4 Sia {f n } una successione di funzioni sommabili definite in tale che f n f quasi ovunque, con f sommabile. Si ha che f n tende a f in norma se e solo se la norma di f n tende alla norma di f, ossia f n f dµ 0 f n dµ f dµ Poiché f n dµ f dµ = f n f dµ ( f n f ) dµ f n f dµ se l ultimo membro tende a zero, si ha subito la tesi. Viceversa: per il teorema precedente, qualunque sia l insieme misurabile, risulta f n dµ f dµ. (2) 3

4 Inoltre per l assoluta continuità dell integrale di f: ε > 0 δ ε > 0 :, µ < δ ε = f dµ < ε. (3) Sia ora K un qualsiasi insieme misurabile di misura finita. Per il teorema di Severini-goroff 1, esiste un insieme K tale che µ < δ ε e la successione {f n } converge uniformemente ad f su K. ssendo: f n f dµ f n f dµ + f n dµ + f dµ K K in base alla convergenza uniforme ed utilizzando (1) e (2) si ha: lim sup f n f dµ 2 f dµ < 2 ε. Ciò dimostra che K K, µk < = Sia K un insieme misurabile tale che µk < e Risulta: f n f dµ da cui (per la (2) e la (4)): lim sup ossia la tesi. K K f n f dµ + f n f dµ 0. (4) f n dµ + f n f dµ 2 f dµ < 2ε f dµ < ε. 2 f dµ 1 Il teorema di Severini-ogoroff si trova dimostrato nel libro di testo nel caso della misura di Lebesgue, ma tale dimostrazione si ripete parola per parola per una misura qualsiasi 2 ssendo f dµ = sup h dµ <, dove il sup è considerato al variare delle funzioni semplici 0 h f, dato ε > 0, esiste una siffatta funzione h tale che h dµ > f dµ ε, ossia tale che ( f h) dµ < ε. Se indichiamo con K l insieme dove h è diversa da zero, K risulta di misura finita (perché h è semplice e h dµ < ) e inoltre : f dµ = ( f h) dµ ( f h) dµ < ε. 4

5 5 Sia µ < e sia {f n } una successione di funzioni sommabili definite in tale che f n f quasi ovunque, essendo f sommabile. Risulta f n f dµ 0 (5) se e solo se la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui. Ricordiamo che la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui se ε > 0 δ ε > 0 :, µ < δ ε = f n dµ < ε, n (6) (N.. il δ ε è indipendente dalla funzione f n considerata). Supponiamo valga la (5); per la sommabilità di f, esiste un δ ε > 0 tale che, µ < δ ε = f dµ < ε 2 ; inoltre la (5) implica che esiste un n ε tale che: f n f dµ < ε 2, n > n ε. ssendo poi ogni f n sommabile, per ogni n, esiste un δ ε,n > 0 tale che, µ < δ ε,n = f n dµ < ε. Posto δ ε = min{δ ε,0,..., δ ε,nε }, risulta, per ogni misurabile con µ < δ ε : f n dµ f n f dµ+ f dµ f n f dµ+ f dµ < ε 2 + ε 2 = ε se n > n ε e f n dµ < ε per n = 1,..., n ε. Ciò dimostra che la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui (N.. in questa parte del teorema non abbiamo usato il fatto che lo spazio ha misura finita). 5

6 Viceversa, per il teorema di Severini-goroff, possiamo trovare un insieme misurabile tale che la µ < δ ε (dove il δ ε è dato dalla (6)) e la successione {f n } converge uniformemente verso la funzione f in. sisterà quindi un n ε tale che: f n f dµ < ε n > n ε. ssendo la µ < δ ε, la (6) implica f n dµ < ε n e, per il lemma di Fatou: Allora si ha f n f dµ f dµ ε. f n f dµ + f n f dµ + 2ε f n dµ + f dµ < da cui lim sup f n f dµ 2ε ossia la tesi. Notiamo che se viene meno l ipotesi µ < il risultato appena dimostrato è falso. Sia = R munito della misura di Lebesgue. Sia f n (x) = χ (n,2n) (x)/n. La successione {f n } è una successione di funzioni sommabili, che tende a zero uniformemente su tutto R. Inoltre ha gli integrali uniformemente assolutamente continui, dato che f n dx m() per ogni n. Però la (5) è falsa, dato che R f n dx = 1 n 2n n dx =

7 6 (Teorema di Vitali.) Sia µ < e sia {f n } una successione di funzioni sommabili definite in tale che f n f quasi ovunque, essendo f sommabile. Se la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui, allora per ogni insieme risulta: f n dµ f dµ. È una conseguenza immediata del precedente risultato, non appena si osservi che f n dµ f dµ f n f dµ f n f dµ. Proponiamo al Lettore di dimostrare il teorema della convergenza dominata (nel caso di spazi di misura finita) come corollario del Teorema di Vitali. no dei motivi di interesse del teorema di Vitali è che esso si può invertire; infatti sussiste il seguente teorema, che ci limitiamo ad enunciare (per una dim. cfr. G. Fichera, Lezioni sulle trasformazioni lineari, p , dove si considera anche l estensione dei teoremi 6 e 7 al caso di spazi di misura infinita); 7 Sia µ < e sia {f n } una successione di funzioni sommabili definite in tale che f n f quasi ovunque, essendo f sommabile. Se per ogni insieme risulta: f n dµ f dµ, allora la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui. Concludiamo questa parte mostrando come il teorema di Vitali sia in effetti più generale del teorema della convergenza dominata (nel caso degli spazi di misura finita) producendo un esempio in cui non si può applicare quest ultimo teorema. Consideriamo f n (x) = 1 x χ ( 1 n+1, 1 n) (x) nell intervallo [0, 1] munito della misura di Lebesgue. Sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di Vitali: 7

8 1. [0, 1] ha misura finita; 2. lim f n (x) = 0, q. o. x [0, 1]; 3. le funzioni f n e la funzione limite f = 0 risultano sommabili; 4. la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui. Le condizioni 1-3 sono ovvie. Verifichiamo la 4. Dato ε > 0, sia n ε un intero tale che ) log (1 + 1nε < ε (7) e poniamo δ ε = ε n ε + 1. (8) Sia ora un qualsiasi insieme misurabile contenuto in [0, 1] tale che Se n n ε, tenendo presente la (7), si ha 1 dx f n (x) dx = ( 1 n+1, n) 1 x n dx 1 x = log n+1 Se, invece, n < n ε abbiamo f n (x) dx = ( 1 n+1, n) 1 m() < δ ε. (9) ( ) ) log (1 + 1nε < ε. n dx x (n + 1) m() (n ε + 1) m() < ε in virtù delle (8) e (9). Abbiamo quindi dimostrato che la successione {f n } ha gli integrali uniformemente assolutamente continui. Possiamo quindi applicare il teorema di Vitali per concludere che lim 1 0 f n (x) dx = 0. In questo caso non possiamo applicare il teorema della convergenza dominata, in quanto se f n (x) g(x) q.o. in [0, 1], per ogni n N, dobbiamo avere anche 1 g(x) x q.o. in [0, 1] e quindi la g non può essere sommabile. 8